浅谈几种变形分析与建模方法

浅谈几种变形分析与建模方法
姓名：
学号：
班级：
指导老师：
成绩：
2014年6月26 日
变形是自然界普遍存在的现象，它是指变形体在各种荷载作用下，其形状，大小，及位置在时间域和空间域中的变化。

变形体的变形在一定范围里被认为是允许的，如果超出允许值，则可能引发灾害，自然界的变形危害现象时很普遍的，如地震，滑坡，崩塌，地表沉降，火山爆发，溃坝，桥梁与建筑物的倒塌等。

通过这学期的学习我们知道所谓变形监测，就是利用测量和专用仪器及方法对变形体的变形现象进行监视观测的工作。

其任务是确定在各种荷载和外动力作用下，变形体的形状，大小及位置变化的空间状态和时间特征。

变形监测工作是人们通过变形现象获得科学认识，检验理论和假设的必要手段。

变形体的范畴可以大到整个地球，小到一个工程建筑物的块体，它包括自然和人工的构造物。

根据变形体的研究范围，可以将变形监测研究对象分为三类：
（1）全球性变形研究，如监测全球板块运动，地极移动，地球自转速率变化，低潮等；
（2）区域性变形研究，如地壳变形监测，城市地面沉降等；
（3）工程和局部性变形研究，如监测工程建筑物的三维变形，滑坡体的滑动，地下开采引起的地表移动和下沉等。

在紧密工程测量中，具有代表性的变形体有大坝，桥梁，矿区，高层建筑物，防护堤，边坡，隧道，地铁，地表沉降等。

随着现代科学技术的发展和计算机应用水平的提高，各种理论和方法为变形分析和变形预报提供了广泛的研究途径。

由于变形体变形机理的复杂性和多样性，对变形分析与建模理论和方法的研究，需要结合地质、力学、水文等相关学科的信息和方法，引入数学、数字信号处理、系统科学以及非线性科学的理论，采用数学模型来逼近、模拟和揭示变形体的变形规律和动态特征，为工程设计和灾害防治提供科学的依据。

在日常施工和运营过程中，因不同的地质条件和土壤性质，地下水位和大气温度的变化。

建筑物荷载和外力作用等影响，建筑会产生一定的变形，因此需要对重要的建筑物和发现已变形的建筑物进行变形监测及预测，掌握其变形的发展规律以及趋势，以确保该建筑物的施工安全和使用安全-在测量中有很多种分析建筑物变形的方法，通常采用统计分析法，确定函数法及混合模型法。

统计分析法主要是采用数学处理方法，如回归分析法，频谱分析法，滤波模型法,Asaoka法，时间序列分析模型，灰色系统分析模型和人工神经网络模型等本文结合工程实例，在传统灰色预测模型GM的基础上，加以卡尔曼滤波法的辅助，对建筑物变形进行定量分析和预测，为建筑物变形观测研究提供更加可靠的观测数据-本文介绍的是本学期学过的几种变形分析与建模的理论与方法。

回归分析法作为一种统计分析方法，需要效应量和环境量具有较长且一致性较好的观测值序列。

这种函数关系可以解释变形产生的主要原因，也可以进行预报，同时也给出估计精度。

多元线性回归是研究一个变量与多个因子之间非确定关系的最基本方法。

其数学模型是:
(1)
式中，下标 t 表示观测值变量，共有 n 组观测数据，p表示因子个数。

分析步骤如下：1）建立多元线性回归方程。

多元线性回归数学模型如式 (1) 所示，用矩阵表示为
(2)
式中，y 为 n 维变形量的观测向量，；x 是一个 n* (p+1) 矩
阵，其形式为：
是回归系数向量，；是服从同一正态分布
的n维随机向量，。

由最小二乘原理可求得的估值为
2）回归方程显著性检验。

如果因变量 y 与自变量之间不存在线性
关系，则式 (1) 中的为零向量，即有原假设：
将此原假设作为式 (1) 的约束条件，求得统计量。

式中，；；。

在原假设成立时，统计量 F 应服从分布，故在选择显著水平后，可用式（3）检验原假设：
(3)
若式 (3) 成立，即认为在显著水平下，y对有显著的线性关系，回归方程是显著的。

