新教材高中数学必修第一册三角函数的概念课件
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高中新教材数学人课件必修时三角函数
工程问题中建模方法
桥梁与建筑
在桥梁和建筑的设计中，需要考虑结构的稳定性和周期性荷载的作用。三角函数 可以描述周期性荷载的变化规律，为工程设计提供依据。
信号处理
在通信、音频处理等领域，信号往往具有周期性特征。通过傅里叶变换等方法， 可以将信号分解为一系列三角函数的叠加，进而进行信号分析和处理。
经济问题中建模方法
三角函数的基本概念
正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质 、图像和变换。
三角函数的图像和性质
掌握三角函数图像的绘制方法，理解三角函 数的周期性、振幅、相位等性质。
三角函数的诱导公式
利用周期性、奇偶性、和差化积等公式进行 三角函数值的计算。
解三角形
掌握正弦定理、余弦定理及其应用，能够解 决与三角形相关的问题。
易错难点剖析指导
三角函数值的计算
注意角度的转换，特别是非特殊角的三角函数值计算，需要利用 诱导公式或者查表求解。
三角函数的图像变换
理解图像的平移、伸缩、对称等变换对三角函数性质的影响，注 意变换顺序和变换量的确定。
解三角形的误区
在解三角形时，要注意判断三角形的形状和已知条件的合理性， 避免盲目代入公式导致错误。
。
三角函数的周期性
02
正弦、余弦函数具有周期性，周期为2π，掌握周期性质的应用
。
相位变换和振幅变换
03
理解相位变换和振幅变换对三角函数图像的影响。
三角函数值域和单调性
三角函数的值域
正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为全体实数。
三角函数的单调性
掌握正弦、余弦函数在特定区间内的单调性，以及正切函数在定义 域内的单调性。
复合三角函数的单调性
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
5.2.1三角函数的概念-高一数学新教材配套课件
13
13
∴点 P－1123，153.
2.已知角 α 的终边经过点(－4,3)，则 cos α 等于
A.45
B.35
√ C.－35
D.－45
解析 设点 P(－4,3)，则|OP|＝ (－4)2＋32＝5，
∴cos α＝|－OP4|＝－45.
3.(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在
√A.第一象限
A.第一象限角
√C.第三象限角
B.第二象限角 D.第四象限角
解析 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角.
由cos tan
αα<0
可知
cos
α，tan
α异号，
从而α是第三或第四象限角.
综上可知，α是第三象限角.
(2)(多选)下列选项中，符号为负的是
√A.sin(－100°)
跟踪训练1 角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，cos θ的值.
解 方法一 设角θ的终边与单位圆交于点P(x，y)，
联立yx＝2＋2yx2，＝1，
解得x＝ 55， y＝2 5 5
或x＝－ 55， y＝－2 5 5，
即点
P
坐标为
55，2
5
5或－
55，－2
5
5，
当点
P
坐标为
55，2
5
值越大.( × ) 3.终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) 4.终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( × )
经典例题
题型一 三角函数的定义及应用
例 1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为 P 35，y (y<0)，则 tan α＝－43 . 解析 因为点 P 35，y (y<0)在单位圆上， 则295＋y2＝1， 所以 y＝－45，所以 tan α＝－43.
高中新教材数学人课件必修第一册第章三角函数的应用
针对性练习题选讲
练习题1
已知sinβ = 4/5，β为第二象限角，求cosβ和tanβ的值。
练习题2
已知sin(α + β) = 1/2，sin(α - β) = 1/3，求tanα和tanβ 的值。
练习题3
一个交流发电机产生的电动势e = Eₘsinωt，其中Eₘ = 220V，ω = 100π rad/s。求t = 1/400 s时电动势的瞬时 值。
增长率、衰减率计算
计算瞬时增长率
利用三角函数导数表示瞬时变化 率，可以计算某一时刻的瞬时增
长率。
计算平均增长率
通过对三角函数在一个周期内的 积分，可以计算平均增长率。
衰减率计算
对于呈指数衰减的现象，可以利 用三角函数与指数函数的转换关
系，计算衰减率。
其他实际问题建模与求解
1 2 3
振动问题
三角函数可以用来描述振动现象，如弹簧振子、 单摆等，通过建立振动方程求解相关问题。
简谐振动
三角函数可以描述物体在平衡位置附近的往复运动，即简谐振动。通过正弦或余弦函数，可以表示振动物体的 位移、速度和加速度随时间的变化规律。
波动现象
三角函数也可以用来描述波动现象，如机械波、电磁波等。波动中的质点振动规律可以用三角函数表示，进而 分析波的传播速度、波长、频率等特性。
交流电产生及变化规律
交流电问题
交流电中的电压、电流等物理量可以用三角函数 表示，通过三角函数运算可以求解交流电相关问 题。
经济学问题
在经济学中，三角函数可以用来描述价格、需求 等经济变量的周期性波动，通过建立经济模型进 行预测和分析。
05
拓展：复数和极坐标简介
复数基本概念及运算规则
定义
高中数学必修一课件：三角函数的概念
(3)sin αcoห้องสมุดไป่ตู้ α(α是第二象限角)．
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
高一数学必修课件第一章三角函数
积化和差与和差化积公式
要点一
积化和差公式
$sin x cos y = frac{1}{2}[sin(x + y) + sin(x - y)]$，$cos x sin y = frac{1}{2}[sin(x + y) - sin(x - y)]$，$cos x cos y = frac{1}{2}[cos(x + y) + cos(x - y)]$，$sin x sin y = frac{1}{2}[cos(x + y) - cos(x - y)]$。
PART 02
三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
正弦函数图像
正弦函数y=sinx的图像是一个周期函数，图像呈现波浪形， 周期为2π。在区间[0, 2π]内，图像从原点开始，上升到最高 点(π/2, 1)，然后下降到最低点(π, -1)，再上升到原点。
