奥数-整式加减-第二讲教师版

【知识提要】⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩代数式单项式定义、次数、系数单项式整式同类项整式加减多项式定义多项式项、常数项、次数整式运算--取(添)括号、合并同类项【例题精讲】一、整式Ⅰ：代数式代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.【例 1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？(1)21x + (2)23ab (3)0 (4)10n a ⨯ (5)a b b a +=+ (6)32> (7)2S R π= (8)347+= (9)π【解析】 (1)、(2)、(3)、(4)、(9)是代数式，其它的不是代数式.首先根据代数式定义可知，代数式是用基本的运算符号连接而成的式子，单独的数字或字母也是代数式；其次代数式当中不含有等号或不等号.Ⅱ：单项式单项式： 像2a -，2r π，213x y -，abc -，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式212ab c -，它的指数为1214++=，是四次单项式.单独的一个数（零除外），它们的次数规定为零，叫做零次单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把47叫做单项式247x y 的系数.同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.【例 2】 写出下列单项式的系数和次数：第二讲有 整 式【解析】 答案如下表【例 3】 单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项，求a b -的值.【解析】 根据题意可知2a b +=，11a -=，所以2a =，0b =，2a b -= 【例 4】 若3m m ma b -与n nab 是同类项，求2003()n m -的值.【解析】 根据题意可知1m =，3m n -=，2n =，所以20032003()(21)1n m -=-=【例 5】 若0.11a b a b x y +--与1359a x y -是同类项，求a ，b 的值.【解析】 根据题意有：1a b a +=-，3a b -=，可得2a =，1b =- Ⅲ：多项式多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27319x x -+是多项式.多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式.【例 6】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式.(1)424215x x +-； (2)2a ab b +； (3)33332a ab b a b ++-； (4)x y x +.【解析】 (1)424215x x +-，是多项式，是四次三项式；(3)33332a ab b a b ++-是多项式，是四次四项式. (2)、(4)有字母在分母上，故不是多项式.【例 7】 将多项式223421x y xy x y -+-按x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项. 【解析】 223421x y xy x y -+-按x 的降幂排列为：322241x y x y xy +--，是四次四项式，系数最小项为24xy -.【例 8】 334220.010.13xy x y x y x y ---+是____次_____项式，把它按字母x 的降幂排列成__________________,排列后的第二项系数是____,系数最小的项是_________.【解析】 六，四；342320.10.013xy x y x y x y --+-；0.01-；33xy -【例 9】 把多项式321325x x x --+按x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项. 【解析】 原式322531x x x =-+-+，是三次四项式；系数最小的项为：3x - 【例 10】 把下列多项式按x 降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项：(1)322132187y xy x y x y ---； (2)2233521xy x y x y y ---+-【解析】 (1)原式322187213x y x y xy y =---+，是四次四项式；系数最小的项为：318x y -；(2)原式3225321x y x y xy y =---+-，是四次五项式；系数最小的项为：25x y -.单项式 325x y - 23a b - 0.9mn - 22r π 2x yz - 3x系数次数单项式 325x y - 23a b - 0.9mn - 22r π 2x yz -3x系数 15- 3-0.9- 2π 1- 1次数 5 3 2 2 43二、整式运算合并同类项： 把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变.【例 1】 下面各式正确的是（ ）A . 321a a -=B . 6612x x x +=C . 222523x x x -=D . 