直线与圆相交弦长问题
圆在y轴截的弦长
圆在y轴截的弦长1.引言1.1 概述圆在y轴截的弦长是指一条直线从圆的外部与圆相交，与y轴所构成的线段的长度。
这个概念在几何学中非常重要，与圆的半径和截距之间有着密切的关系。
本文将探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，以及弦长与圆的半径和截距之间的关系。
通过对这些内容的讲解和分析，我们可以更深入地理解和应用圆的相关概念，并加深对几何学的理解。
在接下来的章节中，我们将首先介绍圆在y轴截的弦长的定义和公式，从几何学角度详细解释其含义和计算方法。
然后，我们将研究弦长与圆的半径和截距之间的关系，通过数学推导和实例分析，展示它们之间的数学模型和规律。
最后，我们将总结得出两个重要的结论：弦长与圆的半径成正比，弦长与截距成反比。
通过阅读本文，读者将获得对圆在y轴截的弦长的全面认识和理解，对圆的相关概念和性质有更加深入的把握。
同时，我们也希望通过分析与探究，培养读者的逻辑思维和问题解决能力，为进一步研究和应用几何学打下坚实的基础。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下几个部分进行论述和分析：1. 引言：在引言部分，我们将简要介绍本文的研究对象——圆在y 轴截的弦长，并概述本文的目的和结构。
2. 正文：在正文部分，我们将详细探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，并分析弦长与圆的半径和截距之间的关系。
3. 结论：在结论部分，我们将总结本文的主要研究结果，并得出结论1：弦长与圆的半径呈正比关系；结论2：弦长与截距呈反比关系。
通过以上的文章结构，我们将从介绍、分析到总结全面而系统地展现圆在y轴截的弦长的特点和性质，为读者提供一个清晰、准确的了解。
同时，我们还将通过数学推导和图表展示等方式来支持我们的观点，以便读者更好地理解和接受。
在正文部分，我们将深入阐述弦长的计算公式和与圆的半径、截距的关联，以及这些关系对于实际问题的意义和应用。
最后，在结论部分我们将对我们的研究结果进行总结，并指出未来研究方向和可能的拓展。
通过这一结构，读者将能够逐步掌握关于圆在y轴截的弦长的相关知识，并发现其中的规律和趋势，对于更深入地理解数学中的圆和弦长概念将有所帮助。
直线与圆相交弦长问题
二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2＜r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二：[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B2＜r ； 性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)，∴|OC |＝|－1|2＝22.∵r ＝22， ∴|BC |＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．。
直线与圆相交的弦长问题
【方法3】联立方程求交点，韦达定理求弦长（此 方法有普适性）
பைடு நூலகம்
直线与圆相交 例1 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y22y-4=0截得的弦长.
例2.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l的斜率为
问题：圆C:（x-a)2 ( y b)2 r 2 , P( x0 , y0 )为圆内一点， 过P点的弦与圆交于A，B，当CP与AB满足什么条件时 弦AB的长度最小。
直线与圆的位置相交时弦长问题
问题：已知直线Ax+Bx+C=0,与圆（x-a) ( y b) r
2 2
2
交于A，B两点，则弦AB的长度。 （圆心到直线距离用d表示）
求弦长的三种方法: 【方法1】先联立方程求交点，再用两点间的距离公式求弦 长
【方法2】利用弦心距、弦长一半、半径构成的直角三角形 解决
例3：已知直线l： 2mx y 8m 3 0和 圆C：x 2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1)m R时，证明l与C总相交 （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长
总结：圆的弦长的几种求法
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式 相交1.1代数法： 相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。
2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。
(1)证明 由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。
直线与圆所截弦长公式
直线与圆所截弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。
当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。
在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。
下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。
我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。
即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。
A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。
根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。
假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。
设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。
根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。
化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。
然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。
进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。
除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学中的一个重要问题。
当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相交两点、内切、相切、外切、相离、内含。
每种情况下，弦的长度和位置都有不同的特点和计算方法。
在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。
数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦长的长度。
在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，以便确定杆件的长度和位置；在地理学中，需要计算地球表面上两点之间的最短距离时，也可以利用直线与圆所截弦长公式。
直线与圆所截弦长公式是几何学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆的交点、弦的长度、位置关系等内容。
直线与圆相交
题型六、数形结合问题
2 x 1 y • 7.若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点,
k 2或k (1,1] 则k的取值范围是________________.
