河南理工弹性力学-逆解法与半逆解法
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
河南理工大学弹性力学往年试题
河南理⼯⼤学弹性⼒学往年试题河南理⼯⼤学弹性⼒学往年试题⼀、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每⼩题2分，共10分）1、弹性⼒学建⽴的基本⽅程多是偏微分⽅程，还必须结合（ C ）求解这些微分⽅程，以求得具体问题的应⼒、应变、位移。
A．相容⽅程 B．近似⽅法 C．边界条件 D．附加假定2、根据圣维南原理，作⽤在物体⼀⼩部分边界上的⼒系可以⽤（ B ）的⼒系代替，则仅在近处应⼒分布有改变，⽽在远处所受的影响可以不计。
A．⼏何上等效 B．静⼒上等效 C．平衡D．任意3、弹性⼒学平⾯问题的求解中，平⾯应⼒问题与平⾯应变问题的三类基本⽅程不完全相同，其⽐较关系为（ B ）。
A．平衡⽅程、⼏何⽅程、物理⽅程完全相同B．平衡⽅程、⼏何⽅程相同，物理⽅程不同C．平衡⽅程、物理⽅程相同，⼏何⽅程不同D．平衡⽅程相同，物理⽅程、⼏何⽅程不同4、不计体⼒，在极坐标中按应⼒求解平⾯问题时，应⼒函数必须满⾜（ A ）①区域内的相容⽅程；②边界上的应⼒边界条件；③满⾜变分⽅程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D.①②③④⼆、简答题（四⼩题，共35分）1、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性⼒学物理⽅程中的表现是什么？（5分）答：材料的各向同性假定物体的物理性质在各个⽅向上均相同。
因此，物体的弹性常数不随⽅向⽽变化。
在弹性⼒学物理⽅程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量E，切变模量G和泊松系数（泊松⽐）µ都不随⽅向⽽改变（在各个⽅向上相同）。
2、位移法求解的条件是什么？怎样判断⼀组位移分量是否为某⼀问题的真实位移？（5分）答：按位移法求解时，u，v必须满⾜求解域内的平衡微分⽅程，位移边界条件和应⼒边界条件。
平衡微分⽅程、位移边界条件和（⽤位移表⽰的）应⼒边界条件既是求解的条件，也是校核u，v是否正确的条件。
3、试述弹性⼒学研究⽅法的特点，并⽐较材料⼒学与弹性⼒学在研究内容、⽅法等⽅⾯的异同。
弹性力学第三章_1
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l 的次要边界（小边界）上， 3F y2 x 0, (σ x ) x 0 0, ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl x l, (σ x ) x l 3 y , h 3F y2 ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
ax2 不计体力时， 先来看
2 2 x 2 0, y 2 2a, y x
xy
2 0 xy
如取矩形板（或无限长柱 体），则对应于两侧受拉 （a>0）或两侧受压(a<0) 的情况。
第三章 平面问题的直角坐标解答
对应于 bxy 应力分量是:
2h
o
h/2
h/2
x y l ( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ
2. 由Φ 求出应力分量,
2Φ 12 Fxy , σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
xy
x
xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
其主矢量和主矩
x 0,
FN 0, M 0, FS xy x 0 dy F ;
h 2 h 2
x l , FN x x l dy 0, M x x l ydy Fl FS xy x l dy F ;
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
一、逆解法和半逆解法
弹性力学的半逆解法
弹性力学的半逆解法研究指导老师：刘平姓名：曹天阁班级：研13学号：M13746弹性力学的半逆解法研究姓名：曹天阁学号：M13746摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。
这种方法简化了计算过程。
本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学;解析法;应力函数THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。
Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。
Key words:elasticity;analysis method;stress function半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。
半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。
这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。
实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。
可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。
04弹性力学解题方法
解题思路：
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi
ui u j n jG x j x i
ui ui
几何 方程 物理 方程
u v w
n j ij Fi （4－4）
ij
ij
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
ij 2G ij ij
ij
ui u j G x j x i ij
ui u j x i x j
（4－1）
a i ij a j ij x j x i
2 ui 2u j G x x j j xi x j
2. 位移的边值问题
在物体的全部表面上给定位移的问题。 位移法
3. 混合边值问题
在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分 表面上给定位移的问题。 力法或位移法
§4－2 按位移求解弹性力学问题
基本方程
ij x j fi 0
ij
u j ui 1 2 x j x i
G G (1 2 )
Laplace算子 位移分量表示 的平衡微分方程
G G 2 ui f i 0 （4－3） 1 2 xi G G 2 u f x 0 1 2 x G G 2v f y 0 1 2 y G G 2 w f z 0 1 2 z
以位移分量为基 本未知量
用位移表示应 力和应变
物理 方程
求出位移 分量
几何 方程
2. 力法
以应力分量为基 本未知量
求出应力 分量 消去位移和应 变分量
河南理工弹性力学- 楔形体问题
环向正应力 和切应力 均为零；
径向正应力 与极径 成反比， 越大， 越小； 无限小时， 无限增大，该解答具有奇异性。
x
若在半平面体内做一直径为 d、且在 O 点与边界相切的圆，则 圆上（实际为圆柱面上）各点满足
2F cos 1 . , 此时有 d cos 即 d d
f (4) () 2 f (2)() f () 0
其通解为 f () A cos B sin (C cos D sin ) 从而应力函数 f () A cos B sin (C cos D sin ) 其中 A、B、C、D 为待定的积分常数。
x
/2
/2
/2
d cos F cos 0
d sin F sin 0
D
C
F cos sin
8
/2
F sin sin
4.9 楔形体问题
最终我们得到，应力分量的表达式
2 1 1 2 2 2 2 1
2 (D cos C sin ), 0, 0.
