广东省佛山市均安中学数学必修五学案 第一章 解三角形的章末总结
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络,如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b c R C===A B . 5、正弦定理的变形公式: ①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B . 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)7、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-.9、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222cos 2a b c C ab+-=. 10、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。
最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》本章小结

知识建构一、知识网络二、基本知识、方法归纳整理1.解三角形常见类型及解法已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解,此时一般用正弦定理,但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论:若已知a 、b 、A,由正弦定理A a sin =B b sin ,得sinB=aA b sin . 若sinB>1,无解;若sinB=1,一解;若sinB<1,两解.(2)利用余弦定理讨论:已知a 、b 、A,由余弦定理a 2=c 2+b 2-2cbcosA,即c 2-(2bcosA)c+b 2-a 2=0,这是关于c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有一解;若方程有两个同正数解,则三角形有两解.3.三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如:a=2RsinA,a 2+b 2-c 2=2abcosC 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如sinA=sinB ⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin2A=sin2B ⇔A=B 或A+B=2π,等等;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,如:sinA=R a 2,cosA=bca cb 2222-+等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.4.解斜三角形应用题的步骤(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语.(2)根据题意画出图形.(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理有关知识建立数学模型,然后求解.实践探究1.就三角形的面积计算问题作一探索,你现在已经学习了哪些计算公式,还可发现和证明一些新的计算公式吗?解:已学过的三角形面积公式有(1)已知一边和边上的高:S=21ah a ,S=21bh b ,S=21ch c . (2)已知两边及其夹角:S=21absinC,S=21bcsinA,S=21casinB. 还可以得到如下面积公式:(p=a+b+c)(3)S △ABC =r·p=R·r(sinA+sinB+sinC).(4)S △ABC =))()((c p b p a p p ---. (5)S △ABC =Rabc 4. (6)S △ABC =)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙=)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 证明:(3)如图所示.S △ABC =S △OAB+S △OBC+S △OAC =21c·OE+21a·OF+21b·OD =21cr+21ar+21br =21r(a+b+c) =rp.由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴S △ABC =21r(a+b+c)=21r(2RsinA+2RsinB+2RsinC)=R·r(sinA+sinB+sinC). (4)由余弦定理知cosC=abc b a 2222-+,∴S △ABC =21ab·sinC=21ab·C 2cos 1- =21ab·2222)2(1abc b a -+- =4122222)()2(c b a ab -+- =41])([(])[(2222b a c c b a --∙-+ =2222c b a c b a c b a c b a ++-∙+-∙-+∙++ =))()((a p b p c p p --- =))()((c p b p a p p ---.(5)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21ab·R c 2=Rabc 4. (6)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21·a·2R·sinB·sinC =21·a·A a sin ·sinB·sinC=A C B a sin 2sin sin 2∙=)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙. 同理,S △ABC =)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 2.设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,其外接圆半径为1,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,b 、c 是方程x 2-3x+4cosA=0的两根(b>c).(1)求角A 的度数及a 、b 、c 的值;(2)判定△ABC 的形状,并求其内切圆的半径.解:(1)由韦达定理b+c=3,b·c=4cosA,由正弦定理b=2RsinB=2sinB,c=2sinC.∴2(sinB+sinC)=3,sinB·sinC=cosA.∵(sinB+sinC+sinA )(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,利用平方差公式展开为(sinB+sinC )2-sin 2A=3sinBsinC,把sinB +sinC =23,sinB·sinC=cosA 代入上式可得49-sin 2A=3cosA.整理得4cos 2A-12cosA+5=0,即(2cosA-5)(2cosA-1)=0,∴cosA=21,cosA=25(舍去).∴∠A=60°.