235325x x x +=【解析】 只有同类项才可以合并，选择C 【例 2】 化简：(1)22228123x y xy x y xy --+(2)3()2()()x y x y y x ----- 【解析】 (1)原式222222812342x y x y xy xy x y xy =--+=-+(2)原式3()2()()2()x y x y x y x y =---+-=-【例 3】 化简下列各式：(1)2222x x x x ----(2)3223225115225363363a b a b ab a b ab ba --+-+++(3)1110.50.20.3n n n n n x x x x x +++--+-【解析】 (1)原式22(1111)4x x =----=-(2)原式322322512513511(5)()(23)63363632a b a b ab a b a b ab =++-++-++-=+++(3)原式11(10.2)(0.510.3)0.80.2n n n n x x x x ++=-+-+-=+ 【例 4】 (1)2235()()2()3()()x y y x y x x y x y +-+-+++-+(2)222()()6()11()a b b a b a a b ---+---【解析】 (1)原式223325()()2()3()()()3()2()x y x y x y x y x y x y x y x y =+-+-+++-+=-+++++ (2)原式2222()()6()11()8()10()a b a b a b a b a b a b =-+-+---=---注意运用整体思想，并注意其中的等价转化，互为相反数的两个数的偶数次幂相等【例 5】 化简：222()3()2()a b a b b a -----【解析】 原式2222()3()2()4()a b a b a b a b =-----=--注意其中的等价转化，互为相反数的两个数的偶数次幂相等【例 6】 化简：2222222243{3[24(2)]}xy x y x y xy xy x y x y xy --+--+- 【解析】 (法1)：（由内向外逐层去括号）原式2222222243[3(242)]xy x y x y xy xy x y x y xy =--+--+-2222222222243(33)43639xy x y x y xy x y xy x y x y xy xy x y =--++=--+=- (法2)：（由外向内进行）原式22222222433[24(2)]xy x y x y xy xy x y x y xy =---+-+-2222222222223624(2)510239xy x y xy x y x y xy xy x y x y xy xy x y =-+-+-=-+-=- 【例 7】 若323951A a b b =--，233782B a b b =-++.求：(1)2A B +；(2)3B A - 【解析】 (1)32323322(951)(782)A B a b b a b b +=--+-++322331872a b a b b =--(2)23332333(782)(951)B A a b b a b b -=-++---23323219297a b a b b =--++【例 8】 一个多项式加上234253x x x ---得43353x x --，求这个多项式． 【解析】 设这个多项式为A ，则有：23443(253)353A x x x x x +---=--，所以有：43234432353(253)6422A x x x x x x x x =------=--+三、代数式求值【例1】 ⑴若283()034a b -++=，求代数式[]232()ab a ab a -+-的值； ⑵化简求值：1323(1)2(21)4x x x x ⎡⎤--+--+-⎢⎥⎣⎦，其中12x =-；⑶求代数式22532(23)7x x x x ⎡⎤---+⎣⎦的值，其中12x =-； ⑷化简求值：222972(3)a a a a a ⎡⎤+---⎣⎦，其中23a =-. 【解析】 ⑴由283()034ab -++=可知，803a -=且304b +=，从而可知，83a =，34b =-[]232()236()236634ab a ab a ab a ab a ab a ab a a ab -+-=---=--+=-88334()16334=⨯-⨯⨯-=⑵111323(1)2(21)323(1)2(21)53342444x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+--+-=----++-=--+++-⎢⎥⎣⎦1924x =-，又12x =-，故原式19119192322()142444x =-=⨯--=--=-⑶2222222532(23)7532(23)75346726x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+=-+--=-+--=-+-⎣⎦ 又12x =-，故原式221111262()6672222x x =-+-=-⨯---=---=-⑷222222222972(3)972(3)162315a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---=+---=--+=+⎣⎦ 又23a =-，故原式22222021515()63333a a =+=⨯--=-=【点评】 以上主要介绍代数式的化简求值.【例2】 ⑴已知代数式235x x ++的值是7时，代数式2392x x +-的值是多少？⑵若2310x x --=，求代数式3223118x x x --+的值；⑶若230x x ++=，求代数式543232210x x x x x +++-的值；⑷已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【解析】 ⑴当2357x x ++=时，232x x +=，所以223923(3)24x x x x +-=+-=.⑵3222231182(31)3(31)1111x x x x x x x x --+=--+--+=；⑶54323222323232210(3)2(3)34103410x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=+++++---=--- 22223(3)33(3)33x x x x x x x x x =-++--=---+=-+++=另外，也可通过230x x ++=得出，23x x +=-，故543232424332210()22()102316x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=++++-=--22222222()5()5166155163x x x x x x x x x x x x x x =+-++-=-++-=--=⑷22515236242333c a b a b c ---=⨯--=-=- 【点评】 本例主要介绍整体代入求代数式的值.