晶体与空间群概述
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晶体空间群
73种点式空间群中 的对称元素分别换成螺 旋轴、滑移面，并去掉 等价的空间群，便得到 另外157种空间群。合 起来共230种空间群。
等效点系
在晶体构造中，由 一任意点开始，通过空 间群所有对称操作的作 用，重复出来的一系列 规则分布点(等效点)的总 和，称等效位置或等效 点系。
《国际结晶学表》 A卷
The International Union of Crystallography
《International Tables for Crystallography》，是 国际上公认的关于晶体结 构知识的标准手册。该书 最早出版于1952年，以后 五次(1959,1962,1974， 1983，2002）修订再版。
Wyckoff位置是国 际表中最有用的信息， 告知在晶体中何处可 以找到原子。
Site symmetry 原子所在之 处具有的对称点 群。
空间群把 同一个等效 点系中的各 等效点联系 在一起；
167 : D R3c
6 3d
Ca(0, 0, 0)
在晶体构造 中，同一个等 效点系中的等 效点必为等质 点；
73种 点式空间群
三 斜 晶 族
b
a
c
a
b
P
C P1
1 1
c
C P1
1 i
b
a
c
90 90
单 斜 晶 族
a
b
c
90 90
P
2
C
P
2 m 2/m
P2 Pm P2/m
C
2 m 2/m
C2 Cm C2/m
b
a
c
90 90 90
第三章晶系及空间群(PDF)
四方
一个4次轴
三方
一个3次轴
（菱形）
正交
三个互相垂直的2次轴或 对称面或它们的组合
单斜
2、m、2/m
三斜
1、-1
晶胞形状
a=b=c, ===90° a=b≠c, ==90º, =120° a=b≠c, ===90° 与六方相同 a=b=c, ==≠90° a≠b≠c, ===90°
相结构基础及研究方法
Fundamental of Phase Structure and its methods
第三章：晶系及空间群
•主讲人：陈 骏 •冶金与生态工程学院 物理化学系
单位晶胞及其选取
选取单位晶胞的原则
要求选取晶胞最能反映该点阵的对称 性，选取晶胞的原则为：
1)选取的平行六面体应反映出点阵的 最高对称性； 2)平行六面体内的棱和角相等的数目 应最多； 3)当平行六面体的棱边夹角存在直角 时，直角数目应最多； 4)在满足上述条件的情况下，晶胞应 具有最小的体积。 5)重复单位原点的选择一定程度上取 决于个人爱好；通常选择原子或离子 在边、角、中心等特殊位置，易于画 出单位，及想象整个结构；
• 晶胞有六个参量，轴长和轴间夹角。 这六个参量称为晶胞参数。因为晶胞 能够决定整个点阵，所以这些量又称 为点阵参数。
所选取的晶胞需满足晶体空间点阵的两个条件： 周期性条件和对称性条件。
晶胞和晶胞参数
晶系
六方 三方晶系中菱形单胞
如何理解菱形单胞？
晶系名称 特征对称
立方 六方
四个3次轴 一个6次轴
可能对 称元素
无 无 2，m
方向 Z
1，1 2,m,2/m 222,mm2,mmm
无， 2， 底对角 4,4，4/m，422，
点群空间群和晶体结构介绍
空 间 群 可 分 为 230种
点式空间群(symmorphic space Group)
对称操作全部作用于同一个公共点上的，不包含任何一个比初基平移还要小的
平移τ。
73种
非点式空间群(Nonsymmorphic space Group)
157种
对称操作全部作用于同一个公共点上的，至少包含一个比初基平移还要小的平 移τ。
滑移面 由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面，简称滑移面。滑移面的基本操作可表示为{m·t}， 其对称群为{m·t}p，P=0，±1，±2……。
晶体中有3种不同的滑移面，即轴向滑移、对角线滑移（又称n滑移）和金刚石滑移。 所有滑移中，都是经镜面操作后再平移单胞周期的某一分数的距离。和螺旋轴的操作相同，镜面和 平移两步操作的先后次序是不重要的。
以合适的取向放到阵点上的含义 如果希望每个阵点都具有正交对称性，那么放置物体时就必须使它的镜面和2次轴沿单胞某一轴方
向放置。这样导出的晶体结构，才会既有平移对称性又能使任何一个阵点都有C2v-mm2 的对称性。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。
图 (a)是正交点阵的阵点上放上对称性 为C2v-mm2的物体的空间群的俯视图。
附图1
