弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
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弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
3.2 矩形梁的纯弯曲
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
弹性力学总结与复习(全)
其中：
1 ( z) 1( z)
（3）
E (u iv ) (3 ) 1 ( z ) z1 ( z ) 1 ( z ) 1 1
（5-10）
( z) z ( z) ( z) i ( X iY )ds
B 1 1 1 s A
（5-12）
（4）
—— 应力边界条件的复变函数表示
3 E (u iv ) 1 1 ( z ) z1 ( z ) 1 ( z ) 1 s
（5-13）
—— 位移边界条件的复变函数表示 多连体及无限大多连体中，1 ( z ), 1 ( z ) 结构特点
（2-18）
us u vs v
（2-17）
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数
2 2 2 4
( r , )
（4－6）
1 1 0 2 2 2 r r r r
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量：
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶
y
M O
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
2
O
2
( )
2
rf ( )
（3） 楔形体一侧受分布力
x
x
r f ( )
2
r 3 f ( )
y
O
2
2
r 2 f ( )
（1）一般多连体
1 m 1 ( z ) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1 ( z) 8 k 1 （5-14） 3 m 1 ( z) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1* ( z) 8 k 1 其中： 1 ( z ), 1 ( z ) 为该多连体中单值解析函数。
1 ( z) 1( z)
（3）
E (u iv ) (3 ) 1 ( z ) z1 ( z ) 1 ( z ) 1 1
（5-10）
( z) z ( z) ( z) i ( X iY )ds
B 1 1 1 s A
（5-12）
（4）
—— 应力边界条件的复变函数表示
3 E (u iv ) 1 1 ( z ) z1 ( z ) 1 ( z ) 1 s
（5-13）
—— 位移边界条件的复变函数表示 多连体及无限大多连体中，1 ( z ), 1 ( z ) 结构特点
（2-18）
us u vs v
（2-17）
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数
2 2 2 4
( r , )
（4－6）
1 1 0 2 2 2 r r r r
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量：
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶
y
M O
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
2
O
2
( )
2
rf ( )
（3） 楔形体一侧受分布力
x
x
r f ( )
2
r 3 f ( )
y
O
2
2
r 2 f ( )
（1）一般多连体
1 m 1 ( z ) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1 ( z) 8 k 1 （5-14） 3 m 1 ( z) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1* ( z) 8 k 1 其中： 1 ( z ), 1 ( z ) 为该多连体中单值解析函数。
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学-第八章 平面问题的极坐标解答
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
2
u
u dr r
dr
u
y
u r
d
B
B
rP
2
P
dr
u
2 A
x
A
u
（g） u
u
d
u r
dr
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
u
u d rd
xy
sin
2
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
r
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
第八章 平面问题的极坐标解答 §8.2 平面轴对称应力问题
§8.2 平面轴对称应力问题
A. 轴对称问题应力分量与协调方程
无体积力,且与θ无关.求解方法：
（1）应力分量
r
1 r
d
dr
d 2
dr 2
r 0
主 要内容
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9
基本方程 平面轴对称应力问题 内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板 匀速转动的圆盘 曲梁的纯弯曲 曲梁一端受径向集中力作用 圆孔对应力分布的影响 集中力作用于全平面 在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
1 r
)
e2 (sin
r
cos
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相 对的位移增量分量。
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
弹性力学的半逆解法
弹性力学的半逆解法研究指导老师：刘平姓名：曹天阁班级：研13学号：M13746弹性力学的半逆解法研究姓名：曹天阁学号：M13746摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。
这种方法简化了计算过程。
本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学;解析法;应力函数THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。
Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。
Key words:elasticity;analysis method;stress function半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。
半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。
这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。
实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。
可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。
