直线与圆相交
题型六、数形结合问题
2 x 1 y • 7.若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点,
k 2或k (1,1] 则k的取值范围是________________.
小结：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 d r
5 5=r 10
代数法： 3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0
2 2
练习题： P128 1、2、3、
练习1:已知圆
x y 4,
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1
作业：
课本P132 3、5、
几何法：
圆心C（0，1）到直线l的距离 d=
|3 0 1 6|
32 12
所以直线L与圆C相交
所以方程组有两解， 弦长= 10 2 2 ( 5)2 ( ) 10 2 直线l与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
港口
O
轮船
x
一.实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆 的方程为:
x y 9
2 2
轮船航线所在直线 l 的方程为：
y 港口
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的圆 与直线l有无公共点．
O
轮船
x
二.直线与圆的位置关系 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
一.实例引入 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的 范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风 中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 是否会受到台风的影响？
y
为解决这个问题，我们以台 风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长 度．
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （2）
（3）
判断直线与圆位置关系的方法?
1.判断直线与圆位置关系的方法
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
消元
x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
2 2
1
B r
A
d
O
x
练习：求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。
x y 2x 3 0
设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则
2＝r2－d2.
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜 率。
X+2y+9=0,或2x-y+3=0 详解见课本P127
M
y
. .
O
x
2．已知直线 y=x+1 与圆
一元二次方程
方法二：直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
1、几何方法解题步骤： 把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准 式，求出圆心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: 当d>r时，直线与圆相离； 当d=r时，直线与圆相切; 当d<r时，直线与圆相交
直线与圆的交点问题
直线与圆的交点问题在数学中，直线与圆的交点问题是一个常见而重要的几何问题。
本文将介绍直线与圆相交的基本原理和求解方法，以及一些相关的应用。
一、直线与圆相交的基本原理直线与圆相交时，可能存在三种情况：相离、相切和相交。
下面分别进行讨论。
1. 直线与圆相离的情况当直线与圆没有交点时，它们之间的距离大于圆的半径。
这种情况下，直线被称为圆的外切线。
直线与圆的相对位置可以通过直线的斜率和圆的半径来判断。
2. 直线与圆相切的情况当直线与圆有且仅有一个交点时，它们相切。
这种情况下，直线被称为圆的切线。
判断直线是否为圆的切线需要满足以下条件： - 直线的斜率等于圆心与切点所在直径的斜率的负倒数。
- 直线与圆心的距离等于圆的半径。
3. 直线与圆相交的情况当直线与圆有两个交点时，它们相交。
相交的情况下，直线与圆的交点可以通过联立直线方程和圆的方程求解得到。
二、求解直线与圆交点的方法要求解直线与圆的交点，可以通过以下几种方法：1. 代入法已知直线的方程和圆的方程，可以将直线方程中的变量代入到圆的方程中，得到一个关于圆心坐标的一元二次方程。
解这个方程可以得到圆的交点的坐标。
2. 几何法可以通过几何方法求解直线和圆的交点。
如已知直线的方程和圆心坐标，可以利用相似三角形、勾股定理等几何关系求解交点的坐标。
3. 参数方程法如果直线的方程和圆的方程为参数方程形式，可以将直线的参数代入到圆的参数方程中，得到一个关于圆心参数的方程。
解这个方程可以得到圆的交点的参数值，进而求得交点的坐标。
三、直线与圆交点问题的应用直线与圆的交点问题在几何学和数学建模中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 计算机图形学在计算机图形学中，直线与圆的交点问题被广泛应用于图形的绘制、几何变换和碰撞检测等领域。
通过求解直线与圆的交点，可以确定图形的形状和位置，实现精确的图形渲染和模拟。
2. 机械工程在机械工程中，直线与圆的交点问题常用于机械零件的装配和运动分析。
直线与圆相交的公式
直线与圆相交的公式直线与圆相交的公式是数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
当直线与圆相交时，我们可以通过一些公式来描述它们之间的关系。
我们来看直线与圆相交的情况。
当一条直线与圆相交时，可能有三种不同的情况：直线与圆相交于两个不同的点、相切于一个点或者不相交。
对于直线与圆相交于两个不同的点的情况，我们可以用以下公式来描述它们之间的关系：设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)表示圆心的坐标，r表示半径。
我们可以将直线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程可以得到两个解，即直线与圆相交的两个点的横坐标。
将这两个横坐标代入直线的方程中，可以求得相应的纵坐标。
对于直线与圆相切于一个点的情况，我们可以用以下公式来描述它们之间的关系：设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)表示圆心的坐标，r表示半径。
我们可以将直线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程可以得到一个解，即直线与圆相切的点的横坐标。
将这个横坐标代入直线的方程中，可以求得相应的纵坐标。
对于直线与圆不相交的情况，我们可以用以下公式来描述它们之间的关系：设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)表示圆心的坐标，r表示半径。
我们可以将直线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程可以得到两个解，即直线与圆的交点的横坐标。
将这两个横坐标代入直线的方程中，可以求得相应的纵坐标。
我们可以通过一些公式来描述直线与圆相交的关系。
这些公式在几何学和代数学中有广泛的应用，可以帮助我们解决许多相关的问题。
解析几何中的直线与圆的位置关系
解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。