∴⎩⎨⎧=∙=+.2,3c b c b∵b>c,∴b=2,c=1.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA=22+12-2×2×1×21=3,∴a=3.(2)∵b 2=a 2+c 2(由勾股定理).∴△ABC 是直角三角形.如图所示,设内切圆半径是r,则∠OAB=30°,在△OAD 中,AD=rcot30°=3r,∴3r+r=1.∴内切圆半径r=213-.3.在△ABC 中,设=a,=b,=c.(1)当△ABC 为正三角形时,求证:a·b=b·c=c·a;(2)若a·b=b·c=c·a,问△ABC 是否是正三角形?(1)证明:不妨设|BC |=|CA |=||=1,则·=||||cos60°=21,同理可得·=21,·=21,∴b·(-a)=(-b)·c=(-c)·a.∴a·b=b·c=c·a.(2)解:若a·b=b·c=c·a,则·=·=·, ∴·=·=·,即|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB,各除以|a||b||c|,得||cos c C =||cos a A =||cos b B,①由正弦定理可得C c sin ||=A a sin ||=Bb sin ||, ② 由①②得C tan 1=A tan 1=B tan 1. ∵A 、B 、C ∈(0,π),∴A=B=C,即△ABC 为正三角形.4.如图所示,有两条相交成60°角的直线xx′、yy′,交点是O,甲、乙分别在Ox 、Oy 上,起初甲离O 点3 km,乙离O 点1 km,后来两人同时以每小时4 km 的速度,甲沿xx′方向,乙沿y′y 方向步行(设甲、乙初始位置分别为A 、B).(1)甲、乙两人之间的初始距离是多少?(2)什么时间两人的距离最短?解:(1)△AOB 中,OA=3,OB=1,∠AOB=60°.∴AB 2=OA 2+OB 2-2×OA×OB×cos60°=7.∴AB=7,即甲、乙两人最初相距7 km.(2)设t 小时后甲由A 到P,乙由B 到Q.①当3-4t≥0,即t≤34时,则△POQ 中,OQ=1+4t,OP=3-4t,∠POQ=60°, ∴PQ 2=(1+4t)2+(3-4t)2-2×(1+4t)×(3-4t)×cos60°. ②当3-4t<0,即t>34时,△POQ 中,OQ=1+4t,OP=4t-3,∠POQ=120°. ∴PQ 2=(1+4t)2+(4t-3)2-2×(1+4t)×(4t-3)×cos120°.综合①②知,当t≥0时,PQ 2=(4t+1)2+(4t-3)2+2×(4t+1)(4t-3)×21=(4t+1)2+(4t-3)2+(4t+1)(4t-3)=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4. ∴当t=41时,PQ min =2, 即41小时后,甲、乙两人的距离最短.。
必修5解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 —=—=—=2R (其中R 是三角形外接圆的半径) sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2)化边为角: a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ,c sin C ,csin C 3)化边为角:a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角;例:已知角B,C,a,解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角,求其他两个角及另一边。
例:已知边a,b,A,解法:由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中,已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时,B 无解;②a = b sin A 或a > b 时,B 有—个解③b sin A < a < b 时,B 有两个解。
2.变形:1) 4)化角为边: 5)化角为边:如:①已知A :60。
数学必修5第一章解三角形知识梳理

第一章 解三角形1.1 正弦定理(一)1.在△ABC 中,A +B +C=π,A 2+B 2+C 2=π2.2.在Rt △ABC 中,C =π2,则a c =sin_A ,b c =sin_B .3.一般地,把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.4.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =bsin B=csin C,这个比值是三角形外接圆的直径2R .1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.2.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时三角形解的情况比较复杂,可能无解,可能一解或两解.例如:已知a 、b 和A ,用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角a <b sin A a =b sin A b sin A<a <b a ≥b无解 一解(直角) 两解(一锐角, 一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角) 1.2正弦定理(二)1.正弦定理:a sin A =b sin B =csin C=2R 的常见变形:(1)sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c ;(2)a sin A =b sin B =csin C =a +b +c sin A +sin B +sin C =2R ; (3)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(4)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R.2.三角形面积公式:S =12ab sin C =12bc sin A =12ca sin B .1.在△ABC 中,有以下结论: (1)A +B +C =π;(2)sin(A +B )=sin C ,cos(A +B )=-cos C ;(3)A +B 2+C 2=π2;(4)sin A +B 2=cos C 2,cos A +B 2=sin C 2,tan A +B 2=1tanC 2. 2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化,从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.2.1 余弦定理(一)1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=c 2+a 2-2ca cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .2.