弹性力学 平面问题的直角坐标解答
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弹性力学第三章_1
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l 的次要边界（小边界）上， 3F y2 x 0, (σ x ) x 0 0, ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl x l, (σ x ) x l 3 y , h 3F y2 ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
ax2 不计体力时， 先来看
2 2 x 2 0, y 2 2a, y x
xy
2 0 xy
如取矩形板（或无限长柱 体），则对应于两侧受拉 （a>0）或两侧受压(a<0) 的情况。
第三章 平面问题的直角坐标解答
对应于 bxy 应力分量是:
2h
o
h/2
h/2
x y l ( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ
2. 由Φ 求出应力分量,
2Φ 12 Fxy , σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
xy
x
xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
其主矢量和主矩
x 0,
FN 0, M 0, FS xy x 0 dy F ;
h 2 h 2
x l , FN x x l dy 0, M x x l ydy Fl FS xy x l dy F ;
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
一、逆解法和半逆解法
03平面问题的直角坐标解答
7
若取应力函数为 Φ = ax 2，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 2a,τ xy = 0 。对应图（a）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = bxy ，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 0,τ xy = −b 。对应图（b）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = cy 2，则应力分量为： σ x = 2c, σ y = 0,τ xy = 0 。对应图（c）所示的矩形板；
4
一.逆解法 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容 方程 ∂2 ∂ 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ 2 + 2 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y 的应力函数 Φ 。
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ 并根据 σ x = 2 − f x x，σ y = 2 − f y y，τ xy = − ∂y ∂x ∂x∂y
11
如当两端的面力的等效力系组成大小为ah3/2的力 偶时，该解答在离两端较远的地方，误差是可以忽略 不计的。 圣维南原理处理边界条件时，起着十分重要的作 用。处理时要分清主要边界和次要边界。
12
第四节 简支梁受均布荷载
设有矩形截面的简支梁，深度为h，长度为2l，体 力不计，受均布荷载q，由两端的反力ql维持平衡， 如图所示。这个问题用逆解法求解。 q是不随x变化的常量， 因此可假设σy不随x变 化，仅是y的函数：
第二节 矩形梁的纯弯曲
设有矩形截面的长梁，两端作用的力偶矩为M，则 矩形截面长梁发生纯弯曲。应力函数取为三次函数， 即 Φ =ay3 ，显然满足相容方程，相应的应力分量为 σx = 6ay σy =0 τxy = τyx = 0 对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：
10
对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力 分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布 形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高 度较小时，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为 次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端 较远处仍是正确的。
若取应力函数为 Φ = ax 2，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 2a,τ xy = 0 。对应图（a）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = bxy ，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 0,τ xy = −b 。对应图（b）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = cy 2，则应力分量为： σ x = 2c, σ y = 0,τ xy = 0 。对应图（c）所示的矩形板；
4
一.逆解法 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容 方程 ∂2 ∂ 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ 2 + 2 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y 的应力函数 Φ 。
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ 并根据 σ x = 2 − f x x，σ y = 2 − f y y，τ xy = − ∂y ∂x ∂x∂y
11
如当两端的面力的等效力系组成大小为ah3/2的力 偶时，该解答在离两端较远的地方，误差是可以忽略 不计的。 圣维南原理处理边界条件时，起着十分重要的作 用。处理时要分清主要边界和次要边界。
12
第四节 简支梁受均布荷载
设有矩形截面的简支梁，深度为h，长度为2l，体 力不计，受均布荷载q，由两端的反力ql维持平衡， 如图所示。这个问题用逆解法求解。 q是不随x变化的常量， 因此可假设σy不随x变 化，仅是y的函数：
第二节 矩形梁的纯弯曲
设有矩形截面的长梁，两端作用的力偶矩为M，则 矩形截面长梁发生纯弯曲。应力函数取为三次函数， 即 Φ =ay3 ，显然满足相容方程，相应的应力分量为 σx = 6ay σy =0 τxy = τyx = 0 对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：
10
对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力 分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布 形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高 度较小时，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为 次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端 较远处仍是正确的。
弹性力学 平面问题的直角坐标解答回顾
y
