2020-2021学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷含答案解析
【答案】
【解析】由题意可得，
，且关于
有三个不相等
的实数根，（1）当
时，
（2）当
时，
且
，因为
在
，此时不存在； 上是单
调递增函数，在
是单调递增函数，所以当且仅当
时，
有三个不相等的实数根，可得 的取值范围是
二．选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知
，
，则“
”是“
的二项展开式中存在常数项”的（ ）．
A．充分非必要条件 C．充要条件 【答案】A
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
【解析】“
”可以得到“
的二项展开式中存在常数项”，但“
的二
项展开式中存在常数项” 不一定“
”
14．已知
，且
，则下列不等式恒成立的是
A．
B．
C．
【答案】D
2020-2021 学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷
考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸 上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一．填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合
，
，则
____________．
【答案】
【解析】
2．抛物线 【答案】
的焦点坐标为____________．
【解析】
焦点坐标为
3．不等式 【答案】 【解析】由
的解为____________．
可得
，所以
4．已知复数 满足 【答案】 【解析】由
（ 为虚数单位），则 可得
___________．
____________．
【答案】
【解析】
=
10．甲和乙等五名志愿者参加进博会 、 、 、 四个不同的岗位服务，每人一个岗位， 每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结 果用数值表示）．
【答案】
【解析】由题意可知，一共有
种不同的分配方案，甲，乙在同一岗位有
（
）．
研究表明：当隧道内的车流密度达到 辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是 千米/小时．
（1）若车流速度 不小于 千米/小时，求车流密度 的取值范围；
（2）隧道内的车流量 （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足
，
求隧道内车流量的最大值（精确到 辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到
（ ）． D．
【解析】 在 上是单调递增函数，所以
，且
，不等式恒成立的是
15．过双曲线
（
）的右顶点作 轴的垂线与 的一条渐近线相
交于点 ．若以 的右焦点为圆心、以 为半径的圆经过 则双曲线 的方程为
两点（ 为坐标原点）， （ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为右顶点为
，右焦点为
，
，所以
，
解得
辆/千米）．
【答案】（1）
；（2）
辆/小时， 辆/千米
【解析】（1）由题意知 当
（辆/千米）时，
种不同的分配方案，所以甲和乙不在同一岗位服务有 种
11．设等差数列 的前 项和为 ，首项
，公差
，若对任意的
，总
存在 【答案】
，使
，则
的最小值为_____________．
【解析】由题意可得，
，所以
，令
得，
，因为首项
，公差
，则
，又因为
，
所以
或 时，
最小为
12．已知函数
．若存在
，使得关于 的方程
有
三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是____________．
．
因为
，则得
，所以
，解得
．
因为
的面积为 ，则得
，即
，
即
．又因为
得
，由余弦定理，
，
所以
．
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内 的车流速度 （单位：千米/小时）和车流密度 （单位：辆/千米）满足关系式：
（2）求异面直线 与 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【答案】
，
；
【解析】（1）由题意得
则该正四棱柱的表面积为
，
体积为
．
（2）联结
，则 ∥ ，
所以直线 与 所成的角就是异面直线 与 所成的角．在
, 由余弦定理得
中，
则得
， ，
所以，异面直线 与 所成的角的大小
．
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
5．已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的正半轴，终边经过点
，
则
____________．
【答案】
【解析】由题可得 6．设函数
， 的反函数为
，若_．
【答案】
【解析】由
可得
，所以
，所以
7．设各项均为正数的无穷等比数列 的和为____________．
【答案】
满足：
，则数列 的各项
【解析】由
可得
，则数列 的首项为 ，公比为 ，由
等比数列所有项和公式
可得答案为
8．在
中，
，将
绕边 所在直线旋转一周得
到几何体 ，则 的侧面积为____________．
【答案】
【解析】将
绕边 所在直线旋转一周得到几何体 是高为 ，底面半径为 ，母
线长为 的圆锥，所以由公式
可得侧面积为
9．在
中，
，
，则
；当 分
别在棱
上运动时， 的取值范围是
，所以满足
（
）的点 的个
数为 ， 的取值范围是
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题
纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图，正四棱柱
的底面边长为 ，
．
（1）求该正四棱柱的表面积和体积；
已知函数
（
）的最小正周期为 ．
（1）求 的值及函数
，
的值域；
（2）在
中，内角 、 、 所对边的长分别为 、 、 ，若
，
，
的面积为 ，
，求 的值．
【答案】（1）
，
【解析】（1）因为函数
；（2）
． 的最小正周期为 ，
由
，
，
又因为
，所以
．
此时
，则得
，
即
，即
．
当
时，
，
，
所以所求函数的值域为
．
（2）由题意得
，所以双曲线 的方程为：
16．如图，在棱长为 的正方体
中，点 是该正方体棱上一点．若满足
（
）的点 的个数为 ，则 的取
值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先计算正方体的 个顶点到 ， 两点的距离，当 分别在棱
上运动时， 的取值范围是
；当 分别在棱
上运动时， 的取值范围
是
；当 分别在棱
上运动时， 的取值范围是
2024届上海嘉定区高三一模数学试卷和答案
2023-2024学年上海嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.不等式260x x --<的解集为.2.已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=.3.函数sin πy x =的最小正周期为.4.已知tan 2α=，则πtan 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.5.双曲线22145x y -=的离心率为.6.已知事件A 和B 独立，()14P A =,()113P B =,则()P A B = .7.已知实数a 、b 满足6ab =-，则22a b +的最小值为.8.已知()612x +的二项展开式中系数最大的项为．9.关于x 的方程232=x x mx -+有三个不同的实数解，则实数m 的值为.10.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为.11.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ,若4i 2z -≤,其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为.12.正四棱台1111ABCD A B C D -,3AB =,111A B =,12AA =,M 是11C D 的中点，在直线1AA 、BC 上各取一个点P 、Q ，使得M 、P 、Q 三点共线，则线段PQ 的长度为.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.