肺部CT分割算法实现

ψ s (x) =ψ (x / S ) / S ，则在位置处，函数 f(x)的尺度为 S 的小波变换定义为：
+∞
∫ WS [ f (x)] = f (x) ⊗ψ s (t) = f (x)ψ s (x − t)dt
−∞
2.2.1
其中ψ (x) 称为小波函数，上式称为连续小波变换式。
如尺度 S 以二进方式离散取值， S = 2i （i 是整数），则可得到相应的二进小波变换：
则函数系{ϕ j,k (t) k ∈ Z} 是规范正交的。
尺度函数和小波函数满足二尺度差分方程：
∞
ϕ(t) = 2 ∑ h0 (k)ϕ(2t − k)
2.2.8
k =−∞
∞
ψ (t) = 2 ∑ h1(k)ϕ(2t − k)
2.2.9
k =−∞
其中 h0 (k) ， h1(k) 是加权系数。二尺度差分方程揭示了相邻尺度下小波函数和尺度函
2.2.3 多分辨率分析及 Mallat 算法
小波变换中，当尺度 a 较大时视野宽而分析频率低，可以作概貌的观察；当尺度较小时 视野窄而分析频率高，可以作细节的观察；但不同 a 值下分析的品质因数（中心频率域带宽 之比）却保持不变。这种又粗到细地对事物进行的逐级分析称为多分辨率分析，亦称多尺度 分析，是小波分析的核心内容之一，其分析过程符合人类视觉特点和思维方式。它的基本思 想是将原始信号按不同分辨率分解为多个信号，然后选择合适的分辨率或者同时在各级分辨 率上对该信号进行分析处理。
W2i [ f (x)] = f (x) ⊗ψ 2i (t)
2.2.2
反变换为
+∞
∑ f (x) = W2i [ f (x)] ⊗ r2i (x) i = −∞
其中 r(x)为重构小波函数，其傅立叶变换为：
2.2.3
+∞
∑ψ (2i w)R(2i w) = 1
i = −∞
2.2.4
小波变换可利用半带低通和半带高通滤波器来实现。一般来说的小波变换仅对低通滤波
传统的分割算法有阀值分割算法，边缘检测算法，腐蚀运算，边界跟踪与拟合，直方图 等算法，这里就不详细说明。本文重点介绍下面的基于小波的分割技术。
-1-
2.2 基于小波的分割技术

2.2.1 小波变换简介
小波变换是近年得到广泛应用的数学工具。与傅立叶（Fourier）变换、窗口傅立叶变换 （Gabor 变换）相比，小波变换是空间（时间）和频率的局域变换，因而能有效地从信号中 提取信息。它通过伸缩和平移等运算对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换
n=−∞
n=−∞
2.2.12
若j 递减，则整个重构过程正好是逆过程。
定理1、定理2给出的迭代算法即是一维情形下的Mallat小波快速分解重构算法。
因为图像信号为二维信号，所以把小波变换推广到二维：令 f (x1, x2 ) 表示一个二维信号， x1
和x2分别是横坐标与纵坐标。设ψ (x1, x2 ) 为二维基本小波，ψ a,r1,r2 (x1, x2 ) 表示ψ (x1, x2 ) 的