当取为坐标x、y的三次或三次以上的多项式 时，应力分量将不是常量，而是坐标的的函 数，此时，对于同一弹性体，在不同的坐标 下，对应的应力分量不同，所解决的问题也 不同
例1、已知函数=a（x4-y4），检查能否作 为应力函数；并求图所示矩形板边界上的
面力
解：
x（1）将=a（x4-y4 ）
代如 4 0
y 能解决矩形板既受拉又受剪的情况
3、三次式 取（x，y）=ay3
无论a取何值，均能满足相容方程
4 0
应力分量：
x
2
y 2
6ay
y
2
x 2
0
xy
2
xy
0
根据边界条件考察应力分量所对应的面力 x
y
左右两侧： m 0,l 1
l x m xy X 6ay
第三章 平面问题的直角坐标解答
3—1 逆解法与半逆解法 多项式解答
逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力 函数，然后求应力分量，再根据边界条件来考察 这些应力分量对应什么样的面力，从而得知所设 定的应力函数可以解决什么样的问题
1、一次式 （x，y）=a+bx+cy
结论
（1）线性应力函数对应无体力、无面力、无应力 的情况
x l x m xy X 12ay2
y
m y l xy Y 0
下上两侧： m 1,l 0
l x m xy X 0
m y l xy Y 12ax2
思考： =bxy2； =bx2y在不同的坐标系下能 解决什么问题？
作业： P55 3-1 P56 3-2
当取为坐标x、y的三次或三次以上的多项式 时，应力分量将不是常量，而是坐标的的函 数，此时，对于同一弹性体，在不同的坐标 下，对应的应力分量不同，所解决的问题也 不同
例1、已知函数=a（x4-y4），检查能否作 为应力函数；并求图所示矩形板边界上的
面力
解：
x（1）将=a（x4-y4 ）
代如 4 0
y 能解决矩形板既受拉又受剪的情况
3、三次式 取（x，y）=ay3
无论a取何值，均能满足相容方程
4 0
应力分量：
x
2
y 2
6ay
y
2
x 2
0
xy
2
xy
0
根据边界条件考察应力分量所对应的面力 x
y
左右两侧： m 0,l 1
l x m xy X 6ay
第三章 平面问题的直角坐标解答
3—1 逆解法与半逆解法 多项式解答
逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力 函数，然后求应力分量，再根据边界条件来考察 这些应力分量对应什么样的面力，从而得知所设 定的应力函数可以解决什么样的问题
1、一次式 （x，y）=a+bx+cy
结论
（1）线性应力函数对应无体力、无面力、无应力 的情况
x l x m xy X 12ay2
y
m y l xy Y 0
下上两侧： m 1,l 0
l x m xy X 0
m y l xy Y 12ax2
思考： =bxy2； =bx2y在不同的坐标系下能 解决什么问题？
作业： P55 3-1 P56 3-2
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
弹性力学—平面问题的直角坐标解答
次要边界
次要边界x=l 应用圣维南原理，列出三个积分条件，
h/2
h / 2 h/2 h / 2 h/2 h / 2
(σ x ) x l dy 1 0, (σ x ) x l dy 1 y 0, ( xy ) x l dy 1 ql。
由此解出H，K
另一次要边界(x=-l )的条件，自然满足。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x f y 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
2Φ 12 Fxy σx 2 y h3 2Φ σy 2 0 x 2Φ 3F y2 xy (1 4 2 ) xy 2h h
第三章 平面问题的直角坐标解答
应力
最后应力解答： 2 6q 2 y y 3 2 σ x 3 (l x ) y q (4 2 ) h h h 5
M y y 3 y q (4 2 ) I h h 5
2
FS S 6q h 2 2 xy 3 x( y ) h 4 bI
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/ 单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。 o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
本题是平面应力问题,且为单连体，若 按 Φ 求解， Φ 应满足相容方程及s s 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ ay 3，且满足
2Φ 12 Fxy σx 2 y h3 2Φ σy 2 0 x 2Φ 3F y2 xy (1 4 2 ) xy 2h h
弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答
弹性力学的基本方程
03
平衡方程
平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在力的作用下保 持平衡状态的条件。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为
$frac{partialsigma_{x}}{partial x} + frac{partialsigma_{y}}{partial y} + frac{partialsigma_{z}}ambdafrac{partial u}{partial x} + 2mufrac{partial v}{partial x}$
$sigma_{y} = lambdafrac{partial v}{partial y} + 2mufrac{partial u}{partial y}$
弹性地基的承载问题
总结词
弹性地基的承载问题是研究地基在垂直载荷 作用下的沉降和应力分布的问题，也是平面 问题的一个应用实例。
详细描述
在建筑、道路和桥梁建设中，地基的承载能 力是关键因素。当建筑物或道路桥梁等设施 施加垂直载荷时，地基会发生沉降。利用弹 性力学中的平面问题直角坐标解答方法，可 以分析地基的沉降和应力分布，为工程设计 和安全评估提供依据。
结论与展望
06
本讲内容的总结
01
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的基本原理和方法，包括应力、 应变、位移等基本概念及其计算公式。
02
理解了弹性力学平面问题直角坐标解答的步骤和流程，包括建立平衡 方程、几何方程、物理方程等。
03
学会了如何运用数值方法求解弹性力学平面问题，如有限元法、有限 差分法等。
04
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的常见问题及其解决方法，如 边界条件的处理、应力集中现象等。
弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答
界条件即可。平面问题的静力边界条件为：
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
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4Φ 4Φ 4Φ 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
4Φ 0
(可作为应力函数 )
（ 3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：X =Y = 0)
2Φ 2Φ 2Φ x 2 2cx 6dy y 2 2by 6ax xy 2bx 2cy y xy x
结论：三次多项式对应于线性应力分布。
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 8
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
4. 四次多项式
（ 1） Φ