直线倾斜角的取值范围为……（）A.π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[)0,π D.[]0,π14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A.甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙B.甲的均分大于乙，甲的方差大于乙C.甲的均分大于乙，甲的方差等于乙D.甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差数列{}n a ，公差为d ，12()f x x a x a =-+-，则下列命题正确的是……（）A.函数()y f x =（x ∈R ）可能是奇函数B.若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，则0d =C.若0d =，则函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数D.若0d ≠，则函数()y f x =（x ∈R ）的图像是轴对称图形16.已知四面体ABCD ,AB BC =,AD CD =.分别对于下列三个条件:①AD BC ⊥；②AC BD =；③2222AB CD AC BD +=+,是AB CD ⊥的充要条件的共有几个……（）A.0B.1C.2D.3三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，求c .18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n n =+，其中n N ∈,1n ≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，h b>抗弯截面系数31π4W r =3216W a =2316W bh =（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ,如下图所示,请问:h b 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．抛物线24y x =上有一动点(),P s t ，0t >.过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ⊥，直线m 和抛物线的另一个交点为Q .（1）当1s =时，求切线l 的直线方程；（2）当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；（3）求出线段PQ 关于s 的表达式，并求PQ 的最小值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()e x x f x =，()ln xg x x=.（1）求函数()y f x =、()y g x =的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点；（3）对于常数10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线y a =和曲线()y f x =、()y g x =共有三个不同交点()1,x a 、()2,x a 、()3,x a ，其中123x x x <<，求证：1x 、2x 、3x 成等比数列.2023-2024学年第一学期高三年级质量调研数学参考答案一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.(1)()2,3-(2)()1,8(3)2(4)12-(5)32(6)152(7)12(8)4240x (9)3-(10)611(11)83(12)275二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.(13)C(14)B(15)D(16)C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=-⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.(2)sin cos sin 222A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =所以π12B =，62sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=,所以22sin sin sin abc C A B=,由（1）ab =，所以22c =即c =18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解(1)()()221112n n S n n S n n n -=+⇒=-+-≥()122n n n a S S n n -=-=≥，又112a S ==，所以2n a n =.(2)1111141n n a a n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以n H 111111142231n n ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭+……+，所以()1114141n nH n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：(1)假设截面面积均为正常数S，31π=44S W r r ===，321666S W a a ===，23166S W bh h ==，所以326W W =>==，又因为3<π，所以，所以21W W >，综上，321W W W >>，于是矩形截面的梁的截面形状最好.(2)()()322223110666b D b W bh b D b b -+==-=>,导函数22336b D W -+'=，所以当b =时，3W 取到最大值，此时h =: 2.83:2h b =≈，:3:2h b =的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）因为0st >，所以(),P s t在曲线y =y '=l，所以l的直线方程为)y x s -=-，将1s =代入，则l 的直线方程为1y x =+.(2)设()22,Q x y ，将()1,0-代入方程)y x s -=-，得1s =，而直线m的方程为)y x s -=-，将1s =代入，则直线m 的方程为3y x =-+，联立24y x =，则24120y y +-=，由韦达定理得124y y +=-，而12y t ===，所以26y =-，所以三角形OPQ 的面积()1326122S =⋅⋅--=⎡⎤⎣⎦.(3)设()22,Q x y，)y x s -=-联立方程24y x =，得2840y y s +--=，因为t =，所以2y =-,所以244x s s=++，因为(,P s,44,Q s s ⎛++- ⎝,所以()322116s PQ s +=.对于2133231s u s s s -+==+，55233321213332s u s s s ---⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，因为2s =，0u '=；02s <<，0u '<；2s >，0u '>，所以2133min 22u -=+，2316=PQ u ，()213332min 131622163210842=PQ -⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，min PQ =.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）对于()y f x =，()1xx f x e -'=，对于()y g x =，()21ln xg x x -'=，严格增区间(],1-∞；严格减区间[)1+∞，；严格增区间(]0e ，；严格减区间[)e +∞，；1x <1x =1x >()0f x '>()0f x '=()0f x '>极大值0e x <<e x =e x >()0g x '>()0g x '=()0g x '>极大值极大值为1e极大值为1e（2）对于函数()()y f x g x =-，()0,x ∈+∞，设()()()h x f x g x =-，()211ln e x x xh x x--'=-，当[]1,e x ∈时，()0h x '<，严格递减，()()111110e h h e e e e -⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，存在一个零点0x ；当()0,1x ∈时，()0f x >，()0g x <，()()()0h x f x g x =->，无零点；当()e,+x ∈∞时，由（1）得1()e g x <，ln 1xx<，所以1ln x x e <<<，所以()()ln ()f x f x g x <=，所以()()()0h x f x g x =-<，无零点；综上所述，曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点，且横坐标()01,x e ∈.