积分变换模拟试题(A).
积分变换 考试试题
2、已知单位阶跃函数 的傅氏变换为 ，则 的傅氏变换为。
3、若 ，则 的傅氏变换为 =；其拉氏变换为 =。
4、若 ，则 ； ，并利用此性质求 。
5、 ________________。
6、 =_____________________ 。
二、计算题（共70分）
1、已知 ，（10分）
（1）求 的傅氏变换及其积分表示；
天津大学试卷专用纸
学院专业班年级学号姓名共3页第1页
2007～2008学年第二学期期末考试试卷
《积分变换》（共3页）
（考试时间：2008年4月22日）
题号
一
二
最后成绩
核分人签字
得分
一、填空题（共30分，每空格3分）
1、如果函数 在 上有定义，并且满足傅氏积分定理的条件，则 的傅氏积分公式为 =； 的傅氏变换为 =
（2）用上面的结果证明 。
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学院专业班年级学号姓名共3页第2页
2、求积分 。（10分）
3、设 是以 为周期的函数，且在一个周期内的表达式为 ，
求 。（10分）
4、求下列函数的拉氏逆变换：（15分）
（1） ；（2） ；（3） 。
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学院专业班年级学号姓名共3页第3页
5、求解下列微分积分方程的解：（15分）
（1） ；
（2） 。
6、叙述并证明拉氏卷积定理，并应用其求 。（10分）
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积分变换(下)带标准答案
k 0 k 0
e sk F ( s) F ( s)
k 0
t
1 1 e s
F (s) . s
19． 设 L [ f (t )] F ( s), 利用卷积定理，证明 L [ f (t )dt ]
0
证：因为 f (t )dt f (t ) u(t ). 所以
0
t
L [ f (t )dt ] L [ f (t ) u (t )]
0
t
L [ f (t )] L [u (t )] 1 F ( s) F ( s) . s s
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 4 页）
三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
11．设 f (t ) e t ( 0) ，求其傅立叶积分公式。 解：
f (t ) 1 f ( )e j d e jt d 2 1 2 e cos d cos td 2 0 2 cos td 0 2 2
(D). 有限多个第二类间断点 .
(t ) 为单位脉冲函数， 3． 设 f (t ) 是一个无穷次可微函数， 那么 (t t0 ) f (t )dt ( C
(A) 不确定； (B). f (t ) ; (C)
)
f (t0 ) ;
(D)
f (0) (t ) .
4．设 F1 () F [ f1(t)], F2( ) F [ f 2( t)] ，则 F ( f1 (t ) f 2 (t )) ( A ) F1 () F2 () ； ( B ) F1 () F2 () ； (C )
2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷（A 卷）
标准答案及评分标准
一、判断题（2 分×4=8 分）
1.×
2.×
3.×
二、选择题（2 分×5=10 分）
1.B
2.D
3.C
三、填空题（2 分×5=10 分）
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点（或简单极点）
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分，可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导，对比(2)可得， x =0, x C
从而 v= 6xy C ， f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ，故 C=-2，
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题（8 分×4=32 分）
1.（8 分）解：方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得：
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根，对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12
积分变换试卷A
华南理工大学 广州汽车学院 2007——2008学年度第一学期期末考试 《积分变换》 试卷A 考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚； 2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟； 3．所有答案应直接写在试卷上。
一．利用定义求下列函数的Fourier 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．4,02,()0,t f t ≤≤⎧=⎨⎩其它； 2．sin ,,()0,.t t f t t ππ⎧<⎪=⎨>⎪⎩二．利用性质求下列函数的Fourier 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．()();n f t u t t = 2．()()sin 2;t f t u t e t -=3．2()sin ;f t t t = 4．()()sin().4t f t t e t πδ=+三．证明（本大题共1小题，每小题7分， 共7分） 设()[()]F F f t ω=，证明：0001[()cos ](()()).2F f t t F F ωωωωω=-++四．求下列函数的卷积（本大题共1小题，每小题8分，共8分）sin ,02,()(),()0,.t t t f t e u t g t π-≤≤⎧==⎨⎩其它五．利用Fourier 变换解下列积分方程（本大题共1小题，每小题7分， 共7分） 0sin ()cos .t g td t ωωω+∞=⎰ 六．利用定义求下列函数的Laplace 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．1,03,()0,3t t f t t +≤≤⎧=⎨>⎩； 2．sin ,0,(),.t t f t t t ππ≤≤⎧=⎨>⎩七．利用性质求下列函数的Laplace 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．4()3()2;t f t u t e =- 2．2()();t f t e t δ-=+3．()1;at f t e -=- 4．2()sin 2.f t t t =八．求下列像函数的Laplace 逆变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．41();F s ω= 2．1().(2)F s s ω=+九．求解下列微分方程（本大题共1小题，每小题8分， 共8分）'sin ,(0) 1.x x t x +==-。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。
