第7章对数线性模型-原理及软件实现
对数线性模型
对于分类数据的分析，最简单也是最广泛使用的是卡方检验，但卡方检验在处理分类数据时，有两个局限：1.卡方检验只能简单描述变量间的相关关系，而无法分析出具体的因果关系或变量间相互作用（效应）大小2.卡方检验通常用于2*2列联表，而对于高维列联表，则无法系统的评价变量间的关系，而对数线性模型则是分析高维列联表的常用方法。
基于以上问题，我们除了可以使用Logistic模型之外，还可以使用对数线性模型进行分析。
对数线性模型的结构类似于方差分析，思想也和方差分析一样，不同的是方差分析用于连续变量，而对数线性模型用于分类变量。
在方差分析中，观测值y 的变异由各因素的主效应、各因素之间的交互效应、随机误差三者之和组成。
而对于分类变量也可以采用这种方法进行分解，只不过此时的观测值y为频数而不是实际的观测值，最终观测值变异的组成也不是相加关系，而是乘积关系。
以两个分类变量α、β为例:M ij代表第i行第j列的频数αi代表变量α的主效应βj代表变量β的主效应(αβ)ij代表变量αβ的交互作用εij代表随机误差分类数据的频数分布一般分为多项式分布、二项式分布、泊松分布，取值在0—+∞之间，因此等式两边都取其对数ln，这样可以使期望频数取值在-∞—+∞，这就是所谓的对数线性模型。
模型的独立参数和自由度：独立参数个数=分类数-限制条件数数据提供的信息量=列联表中网格的数量模型自由度=信息量-独立参数个数对数线性模型的一个假设前提是：每个分类变量各水平的效应之和等于0========================================== ===对数线性模型的统计检验：对数线性模型的假设检验都是基于Pearson卡方检验和似然比卡方检验L2，当样本规模较大时，这两个统计值很接近，但似然比卡方更加稳健1.对模型的整体检验也就是拟合优度检验，两种卡方的零假设是：检验模型的频数估计与观测频数无差异，也就是拟合度良好2.分层效应检验类似于逐步回归的筛选自变量，分层效应检验就是逐步筛选交互作用，每剔除一种交互作用，就检验一次，主要是：某一阶及更高阶所有交互作用项的集体检验，检验是否显著表明这一阶及更高阶中是否至少有一项分类的效应是有意义的。
对数线性模型
此模型包括主效应、因素A与B的交互作用，称为饱和模 型(saturated model)。
如果模型中的交互项为0，则模型为
此 模型称为不饱和模型(unsaturated model)或简约模 型(reduced model)。
在对数线性模型中，通过交互效应项反映各因素是否有关 及其效应大小。
•对数线性模型不区分各因素为因变量和自变量，综合考虑
通过迭代法估计一组参数（0， 1 ， 2 ….. m），使L达 到最大。
4.模型及自变量的统计检验 （1）模型检验（拟合优度检验）：当P>0.05，说明可以
接受拟合的模型。
•似然比检验（the likelihood ratio test）
•Pearson卡方检验
评价模型拟和的好坏：大多数单元格的标准化残差或调整 残差的 绝对值小于2。
四种独立性间的关系
•若A、B、C相互独立，则一定有A与B、C联合独立，B与A、
C联合独立，且C与A、B联合独立。
•若C与A、B联合独立，则一定有C与A、C与B边际独立，并 有给定A，C与B条件独立；给定B，C与A条件独立。 •注意：若A、B条件独立，则不一定有A、B边际独立；A、 B边际独立；也不一定有A、B条件独立。
结论：
生育史与工作姿势无关，与是否子宫后倾也无关，但工 作姿势(是坐姿还是立姿)与子宫是否后倾有关，不过这种 关系不受生育史状态影响(即有、无生育史并不影响工作 姿势与子宫后倾的关系)。
变量间的四种独立性
• 边际独立(marginally independent)：不考虑 A的影响下，
X与Y对给定Z条件独立，此资料属于条件独立模型（XZ，YZ）。
ORXY=(7/42)/(76/849)=1.86
对数线性模型的应用的原理