(3)因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y f x =在()0,1x ∈上有一个交点，同理y a =和()y f x =在()1,+∞上有另一个交点；因为()y g x =在()1,e 上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y g x =在()1,e 上有一个交点，同理y a =和()y g x =在(),e +∞上有另一个交点，由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，于是y a =和()y f x =交点横坐标为1x 、2x ，y a =和()y g x =交点横坐标为2x 、3x ，其中()10,1x ∈，()21,x e ∈，()3,x e ∈+∞，由题意12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，而222ln 2ln ln x x x x e=，因为()10,1x ∈、()2ln 0,1x ∈，又因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，所以12ln x x =即12x x e =，同理23ln x x =，综上，113322ln x x x e x x x ==，所以1x 、2x 、3x 成等比数列.。
2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2021-2022学年上海嘉定区高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③2．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg104．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[12]-，C ．(12]-，D ．2,2⎡⎤-⎣⎦6．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或08．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．3D ．3310．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即2222221[()]42c a b S a c +-=-若ABC ∆的面积112S =，3a =2b =，则sin A 等于（ ）A ．5510B ．116C ．5510或116D ．1120或113611．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．4512．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年上海嘉定区初三(上)中考一模数学试卷(pdf版,含答案)
嘉定区2020学年第一学期九年级期末质量调研数学试卷 2021.1一、选择题1. 如果实数a b c d ,,,满足=b d a c ，下列四个选项中，正确的是（ ） A . =++b d a b c d B . ++=a b c d a c C . +=+b d d a c c D . =b da c 222. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1,3），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为︒<<︒αα090)(，那么αtan 的值是（ ）A . 1010B . 31C . 10310D . 33. 抛物线=−y x 232的顶点坐标是（ ）A . −2,3)(B . 2,3)(C . −0,3)(D . 0,3)(4. 已知单位向量e 与非零向量a b ,，下列四个选项中，正确的是（ ）A . =a e aB . =e b bC . =a a e 1D . =a b a b 115. 在Rt ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，⊥CD AB ，垂足为D ，下列四个选项中，不正确的是（ ）A . =AB AC 23B . =CD BC 23 C . =CD BD 33 D . =AC BC 33 6. 二次函数=++y a x m k 2)(的图像如图1所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A . m <0,k <0B . m <0,k >0C . m >0,k >0D . m >0,k >0二、填空题7. 正方形的边长与它的对角线的长度的比值为____________8. 已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP >BP ，那么AP :AB 的比值为____________学习是一件很有意思的事9. 如图2，点D 在ABC 的AB 边上，当AD AC=____________时，ACD 与ABC 相似10. 已知向量关系式()260a b x +−=，那么向量x =____________（用向量a 与向量b 表示）11. 如图3，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么∠APB 的度数为____________°12. 如果一个斜坡的坡度1:3i =，那么该斜坡的坡角α的度数是____________°13. 如果抛物线()221y a x =−的开口向下，那么实数a 的取值范围是____________ 14. 二次函数()213y x =+−的图像与y 轴的交点坐标为____________ 15. 如果抛物线()22y x m k =++−的顶点在x 轴上，那么常数k 为____________ 16. 如果抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b +____________0（从<,=,>中选择）17. 如图4，正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，点A 、B 、C 在同一条直线上，联结AD 、BD ，那么cot ∠ADB 的值为____________18. 已知在ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，5sin 5A =（如图5），把ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转()0360αα<<，将点A 、B 的对应点分别记为点','A B ，如果'AAC 为直角三角形，那么点A 与点'B 的距离为____________三、解答题19. 计算：2sin 452sin 60tan 60tan 45︒+︒−︒⋅︒20. 我们已经知道二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x 轴的正方向看）.已知一个二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图像如图6所示. （1）你可以获得该二次函数的哪些信息?（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗? 如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式.21. 如图7，已知AD 与BC 相交于点O ，联结AB .（1）如果AD //BC ，4,9AOD BOC S S ==，求：ABO S ；（2）分别将,,AOD AOB BOC 记为123,,S S S ，如果2S 是1S 与3S 的比例中项，求证：AD //BC .22. 如图8，在ABC 中，AB =AC =10，sin B ４＝５. （1）求边BC 的长度；（2）求cosA 的值.23. 如图9，已知矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB 、AC 上，ABC 的高AH 交GF 于点l .