【例3】 如果a 、b 、c 、d 满足1a bc +=-，25b a -=，22a b d +=， 35a bc +=，求abcd 的值. 【解析】 由1a bc +=-，35a bc +=可知，263a a =⇒=，又25b a -=，故23584b b =+=⇒= 又22a b d +=，35a bc +=，故1c =-，5d =，从而34(1)560abcd =⨯⨯-⨯=-.【例4】 如果1111n na a +=+(1n =，2，…，1996)，则11a =时，122320072008...a a a a a a +++的值是多少？【解析】 运用裂项相消的思想即可，由1111n na a +=+及11a =可知，212a =，313a =，…，200812008a =原式=111111111120071(1)()()22320072008223200720082008⨯+⨯+⋯+⨯=-+-+⋯-=. 【例5】 ⑴已知代数式235x x ++的值是7时，代数式2392x x +-的值是多少？⑵若2310x x --=，求代数式3223118x x x --+的值．⑶已知237,4323a b c a b c -+=+-=，求代数式51213a b c +-的值．【解析】 ⑴当2357x x ++=时，232x x +=，所以223923(3)24x x x x +-=+-=．⑵3222231182(31)3(31)1111x x x x x x x x --+=--+--+=．⑶51213(432)2(23)362115a b c a b c a b c +-=+-⨯--+⨯=-=-．【例6】 如果210x x +-=，求代数式3227x x +-的值．【解析】322227(1)(1)66x x x x x x x +-=+-++--=-． 【例7】 如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= ，22252a ab b ++= ．【解析】 利用整体思想，我们不需要求出a ，b 的值，而只需用已知的代数式将结论表示出来()()22224222a b a ab ab b -=+-+()5229=-⨯-=；22252a ab b ++()()22222a ab ab b =+++()252=⨯+-8=．对于简单的此种类型题目，我们可以靠观察发现变形得出结果，以后的学习中我们将会接触到如何从理论上求得变形过程．【变式1】 已知3a ba b-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值． 【解析】 2()4()1410233()333a b a b a b a b +--=⨯-⨯=--+．【例8】 设1114x y -=，求2322y xy x y x xy +---的值.【解析】 (法1)将原式分子、分母同时除以xy 可得：1112323232421112224y xy x x y y x xy x y ⨯-+⨯++-===------（）（）(法2)由1114x y -=，知4()xy y x =-，则23232()12()2()22()2()8()y xy x xy y x y x y x y x xy y x xy y x y x +-+--+-===--------．这两种方法都很重要，下面两个巩固再次展现两个方法的妙处．【变式1】 已知3a b =，23a c =，求代数式ab ca b c +++-的值．【解析】 (法1)注意将未知数划归统一，2,33a abc ==，123331233a a aa b c a b c a a a ++++==+-+- (法2)3a b =，223233a c b b ==⨯=，32332a b c b b ba b c b b b++++==+-+-．【例9】 (第15届江苏省竞赛题)已知0a b +=，a b ≠，求b a (1)a ++ab(1)b +的值．【解析】 由0,a b a b +=≠可得,a b 互为相反数，(1)(1)(1)(1)()22b aa b a b a b a b+++=-+-+=-+-=-．【变式2】 如果235x y y x +=-，求2222410623x xy y x y +++的值． 【解析】 2222410623x xy y x y +++461023x yy xx y y x++=+2321023x y y x x y y x⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+()251005⋅-+==-．【变式3】 设210020001200(337)2x x a a x a x +-=+++，求b0021982002()S a a a a =++++的值.【解析】 在方程中设1x =，得：0120012a a a =+++ ①令1x =-，得：10001219920072a a a a a =-+--+② ①＋②得：1000220017422a a a +=+++③又令0x =，得100072a = ④③－④得：0022002()1S a a a =+++=．【变式】 (无锡市竞赛题)已知()5234501234521x a a x a x a x a x a x -=+++++, ⑴求012345a a a a a a -+-+-的值． ⑵求12345a a a a a ++++的值． ⑶求024a a a ++的值．【解析】 ⑴ 将1x =-代入式子可以得到：50123453243a a a a a a -+-+-=-=-，⑵ 将0x =代入式子可以得到01a =-，将1x =代入式子可以得到：0123451a a a a a a =+++++， 所以123452a a a a a ++++=．⑶ 50123453243a a a a a a -+-+-=-=-，0123451a a a a a a +++++=，两式相加得024121a a a ++=-．。