对数线性模型的应用的原理1. 介绍对数线性模型（Log-linear model）是一种统计模型，在许多领域中都有广泛的应用。
该模型主要用于建立关于两个或更多个变量之间关系的数学模型，并通过统计方法进行参数估计。
本文将介绍对数线性模型的原理及其在实际应用中的一些常见情况。
2. 对数线性模型的原理对数线性模型基于对数函数的性质以及一些基本假设，通过最大似然估计等方法对模型参数进行估计。
其数学形式可以表示为：log(y) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₖxₖ其中，y是因变量，x₁、x₂、…、xₖ是自变量，β₀、β₁、β₂、…、βₖ是待估计的参数。
模型中的自变量可以是离散型或连续型，而因变量一般为计数或频率等。
通过对模型参数的估计，可以得到每个自变量与因变量之间的关系。
3. 对数线性模型的应用对数线性模型在各个领域中都有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用情况：3.1 人口统计学在人口统计学中，对数线性模型常用于研究人口特征与人口发展之间的关系。
例如，可以使用对数线性模型分析某地区的人口数量与年龄、教育程度、职业等因素之间的关系。
•基本模型：log(人口数量) = β₀ + β₁年龄+ β₂教育程度+ β₃*职业•参数估计：通过最大似然估计，估计模型中的参数β₀、β₁、β₂、β₃的值•结果解读：根据参数估计结果，推断不同因素对于人口数量的影响程度3.2 市场营销对数线性模型在市场营销中的应用十分广泛。
例如，可以使用对数线性模型分析某产品的销售量与价格、广告投入、竞争对手销售量等因素之间的关系。
•基本模型：log(销售量) = β₀ + β₁价格+ β₂广告投入+ β₃*竞争对手销售量•参数估计：通过最大似然估计，估计模型中的参数β₀、β₁、β₂、β₃的值•结果解读：根据参数估计结果，推断不同因素对于销售量的影响程度3.3 健康科学在健康科学领域，对数线性模型常用于研究疾病发生率与各种危险因素之间的关系。
对数线性模型剖析
极大似然法与最小二乘法的区别于联系
最小二乘法所要解决的问题是：为了选出似的模型输出 与系统输出尽可能接近的参数估计，用误差平方和即离 差平方和的大小来表示接近程度。使离差平方和最小的 参数值即为估计值。简单来说，已知点，自己拟合模型 也即分布函数（概率密度函数的积分），进行预测。
极大似然估计所要解决的问题是：选择参数Ɵ，使已知 数据在某种意义下最可能出现。某种意义指的是似然函 数最大，此处似然函数就是概率密度函数。也就是经常 提到的“模型已知，参数未定”。
对数线性模型的统计检验
举例说明：
由图可知，自由度变为1，L2由0增大到10.284，显著性水平α为0.01（P）（拒绝原假设）， 说明简略模型和饱和模型存在十分显著的差异，即拟合程度受到很大影响。 显著=不能剔除该交互因素 在因素很多的复杂饱和模型中，通过此方法删减多个不显著效应项来形成简略模型。
上两式的数学变换使各种效应项相乘的关系被转换成相 加的关系，使各项效应独立化了。
常数效应；
A因素效应；
B因素效应；（主效应）
A、B两因素的交互效应；
主效应和多元交互列表涉及因素数量相等；
交互效应的总数则为所有因素各阶组合数之和。
对数线性模型有一个限制条件：
模型中每一项效应的各类参数之和等于0； 如果每项效应中只有一类的参数未知，那么可以由已知参数推 算出来。
ɯ1=π12/π11
ɯ2=π22/π21
同理我们可以测量两个两个类别间的比值，称作比数比。
Ɵ= ɯ1/ ɯ2=π22π21/π12π21=F11 F22/ F12 F21 一个大于1 的比数比意味着行变量和列变量的第二个（或者第一个） 存在正相关；等于1无关；小于1负相关。
对数线性模型剖析课件
与逻辑回归模型比较
对数线性模型和逻辑回归模型都适用于处理 二分类问题。逻辑回归模型在对数几率尺度 上建模，而标准对数线性模型在概率单位尺 度上建模。逻辑回归模型通常更易于解释， 并且在数据不平衡时表现更好，但对数线性 模型在某些情况下可能提供更好的拟合。