小结：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 d r
5 5=r 10
代数法： 3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0
2 2
练习题： P128 1、2、3、
练习1:已知圆
x y 4,
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1
作业：
课本P132 3、5、
几何法：
圆心C（0，1）到直线l的距离 d=
|3 0 1 6|
32 12
所以直线L与圆C相交
所以方程组有两解， 弦长= 10 2 2 ( 5)2 ( ) 10 2 直线l与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
圆的弦长的计算公式
圆的弦长的计算公式圆的弦长公式知识梳理⼀、直线与圆的位置关系 1．⼏何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆⼼到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离； (2)d ＝r ?圆与直线相切； (3)d由?=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax 消元，得到⼀元⼆次⽅程的判别式Δ，则 (1)Δ>0?直线与圆相交； (2)Δ＝0?直线与圆相切； (3)Δ<0?直线与圆相离．⼆、圆的切线问题 1.切线⽅程（1）圆()()222x a y b r -+-=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）圆220x y Dx Ey F ++++=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为0000022x x y y x x y y D E F ++++++=g g 2.切线长公式过圆外⼀点()00,P x y 引圆的切线，设点为T ,则切线长MT =MT =三、弦长问题 1.⼏何法直线l 与圆C 交于,A B 两点，圆⼼C 到直线l 的距离为d ，则圆的半径r ，d 与弦长AB 的⼀半构成直⾓三⾓形的三边，即2222AB d r ??+=，故求出2AB 后再求AB ． 2.代数法——弦长公式设圆()()222x a y b r -+-=，直线l ：y kx b =+，则l 被圆截得的弦长L =或L =典型例题例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值．解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利⽤弦长公式求解．答案：(1)解法⼀：由?x 2＋y －12＝5mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.∵Δ＝(－2m 2)2－4(m 2＋1)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，对⼀切m ∈R 成⽴，∴直线l 与圆C 总有两个不同交点．解法⼆：由已知l ：y －1＝m (x －1)，故直线恒过定点P (1,1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P (1,1)在圆C 内．∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)解法⼀：圆半径r ＝5，圆⼼(0,1)到直线l 的距离为d ，d ＝r 2－?|AB |22＝32.由点到直线的距离公式，得|－m |m 2＋－12＝32，解得m ＝± 3.解法⼆：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3.练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交，截得的弦长为45，求l 的⽅程．答案：解法⼀：设直线l 的⽅程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，y －5＝k x －5x 2＋y 2＝25消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0.∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0.x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2＋1，x 1x 2＝25k k －2k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1＝4 5.两边平⽅，整理得：2k 2－5k ＋2＝0.解得：k ＝12，或k ＝2.故直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －5＝0.解法⼆：如图所⽰，|OH |是圆⼼到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的⼀半，在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝12|AB |＝12×45＝25，∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝ 5. ∴|51－k |k 2＋1＝ 5.解得：k ＝12或k ＝2. ∴直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －练习2：求直线:360l x y +-=被圆22:240C x y y +--=解得的弦长答案：解法⼀：圆22:240C x y y +--=可化为()2215x y +-=∴圆⼼()0,1C ,半径5r =点C 到直线l 的距离为22301610231d ?+-==+ ∴()222210105222ABr d ??=-=-= ? ???∴10AB = 解法⼆：联⽴直线l 与圆C 的⽅程22360240x y x y y +-=??+--=? 消去y 得：2320x x -+=设两交点,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理有12123,2x x x x +==g ∴弦长()2 21334210AB =+--?=g 例2：已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0.求两圆的公共弦所在的直线⽅程及公共弦长．解析：因两圆的交点坐标同时满⾜两个圆⽅程，联⽴⽅程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线⽅程．利⽤勾股定理可求出两圆公共弦长．答案：设两圆交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标是⽅程组x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的解①②①－②得 3x －4y ＋6＝0.∵A 、B 两点坐标都满⾜此⽅程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线⽅程．易知圆C 1的圆⼼(－1,3)，半径r ＝3. ⼜C 1到直线AB 的距离为 d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝232－? ????952＝245.即两圆的公共弦长为245.课后练习1．已知圆C 和y 轴相切，圆⼼在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的⽅程．答案：由题意可设圆⼼坐标为(a ，a 3)，圆的半径R ＝|a |，由题意得(|a －a3|2)2＋(7)2＝a 2，∴a 2＝9，a ＝±3.故所求圆的⽅程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长是( )A.6B.522C ．1 D.2答案 A。