（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=.24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A −，点B （1,6），点C （1,4），如果抛物线()20y ax bx c a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点. （1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点? 简述理由；（2）求常数a 与b 的值；（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移t (t >0)个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点C (1,4)，设这个新抛物线的顶点是D ，试探究ABD 的形状.25. 在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 在CD 边上，1tan 2EAD ∠=，点F 是线段AE 上一点，联结BF 、CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =, ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.参考答案一、选择题1. A2. D3. C4. B5. B6. A二、填空题 7. 22 8. 512− 9. AC AB 10. 13a b + 11. 60° 12. 30° 13. 12a < 14. ()0,2− 15. 2 16. = 17. 3 18. 65三、解答题19. 原式=220.（1）①开口向下；②对称轴为直线2x =；③抛物线的最高点坐标为（2,7）；④在对称轴的左侧，抛物线上升；⑤在对称轴的右侧，抛物线下降（答案不唯一）（2）不可以，设C （0,3），解析式为243y x x =−++21.（1）6（2）证明略22.（1）12（2）72523.（1）证明略（2）证明略24.（1）经过A 、B 两点，说明略（2）1,2a b ==（3）等腰直角三角形25.（1）1255（2）①证明略 ②655百人驳相对论(信念)爱因斯坦的“相对论”发表以后，有人曾创造了一本《百人驳相对论》，网罗了一批所谓名流对这一理论进行声势浩大的反驳。
2020-2021学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷
2020-2021学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________． 【答案】{}4,2【解析】=B A {}4,22．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________． 【答案】()0,1【解析】24,2p p ==焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭3．不等式014≤xx 的解为____________．【答案】22≤≤-x 【解析】由014≤xx 可得240x -≤，所以22≤≤-x4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________． 【答案】2【解析】由()2i 1=⋅+z 可得()21i z =+ 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________． 【答案】43-【解析】由题可得4tan 3α=，πtan()-cot 2αα+= 6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________． 【答案】6【解析】由()121f -=可得()12f =，所以2a =，所以3(2)2-2=6f =7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________． 【答案】32【解析】由121321=+=a a a ，可得11()2n n a -=，则数列{}n a 2的首项为12，公比为14，由等比数列所有项和公式22lim 1314n n a S →∞==-可得答案为328．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________． 【答案】15π【解析】将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥，所以由公式S rl π=侧可得侧面积为15π 9．在ABC △中，2,1==AC AB ，3261+=，则=⋅BC AE ____________． 【答案】21【解析】=⋅()12116336AC CE BC AC CB CA BC AC BC BC ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 222211111()()(21)36662AC BC AC AB AC AB ⎛⎫--=-=-= ⎪⎝⎭10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）． 【答案】216【解析】由题意可知，一共有2454240C A =种不同的分配方案，甲，乙在同一岗位有4424A =种不同的分配方案，所以甲和乙不在同一岗位服务有216种11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________． 【答案】8-【解析】由题意可得，()()()12121212k n k a a k S --+=-，所以k n a S =，令2n =得，12a k d-=，因为首项10a >，公差0d <，则2k <，又因为()()1212n n k --=+，所以4n =或5时，n k 3-最小为8-12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________． 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 【解析】由题意可得，()()()223,3,x a x x af x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，且关于()3f x at =有三个不相等的实数根，（1）当-33a ≤≤时，33-22a a a -+≤≤且33022a a -+-≤≤，此时不存在；（2）当3<a 4≤时，33022a a a -+<-<<，因为()f x 在()3-,2a a +⎛⎫∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，上是单调递增函数，在3,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭是单调递增函数，所以当且仅当()23324a a at +<<时，()3f x at =有三个不相等的实数根，可得t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】“2=n ”可以得到“n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”，但“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项” 不一定“2=n ”14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是 （ ）．A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 【答案】D【解析】y=2x在R 上是单调递增函数，所以R ∈b a 、，且b a >，不等式恒成立的是b a 22>15．