除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操作而使 物体仍属于三斜晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有两种。 Ci-1点群的对称操作最多(不严格地说它具有最高的对称性)，称 这种点群为该晶系的全对称点群。
附图1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的正规点系的数目和点群具有对称操作 的数目相同，即与点群的阶数相同。
讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。 3.1 群的概念和基本性质
点群空间群和晶体结构
点群空间群和晶体结构晶体是由原子、分子或离子组成的固态物质。
在结晶过程中，这些粒子以一种有序的方式排列，形成了晶体的特定结构。
晶体结构的研究是固体科学的重要分支之一，可以帮助我们理解固体的物理、化学性质以及它们在各种应用中的作用。
点群是空间中对称性的一种表示方式。
点群描述了一个结构中的元素在一组操作下保持不变的方式。
这些操作可以是旋转、翻转或镜像。
常见的点群包括旋转群、镜面群和反演群。
每个点群由一组操作组成，这些操作在结构中的每个点上施加时，都可以保持结构的不变性。
点群对于确定晶体结构的对称性非常重要，因为它可以帮助我们预测晶体的物理性质，例如电学性、磁学性、光学性等。
空间群是点群在三维空间中的扩展。
它描述了一个晶体结构在所有操作下的对称性。
空间群由点群以及平移操作组成。
平移操作使得结构在空间中移动，形成了无穷多的平行结构。
这些平行结构可以通过空间群中的平移操作进行描述。
空间群的数量非常庞大，目前已知有230个不同的空间群。
每个空间群都有一个唯一的编号和名称，用于标识它的对称性。
晶体结构是晶体中离子、原子或分子的排列方式。
不同的晶体结构由不同的元素组成，以及不同的点群和空间群类型。
它们可以由晶体学的X射线衍射实验来确定。
X射线衍射会产生一种特殊的模式，称为衍射图样。
通过对衍射图样进行分析，可以确定出晶体中的原子或离子的位置，从而推断出晶体的结构。
晶体结构是固体科学的基础，它们在材料科学、化学、凝聚态物理学等领域中有着广泛的应用。
通过对晶体结构的研究，可以优化材料的性能，设计新型材料，解释物质的性质，并探索新的应用领域。
总而言之，点群、空间群和晶体结构是固体晶体学中的重要概念。
它们描述了晶体的对称性以及晶体中原子、离子或分子的排列方式。
通过对晶体结构的研究，我们可以了解晶体物质的性质和行为，并为材料科学和应用领域提供基础性的知识。
晶体点群、空间群简要归纳
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
晶体学基础9-晶体内部结构的微观对称和空间群
空间群的国际符号
空间群的国际符号分别由两部分组成：第一部分是大写字母， 包括P、F、I、C、R等，表示所属的布拉维格子类型；第二 部分是三个特征方向上的内部构造的对称要素符号。
I41／amd 空间群 ① 从首位符号知，属于体心格子； ② 从后面的符号知，属于四方晶系4／mmm 对称型； ③ 由对称要素知，平行Z轴方向为螺旋轴41 ，垂直Z轴有滑移 面a，垂直X轴为对称面m，垂直X轴与Y轴的角平分线为滑移面d。
空间群是由对称型（点群）与平移对称复合而产生的。 即: 32点群 + 平移群= 230 种空间群。如果把空间群中的 平移因素去掉，230种空间群就蜕变为32种点群。
空间群与晶体结构
空间群代表等效点之间的对称性。
布拉维格子类型代表单胞的平移类型。 晶系代表晶体宏观对称在三维空间的分布类型。 空间群是晶体宏观对称和微观对称的结合，蕴含了晶体所有 的对称性，因此也蕴含了晶系和布拉维格子的特点，是晶体 对称性的最高代表。
各晶系点群国际符号中的三个窥视方向
I41／amd
Pnma
晶体学基础
第七章 晶体内部的微观对称和空间 群
空间群
等效点系
学习要求
掌握空间群的概念、空间群的国际符号 掌握等效点系的概念
空间群
空间群为晶体内部结构的对称要素（操作）的组合。空间群 共有230种，即230种微观质点排列的对称集合类型。空间 群亦称之为费德洛夫群（Fedrov group）或圣佛利斯群 （Schoenflies group）。
等效点系
由一原始点出发，通过空间群对称要素的操作而相互联系起来的 一系列点的总和形式，称为等效点系。
说明：