第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题
所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ui ui，则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， ij l j F i 就要将应力 形式的边界条件转换成为位移形式。 其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如 下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 E E ij ij e ij ij e 2G ij (4 6) (1 )(1 2 ) (1 )
将 2G 换成 , E 来表示，则位移解答为
显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知
将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答
x y
1
( q pz ), z ( q pz ), xy yz zx 0
采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设
于是 而
因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出
式中A、B为积分常数。 边界上
边界条件式(8-6)前两式自然满足，
lx l y 0
lz 1
u u u u v w lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z x x x v v v u v w F y el y G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z y y y w w w u v w F z el z G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z z z z F x el x G (
利用式(4-5)，式(1)中 简化后得
04弹性力学解题方法
Laplace算子 位移分量表示 的平衡微分方程
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi G G 2 u f x 0 1 2 x G G 2 v f y 0 1 2 y G G 2 w f z 0 1 2 z
几何方程：
物理方程
1 x E x y 1 y x y E 1 xy xy G
E x x y 2 1 E y y x 2 1
xy G xy
解题思路：
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi
ui u j n jG x j x i
ui ui
几何 方程 物理 方程
n j ij Fi （4－4）
u v w
ij
ij
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
q
解：
位移分量：
o
x
Z=h
uv0
1 2 w 4(1 )G
应力分量：
z g( h2 z 2 ) 2q( h z )
x y
1
(q gz )
z (q gz)
z 0 r 0
r
E 1 2(1 ) 1 2 E 1 2(1 ) 1 2
u 2u 2 fr 0 u u w r r r r z 2 w fz 0 2 2 1 z 2 2 2 r r z r
( G ) G 2 ui f i 0 xi
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结论4： 应力分量为x、y 的二次函数分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
应力函数：
ay
3
可解决 y
如图a所示应力边界的矩形截面梁 的纯弯曲问题应力分布问题。
但若坐标系位置不同，对应的应
x 图a x
力边界也不同，同一个应力函数， 如图b的坐标系，为梁的偏心受拉 （或受压）问题。 y 图b
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
（只解出应力分量，位移分量后面再介绍）
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
应力函数 ϕ 解法将平面问题的一组方程简化为相容方 程式（2-25）的一个方程，问题得到大大简化。理论上 只需求解一个方程（2-25）就可以得到应力分量，如果 应力分量满足应力边界条件，则所得应力分量就是问题 的正确解答。 数学上能够找到很多满足式（2-25）的双调和函数， 但是要找到同时能满足应力边界条件和双调和方程的函 数却十分困难。
ax by c
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
公式推导
（1）
ax bxy cy
2
2
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y 2 x 2 2c y
4 24a 4 x
得
代入：
4
0
24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
3a c 3e 0
其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
（4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
例1：已知函数=a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力函数？ 若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩 形薄板边界上的面力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
解：按逆解法 1、将=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。因此 ，它有可能作为应力函数。 2、将代入式（2－25），得出应力分量：
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
半逆解法：是根据弹性体的形状和受力情况，推测假设 可能的（部分或全部）应力分量表达式，由应力分量反推出 可能的应力函数的形式，然后带入双调和方程确定应力函数 具体表达式， 由（2-24）求出应力分量，看其能否满足边界 条件 ，若满足则问题即告解决，若不满足则另作假设，重新 求解。——是针对具体问题， “凑”出一个满足所求问题边 界条件的双调和函数。
为了能获得问题的解答，采用逆解法或半逆解法。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
逆解法：事先设定应力函数[双调和函数（2-25）]，根 据（2-24）式可得到应力分量，看这个应力分量能满足哪些 应力边界条件，由此可以确定所设定的应力函数能解决什么 样的问题。——不针对具体问题，用于积累弹性力学的基本 解答。类似于查表法，在已经得到的一族函数中查找与所要 求解的问题一样的情况，直接引用其解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
逆解法步骤： （1）先找出满足双调和方程（2-25）的解答- ϕ ， （2）由式（2-24）计算出应力分量， （3）根据应力分量表达式及（2-15），由应力反推出相 应各边界的面力， （4）所的解答即是该面力边界作用下弹性体的解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