在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。
本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。
一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。
直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。
二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。
在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。
直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。
1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。
此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。
直线从切点开始离开圆，没有任何交点。
外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。
2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。
如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。
直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。
三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。
直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。
1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。
2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。
总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。
24.2.2 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
直线和圆有两个 直线和圆有唯一
公共点时，叫做 公共点时，叫做 直线和圆相交． 直线和圆相切．
这条直线叫做 圆的割线，公 共点叫直线和 圆的交点．
这条直线叫做圆 的切线，这个点 叫做切点．
直线和圆没有公 共点时，叫做直 线和圆相离．
直线与圆的位置关系判定定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
ห้องสมุดไป่ตู้
总结
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数 形结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心 到直线的距离与圆的半径大小，与“形”：直线 和圆的位置关系之间的相互转化． (2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等 法求出．
巩固练习2:
1.已知直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距 离为6，则r的取值范围是( )
0 d r 直线与O相交
d r 直线与O相切 d r 直线与O相离
例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝30°,BC＝4cm,
以点C为圆心,2cm为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是
( B)
A.相离
B.相切
C.相交 D.相切或相交
例2.如图，四边形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,E为AB上 一点,且DE、CE分别平分∠ADC和∠BCD,判断以AB为直 径的圆与CD有怎样的位置关系？试证明你的结论．
直线与圆的位置关系性质定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
直线与O相交 0 d r
直线与O相切 d r 直线与O相离 d r
例3.在Rt△ABC中,AC＝3cm,BC＝4cm,∠ACB＝90°.若 以点C为圆心,r为半径的圆与直线AB不相离,求r的取值 范围．
直线与圆的相交关系教学方法总结
直线与圆的相交关系教学方法总结直线与圆的相交关系是中学数学中重要的一个概念，涵盖了直线和圆的相切、相交、内切、外切等多种情况。
正确而有条理地教授这一概念对于学生理解几何学原理和解题能力的培养至关重要。
本文将总结一种适合教学的方法来教授直线与圆的相交关系，帮助学生更好地理解和应用相关知识。
第一部分：引入知识点在教学开始之前，可以通过故事、实例或以生动的方法引入知识点。
例如，教师可以通过提问或展示一幅有意思的图片来引起学生的兴趣和好奇心。
这样可以激发学生对直线与圆的相交关系的学习兴趣，并为后续的教学做好铺垫。
第二部分：基础概念解释在引入知识点后，逐步引导学生理解直线与圆的基础概念。
首先，明确直线和圆的定义，并解释直线与圆相交的不同情况。
例如，直线可能与圆相切、相交或不相交。
通过图形示例和实际生活中的应用场景，帮助学生理解这些概念。
第三部分：具体情况分析接下来，逐一讲解每种直线与圆相交的具体情况，并探讨相应的性质与性质之间的联系。
例如，教师可以从最简单的情况开始，即直线与圆相切，介绍切线与半径的关系。
然后，引入直线与圆的两个交点的情况，讲解并比较弦和切线的性质。
在讲解过程中，可以使用适当的图形示意图和数学符号来帮助学生理解和记忆相关概念。
第四部分：案例分析和解题技巧为了加深学生对直线与圆相交关系的理解，可以提供一些具体的案例，引导学生通过观察图形、分析问题、运用相关定理和性质来解决问题。
在解题过程中，鼓励学生提出自己的解题思路，并与同伴一起交流和讨论。
同时，教师也可以向学生介绍一些解题技巧和公式，帮助他们在实际应用中灵活运用直线与圆的相交关系知识。
第五部分：扩展应用和拓展学习在教学的最后阶段，可以引导学生将所学的知识应用到更复杂的问题中。
例如，通过几何思想解决实际问题或与其他数学知识结合，如向量、三角函数等。
这样可以培养学生综合运用知识和解决实际问题的能力。
同时，鼓励学生进行探究性学习，发现并探索其他与直线与圆相交关系相关的数学原理或应用，并分享给同学们。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系一直线和圆的位置关系是几何学中的经典问题之一。
直线和圆的相交情况可以分为三种情况：相离、相切和相交。
在本文中，我们将探讨这些情况，并讨论在给定条件下如何确定直线和圆之间的位置关系。
相离的情况是指直线和圆不相交，也不相切。
换句话说，直线没有交叉或触及圆。
当直线与圆没有公共点时，它们被认为是相离的。
这种情况是最简单的情况，因为直线上的任意一点到圆的距离都大于圆的半径。
因此，如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离，来确定它们是否相离。
接下来是相切的情况。
当直线与圆相切时，直线刚好触及圆的一个点。
在几何学中，相切的定义是两个图形仅有一个公共点。
对于直线和圆的情况而言，这个点就是直线与圆的切点。
在相切的情况下，直线的斜率与直线上的切点与圆心的连线的斜率相等。
因此，我们可以通过计算直线上两个点的斜率，并比较其与圆心的斜率是否相等，来确定它们是否相切。
最后是相交的情况。
当直线与圆相交时，它们有两个公共点。
如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过解方程组来确定直线与圆的交点。