余弦定理的推论cos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =c 2+a 2-b 22ca ;cos C =a 2+b 2-c 22ab.3.在△ABC 中:(1)若a 2+b 2-c 2=0,则C =90°;(2)若c 2=a 2+b 2-ab ,则C =60°; (3)若c 2=a 2+b 2+2ab ,则C =135°.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.2.2 余弦定理(二)1.正弦定理及其变形(1)a sin A =b sin B =c sin C=2R . (2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C .(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c . 2.余弦定理及其推论 (1)a 2=b 2+c 2-2bc cos_A .(2)cos A =b 2+c 2-a 22bc.(3)在△ABC 中,c 2=a 2+b 2⇔C 为直角;c 2>a 2+b 2⇔C 为钝角;c 2<a 2+b 2⇔C 为锐角. 3.在△ABC 中,边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ,则有:(1)A +B +C =π,A +B 2=π2-C2.(2)sin(A +B )=sin_C ,cos(A +B )=-cos_C ,tan(A +B )=-tan_C .(3)sin A +B 2=cos C 2,cos A +B 2=sin C 2.解三角形 复习1.在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意恰当的选取定理,简化运算过程.2.应用正、余弦定理解应用题时,要注意先画出平面几何图形或立体图形,再转化为解三角形问题求解,即先建立数学模型,再求解.。
高中数学必修五--第一章---解三角形知识点归纳

- 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b c R C===A B . 5、正弦定理的变形公式:①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ;④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))7、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A 等,变形: 222cos 2b c a bc +-A =等, 8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。
②已知三边求角)9、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C = ;②若222a b c +>,则90C < ;③若222a b c +<,则90C > .11、三角形的四心:垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等)12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式(和差角、倍角等) 。
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第一章 解三角形1、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有:2sin sin sin a b cR C===A B . 2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ;④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B .注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。
2、已知两角和一边,求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC 中,已知a 、b 、A (A 为锐角)求B 。
具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a 扰着C 点旋转,看所得轨迹以AD当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。
法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况: 当a<bsinA ,则B 无解当bsinA<a ≤b,则B 有两解 当a=bsinA 或a>b 时,B 有一解注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .4、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A , 2222cos b a c ac =+-B ,2222cos c a b ab C =+-.5、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222cos 2a b c C ab+-=.(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。
必修5第一章解三角形知识点全面 总结
必修5第一章解三角形 知识总结1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sin sin a b A B =sin cC==2R (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数2R ,即2sin =a R A , 2sin =b R B ,2sin =c R C ;(2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =变形:sin sin a Ab B =, (3)正弦定理的基本作用为:①已知三角形的两角及其一边可以求其他边,即先用内角和求第三角,再用正弦定理求另外两边;②已知三角形的两边与一边的对角可以先求另一对角的正弦值,然后用内角和定理求第三角,再用正弦定理求第三边如先求sin sin aA B b=——A ——C ——c2、余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即:2222cos a b c bc A =+- 或 2222cos b c a bc A +-= 2222cos =+-b a c ac B 或 2222cos a c b ac B +-= 2222cos c a b ab C =+- 或 2222cos a b c ab C +-= 从余弦定理,又可得到以下推论:222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab+-= 在△ABC 中,由222cos 2a b cC ab+-=得:若222a b c +=,则cosC=0, 角C 是直角;若222a b c +<,则cos C <0, 角C 是钝角; 若222a b c +>,则cos C >0, 角C 是锐角.3、三角形面积公式:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半.S =12ab sin C =12bc sin A=12ac sin B4、三角形中的三角变换 ,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== (R:外接圆半径) 或变形:::sin :sin :sin a b c A B C =.结论:①定理:在三角形中,α、β为其内角,则α≤β⇔sin sin αβ≤,等号当且当α=β时成立。