4）应力函数 ϕ为四次多项式
（ 1）
公式推导
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
4 4 2 2 2 8c 24e 4 x y y
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
应用举例：
0
例： 试求图示板的应力函数。
0
0
x y
x y
cy 2； x 2c, y 0, xy yx 0 x 0 , y 0, xy yx 0
( x, y )
0
bxy； x 0, y 0, xy yx b x 0, y 0, xy yx 0
内容要点： 利用上一节的逆解法结果，选取与之对应的应力函数 求解梁纯弯曲的应力分量表达式。
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
可解决的问题（分析边界条件）： （1）应力函数： ax 2 应力分量 x 0, y 2a, xy yx 0
2a
O x
2a
y b o x
bxy 应力分量 x 0, y 0, xy yx b
2 ( x, y ) 2 x f x 12 ay x y 2 2 ( x, y ) 2 y f y 12 ax y x 2 2 ( x, y ) xy 0 xy
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
逆解法举例说明:体力为零的情况下的一系列多项式解答。 将应力函数 ϕ 设定为一系列关于弹性体中点坐标 （x，y）的一系列多项式函数ϕ （x，y） ，按照逆解法 步骤看每个多项式解函数 ϕ 能够解决哪类弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
M
l
图示梁对应的边界条件：
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
应力函数：
ay
3
可解决 y
如图a所示应力边界的矩形截面梁 的纯弯曲问题应力分布问题。
但若坐标系位置不同，对应的应
x 图a x
力边界也不同，同一个应力函数， 如图b的坐标系，为梁的偏心受拉 （或受压）问题。 y 图b
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
（只解出应力分量，位移分量后面再介绍）
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
应力函数 ϕ 解法将平面问题的一组方程简化为相容方 程式（2-25）的一个方程，问题得到大大简化。理论上 只需求解一个方程（2-25）就可以得到应力分量，如果 应力分量满足应力边界条件，则所得应力分量就是问题 的正确解答。 数学上能够找到很多满足式（2-25）的双调和函数， 但是要找到同时能满足应力边界条件和双调和方程的函 数却十分困难。
ax by c
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
公式推导
（1）
ax bxy cy
2
2
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y 2 x 2 2c y
4 24a 4 x
得
代入：
4
0
24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
3a c 3e 0
其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
（4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
例1：已知函数=a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力函数？ 若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩 形薄板边界上的面力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
解：按逆解法 1、将=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。因此 ，它有可能作为应力函数。 2、将代入式（2－25），得出应力分量：
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
半逆解法：是根据弹性体的形状和受力情况，推测假设 可能的（部分或全部）应力分量表达式，由应力分量反推出 可能的应力函数的形式，然后带入双调和方程确定应力函数 具体表达式， 由（2-24）求出应力分量，看其能否满足边界 条件 ，若满足则问题即告解决，若不满足则另作假设，重新 求解。——是针对具体问题， “凑”出一个满足所求问题边 界条件的双调和函数。
为了能获得问题的解答，采用逆解法或半逆解法。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
逆解法：事先设定应力函数[双调和函数（2-25）]，根 据（2-24）式可得到应力分量，看这个应力分量能满足哪些 应力边界条件，由此可以确定所设定的应力函数能解决什么 样的问题。——不针对具体问题，用于积累弹性力学的基本 解答。类似于查表法，在已经得到的一族函数中查找与所要 求解的问题一样的情况，直接引用其解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
逆解法步骤： （1）先找出满足双调和方程（2-25）的解答- ϕ ， （2）由式（2-24）计算出应力分量， （3）根据应力分量表达式及（2-15），由应力反推出相 应各边界的面力， （4）所的解答即是该面力边界作用下弹性体的解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
4）应力函数 ϕ为四次多项式
（ 1）
公式推导
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
4 4 2 2 2 8c 24e 4 x y y
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
应用举例：
0
例： 试求图示板的应力函数。
0
0
x y
x y
cy 2； x 2c, y 0, xy yx 0 x 0 , y 0, xy yx 0
( x, y )
0
bxy； x 0, y 0, xy yx b x 0, y 0, xy yx 0
内容要点： 利用上一节的逆解法结果，选取与之对应的应力函数 求解梁纯弯曲的应力分量表达式。
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
可解决的问题（分析边界条件）： （1）应力函数： ax 2 应力分量 x 0, y 2a, xy yx 0
2a
O x
2a
y b o x
bxy 应力分量 x 0, y 0, xy yx b
2 ( x, y ) 2 x f x 12 ay x y 2 2 ( x, y ) 2 y f y 12 ax y x 2 2 ( x, y ) xy 0 xy
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
逆解法举例说明:体力为零的情况下的一系列多项式解答。 将应力函数 ϕ 设定为一系列关于弹性体中点坐标 （x，y）的一系列多项式函数ϕ （x，y） ，按照逆解法 步骤看每个多项式解函数 ϕ 能够解决哪类弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
M
l
图示梁对应的边界条件：