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4 （2） 检验 Φ 是否满足双调和方程
4Φ 24a 4 x
4Φ 2 2 2 8c x y
Φ0
4
(可作为应力函数 )
（3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)
2c
2Φ 2Φ 2Φ b x 2 2c y 2 2a xy xy y x 2a 0
2c
0
x
x y
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第三章
平面问题的直角坐标解答
授课班级：勘查11级
周道祥
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第三章
本章要点
平面问题的直角坐标解
—— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力
学问题。
徐芝纶院士(1911-1999)
弹性力学简明教程(第三版)
Hale Waihona Puke 第三章内容提要平面问题的直角坐标解答
常数 a 与弯矩 M 的关系：
由梁端部的边界条件： (1)
(2)
h 2 h 2
x y dy M
12 M x 3 y h
h 2 h 2
6ay dy M
h 2 h 2 2
x dy 6ay dy 0
2M a 3 h M (或a 3 ) h 2
2
h 2 h 2
x dy
12kly dy 0 3 h
h 2 h 2
x ydy
h 2 h 2
12kly 2 12kly dy 3 h 3h 3
h 2
h 3 2 h 2
kl
h 2 h xy 弹性力学 2
dy
6ky2 3k 2ky3 3ky dy 3 k h 3 2h 平面问题的直角坐标解答 2h h h
h 2 h 2
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
弹性力学
平面问题的直角坐标解答
M x 3 y (h / 12)
M x y I
15
二 矩形梁的纯弯曲
说明：
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。
l
l
M min 3ah
平面问题的直角坐标解答
（2）在该函数 Φ 上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
2. 二次多项式
结论：二次多项式对应于均匀应力分布。 2 2 其中： a、b、c 为待定系数。 （1）Φ ax bxy cy
（2） 检验 Φ 是否满足双调和方程，显然有
4Φ 4Φ 4Φ 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
—— 应力分量为 x、y 的二次函数。
Φ ax 4 ey 4 （须满足：a + e =0）
y 12ax 2 x 12ey 2
xy 0
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 10
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数
Φ 的性质）
4Φ 0。
多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 4Φ 0 。 （1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
x dy
12kxy dy 0 3 h 12kxy dy 0 3 h
2
k O
l
h
kl k
x
y
结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。
h 2
x ydy
h 2 h 2
h 2 h 2
xy dy
右边界
xl:
h 2 h 2
h 2 h 2
6ky2 3k 2ky3 3ky h 3 2h dy h 3 2h h k
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
当体力为常量，按应力求解归结为求解一个应力函数Φ ( x, y )， 必须满足下列条件:
x, y 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式（2-24），求出 定系数）；
x , y , xy（具有待
（2）半逆解法
（3）再利用应力边界条件式（2-15），来考察这些应力函数 Φ 对应 什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数 Φ 可以求解什 么问题。 —— 主要适用于简单边界条件的问题。 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， （2）根据 x , y , xy 与应力函数 求出 Φ 的形式； 假设部分应力分量
第三章
内容提要
平面问题的直角坐标解答
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
三 位移分量的求出
以纯弯曲梁为例，说明如何由
x , y , xy求出形变分量、位移分量。
9
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
（3） 应力分量：
（4） 特例：
2Φ x 2 2cx 2 6dxy 12ey 2 y 2Φ y 2 2cy 2 6bxy 12ax 2 x 2Φ 2 2 3 bx 4 cxy 3 dy xy xy
2
13
第三章
内容提要
平面问题的直角坐标解答
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
二 矩形梁的纯弯曲
x 6ay y 0 xy 0
梁对应的边界条件：
l
l
取Φ ay 3 , ( X Y 0) 可得：
M min 3ah
h 2
M
x
x l : x 6ay, xy 0
可见： Φ
h y : 2
y 0, xy 0
1
max 3ah
y
h 2
ay 3 —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
x , y , xy
的某种函数形式 ；
Φ
的关系及 4Φ 0 ，
（3）最后利用相容方程计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和位 5 弹性力学 移单值条件。 平面问题的直角坐标解答 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数 Φ ，能解决什么样的力学问题。
1. 一次多项式
（2） 检验
（1） Φ( x, y ) ax by c
其中： a、b、c 为待定系数。
Φ是否满足双调和方程： 显然 Φ 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
2
4 4 4 Φ Φ Φ 4 Φ 4 2 2 2 4 0 x x y y
M M
l
1. 形变分量与位移分量 （1）形变分量
由前节可知，其应力分量为：
x
1
h
y 0 xy 0
My M x y 3 I h / 12
(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
y
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
（3） 对应的应力分量：
Φ x 2 Xx 0 Xx Xx y
2Φ y 2 Yy 0 Yy Yy x
y xy 0
6
2Φ xy 0 xy
若体力：X = Y =0，则有： x
结论： 弹性力学
（1）一次多项式对应于无体力和无应力状态；
1.相容方程
4Φ 4Φ 4Φ 2 2 2 4 0 4 x x y y
2.应力边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
3.对多连体，还须满足位移单值条件 求出应力函数后，可按下式求应力分量，再求形变分量和位移分 2 量 2 2