对数线性模型在未来的应用前景
自然语言处理
随着深度学习和自然语言处理技术的不断发展，对数线性模型在文本分类、情感分析等领 域的应用前景广阔。通过结合先进的特征提取方法和深度学习技术，对数线性模型有望在 自然语言处理领域取得更好的效果。
对数线性模型剖析课件
contents
目录
• 对数线性模型概述 • 对数线性模型的原理 • 对数线性模型的建立与实现 • 对数线性模型的应用案例 • 对数线性模型的扩展与展望
01
对数线性模型概述
对数线性模型的定义
总结词
对数线性模型是一种统计模型，用于 研究分类变量之间的关联。
详细描述
对数线性模型是一种统计模型，用于 研究分类变量之间的关联。它通过对 数函数将概率与解释变量相联系，从 而分析变量之间的关系。
总结词
对数线性模型具有简单易用、可解释性强等优点，但 也存在对数据分布和样本量要求较高、无法处理非线 性关系等局限性。
详细描述
对数线性模型具有简单易用、可解释性强等优点，能够 方便地分析分类变量之间的关系，并给出概率估计值。 此外，它还可以用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据分布和变量之间的关系。然而，对数线性模型也存 在一些局限性，如对数据分布和样本量要求较高，无法 处理非线性关系等。此外，当数据存在违反独立性假设 的情况时，对数线性模型可能产生偏差。因此，在使用 对数线性模型时需要注意其适用条件和局限性。
对数线性模型
由比数计算而来。那么什么叫做比数呢？比数 是一个事件发生的概率与其不发生概率之比,测 量了一个事件发生的可能性。这个数值越高说 明结果2相对于结果1发生的可能性就越高。
• F, ji）j代有表关某的模期型望fij的概期率望值，令πij 代表与单元格（i • 上表可转化为
互效应就很繁杂，可 以解决logistic回归分
能需要建立很多哑变 析中多个自变量的交
量
互效应问题
2、列联表的四种类型
• 双向无序列联表； • 单向有序列联表； • 双向有序且属性不同的列联表； • 双向有序且属性相同的列联表
3、列联表的优势
• 约束条件少 • 清晰 • 可以快速准确进行判断
4、列联表的劣势：对于多关系变量（两个 以上）研究：不能被清晰解读
对数多元线社会性统计分回析 归
一、对数线性模型简介
• 1、对数线性模型基本思想
• 对数线性模型分析是把列联表资料的网格频数
的对数表示为各变量及其交互效应的线性模型 ，然后运用类似方差分析的基本思想，以及逻 辑变换来检验各变量及其交互效应的作用大小
区别
方法
作用
优缺点
列联表
逻辑回归
对数线性模型
分析定类变量和定类 分析尺度变量（也可 综合运用方差分析和
联。
• 饱和性：将多元频数分布分解成具体的各项主效应和各项交互效应
，以及高阶效应，不会漏项。（饱和模型与不饱和模型）
• 定量性：以发生比的形式来表示自变量的类型不同反映在因变量频
数分布上的差异。
• 可检验性：不仅可以对所有参数估计进行检验，使抽样数据可以推
在报告中使用对数线性模型进行变量转换
在报告中使用对数线性模型进行变量转换使用对数线性模型进行变量转换是数据分析中常用的一种方法，可以将非线性关系转化为线性关系，使得数据模型更有效和可解释。
本文将探讨对数线性模型的定义、应用场景以及具体实施过程，以期帮助读者理解和运用该方法。
一、对数线性模型的基本概念对数线性模型是一种通过对自变量或因变量取对数的方法，将非线性关系转化为线性关系的统计模型。
在此模型中，自变量或因变量取对数后，可以利用线性回归等方法进行分析和参数估计，从而得到更准确的结果。
二、对数线性模型的应用场景1. 经济学领域：在经济学中，对数线性模型常用于对经济变量的弹性进行分析。
例如，当分析收入对于消费支出的影响时，对数线性模型可以帮助研究者捕捉到变量之间的非线性关系。
2. 生物学领域：在生物学研究中，对数线性模型常用于分析曲线拟合、生长模型等问题。