● 属于同一等效点系的所有点彼此等效。等效点系中的点称 为等效点。 ● 一个等效点系，通常只考虑在一个单位晶胞范围内的点。 ● 等效点系与空间群的关系相当于单形与点群的关系： --在等效点系中，根据原始点与空间群对称要素的相对位置的不 同，可分为一般等效点系和特殊等效点系。 --等效点系在单位晶胞内所占有的等效点数是一定的。 --如同聚形中的单形，在晶体结构中，可以同时存在几个等 效点系。且同时属于同一空间群的对称特点。
点群、空间群和晶体结构介绍
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可 以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质：
封闭性（Closure）
群G的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自 身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。
有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素 本身。 群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element） 使得两者相乘为其本身。 以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性 质。 两个独立群的直接积 设有两个独立群 GA和GB，其中GA是n阶群，GB是m阶群。两个 群中除了恒等元素外，没有其它共有元素，两个群的元素间相乘有 ai · bj=bj · ai 交换律，即 两个群的直接积G以 G G A G B 表示：
立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴， 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等 效点系共有48个点。 5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看 到立方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另 外，立方晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的 点群D4h-4／mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就 比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。 图 (a)是正交点阵的阵 点 上 放 上 对 称 性 为 C2vmm2 的物体的空间群的俯 视图。
(a)正交晶系的Pmm2空间群
图中画出单胞的轮廓，原点选在左上角，a轴指向页底，b 轴指向右， c 轴从页面指出来。以圆圈排列来表示它的对称性 ，在左边的图中每个阵点的对称性用一般位置点的等效点系表 示。其中每一个圆圈既可以代表晶体中单个原子，也可以代表 原子集团。在右边的图上给出对称元素的配置。在原点有一个 沿 c 方向的2次轴和 2个镜面 (用粗线表示 )。 P- 初基点阵， mm2基本操作。非基本操作（附加的2次轴和镜面）未表示。
空间群
包括了这些与平移有关的操作之后，晶体的对称运动可以全部分类成230个对称操作群，称晶体空间群，也 称空间群。
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
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空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
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晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
费德洛夫 12.22.1853– 5.21.1919
Arthur Moritz Schönflies (1853.4.17— 1928.5.27)
空间群被完整推导出来
之前，费德洛夫在乌拉尔矿 山工作，圣佛利斯则在德国 哥迁根师从克莱恩(Klein)学 习数学。圣佛利斯的空间群 工作略迟于费德洛夫。他们 两个原不认识，都在独自工 作。
❹晶体的微观对称是宏观对称 的本质，宏观对称又是微观对 称的外部表现。微观对称元素 的移距为0时，空间群变成点 群；相反，点群也可因各对称 元素有不同的移距，而分裂成 不同的空间群。
空间群的国际符号
三个窥视方向
P212121
格子类型