过双曲线12222=-by a x C ：（0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x 【答案】B【解析】因为右顶点为(),a o ，右焦点为(),0F c ，(),A a b ，所以2AF OF c ===，解得1,3a b ==，所以双曲线C 的方程为：1322=-y x 16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是 （ ）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+ 【答案】B【解析】先计算正方体的8个顶点到B ，1C 两点的距离，当P 分别在棱1111,,,BB BC CC B C 上运动时，m 的取值范围是22,4⎡⎤⎣⎦；当P 分别在棱11C D AB ，上运动时，m 的取值范围是222+23⎡⎤⎣⎦，；当P 分别在棱11,A B CD 上运动时，m 的取值范围是442⎡⎤⎣⎦，；当P 分别在棱1111,,,A D DD AD AA 上运动时，m 的取值范围是2+2342⎡⎤⎣⎦，，所以满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，m 的取值范围是]322,4[+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】()18S =+全V = ；()2arccos 4【解析】（1）由题意得 322211=-=AD D A AA则该正四棱柱的表面积为 31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ， 体积为 383222=⋅=V ． （2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．在11DC A △中，22,321111===C A DC D A ,由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【答案】（1）2=ω，[]2,1-；（2）4=a ．【解析】（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）． 研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时． （1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围； （2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=， 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）． 【答案】（1）800≤<x ；（2）3250辆/小时，87辆/千米 【解析】（1）由题意知 当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时），代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意； 当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是800≤<x ．（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立； 当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即]120,20(87720140∈≈-=x 成立． 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+OC OB ，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）14922=+y x ；（2）810；（3）是，6 【解析】（1）解：由题意得 62=a ，解得 3=a 分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+b a ， 由于 3=a ，解得 2=b ．所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ． （2）解：因为02 =+OC OB ， 则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ． 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==15241527y x ，即得 ），（15241527P ． 所以 ()151024152431527||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP =810， 即线段AP 的长为810． （3）【解法一】由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ： （32>k ）． 令0=y ，得)0,2kD （．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=， 所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（． 于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （． 令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k kk k ， 即四边形ABDC 的面积为定值．【解法二】由题意知，设),(00y x P （20,3000<<<<y x ）， 则直线PB 的方程为 )0(2200-+=+x x y y ，即2200-⋅+=x x y y ． 令0=y ，得)0,2200+y x D （． 又直线PA 的方程为)3(300++=x x y y ， 令0=x ,得3300+=x y y ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33,000x y C ． 所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=233322210000x y y x )2()3)632(2100200+⋅+++⋅=y x y x （ )2()3363624129421000000202+⋅++++++⋅=y x y x y x y x （ （*）因为点P 在椭圆Γ上，则得 1492020=+y x ，所以 20204369x y -=，代入（*）得 6)2()3)2()36)2()336362412942100000000002020=+⋅++⋅+=+⋅++++++⋅y x y x y x y x y x y x （（（，即四边形ABDC 的面积为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列.【答案】（1）不具有；（2）见解析；（3）5,4,1,0（答案不惟一），证明见解析 【解析】（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项， 所以数列8,4,2,1不具有性质P ．（2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ． 设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-．则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．（3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一） 下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列．由（2）得 01=a ．①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*)②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈．由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-=及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=． 所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=，所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**)由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-，两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列．。
2020-2021学年上海市嘉定区高考数学三模试卷(文科)及答案解析