通过对自变量或因变量取对数，可以帮助研究者发现变量之间的关系，探究生物系统的特性和作用机制。
3. 环境科学领域：对数线性模型在环境科学研究中也有广泛应用。
例如，当分析空气污染物对健康的影响时，对数线性模型可以帮助研究者更准确地估计污染物浓度和健康风险之间的关系。
三、对数线性模型的基本原理对数线性模型的基本原理是利用对数函数的性质，将非线性关系转化为线性关系。
通过对自变量或因变量取对数，可以将指数增长的关系转化为线性增长的关系，从而使得数据更容易进行分析和解释。
四、对数线性模型的实施步骤1. 数据准备：首先需要收集所需数据，并确保数据的准确性和完整性。
如果数据存在缺失或异常值，需要进行数据清洗和处理。
2. 变量转换：根据具体问题的需求，选择需要进行对数转换的自变量或因变量。
一般情况下，选择具有指数增长趋势的变量进行对数转换。
3. 模型拟合：利用线性回归等方法，对进行对数转换后的数据进行模型拟合。
通过最小二乘法等技术，估计模型参数，并进行模型显著性检验。
4. 模型评估：对拟合后的对数线性模型进行评估，包括模型拟合优度、参数估计的显著性等方面。
对数线性模型
B
25
2、统计量
似然卡方比，根据相关计算，看原假设是否成立。 贝叶斯信息标准，不同模型而言越小的BIC越好。
B
26
3、对数线性模型的统计 检验
四种主要检验： 1、对于假设模型的整体检验； 2、分层效应的检验； 3、单项效应的检验； 4、单个参数估计的检验。
B
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对数线性模型的统计检验
1、对于假设模型的整体检验 采用似然比卡方检验（likelihood-ratio chi-square test，标
B
17
通过上组式子，我们可以计算出线性模型等式右侧的所有参数值。 A因素效应是行平均值与总平均值之差 B因素效应是列平均值与总平均值之差 交互效应计算结果表示在除去所有其他分布效应之后两个因素之间
的净关联。
B
18
常数项只受样本规模和交互单元数的影响；
主效应项反映的是各因素内部类别频数分布的特征，是 在总平均频数基础上的“补差”；
B
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对数线性模型的统计检验
举例说明：
由图可知，自由度变为1，L2由0增大到10.284，显著性水平α为0.01（P）（拒绝原假设）， 说明简略模型和饱和模型存在十分显著的差异，即拟合程度受到很大影响。
显著=不能剔除该交互因素 在因素很多的复杂饱和模型中，通过此方法删减多个不显著效应项来形成简略模型。
极大似然估计所要解决的问题是：选择参数Ɵ，使已知 数据在某种意义下最可能出现。某种意义指的是似然函 数最大，此处似然函数就是概率密度函数。也就是经常 提到的“模型已知，参数未定”。
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二者的区别就是，后者需要知道概率密度函数。最小二 乘法要的是求出最优的那个参数，而极大似然要求出概 率最大（最可能出现的）参数。举个例子，生活中我们 一个着眼最合理是哪一个，一个着眼于最可能的是哪一 个（极大似然法）当总体服从正态分布时，二者是一样 的。
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loglin(table7.3,list("A","B"),fit=TRUE,param=TRUE)
#等价于上条命令
loglin(table7.3,list(1,2,c(1,2)),fit=TRUE,param=TRUE) #拟合包含主效应及交互效应的对数 线性模型
loglin(table7.3,list("A","B",c("A","B")),fit=TRUE,param=TRUE) #等价于上条命令
chisq.test：卡方检验
Loglin：拟合对数线性模型