②判断三角形大小关系时,可以利用如下原理:sin A > sin B ⇔ A > B ⇔ a > bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式: ∆S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B 2.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3.利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题:(1)正弦定理:1、已知两角和一边(如A 、B 、c ),由A +B +C =π求C ,由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS )2、已知两边和其中一边的对角(如a 、b 、A ),应用正弦定理求B ,由A +B +C = π求C ,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况。
(SSA )(2)余弦定理:1、已知三边a 、b 、c ,应余弦定理求A 、B ,再由A +B +C = π,求角C 。
(SSS)2、已知两边和夹角(如a 、b 、C ),应用余弦定理求c 边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A +B +C =π,求另一角。
(SAS )主流思想:利用正、余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式。
5.三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6。
人教A版高中数学必修五广东省佛山顺德区均安学案第一章解三角形。的进一步讨论
●教学目标知识与技能:灵活运用正、余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法:通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观:通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。
●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程Ⅰ.旧知回顾三角形中的边、角之间的关系边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ,在ABC ∆中有如下常用结论: (1)a+b>c,b+c>a,a+c>b;(2)A+B+C=π;(3)a>b ⇔A>B;(4)a=b ⇔A=B;(5) A 为直角⇔ ;A 为锐角⇔ ;A 为钝角⇔(7)sin()A B += ;cos()A B += ;sin()2A B += ;cos()2A B += . Ⅱ.讲授新课考查点一:判断三角形形状例1.在ABC ∆中,已知(a+b+c )(b+c-a)=3bc ,sin 2sin cos A B C =,试判断ABC ∆的形状。
考查点二:利用定理证明恒等式例2:在ABC ∆中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,求证:(1)221cos cos ()222C A a c a b c +=++ (2)cos cos a B b A c += 见第16页例6.考查点三:利用定理研究函数问题例3.已知ABC ∆中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,且4cos,4sin .22A A b c == (1)求ABC ∆面积的最大值;(2)求a 的最小值。
练习1:如图,某农场有一块边长为2a 的等边三角形ABC 试验田,D 、E 两点分别在边AB 、AC 上,DE 把这块试验田分成面积相等的两部分作对比试验地,设AD=x,DE=y,求用x 表示y 的函数关系式。
高中数学必修5新教学案:第一章解三角形小结与复习
第一章 解三角形小结和复习(学案)【知识归类】1.正弦定理:在△ABC 中,R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意:(1)R 表示△ABC 外接圆的半径;(2)正弦定理可以变形成各种形式来使用;(3)使用正弦定理解决的题型:①已知两角和一边,求其它②已知两边和一边的对角,求其它.(4)在已知两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两解,具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理:在△ABC 中,A bc c b a cos 2222-+=,B ac c a b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ac b c a B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+= 注意:(1)使用余弦定理解决的题型:①已知三边,求各角②已知两边和一边的对角,求其它③已知两边和夹角,求其它;(2)正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解,反之亦然;只是方便程度有别;(3)正、余弦定理可以结合使用;3.△ABC 的面积公式,B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径:(1)由正余弦定理将边转化为角;(2)由正余弦定理将角转化为边;注:化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类:(1)距离问题:一点可到达另一点不可到达;两点都不可到达;(2)高度问题(最后都转化为解直角三角形); (3)角度问题; (4)面积问题.【题型归类】题型一:正弦定理的使用例1 (1)在△ABC 中, A=030,B=045,a=6,求c ;(2)在△ABC 中,A=030,b=4,a=3,则cosB ;(3)在ΔABC 中,B=030,b=350,c=150,求a. 