3）回归系数显著性检验。

检验因子 Xj是否显著的原假设应为：
由式 (1) 可估算求得：
式中, Cij为矩阵中主对角线上第 j 个元素。

于是在原假设成立时, 统计量
故可组成检验原假设的统计量
它在原假设成立时服从分布。

分子通常又称为因子 Xj 的偏回归平方和。

时间序列法是一种动态数据处理方法, 它是一种处理随时间变化而又相互关联的数据的数学方法, 是用来分析各种相依有序的离散数据集合。

时间序列分析的特点在于: 逐次的观测值通常是不独立的, 且分析必须考虑到观测资料的时间顺序, 当逐次观测值相关时, 未来数值可以由过去观测资料来预测, 可以利用观测数据之间的自相关性建立相应的数学模型来描述客观现象的动态特征。

时间序列分析的基本原理是: 对于平稳、正态、零均值的时间序列{xt} , 若 xt的取值不仅与其n 步的各个取值Xt - 1, Xt- 2 ,…… ,Xt- n 有关, 而且还与前m 步的各个
a t- m 有关( n, m =1, 2,…) , 按多元线性回归的思想, 可干扰a t - 1, a t- 2 ,…,
得到最一般的ARMA 模型:
(1)
式中, 称为自回归( Auto- Regre-ssive) 参数;称为滑动平均( MovingAverage) 参数; {a t} 这一序列为白噪声序列。

式( 1)称为Xt的自回归滑动平均模型( Auto- Regressive Moving Average Model, ARMA ) , 记为 ARMA( n , m) 模型。

当时, 模型( 1) 变为
(2)
式( 2) 称为 n 阶自回归模型, 记为 AR( n) 。

当时, 模型( 1) 变为:
(3)
式( 3) 称为 m 阶滑动平均模型, 记为MA( m) 。

为方便对式( 1) 进行描述, 引入线性后移算子B
并令：
则有：
（4）
即满足 ARMA( p, q) 模型的时序{Xt} 可由现时刻以前的白噪声( 输入随机冲量) 序列{ a t} 通过系统G ( B ) 的作用而完成。

（5）
注: 函数。

自相关函数是描述随机信号 X ( t) 在任意两个不同时刻 t1、t2取值之间的相关程度。

它是时间序列模型识别的基本分析工具。

对于一个平稳、正态、零均值的随机过程{ Xt
} 的自协方差函数为: （6）
当 k= 0 时, 得到{Xt} 的方差函数：
（7），自相关函数定义为：
（8）
偏相关函数是分析时间序列模型概率特性的另一指标。

它的定义是: 已知{Xt} 为一平稳时
间序列,若能选择适当的 k 个系数, 将 Xt表示为Xt- 1的线性组合。

（9）
当这种表示的误差方差（10）为极小时, 则定义最
后一个系数为偏自相关函数( 系数) 。

根据AR( n) , MA( m) , ARMA( n, m) 模型下自相关函数和偏自相关函数的性质, 可以直接给出初步识别稳定时间序列模型类型的依据, 如下表所示。

数据样本应满足平稳、正态、零均值的条件, 因此对实际的沉降序列进行时间序列分析前应进行平稳化和均值化处理, 步骤如下:
1) 对原始数据进行平稳性检验; 2) 对差分后的序列做均值化处理; 3) 对新序列计算自相关和偏相关函数, 进行模型识别; 4) 对所选模型进行参数估计; 5) 对模型适用性进行检验; 6) 确定预报模型, 进行预报。

灰色系统分析模型
GM(1，1)模型是最常用的一种灰色模型，它是由一个只包含单变量的一阶微分方程构成的模型。

用X灰色模块构成微分方程。

（1），经过微分求解
（2）
则有GM（1,1）预测模型方程为（3）
首先是建立模型，并对建立好的模型进行检验，若检验合格并符合实际情况，则可用它来对实际情况进行预测-灰色预测模型检验不仅包括残差检验，关联度检验，还包括后验方差检验-在本文中主要是采用后验方差方法检验，即对残差分布的统计特性进行检验，它由后验差比值C和小误差概率P 共同表达。

卡尔曼滤波方程在实质上是一组递推的计算公式，其包含一个递推过程，是一个不断预报且不断修正的过程，因此更符合实际情况，有助于实时实地处理多期复测数据。

本文中直接给出离散卡尔曼滤波的递推公式：
进一步预测（4）
一步预测误差方差阵
（5）
滤波增益矩阵
(6)
状态估计
（7）
状态估计误差方差阵（8）
以上即为卡尔曼滤波基本方程-
只要给定初始值X0和D0 ，根据t k时刻的观测值，就可以推算出t k时刻的状态估计Xk。

卡尔曼滤波模型的精度，即其单位权方差的估值可按式（9）计算。

（9） n为观测值的个数；Vx是Xk/k-1的改正数；Vk 是Yk的改正数；而分别为Xk/k-1的验前协方差阵和权阵，分别为Yk的验前协方差阵和权阵。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。