？loglin(table, margin, start = rep(1, length(table)), fit = FALSE, eps = 0.1, iter = 20, param = FALSE, print = TRUE)
Hale Waihona Puke 交互效应。二维列联表的对数线性模型
【例】对给出的二维列联表(表7.3)，构建对数线性模型。
SPSS：Loglinear->General：主效应、输出估计
• 注：SPSS的约束条件设置为最后一类参数为0，所以此处结果不同于 P195的结果
R：Xtabs、loglin
初始数据为三列变量csv格式，采用read.csv读入数据，数据形式为
table7.3=xtabs(N~A+B) #构造二维表，N作为单元格数目
summary(table7.3)
#对A，B进行卡方独立性检验
#拟合仅含有A和B的主效应的对数线性
loglin(table7.3,list(1,2),fit=TRUE,param=TRUE) 模型，输出参数估计和拟合结果
变量作为层变量
summary(table5.19)
#对A，B进行卡方独立性检验
loglin(table5.19,list(1,2,c(1,2),c(2,3),c(1,3)),fit=TRUE,param=TRUE) #拟合两两相关模型
注意定义主效应和交互效应的方法：可用数值索引或变量名称
可以获得的结果包括：似然比检验（lrt）、卡方检验（pearson）、拟合结果（fit）， 参数估计（param）
注：R的约束条件设置同教材，所以此处结果同于P195的结果
R Script：table7.3.R
# 二维列联表的对数线性模型 （P195 表7.3） x=read.csv("......") #读入数据，读入后格式为dataframe attach(x) #载入x中变量
dataframe
xtabs：构造表格， 可用summary得到卡方检验
？xtabs(formula = ~., data = parent.frame(), subset, sparse = FALSE, na.action, exclude =
c(NA, NaN), drop.unused.levels = FALSE)
nij a (i ) 和 b( j ) 分别是属性 其中， 是总的平均， A在Ai时
和属性B在Bj时的效应，而 ab ( ij )是属性A和B的交互作 用(关联项或关联参数)。
以上模型是二维列联表的饱和模型，其期望频数的估
计就是实际频数
。
二维列联表的对数线性模型
二维列联表的非饱和模型为：
第七章 对数线性模型
——原理及软件实现
对数线性模型的一般形式
Logit模型描述的是概率与协变量之间的关系； 对数线性模型用来描述期望频数与协变量之间的关系；
考虑期望频数m的取值范围在0到无穷之间，故需要进行对 数变换为 f (m) ln m ，使它的取值在 与 之间；
对数线性模型具有以下形式：
ln mij a(i ) b( j ) 无交互作用，独立性成立：
ln mij a (i ) 仅有属性B的效应： ln mij b ( j )
仅有属性A的效应
• 对数线性模型的优点在于：能定量表示属性A
在Ai时和属性B在Bj时的效应，以及它们之间的
R Script：table5.19.R （P200）
# 三维列联表的对数线性模型 （P200 表5.19） y=read.csv("......") #读入数据，读入后格式为dataframe attach(y) #载入y中变量
table5.19=xtabs(n~B+C+A) #构造三维表，n作为单元格数目，注意顺序，右侧最后一个
ln m 0 1 x1
k xk
不过，与logit不同的是，对数模型中没有解释变量，是用
行列因子的效应参数来表示。
二维列联表的对数线性模型
对数线性模型用来描述期望频数与协变量之间的关系； 对于二维列联表，其饱和模型为：
ln mij a (i ) b ( j ) ab (ij )