复变函数积分变换试卷
河南理工大学 2010-2011学年第 一 学期《复变函数与积分变换》试卷（A 卷）为 。
2. 设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为解析函数，则实数.l = m = n = 。
3.21sin z z zdz ==⎰ 521(2)zz e dz z -==-⎰4. 函数2w z =把z 平面上的曲线21xy =映射成w 平面上曲线方程为5. 0z =是函数1()sin f z z z=的 级极点。
6. 函数sin ()zf z z=的孤立奇点是0z = 类型 其留数为 。
7. 积分30sin 2t te dt +∞-=⎰ 。
8. 已知21[()](),[()]j t F u t F u t e j πδωω=+=则 9. 45L t t ⎡⎤*=⎣⎦根据卷积定理10. 11z e -函数在复数域内的所有奇点为（1）33()23f z x y i =+函数在何处可导？何处解析？并求在可导点处的导数值。
()(2)1ii +求的值。
（3）计算积分2(),Cx iy dz +⎰其中C 为从原点到1i +的直线段。
（4）设2cos4(),(12),(1),'(1).f z d f i f f zζπζζζ==--⎰求（1）已知2(1)u x y =-为调和函数，求解析函数()f z u iv =+，并使得(2).f i =-（2）将函数1()23f z z =-在点01z =展开为泰勒级数，并指出展开式成立的范围。
…………………………密………………………………封………………………………线…………………………（3）设21()sin ,f z z z =写出()f z 在0z =的去心邻域内的洛朗级数展开式；根据洛朗级数的特点求Re [(),0];s f z 然后利用留数定理计算积分211sin .z z dz z=⎰（4）计算积分2222.(1)z z dz z z =+-⎰（1）设11()0t f t ⎧<=⎨⎩，其它求()f t 的Fourier 变换及()f t 的Fourier 积分。
积分变换第一章练习题及答案
积分变换第一章练习题（100分）一、填空题（每空4分，共60分）1.()sin t tdt δ+∞-∞⎰= .2.设[()]()F f t F w =，则()F w 与()f t 有 （相同，不同） 的奇偶性.3.[sin2]F t = .4.[(3)]F u t = .5.函数0()sin3()f t t t t =δ-的傅立叶变换6．傅立叶积分公式的三角形式为： 00()()cos ()sin f t a td b td +∞+∞=ωωω+ωωω⎰⎰这里=)(ωa ；=)(ωb7.函数0()()j t f t e t u t ω=⋅⋅的傅立叶变换 。
8.已知函数()f t 的傅立叶变换为()F ω，则函数()f at b + 的傅立叶变换为 。
9.0[()]t t δ-=F[1]=F0[]jw t e =F0[()sin ]u t w t =F[(23)()]t f t -=F10.设50,0(),0t t f t e t -<⎧=⎨≥⎩，则[()]f t =F二、综合题（每题10分，共40分）1.若10,0()1,010,1t f t t t t <⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，20,0()1,020,2t f t t t <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩， 求：12()*()f t f t （10分） 2.求函数()sin cos f t t t =的傅立叶变换)(ωF 。
（10分）3.证明在傅氏变换下123123f f f f f f **=**⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦成立。
（10分） 4.求余弦函数0()cos f t t =ω的傅氏变换。
（10分）答案：一、填空题1.02.相同3.[(2)(2)]j w w πδ+-δ- 4.1()3w jw +πδ 5.00sin 3jwt t e -⋅ 6.11()()cos ,()()sin a w f w d b w f w d +∞+∞-∞-∞=τττ=τττππ⎰⎰ 7.0201()()j w w w w '-+πδ-- 8.1()b jw a w e F a a9.0000001)2)2()3)2(),1114)[()()]2()()5)2()3()jwt e w w w w w w w j w w j w w jF w F w -πδπδ-+πδ---πδ+-+'- 10.2525jw w-+ 1、解：1212()*()()()f t f t f f t d +∞-∞=τ-ττ⎰10,0()1,010,1f τ<⎧⎪τ=-τ≤τ≤⎨⎪τ>⎩， 220,0()1,020,20,()1,20,2t f t t t t f t t tt -τ<⎧⎪-τ=≤-τ≤⎨⎪-τ>⎩τ>⎧⎪⇔-τ=-≤τ≤⎨⎪τ<-⎩非零积分域为：012t t≤τ≤⎧⎨-≤τ≤⎩1)0t ≤无公共非零积分域⇔12(),()f f t τ-τ至少有一个为零 即：当0t ≤时，12()()0f t f t *= （2分） 202)0101t t t -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩公共非零积分域为0t ≤τ≤ 即：当01t <≤时2120()()(1)2t t f t f t dt t *=-τ=-⎰ （2分） 203)121t t t -≤⎧⇒<≤⎨>⎩公共非零积分域为01≤τ≤ 即：当12t <≤时，11201()()(1)2f t f t dt *=-τ=⎰ （2分） 0214)01t t <-<⎧⇒Φ⎨<<⎩不存在该情况 0215)231t t t <-≤⎧⇔<≤⎨>⎩公共非零积分域为21t -≤τ≤ 即：当23t <≤时，211229()()(1)322t t f t f t dt t -*=-τ=-+⎰ （2分） 6)213t t ->⇔> 无公共非零积分域⇔12(),()f f t τ-τ至少有一个为零 即：当3t >时，12()()0f t f t *= （2分）。
复变函数与积分变换试题(A卷)(3)
