静力学第三章平面一般力系
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《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
理论力学 第三章 平面力系
FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
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第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
返回
第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
静力学-03-平面一般力系
平面力系的平衡
当Q=180 kN，满载W=200 kN时
mA(F )0
Q62 P2W 12 2 NB 4 0
Fi 0,
QPW N A NB 0
NA 210 kN NB 870 kN
平面力系的平面力系的平衡
平面力系的平衡
平面力系的平衡
平面一般力系
1.平面力系的简化 2.平面力系的平衡 3.物体系平衡
X 0
mA(F) 0
Y 0
XA 0
RB
a
q
a
a 2
m
P
2a
0
YA RB qa P 0
RB 12 kN
YA 24 kN
平面力系的平衡
平面平行力系
各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
平面平行力系的平衡条件
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
两个独立方程 只能求解两个独立的未知数
mA (Fi ) 0
mB (Fi ) 0
二矩式
AB连线不能平行于力的作用线
平面力系的平衡
已知：塔式起重机 P=700 kN, W=200 kN (最大起重量)，尺寸 如图。求： ①保证满载和空载时不致翻倒， 平衡块Q=？ ②当Q=180 kN时，求满载时轨道 A、B给起重机轮子的反力？
平面力系的平衡
平面力系的平衡
物体系平衡
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在材料力学中用位移协调条件来求解。
物体系平衡
物体系：由几个物体组成的系统,它们之间通过约束相连。 n个物体组成的系统: 最多3n个方程,可解3n个未知量。
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
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工程力学
Engineering Mechanics
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
2
§3–1 平面一般力系向作用面内任一点简化 §3–2 平面一般力系的简化结果分析 §3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §3-4 平面桁架 §3-5 静定与静不定问题的概念 §3-6 摩擦
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
8
平面一般力系简化结果的应用
固定端约束的反力
简图：
R
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力，一个反力偶
静力学第三章平面一般力系
9
第二节 平面一般力系的简化结果分析
R ——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =ΣMo(Fi) 与简化中心有关
① R=0， MO =0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专
静力学第三章平面一般力系
6
.O
O——简化中心
R——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =Σmo(Fi)
与简化中心有关
力学与实践 > 2004年3期 > 关于力系简化静中力主学第矢三是章不平面是一力般的力系讨论
R
. MO O
7
力系向一点简化的特殊情况
（1）通过简化中心的平面汇交力系：简化为通过简化中心 的力，与简化中心的位置无关。 （绝对的，主矢决定于原力系中各力的大小和方向） （2）平面力偶系：与简化位置有关 （相对的，主矩的大小和转向取决于简化中心的位置）
解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）
解除约束
由 m A(F i) P 02aN B3a0, N B2 3 P
X0 XA0
Y0 YBNBP0, YAP 3
静力学第三章平面一般力系
20
[例2] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的约束反力。
坐标轴的选择： a：坐标轴的选择应尽可能使较多的力与坐标轴 平行或垂直。 b：尽可能将坐标原点设在较多的力的汇交处。 3. 列出平衡方程求出未知力 a：尽可能列一个方程求解一个未知数，注意列 出的次序 b：矩心的选择尽可能在比较多的力（未知力） 的汇交处。
静力学第三章平面一般力系
19
[例1] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
O
m0(R) m0(Fi)
合力矩定理：当平面一般力系具有合力 时，合力对平面内任一点之矩就等于该 力系的各分力对同一点之矩的代数和。
静力学第三章平面一般力系
12
第三节 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
由于
R = 0 为力平衡
MO = 0 为力偶也平衡
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R和主矩 MO 都等于零，即：
3
第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化
平面一般力系(coplanar arbitrary force system) ：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面 一般力系.如图起重机横梁。
FAy
FT
FAx
G
Q
静力学第三章平面一般力系
4
平面一般力系的简化
F′
F′
Od F A
对任一点的矩为零。 ∴ 二矩式成立。
充分性 即
二矩式成立
平衡
∵
∴ 力系不可能合成为合力偶，
只可能合成为合力或平衡。
静力学第三章平面一般力系
16
合
由
若有合力，则合
力
力作用线过A点。 作
由
若有合力，则合
用
力作用线过B点。 线
又有
X= 0
B
过
AB
且 x 轴不与AB连线垂直 A
x
∴ 必有：合力为零，即力系平衡。 证毕
静力学第三章平面一般力系
14
■ 平衡方程的其它形式证明
1 二矩式： X= 0
2 三矩式：
附加条件：
附加条件：
B B
A
x
A
C
A、B 连线不垂直 A、B、C 三点不
于x 轴
在同一条直线上
静力学第三章平面一般力系
15
■二矩式的证明：
必要性 即
平 衡
二矩式成立
∵ 平衡 ∴ FR 0 ， MO＝0
则，力系的主矢在任一轴上的投影为零；
门讨论。
② R=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故主矩与简化中心位置无关。
③ R≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, RR 。
（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
静力学第三章平面一般力系
10
④ R≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R ' 。
力线平移定理
d M0 M0 R R
利用主矩的转向来确定合力R’的 作用线在简化中心的哪一侧。
静力学第三章平面一般力系
11
R d M0 M0
.O
d
.