应力分量
[力] [长度]2
x
y
F
O
2 2
P
F
[力] [长度]
[长度]
1
1
1
可见，应力当具有 如下形式 ——F N (, , ) Nhomakorabea4
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
弹性力学 知识要点
弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。
外力分为体积力和面积力。
体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。
体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。
连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。
均匀性，整个物体时统一材料组成。
各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
弹性力学、材料力学、结构力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。
解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。
应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。
切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。
负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。
材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。
试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别。
平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。
外力约束，平行于版面且不沿厚度变化。
平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。
外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。
平衡微分方程表示的是弹性体内任一点应力分量与体力分量之间的关系式。
在推导平衡微分方程时我们主要用了连续性假定。
几何方程表示的是形变分量与位移分量之间的关系式。
试根据几何方程分析，应变分量与位移分量之间的关系，并解释原因。
当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，等形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
在推导几何方程主要用了小变形假定。
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第12讲逆解法与半逆解法
内容回顾
如果体力是常数（如重力）时，引入应力函数Φ 后，其应力分量可以表示为：而应力函数还应该满足如下的双调和条件：
除此之外，应力分量还应该满足相应的边界条件位移单值条件（对于多连域）22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y
444442220x x y y
1.逆解法
所谓逆解法，就是先设定各种形式的满足相容方程的应力函数Φ。
然后利用应力函数计算出各应力分量，根据边界条件来考察，这样的应力函数对应于什么样的弹性力学问题。
444442220x x y y 22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y
2.逆解法之多项式解答
下面在忽略体力的条件下，用逆解法，求出几个简单平面问题的多项式解答，以熟悉逆解法。
1）一次函数a x by c
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 应力分量444442220x x y y 相容方程
将一次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分量，得。
00, 0,x y xy 结论：（1）一次应力函数对应于无面力无应力状态；
（2）应力函数加减一次项，不影响计算结果。
2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y
2）二次函数2ax 将二次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分
量，得
结论：纯二次函数对应于沿
坐标轴方向单向均布拉力模型。
0, 2,x y xy a
2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y
444442220x x y y
3）二次函数bxy
将二次函数代入相容方程，
可以满足；再代入应力分
量，得
结论：xy 二次函数对应于沿
表面受均布剪力的模型。
0, 0,x y xy b
2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y
4）二次函数2cy 将二次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分
量，得
00
2,,x y xy c 结论：纯二次函数对应于沿
坐标轴方向单向均布拉力模型。
2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y
5）三次函数3a y 将三次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分
量，得
,006,x y xy ay 结论：纯三次函数可以解决纯弯曲问题。
（下章详细解决）−+M
M h l 2h 2h y x
σx
σx y
1
3.半逆解法
所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据其边界条件，假设出部分或者全部应力为某种形式的函数，从而反推出应力函数Φ。
然后根据相容方程和剩余的边界条件，确定出其余的应力分量。
这是一种常用的方法。
（下一章详细介绍）
说明：
u逆解法和半逆解法都是比较重要的求解方法；
u逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。
4.本章小结
本章主要内容
①明确了两类平面问题：平面应力问题和平面应变问
题，确定了8个基本未知量；
②建立了有关8个基本未知量间的3类方程（平衡方程、
几何方程、物理方程）；
③边界条件（应力、位移、混合）；
④圣维南原理及其在边界条件中的应用；
⑤弹性力学问题的一般求解途径（位移法和应力法）；
⑥逆解法和半逆解法。
本章要求：对上述6个重点内容中的有关公式，要会推导，并且牢记。
本章结束！。