(P,F,I,A,B,C,R)
空间群的圣佛利斯符号
C4点群 C41、 C42 、 C43 、 C44 、 C45 、 C46
个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
极射赤面投影
m3m-Oh点群极射赤平投影图
研究点群的意义
对晶体进一步分类：所有 晶体分属32种晶类，每种晶 类对应一种点群；
点群是空间群的基础； 固体的性质与点群有关。
在32种晶体点群中，有 21种没有对称中心，其中20 种点群的晶体具有压电效应： 10种极性、10种非极性。极 性压电晶体指具有永久偶极 矩，如钛酸钡、铌酸锂晶体 等。
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素 的各种可能组合之一，由对称元素组合成对称操作群 时，对称轴之间的夹角、对称轴的数目，都会受到严 格的限制，例如，若有两个2重轴，它们之间的夹角只 可能是 300,450,600,900 ，可以证明总共只能有32种不同 的组合方式，称为 32 种点群。形形色色的晶体就宏观 对称性而言，总共只有这 32 种类型，每种晶体一定属 于这 32 种点群之一，这是对晶体按对称性特点进行的 第一步分类。
晶系与空间群
32种 结晶学点群
在不影响晶族对称性的前
提下，对晶胞加“心”，最多 可得到14种独立的布拉维格子； 而14种布拉维格子通过一个公 共点的全部对称元素，可组合 形成32种满足数学中群定义的 点群。
不论任何晶体，它的宏观对称元素只有8种对称元素：
1, 2,3, 4, 6,i, m, 4
He worked first on geometry and kinematics but became best known for his work on set theory and crystallography. He classified the 230 space groups in 1891 and created a symbolic language for them (the Schoenflies symbols).
1891年圣佛利 斯发表巨著《晶系 与晶体结构》，但 当他得知费德洛夫 的工作优先与他时， 他给费德洛夫写了 一封信：
Cn
Cn群
Cnh群
Cn
Cnv群
Cn
Cn
Dn群
n个C2
Cn
Dnh群
Dnd 群
Cn
n个σd
n个C2
Sn
Sn群
正四面 体的对称 性用Td表 示。
Td 群
T群
Td群中12个 纯转动操作组 成的子群。
Oh群
正八面体群
O群
Oh群中 的24个纯 转动操作 组成的子 群。
➋国际符号
国际符号一般由三
所谓结晶学空间群，即 “空间对称操作(元素)系”， 就是能使三维周期物体(无限 大晶体)自身重复的几何对称 操作的集合。构成空间群的 这些操作的集合构成数学意 义上的群。
在晶体构造的无限图形
中，除了有限图形的宏观对 称元素外，还有其特有的移 动对称元素，包括平移对称 轴、螺旋对称轴和滑移对称 面。微观对称的主要特点如 下：
从宏观对称元素衍生 出来的微观对称元素：
m：a、b、c、n、d 2：21 3：31、32 4：41、42、43 6：61、62、63、64、65
如四方晶系四次对称轴 (4、41、42、43)，有P、I两种 格子，进行排列组合可得6种 空间群：
P4 P41 P42 P43 I4 I41
(I42 =I4 I43=I41)
1, 2,3, 4,6,1, 2,3, 4,6
2 是反映面 m，而 3 3 i,6 3 m 不是独立的。
参见陈长乐《固体物理学》P15-16
三. 晶体宏观对称性的表述：点群：
晶体中只有 8 种独立的对称元素：
C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、σ(m)和 S34(4)
分 子 与 晶 体 点 群
n? ？
230种空间群的内部构 造是由无数个化学质点在三维 空间组合而成的，任何相邻两 质点之间均仅有以nm为单位的 微小距离。
晶体构造可认为是沿三维
空间延伸的无限图形，所有对 称元素(包括对称元素的交点) 在三维空间作平行排列，也不 交于一点。
➊微观对称元素不仅有方向性，还 有严格的固定位置。方向相同的 同种对称元素有无数多个，对称 元素不可能交于一点；
➋在进行移动操作时，若移距缩小 为零，微观对称元素就变成同类 的宏观对称元素，螺旋轴变成旋 转轴，滑移面变成对称面。
❸从一个点阵点到整个空间格 子有无限多种平移轴，通常用 具有代表性的平移轴组合来表 征，这种组合称为平移群。若 用14种布拉维格子来代表微观 对称的平移群，则布拉维格子 就称为平移格子或移动格子。