2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2008年11月24日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共20分)1．复数ii2332++-的主辐角为 ．2．函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？ ， 何处解析？ ．3．)43(Ln i +-的值为 ． 4．级数∑∞+=1n nni 是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ． 5．函数1e)(-=z z z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径为 ．6．区域}0Im :{<<-=z z D π在映射z w e =下的像为． 7．映射2332)(z z z f +=在i z =处的旋转角为 ． 8．函数t t t t f cos )2()1()(2--=δ的Fourier 变换为 ．解答内容不得超过装订线二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=++3||342215d )1()1(z z z z z2．⎰=3||d 1cosz z zz3．)1(20>+⎰a a πcos d θθ4．x x xd cos 0⎰∞++52三、(14分)已知y x y a x y x u ++=22),(，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为 解析函数且满足条件i i f +-=1)(．解答内容不得超过装订线四、(14分)将函数211)(z z f +=分别在0=z 点和i z -=点展开为洛朗(Laurent )级数．五、(6分)求区域}0Im ,0Re :{>>=z z z D 在映射iz i z w -+=22下的像．六、(10分)求把区域}23arg 0,1||:{π<<<=z z z D 映射到上半平面的共形映射．解答内容不得超过装订线七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程：0)(4)(2)(=-'-''t x t x t x ，1)0(,0)0(='=x x ．八、( 6 分) 已知幂级数∑+∞=0n nn z a 的系数满足：110==a a ，)2(,21≥+=--n a a a n n n ，该级数在251||+-<z 内收敛到函数)(z f ，证明： )(d )1()()(1216.0||2z f z f i=--+⎰=ξξξξξπξ，)6.0||(<z ．。
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积分变换模拟试题（A ）
一、填空题（每小题2分，共30分）
1、()F t δ'⎡⎤⎣⎦=___________；
2、[()1]F e t += ；
3、=-⎰∞
+∞
-dt t t cos )6(πδ ； 4、=+-]11[1ω
i F ； 5、=)]([t u F ；=-]2[1F ；
6、=][πF ；[]__________L π=；
7、设)()]([w F t f F =，则=-)]([t f F ；
8、=)]([t L δ ；=)]([t u L ；
9、=]3[t sh L ；
10、52[6]t L e t +-=______________
； 11、3[sin cos ]t L t t e --= ；
12、()[21]________________L u t -=。
二、计算（每小题5分，共40分）
1、)]1()2([++-t u t u F
2、3[()]it F e u t
3、[sin ]F t t
4、20[sin 2]t
t L e tdt -⎰
5、sin 2t L t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6、1
2314s L s --⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ 7、])4(1[51
++--s e L s
8、dt t e t t ⎰∞
+-032sin
三、求微分方程3510,(0)0t y y e y -'+==的解。
（10分）
四、设202()32555t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
，试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示()f t ， 并求[()]L f t 。
（10分）
五、设21200(),()0000t t t t f t f t t t ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩
⎩，求12()()f t f t *。
（10分）
积分变换模拟试题（B ）
一、填空题（每小题2分，共30分）
1、[]__________F t =；
2、()___________F t δ'=⎡⎤⎣⎦；
3、()sin _________2t t dt πδ+∞
-∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭
⎰； 4、30sin t e t dt +∞
-=⎰ ；
5、[()1]__________F e t -=；11()F
w iw πδ-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦
； 6、[cos 2]F t = ； 7、设1()f t 、()2f t 的傅里叶变换存在，且1122[()](),[()]()F f t F w F f t F w ==，则 12[()()]F f t f t *= ；
8、1[]t L e
-= ；3[]L t = ；
9、[sin ()]4L t π
-= ；
10、121s L s -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
； 11、1[2]L -= ； 121[]21
L s s -=-+ ； 12、设[()]()L f t F s =，则[()]L f t '= 。
二、计算（每小题5分，共40分）
1、[3(2)5(1)]F t t δδ--+
2、2[()]it F e
e t - 3、1[(1)(1)]F δωδω--+-
4、设1[()]F f t iw =
，求[(3)]F f t '+ 5、0
[cos ]t t L e tdt π-⎰ 6、2(1)L t
u t ⎡⎤-⎣⎦ 7、13(1)s e L s --⎡⎤⎢⎥+⎣⎦
8、124413s L s s -+⎡⎤⎢⎥++⎣⎦
三、设
12100(),()0000t t e t f t f t t t -≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，求12()()f t f t *。
（10分） 四、设303()23414t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩
，试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示()f t ， 并求[()]L f t 。
（10分）
五、求微分方程的解（10分）
()()000,cos 222='==+'-''y y t e y y y t。