R R
Rdm0(R)M0 m m0(Fi)
=
OM
d A
F″
力线平移定理
M F ， F F M d O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的 任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩 等于原力对平移点的力矩。
静力学第三章平面一般力系
5
任意多个力组成的力系中所有力的矢量和， 称为该力系的主矢。主矢只有大小和方向。
各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶矩， 称为该力系的主矩。主矩等于各分力对简化中心 的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上，如 图示:
解：研究AB梁
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
解得：
三矩式的证明类似，请大家自己证明。
静力学第三章平面一般力系
17
特殊力的平衡方程
平面汇交力系： Fix0
平面平行力系：
有力平行于x轴
F0
平面力偶系:
Mi 0
Fiy0
M(Fi)0
静力学第三章平面一般力系
18
求解平面一般力系平衡问题的一般方法步骤
1. 选取正确的研究对象，取分离体，作受力图。 2. 建立适当的坐标系（一般为平面直角坐标系）
R( X)2( Y)20
MOmO(Fi)0
静力学第三章平面一般力系
13
X0
Y0 mO(Fi)0
X0
mA(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0
mB(Fi)0 mC(Fi)0
①一矩式
②二矩式
③三矩式
条件：x 轴不AB 连线
条件：A,B,C不在 同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的 个数只有三个，对一个物体来讲, 只能解三个未知量,不得多列！
Engineering Mechanics
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
2
§3–1 平面一般力系向作用面内任一点简化 §3–2 平面一般力系的简化结果分析 §3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §3-4 平面桁架 §3-5 静定与静不定问题的概念 §3-6 摩擦
静力学第三章平面一般力系
静力学第三章平面一般力系
8
平面一般力系简化结果的应用
固定端约束的反力
简图：
R
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力，一个反力偶
静力学第三章平面一般力系
9
第二节 平面一般力系的简化结果分析
R ——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =ΣMo(Fi) 与简化中心有关
① R=0， MO =0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专
静力学第三章平面一般力系
6
.O
O——简化中心
R——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =Σmo(Fi)
与简化中心有关
力学与实践 > 2004年3期 > 关于力系简化静中力主学第矢三是章不平面是一力般的力系讨论
R
. MO O
7
力系向一点简化的特殊情况
（1）通过简化中心的平面汇交力系：简化为通过简化中心 的力，与简化中心的位置无关。 （绝对的，主矢决定于原力系中各力的大小和方向） （2）平面力偶系：与简化位置有关 （相对的，主矩的大小和转向取决于简化中心的位置）
解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）
解除约束
由 m A(F i) P 02aN B3a0, N B2 3 P
X0 XA0
Y0 YBNBP0, YAP 3
静力学第三章平面一般力系
20
[例2] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的约束反力。
坐标轴的选择： a：坐标轴的选择应尽可能使较多的力与坐标轴 平行或垂直。 b：尽可能将坐标原点设在较多的力的汇交处。 3. 列出平衡方程求出未知力 a：尽可能列一个方程求解一个未知数，注意列 出的次序 b：矩心的选择尽可能在比较多的力（未知力） 的汇交处。
静力学第三章平面一般力系
19
[例1] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
O
m0(R) m0(Fi)
合力矩定理：当平面一般力系具有合力 时，合力对平面内任一点之矩就等于该 力系的各分力对同一点之矩的代数和。
静力学第三章平面一般力系
12
第三节 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
由于
R = 0 为力平衡
MO = 0 为力偶也平衡
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R和主矩 MO 都等于零，即：
3
第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化
平面一般力系(coplanar arbitrary force system) ：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面 一般力系.如图起重机横梁。
FAy
FT
FAx
G
Q
静力学第三章平面一般力系
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平面一般力系的简化
F′
F′
Od F A
对任一点的矩为零。 ∴ 二矩式成立。
充分性 即
二矩式成立
平衡
∵
∴ 力系不可能合成为合力偶，
只可能合成为合力或平衡。
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合
由
若有合力，则合
力
力作用线过A点。 作
由
若有合力，则合
用
力作用线过B点。 线
又有
X= 0
B
过
AB
且 x 轴不与AB连线垂直 A
x
∴ 必有：合力为零，即力系平衡。 证毕
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■ 平衡方程的其它形式证明
1 二矩式： X= 0
2 三矩式：
附加条件：
附加条件：
B B
A
x
A
C
A、B 连线不垂直 A、B、C 三点不
于x 轴
在同一条直线上
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■二矩式的证明：
必要性 即
平 衡
二矩式成立
∵ 平衡 ∴ FR 0 ， MO＝0
则，力系的主矢在任一轴上的投影为零；
门讨论。
② R=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故主矩与简化中心位置无关。
③ R≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, RR 。
（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
静力学第三章平面一般力系
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④ R≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R ' 。
力线平移定理
d M0 M0 R R
利用主矩的转向来确定合力R’的 作用线在简化中心的哪一侧。
静力学第三章平面一般力系
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R d M0 M0
.O
d
.
R R
Rdm0(R)M0 m m0(Fi)
=
OM
d A
F″
力线平移定理
M F ， F F M d O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的 任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩 等于原力对平移点的力矩。
静力学第三章平面一般力系
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任意多个力组成的力系中所有力的矢量和， 称为该力系的主矢。主矢只有大小和方向。
各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶矩， 称为该力系的主矩。主矩等于各分力对简化中心 的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上，如 图示:
解：研究AB梁
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
解得：
三矩式的证明类似，请大家自己证明。
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特殊力的平衡方程
平面汇交力系： Fix0
平面平行力系：
有力平行于x轴
F0
平面力偶系:
Mi 0
Fiy0
M(Fi)0
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求解平面一般力系平衡问题的一般方法步骤
1. 选取正确的研究对象，取分离体，作受力图。 2. 建立适当的坐标系（一般为平面直角坐标系）
R( X)2( Y)20
MOmO(Fi)0
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X0
Y0 mO(Fi)0
X0
mA(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0
mB(Fi)0 mC(Fi)0
①一矩式
②二矩式
③三矩式
条件：x 轴不AB 连线
条件：A,B,C不在 同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的 个数只有三个，对一个物体来讲, 只能解三个未知量,不得多列！