一种常见的方法是使用二次方程，通过将直线的方程和圆的方程联立，然后求解二次方程来计算交点的坐标。
如果二次方程有实数解，那么直线与圆相交；如果二次方程没有实数解，那么直线和圆不相交。
当直线与圆相交时，它们的交点具有很多有趣的性质。
例如，交点的坐标可以用来计算直线与圆的切线方程、直线与圆之间的夹角等。
另外，当直线与圆相交时，我们还可以根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
如果交点在圆心的左侧，那么直线与圆在交点处是外切的；如果交点在圆心的右侧，那么直线与圆在交点处是内切的。
总结起来，直线和圆的位置关系可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离来判断它们是否相离；可以通过比较直线上两个点的斜率与圆心的斜率是否相等来判断它们是否相切；可以通过解方程组来计算直线和圆的交点，并根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
直线和圆的位置关系
d>r d=r d<r
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d 13cm 2 直线与圆有____个公共点. ____个公共点 1)若 ,则直线与圆 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____个公共点. 1 相切 2)若 ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 则直线与圆______ ____个公共点 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 直线与圆有____个公共点. 相离 0 3)若 ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 则直线与圆______ ____个公共点 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 直线与圆有____个公共点. 2、已知⊙O的半径为 、已知⊙ 的半径为 的半径为5cm, 圆心 与直线 的距离为 根据 圆心O与直线 的距离为d, 与直线AB的距离为 条件填写d的范围 的范围: 条件填写 的范围 1)若AB和⊙O相离 则 d > 5cm 若 和 相离, 相离 2)若AB和⊙O相切 则 d = 5cm 若 和 相切, 相切 3)若AB和⊙O相交 则 0cm≤ 若 和 相交,则 相交 ; ;
1、点和圆的位置关系有几种？ 、点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r ） （2）d=r ） （3）d>r ）
点在圆内 点在圆上 点 在圆外
那么，直线和圆有什么位置关系呢？ 那么，直线和圆有什么位置关系呢？
直线和圆的位置关系 1、相交 、
直线和圆有两个公共点 时，叫做直线和圆相交 相交； 相交 这时直线叫做圆的割线 割线. 割线
线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切 相切；这时 相切 直线叫做圆的切线 唯一 切线. 切线 的公共点叫做切点 切点. 切点
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°∴在中，∠C=45°∴ CD=AD∵ BC=6cm ∴∴∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．AD由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．练习：1.如图，AB 为⊙O 直径，BD 切⊙O 于B 点，弦AC 的延长线与BD 交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC 长为________．D2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，过点P 的任一直线交⊙O 于B 、C ，•连结AB 、AC ，连PO 交⊙O 于D 、E ．（1）求证：∠PAB=∠C ．（2）如果PA 2=PD ·PE ，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O 的半径．_A_P答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为32．。
直线与圆相交课件
（1）
（2）
（3）
判断直线与圆位置关系的方法?
1.判断直线与圆位置关系的方法
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
消元 一元二次方程
方法二：直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
1、几何方法解题步骤： 把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准式， 求出圆心和半径
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 2＝r2－d2.
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
利用几何性质，求弦心距,然后实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
的方程为:
x2 y2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为：
4x 7 y 28 0
y 港口
问题归结为圆心为O的圆 与直线l有无公共点．
O
轮船 x
二.直线与圆的位置关系
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
一.实例引入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的
台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的
范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风
中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它
直线与圆交点圆系方程
直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆相交点AB的圆系方程,为什么是x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0
用集合论来证明就可以了,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0这个方程满足圆的一般方程,所以这个方程描述的是一个圆,而且所有同时满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0,AX+BY+C=0的点（即交点）一定满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,因为0+λ*0=0,所以,它们的交点在这个方程确定的圆上（属于这个方程描述的集合）.但是,对于不满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0和AX+BY+C=0的点,也可以满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,这些点就是这个圆上不是两个交点的其他点.我再举个例子,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）^2=0 ,这个方程描述的就是过直线和圆交点的椭圆（包括虚椭圆）.对于任意的若干个方程组,每个方程组含有若干个方程,它们的交集空间大都可以通过构造,含于满足条件特征空间之中.。