题型二:余弦定理的使用例2(1)在△ABC 中, a=2,B=060,c=4,求b ;(2)在△ABC 中, a=7,b=3,c=5, 求最大角和sinC ;(3)在△ABC 中, a=3,b=2,045=B ,求c.题型三:判定下列三角形的形状例3(1)在△ABC 中,已知C B A 222sin sin sin <+,判断△ABC 的形状; (2)在△ABC 中,已知bc a A ==2,21cos ,判断△ABC 的形状; (3)在△ABC 中,若c a b B +==2,600,试判断△ABC 的形状. 变式练习:设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边,求实数a 的取值范围?题型四:三角形的面积例4 (1)在△ABC 中,已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ,求△ABC 的面积;(2)在△ABC 中,,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC(3) 在△ABC 中,边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根,,600=C 求边C 的长. 题型五:三角形恒等式例5 在ABC ∆中,求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 例6 如图,港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站,港口正东方向的B 处有一轮船,测得BC 为nmile 31,该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处,测得CD 为nmile 21,问此时轮船离港口A 还有多远?【思想方法】1.数学思想:函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测】一.选择题1.在△ABC 中,若3:2sin :sin =B A ,则边=a b :( ).(A )492:3:或 (B )32:(C ) 49:(D )23:.2.在△ABC 中,已知A=30°,a=8,b=38则三角形的面积为( ).(A )332 (B )16 (C )332或16 (D )332或316.3在△ABC 中,A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++,则A 等于( ).(A )6π (B )3π (C )4π (D )32π 4.在△ABC 中,三边长AB=7,BC=5,AC=6,则∙的值为( ).(A )19(B )-14 (C )-18 (D )-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==,则△ABC 的形状为( ). (A )等边三角形 (B )等腰直角三角形(C )有一个角为30°的直角三角形 (D )有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中,A 、B 为两锐角,则B A sin sin 中( )(A )有最大值21和最小值0 (B )有最大值21和无最小值 (C )无最大值也无最小值(D )有最大值1,但无最小值.二、真空题: 7.在△ABC 中,若B=30°,AB=32,AC=2,则△ABC 的面积为 .8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列,且它的最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为 .9.若以2,3,x 为三边组成一个锐角三角形,则x 的取值范围是 .10.△ABC 中,若AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是 .三、解答题:11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边,且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ,求这个三角形的最大内角.12.在△ABC 中,BC=a ,AC=b ,a,b 是方程02322=+-x x 的两个根,且21)cos(=+B A . 求(1)角C 的度数;(2)AB 的长;(3)△ABC 的面积. 第一章 解三角形小结和复习(教案)【知识归类】1.正弦定理:在△ABC 中,R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意:(1)R 表示△ABC 外接圆的半径;(2)正弦定理可以变形成各种形式来使用;(3)使用正弦定理解决的题型:①已知两角和一边,求其它②已知两边和一边的对角,求其它.(4)在已知两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两解,具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理:在△ABC 中,A bc c b a cos 2222-+=,B ac c a b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+= 变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ac b c a B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+= 注意:(1)使用余弦定理解决的题型:①已知三边,求各角②已知两边和一边的对角,求其它③已知两边和夹角,求其它;(2)正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解,反之亦然;只是方便程度有别;(3)正、余弦定理可以结合使用;3.△ABC 的面积公式,B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径:(1)由正余弦定理将边转化为角;(2)由正余弦定理将角转化为边;注:化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类:(1)距离问题:一点可到达另一点不可到达;两点都不可到达;(2)高度问题(最后都转化为解直角三角形);(3)角度问题;(4)面积问题.【题型归类】题型一:正弦定理的使用例1 (1)在△ABC 中, A=030,B=045,a=6,求c ;(2)在△ABC 中,A=030,b=4,a=3,则cosB ;(3)在ΔABC 中,B=030,b=350,c=150,求a. 【审题要津】这里已知两角和一边或两边和一对角,适合正弦定理解决的类型.解:(1)0000030,4518003045105.A B C ==∴=--=由正弦定理得006sin1053.sin sin sin 30c a c C A =∴== (2)由正弦定理得0sin sin 4sin 302sin .33B A B b a =∴==又由三角函数同角基本关系得cos B ==(3) 由正弦定理得0sinsin sin c b C C B =∴== 0000150,60C C <<∴=或0120.C =当060C =时,0018090,A B C a =--=∴==当0120C =时,0018030,A B C a =--=∴==故a =a =【方法总结】当已知两边和一对角,求其它时,可能有无解、一解或两解,注意讨论.