肺部 CT 分割算法实现
蒋黎丽，吕英华
北京邮电大学通信网络综合技术研究所，北京（100876）
E-mail： blueriffle@
摘 要：医学图像分割技术发展至今，其相关算法的可谓种类繁多，层出不穷，但依然无法 完全满足人们的实际需求。针对医学图像的特点，研究更有效的医学图像分割方法有着重要 意义。本文重点介绍了医学图像分割算法中的基于小波的分割算法，并对肺 CT 图像进行切 割，得到较好的实验结果。 关键词：肺，CT 图像，分割 中图分类号：TP
图 2.12 小波多尺度分解
定义1 空间 L2 (R) 中的多分辨分析是指 L2 (R) 中满足如下条件的一个空间序列
{Vj }j∈z :
1） 单调性：Vj ∈Vj+1 ,对于任意 j ∈ Z ；
∞
U I 2） 逼近性： Vj = {0}， close{ Vj} = L2 (R) ；
j∈Z
−∞
3） 伸缩性： f (t) ∈Vj ⇔ f (2t) ∈Vj+1 ；
3．小波变换具有“变焦”（zooming）特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率 （宽分析窗口），在高频段可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）；
4．小波变换实现上有快速算法（Mallat 小波分解算法）[4]。
+∞
∫ ψ (x)dx = 0
设函数ψ (x) ，满足 −∞
，用尺度因子 S 对ψ (x) 进行放缩得到一组函数
=1 a
f
(x1,
x2
)ψ
(
x1
−τ1 a
,
x2
−τ2 a
)dx1dx2
2.2.14
为把一维多分辨率分析推广到二维多分辨率分析。设： f (x1, x2 ) 是 L2 (R) 二维实空间
内的二维函数，尺度a按2的幂级数做函数空间的二剖分，其基本尺度函数是
φ(x1, x2 ) = φ(x1)φ (x2 ) 。有三个基本小波：
多分辨率分析是由 Mallat 提出的，可用于正交小波的分解和重建，也称金字塔算法， 或 Mallat 算法[6]。
关于多分辨率的理解，下面以一个三层的分解予以说明，其小波分解树如图 2.12 可以 看出，多分辨率分析只是对信号的低频部分进行进一步的分解，而对高频部分则不予考虑。 分解具有关系 S=A3+D3+D2+D1。依此类推可进行更多层次的分解。
因此，围绕着图像分割的研究，至今为止，产生了许多分割技术。这里，根据处理图像 性质的不同将分割算法划分为两类：一类就是对一般的数字图像进行处理的算法，称为传统 的分割技术；一类就是对特殊的数字图像（例如医学图像等）进行处理的算法。
2.1 传统的分割技术
这里所说的传统的分割方法是指那些已经被人们广泛运用于图像分割的方法，这些方法 的特点就是经过时间的验证，对一些常用而比较普遍的图像分割处理问题能比较理想的解 决。但是现在社会的高速发展必定会提出更高层次的分割问题，所以我们必须要发掘新的理 论领域来结合图像的特征要求，从而发现新的方法。
在上述多分辨率分析的基础上，下述两个定理给出了如何通过滤波器组实现信号的小波
变换及反变换。
定理1：令 a j (k) ， d j (k) 是多分辨率分析中的离散逼近系数， h0 (k) 、 h1(k) 是满足二尺度
差分方程的两个滤波器，则 a j (k) 、 d j (k) 存在如下递推关系：
∞
∑ a j+1(k) = a j (n)h0 (n − 2k) n=−∞ ∞
图 2.11 2-D 图像的二级小波包分解示意图
2.2.2 二进小波变换
在实际应用中，特别是计算机信号与图像处理方法的实施中，为了确定有效算法，只考
虑离散抽样。对于连续小波来说，若取尺度 a = 2j, j∈ z ，并仅考虑时间轴上的进值
b = 2 j K ，而不是所有的 b ∈ Z ，就可以实现均匀离散抽样，由此形成的小波是二进小波[5]。
的尺度伸缩和位移：
-5-

ψ a,r1 ,r2
(x1, x2 ) =
1ψ ( x1 −τ1 , x2 −τ 2 )
aa
a
则二维连续小波变换的定义为：
2.2.13
∫∫ WTf (a,τ1,τ2) = f (x1, x2) ψ, a,r1,r2 (x1, x2)
-4-

4） 平移不变性： ∀k ∈ Z ，有ϕ j (2− j / 2 t) ∈Vj ⇒ ϕ j (2− j / 2 t − k ) ∈Vj ；
5）Riesz基存在性：存在ϕ j (t) ∈V0 ，使得{ϕ j (2− j / 2 t − k) k ∈ Z}构成Vj 的Riesz基。
当信号频带为有限时，移位因子同样可被二进离散化。假定小波函数ψ (x) 的尺度和移
位因子经离散化后可写成
ψ m,n (x)
=
1 2m/ 2
ψ
x ( 2m
−
n), m, n ∈ Z
2.2.5
函数 f (x) ∈ L2 (R) 对应的二进小波变换便可被写成
∫ W2m
f (n) ≤
f (x),ψ m,n (x) ≥
不能解决的许多困难问题，因而被誉为“数学显微镜” [3]。作为多尺度多通道分析工具，小波 变换为信号在不同尺度上的分析和表征提供了一个精确和统一的框架。从图像分割的角度
看，小波变换的以下几个优点值得注意：
1．小波分解可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述）； 2．小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大地减少或去除所提取的不同特征之间的 相关性；
对于条件5，可以证明，存在ϕ j (t) ∈V0 ，使它的整数平移系{ϕ j (2− j / 2 t − k) k ∈ Z}构成
Vj 的规范正交基，称ϕ(t) 为尺度函数。若定义函数ϕ j,k (t) 为：
ϕ j,k (t) = 2− j / 2ϕ (2− j − k ) j, k ∈ Z
2.2.7
1 2m / 2
∞ −∞
f
( x)ψ
*
(
x 2m
−
n)dx
2.2.6
称此为离散二进小波变换。
离散小波变换具有以下的特性：
1．ψ j,k (x) 是小波函数ψ (x) 在尺度上的伸缩和时频上的平移得到的。随的变化，
ψ j,k (x) 在频域上处于不同的频段上，随 k 的变化，ψ j,k (x) 在时域上处于不同的时段。
数之间的联系，是多分辨率分析中小波函数和尺度函数的一个重要性质。用小波对信号进行
分析时，需要先求小波基函数，求小波基主要集中在求尺度函数上。具体做法是首先找到一