直线与圆相交弦长问题
直线与圆相交弦长问题
二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2＜r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二：[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B2＜r ； 性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)，∴|OC |＝|－1|2＝22.∵r ＝22， ∴|BC |＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．。
直线与圆相交的弦长问题
【方法3】联立方程求交点，韦达定理求弦长（此 方法有普适性）
பைடு நூலகம்
直线与圆相交 例1 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y22y-4=0截得的弦长.
例2.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l的斜率为
问题：圆C:（x-a)2 ( y b)2 r 2 , P( x0 , y0 )为圆内一点， 过P点的弦与圆交于A，B，当CP与AB满足什么条件时 弦AB的长度最小。
直线与圆的位置相交时弦长问题
问题：已知直线Ax+Bx+C=0,与圆（x-a) ( y b) r
2 2
2
交于A，B两点，则弦AB的长度。 （圆心到直线距离用d表示）
求弦长的三种方法: 【方法1】先联立方程求交点，再用两点间的距离公式求弦 长
【方法2】利用弦心距、弦长一半、半径构成的直角三角形 解决
例3：已知直线l： 2mx y 8m 3 0和 圆C：x 2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1)m R时，证明l与C总相交 （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长
总结：圆的弦长的几种求法
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
直线圆的位置关系1直线与圆的位置关系
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法二：直线 l 的方程为 y=k（x-4），即 kx-y-4k=0.
圆心 O 到直线 l 的距离 d= | 4k | ，圆 O 的半径 r=2 2 . k2 1
（1）当 d= | 4k | <2 2 ,即-1<k<1 时，直线 l 与圆 O 相交. k2 1
（2）当 d= | 4k | =2 2 ,即 k=±1 时，直线 l 与圆 O 相切. k2 1
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1.直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定方法: (1)代数法:直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,此方程的判别式为 Δ,则
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探究要点一:直线与圆相交 1.直线与圆相交求交点坐标,只需联立两方程求解二元二次方程组即可. 2.直线与圆相交时弦长的求法 (1)求出交点坐标,利用两点间距离公式,求出弦长; (2)利用弦长公式求:
d=|x1-x2| 1 k 2 = (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
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变式训练 1-1：已知圆 O：x2+y2=8，过 P（4，0）的直线 l 的斜率 k 在什么范围内取值时，直线 l 与圆 O： （1）相交？（2）相切？（3）相离？
解：法一：设直线 l 的方程为 y=k（x-4），
y k(x 4)
直线与圆所截弦长公式
直线与圆所截弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。
当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。
在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。
下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。
我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。
即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。
A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。
根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。
假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。
设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。
根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。
化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。
然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。
进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。
除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学中的一个重要问题。
当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相交两点、内切、相切、外切、相离、内含。
每种情况下，弦的长度和位置都有不同的特点和计算方法。
在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。
数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦长的长度。
在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，以便确定杆件的长度和位置；在地理学中，需要计算地球表面上两点之间的最短距离时，也可以利用直线与圆所截弦长公式。
直线与圆所截弦长公式是几何学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆的交点、弦的长度、位置关系等内容。
直线与圆相交
题型六、数形结合问题
2 x 1 y • 7.若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点,
k 2或k (1,1] 则k的取值范围是________________.
小结：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 d r
5 5=r 10
代数法： 3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0
2 2
练习题： P128 1、2、3、
练习1:已知圆
x y 4,
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1
作业：
课本P132 3、5、
几何法：
圆心C（0，1）到直线l的距离 d=
|3 0 1 6|
32 12
所以直线L与圆C相交
所以方程组有两解， 弦长= 10 2 2 ( 5)2 ( ) 10 2 直线l与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
易错点15 直线和圆(解析版)
所以
,
由题设可得 ，解得 ，所以l的方程为 .
故圆心在直线l上，所以 .
题组四：直线与圆相切
10．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）】已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
11．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（）
易错点15直线和圆
易错点1： 直线的方程
若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。
易错点2：圆的方程
(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；
【解析】“直线 ： 与直线 ： 平行”的充要条件是 ，解得， 或 ，所以是充分不必要条件。故选： .
题组二：圆的方程
4.【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．
A.4B.5C.6D.7
【答案】A.
【解析】设圆心 1为半径的圆，
若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 ；
听蔡运倩老师《探究直线与圆相交弦长问题求法》课有感
听蔡运倩老师《探究直线与圆相交弦长问题求法》课有感
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听蔡运倩老师《探究直线与圆相交弦长问题的求法》的课有感
今天有幸听了一节数学课，受益匪浅。
在全面减轻中小学生过重课业负担的大形势下，只有向教改要效率，充分利用好课堂分钟，才能提高教育教学质量，全面提高学生素质，使学生能领悟到数学的魅力，感受到数学的乐趣，进而感受数学之美。
作为生物老师，现谈谈自己听课后的一些心得体会。
一、精心设计课堂教学
教学设计是老师为达到预期教学目的，按照教学规律，对教学活动进行系统规划的过程。
从课堂教学中，能感受到教师的准备是相当充分的：不仅教材，
学生，还是基础目标，都体现了依托教材、以人为本的学生发展观。
二、教学过程精致
从授课教师的教学过程来看，是经过了精心准备的，从知识回顾到探究新知，每一个问题的设置都恰到好处。
教师能根据自己学生的知识水平、认知能力设计教学的各个环节，在知识深难度的把握上处理得很好。
三、注重知识的传授与能力的培养相结合
当今命题指导原则是，有利于高校对人才的选拔，确立了以能力立意的命题指导思想，这就加大了对能力的考查，为此在教学过程中特别注意了这个问题：在了解基础知识的基础上，提出问题让学生思考，指导学生去解疑，从而达到在传授知识的基础上使学生的能力得到培养的目的。
心得体会,中小学生,基础知识,发展观,数学课
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.
-
二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d
＝A 2＋B
2＜r ；
性质2：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0
x －a 2＋y －b 2＝r 2
消元得
到一元二次方程的判别式Δ＞0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦
心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点
P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．
解析：法一：
法二：
[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，
求圆C 的方程．
解析：
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截
y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解析：
三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的两种方法
.
-
(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，
弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2
r 2－d 2.
(2)代数法：如图2所示，将
直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝
x 1－x 2
2＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝1＋1
k
2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．
二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |
A 2＋B
2＜r ；
性质2：由⎩⎪⎨
⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0
x －a 2＋y －b
2＝r 2
消元得
到一元二次方程的判别式Δ＞0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦
心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝
⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点
P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，
∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2
＝2
2.∵r ＝2
2，
∴|BC |＝
8－
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝
30.
法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得
2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7
2
，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝
1＋1[x 1＋x 22－4x
1x 2]＝
30.
(2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ，
∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1
2，
∴直线AB 的方程为y －2＝1
2(x ＋
1)，即x －2y ＋5＝0.
. [练习已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－
-
.
-
3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，
求圆C 的方程．
解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2
＝
2|m |.由半径、弦心距、半弦长的
关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截
y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解] 法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝ |AC |2－|AO |2
＝
52－42＝3.设点C 坐标
为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，
∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25. 三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆
的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝
⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2
r 2－d 2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则|AB |＝
x 1－x 22＋y 1－y 22＝
1＋k 2|x
1－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|(直线l 的斜
率k 存在)．
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