题型二:余弦定理的使用例2(1)在△ABC 中, a=2,B=060,c=4,求b ;(2)在△ABC 中, a=7,b=3,c=5, 求最大角和sinC ;(3)在△ABC 中, a=3,b=2,045=B ,求c.【审题要津】这里已知两边和夹角或三边求其它,适合余弦定理解决的类型;当已知两边和一对角,求其它时也可使用余弦定理.解:(1)由余弦定理得22202cos 416224cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,b ∴=(2)a c b A >>∴∠为最大角. 由余弦定理得22201cos ,120,22b c a A A bc +-==-∴=又由正弦定理得sin 5sin 7c A C a ===(3)由余弦定理得222202cos 32cos 452b a c ac B c c =+-=+-⨯=,解得c =或c = 【方法总结】正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解,注意难易方法的选择.题型三:判定下列三角形的形状例3(1)在△ABC 中,已知C B A 222sin sin sin <+,判断△ABC 的形状; (2)在△ABC 中,已知bc a A ==2,21cos ,判断△ABC 的形状; (3)在△ABC 中,若c a b B +==2,600,试判断△ABC 的形状. 【审题要津】这里已知边和角判断△ABC 的形状,正确选择正、余弦定理进行解决.解:(1)由正弦定理得222222a b c R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,222222,0.a b c a b c ∴+<∴+-<由余弦定理得222cos 02a b c C C ab+-=<∴∠,故△ABC 为钝角三角形. (2)060,21cos =∴=A A , 又.2122cos ,,21cos 222222=-+=-+=∴==bc bc c b bc a c b A bc a A ().,02c b c b =∴=-∴ 故△ABC 为等边三角形.(3)解法1由正弦定理得.sin sin sin 2C A B +=,120,120,60000C A C A B -==+∴= ().sin 120sin 60sin 200C C +-=∴ 展开得.1cos 21sin 23=+C C .609030,1)30sin(0000=∴=+∴=+∴C C C ,600=∴A 故△ABC 为等边三角形.解法2由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+- ,60cos 22,2,6002220ac c a c a c a b B -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴+== 整理得()20,.a c a c b -=∴==故△ABC 为等边三角形.【方法总结】常用两种途径:(1)由正余弦定理将边转化为角;(2)由正余弦定理将角转化为边;注:化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.变式练习:设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边,求实数a 的取值范围? 解:12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边,⎪⎩⎪⎨⎧>->>+∴0120012a a a 解得,21>a 此时12+a 最大,∴要使12,,12-+a a a 是三角形的三边,还需,1212+>+-a a a得.2>a设最长边12+a 所对的角为θ,则()()0128cos <--=a a a a θ,解得,218>>a 故a 的取值范围为.28>>a题型四:三角形的面积例4 (1)在△ABC 中,已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ,求△ABC 的面积; (2)在△ABC 中,,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC (3) 在△ABC 中,边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根,,600=C 求边C 的长.【审题要津】这里已知边和角求△ABC 的面积或变形使用面积公式求解.解:(1)bcc b A 2687,87cos 22-+=∴= . ()().42,02222==∴=+-=--∴c b c b c b c bc b.215,815871sin ,87cos 2=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=∆ABC S A A (2) ,32,300==AB B ,3=S.2,30sin 3221sin 2130==∴⨯⨯⨯===∴AC a a B ac S (3) 边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根,.2,5==+∴ab b a().19,192122cos 2,6022220=∴=⨯--+=-+=∴=c ab ab b a C ab b a c C 【方法总结】根据三角形的面积A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===知关键在于两邻边的乘积和夹角的正弦值的积,结合条件直接使用或整体求解.题型五:三角形恒等式例5 在ABC ∆中,求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 【审题要津】由左边看出含有角和边,可由余弦定理将角的余弦值转化为边的比值,再由正弦定理化变为角的正弦;左边中分子、分母的边是齐次式可由正弦定理将边转化为角求的.证明:解法1 化角为边得:左边()()====-+--+-=A B A R B R a b bca cbc b b c a c a sin sin sin 2sin 22222222右边. 故原等式成立.解法2化边为角得:左边AC C A B C C B A C B B C A cos sin )sin(cos sin )sin(cos sin sin cos sin sin -+-+=∙-∙-= ==AB sin sin 右边. 故原等式成立.【方法总结】解决此类题时,既要用到三角形有关的恒等式,又要用到任意角的三角函数的恒等式;证明时注意分析等式两边的形式是边还是角,便于从正余弦定理转化证得.题型六:使用题例6 如图,港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站,港口正东方向的B 处有一轮船,测得BC 为nmile 31,该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处,测得CD 为nmile 21,问此时轮船离港口A 还有多远?