弦长公式在相交两圆中的运用
弦长公式在相交两圆中的运用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1弦长公式在相交两圆中的运用重庆市永川区第六中学校 潘祥万（402182）问题：求两圆04026,010102222=-+++=--+y x y x y x y x 的公共弦的长。
（高二数学（上），人教版，P 88 24题）对于此题，我们很多时候都是把这两个方程联立组成方程组，求出其交点坐标，再根据两点间的距离公式求解，这是一种常规解法。
下面，我想就相交两圆公共弦长公式的推导及运用谈点个人看法。
一、弦长公式的推导在初中，我们就知道两圆相交时弦长的求法。
对于高中数学中的相交两圆弦长如何求，大部分学生感到不知所措，甚至解题的方向也把握不准，基于此，我在教学中，我在引领学生回忆初中知识的同时，让学生把所学的知识在头脑中重组、建构，形成一定的网络，更好地为教学服务。
推导：对于圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中0422>-+F E D ）和圆的标准方程：222)()(R b y a x =-+-。
这是我们应该熟悉的两个方程，要求学生必须能够互化。
如果两圆222)()(r b y a x =-+-和222)()(R b y a x ='-+'-相交，求公共弦长。
在这里必须引导学生对问题进行分析，看它圆心在弦的同旁，还是两旁。
（一）、两圆心在公共弦的两旁时，公共弦长AB 的求法如图1：设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为R r ,,圆心距(O O ')为d ,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中有222222,AC O A C O OC AO AC -'='-=,又O O '=OC+C O '=d ,∴C O '=d -OC,∴222222)(,AC R OC d OC r AC -=--=,∴22222)(AC R AC r d -=--,其中22)()(b b a a d -'+-'=图1化简得:AB=2AC=[][]d r R d d r R 2222)()(---+ )(r R ≥ ① (二)、两圆心在公共弦的同旁时，公共弦长AB 的求法如右图，设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为)(,r R R r ≥,圆心距(O O ')为d （22)()(b b a a d -'+-'=）,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中，同理得： [][]d r d R R r d AB 2222)()(---+= ② 说明：内切、外切时上两式也成立，只不过AB=0。
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二、直线与圆相交弦长问
题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直
线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2
＜r ；
性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞
0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B
两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且
倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线
AB 的方程． 解析：法一： 法二：
[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C
在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x
截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解析：
三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线
l 与圆C 交于A ，B 两点，
设弦心距为d ，圆的半
径为r ，弦长为|AB |，
则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程
与圆的方程联立，设直线与圆的两交
点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |
＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k
2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问
题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直
线的距离d ＝A 2＋B
2＜r ； 性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆
内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．
[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，
∴直线AB 的方程为y －2
＝－(x ＋1)，
即x ＋y －1＝0. ∵圆心为
(0,0)，
∴|OC |＝|－1|2
＝22.∵r ＝22， ∴|BC |＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线
AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，
得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2
＝－72
， ∴|AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝
30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴
圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2
＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|
＝4.在Rt△AOC中，|OC|
＝|AC|2－|AO|2
＝52－42＝3.设点C坐标
为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，
∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的
两种方法
(1)几何法：如图1，直线l
与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
|AB|
22
＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.
(2)代数法：如图2所示，
将直线方程与圆的方程联
立，设直线与圆的两交点
分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1
－x2|＝1＋1
k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．。