正弦函数性质
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx。其值域为[-1, 1]，在 区间[0, π/2]内单调递增，在区间[π/2, π]内单调递减。
应用
余弦定理主要用于解决已知三角 形的三边求角或者已知三角形的 两边及夹角求第三边的问题。
判断三角形形状问题
通过已知条件判断三角形形状
利用正弦定理、余弦定理以及三角形的内角和性质，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形、直角 三角形等。
三角形形状的判断方法
除了利用正弦、余弦定理外，还可以通过比较三角形的三边长度关系或者利用三角形的面积公式等方法来判断三 角形的形状。
等问题。
PART 05
三角函数在生活、生产中 的应用
振动、波动问题中三角函数模型建立
简谐振动
新教材高中数学第五章三角函数的概念：同角三角函数的基本关系pptx课件新人教A版必修第一册
[典例 1] (1)若 sin α＝－45，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值； (2)若 tan α＝－185，求 sin α 的值． [解] (1)∵sin α＝－45，α 是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－45×－53＝43.
2．已知 α∈0，π2，sin α＝35，则 cos α＝
A．45
B．－45
C．－17
D．35
解析：因为 α∈0，π2，所以 cos α>0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
答案：A
() 1－352＝45.
3．化简 1－sin235π的结果是
A．cos35π
B．sin35π
C．－cos35π
＝ cos
cos 2x－sin 2x－sin 2xcos
2x2 2x＋sin
2x
＝cos cos
2x－sin 2x＋sin
22xx＝11－ ＋ttaann
2x＝右边， 2x
∴原等式成立．
[方法技巧] 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的． (3) 对 于 化 简 含 高 次 的 三 角 函 数 式 ， 往 往 借 助 于 因 式 分 解 ， 或 构 造 sin2α ＋ cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等． (2)原则：由繁到简、变异为同．
()
α
(2)对任意角 α，csions2α2＝tan α2都成立．
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1：5.2.1 三角函数的概念(一)
答案
(1)34或－34
(2) －1123
5 13
－152
[方法总结] 求任意角的三角函数值的两种方法 方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标，然后利用定义得出 该角的正弦、余弦、正切值． 方法二：第一步，取点：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)，(点 P 与原点不重合)； 第二步，计算 r：r＝|OP|＝ x2＋y2； 第三步，求值：由 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy(x≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念(一)
课程标准
核心素养
通过对三角函数概念的学
借助单位圆理解三角函数(正 习，提升“直观想象”、
弦、余弦、正切)的定义.
“逻辑推理”、“数学运
算”的核心素养.
Байду номын сангаас目索引
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
课前自主预习
知识点 三角函数的定义
3 3
课堂互动探究
探究一 已知角的终边上一点求三角函数值
例 1 (1)在平面直角坐标系中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为35，则 tan α＝________. (2)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sin α＝________，cos α＝ ________，tan α＝________.
[跟踪训练 1] 如果 α 的终边过点 P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么
sin α 的值等于( )
A．12
B．－12
C．－
3 2
D．－
3 3
高中数学新人教A版必修一三角函数的概念课件34张
【跟踪训练 3】 若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sin α<0,又 P(m,n)是角α终边
上一点,且|OP|= 10 ,则 m-n=
.
解析:由题,所以n=3m, 又m2+n2=10, 所以m2=1. 又sin α＜0,所以m=-1,所以n=-3. 故m-n=2.
答案:2
考查角度2:三角函数值的符号 【例4】 (2018·石家庄质检)已知sin α＜0,tan α＞0. (1)求角α的集合;
(A) 4 5
(B)- 4 (C) 3
5
5
(D)- 3 5
解析:因为点 A 的纵坐标 yA= 4 ,且点 A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 5
点的横坐标 xA=- 3 ,由三角函数的定义可得 cos α=- 3 .故选 D.
5
5
【例2】 若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值;
(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2
解析:sin α= 2 = 2 ,x=2,tan α= y = 2 =1.故选 A.
x2 22 x
x2
4.(教材改编题)若sin α＜0且tan α＜0,则α是( D ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角
解析:由sin α＜0,得α在第三或第四象限;由tan α＜0,得α在第二或第四象 限,故α在第四象限.故选D.
2.弧度制
(1)定义 长度等于 (2)公式
半径长
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 弧长公式
扇形面积公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.
|α|= ①1°=