【审题要津】要求AD 的长,在ACD ∆中,只要求出ACD ∠即可,可由正弦定理求解;要求ACD ∠,可在CDB ∆中,由余弦定理求解CDB ∠.解:易知060=∠A ,设,,βα=∠=∠CDB ACD 在BCD ∆中,由余弦定理得:,712cos 222-=∙-+=BD CD BC BD CD β .734)71(1sin 2=--=∴β.143560sin cos 60cos sin )60sin(sin 000=-=-=∴βββα 在ACD ∆中,由正弦定理得:,sin sin αAD A CD =).(15sin sin nmile ACD AD ==∴α 故此时轮船离港口A 还有.15nmile 【方法总结】正余弦定理在实际使用中很广泛,常见题有:距离、高度、角度等问题;解决时,首先要认真分析题意,找出各量间的关系,根据题意画出示意图,将问题抽象为三角形模型(数学建模),然后利用正余弦定理求解,最后将结果转化为实际问题.【思想方法】1.数学思想:函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测题】一.选择题:1.在△ABC 中,若3:2sin :sin =B A ,则边=a b :( D ).(A )492:3:或 (B )32:(C ) 49:(D )23:.2.在△ABC 中,已知A=30°,a=8,b=38则三角形的面积为(D )(A )332 (B )16 (C )332或16 (D )332或3163.在△ABC 中,A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++,则A 等于( B )(A )6π (B )3π (C )4π (D )32π 4.在△ABC 中,三边长AB=7,BC=5,AC=6,则BC AB ∙的值为( D )(A )19(B )-14 (C )-18 (D )-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==,则△ABC 的形状为( B ). (A )等边三角形 (B )等腰直角三角形(C )有一个角为30°的直角三角形 (D )有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中,A 、B 为两锐角,则B A sin sin 中( B )(A )有最大值21和最小值0 (B )有最大值21和无最小值 (C )无最大值也无最小值(D )有最大值1,但无最小值.二、真空题:7.在△ABC 中,若B=30°,AB=32,AC=2,则△ABC 的面积为 8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列,且它的最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为4315 . 9.若以2,3,x 为三边组成一个锐角三角形,则x 的取值范围是()13,5 . 10.△ABC 中,若AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π . 三、解答题:11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边,且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ,求这个三角形的最大内角.解:0322,0222=+-+=---c b a c b a a ,.0)32(22=++---∴b a b a a ()()()().341,1341324122+=+-=--=∴a c a a a a b .032,02>--∴>a a b ,.3>∴a ().03.21<+-=-∴a c b .c b <∴又()(),01341>--=-a a a c .a c >∴故是△ABC 中最大的边. 由余弦定理得.212))((2cos 2222-=-++=-+=ab c b c b a ab c b a C 0120=∴C12.在△ABC 中,BC=a ,AC=b ,a,b 是方程02322=+-x x 的两个根,且21)cos(=+B A . 求(1)角C 的度数;(2)AB 的长;(3)△ABC 的面积.(1)C=120°(2)AB=10(3)23=∆ABC S。
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一、基本题回顾:
1、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距
2、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于
3、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
A.a=1,b=2 ,c=3 B.a=1,b= ,∠A=30°
C.a=1,b=2,∠A=100°C.b=c=1, ∠B=45°
4、在锐角三角形ABC中,有
A.cosA>sinB且cosB>sinA B.cosA<sinB且cosB<sinA
C.cosA>sinB且cosB<sinA D.cosA<sinB且cosB>sinA
5、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是三角形
6、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.
7、在ΔABC中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
8、在ΔABC中,若SΔABC= (a2+b2-c2),那么角∠C=______.
9、在ΔABC中,a =5,b = 4,cos(A-B)=,则cosC=_______.
二、典例回顾
例1、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状:
①B=60°,b2=ac;②b2tanA=a2tanB;
③sinC=④(a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B).
例2、已知在ABC ∆中a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,面积为S ,且a=1.
(1)若S=1,6B π=
,求边长b; (2)若6A π=
,求ABC ∆的周长的最大值。
例3、在ABC ∆中a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,7,a b c +==
214sin cos 222
A B C ++=。
(1)求角C 的大小;
(2)求ABC ∆的面积。
例4. ABC ∆中,AC=2,BC=1,32
AC BC =
. (1)求AB 的值。
(2)求此三角形最大角与最小角之差的某个三角函数值。
作业:
1、讲解同步导学本章总结;
2、课本第24页复习题做课堂作业;
3、同步导学第67页第1章单元测试。