上海市高考数学三模试卷（文科）（解析版）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数y=的定义域是．2．已知向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则实数x= ．3．若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，则φ= ．4．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a= ．5．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= ．6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是．7．当x、y满足不等式组时，目标函数k=3x﹣2y的最大值为．8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，若f（m）+f（m﹣2）＞0，则实数m的取值范围是．11．已知直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n、B n，O为坐标原点，设△OA n B n的面积为S n（n=1，2，…），则= ．12．已知{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，那么首项a1的取值范围是．13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是（结果用反三角函数值表示）．14．在数列{a n}中，a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，则数列{a n}的前100项之和为．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图中的曲线是半径为2的圆弧，则该几何体的体积为（）A．6﹣πB．8﹣πC．6﹣2πD．8﹣2π17．过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上18．（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A．B．C．D．本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．20．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．21．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1）到抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的距离为，点M（t，1）（t＞0）是C上的定点，A、B是C上的两个动点，且线段AB的中点Q（m，n）在线段OM上．（1）抛物线C的方程及t的值；（2）当点A、B分别在第一、四象限时，求k OA k OB的取值范围．22．设数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的首项a1及数列的递推关系式a n+1=f（a n）；（2）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）数列{a n}中是否存在三项a s，a p，a r（s＜p＜r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．23．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=．（1）证明：2是函数f（x）的周期；（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在x∈[﹣1，0）时的解析式，并写出f（x）在x∈[2k ﹣1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；（3）对于（2）中的函数f（x），若关于x的方程f（x）=ax恰好有20个解，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数y=的定义域是（1，2）．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：1＜x＜2，∴函数的定义域是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．2．已知向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则实数x= ﹣4或1 ．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合数量积的坐标表示，解方程可得x的值．【解答】解：向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则=0，即有﹣2×3+（x+1）（x+2）=0，化为x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4或1．故答案为：﹣4或1．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要是垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．3．若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，则φ= ．【分析】根据正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（φ﹣2x）=sin（φ+2x），故sinφ为函数f（x）的最值，则φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，属于基础题．4．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a= 1 ．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．5．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= 1 ．【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得．【解答】解：，即=2﹣ai=b+i，由复数相等的条件，得，解得，∴a+b=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键．6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40 ．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．【点评】本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．7．当x、y满足不等式组时，目标函数k=3x﹣2y的最大值为 6 ．【分析】作出可行域，将目标函数变形，作出直线，将直线平移至（4，3）时，纵截距最小，k最大，将（4，3）代入k求出其最大值．【解答】解：作出可行域将目标函数k=3x﹣2y变形为y=作出直线y=，将其平移至（4，3）时纵截距最小，k最大所以k的最大值为3×4﹣2×3=6故答案为：6【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域，利用可行域求出目标函数的最值．8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．【分析】根据表面展开图可知棱锥的所有棱长均为4，做出棱锥的高PO，利用勾股定理计算PO，即可得出棱锥的体积．【解答】解：由棱锥的表面展开图可知棱锥为正四棱锥P﹣ABCD，底面边长与侧棱长均为4，做棱锥的高PO，则O为底面正方形的中心，OA=2．∴PO==2．∴V P﹣ABCD===．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于中档题．9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，若f（m）+f（m﹣2）＞0，则实数m的取值范围是（1，+∞）．【分析】函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，可得出函数在R上是增函数，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数f（x）当x＜0时，f（x）=x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，又函数f（x）是定义在R 上的奇函数，故函数f（x）是定义在R 上的增函数，∵f（m）+f（m﹣2）＞0，可得f（m）＞﹣f（m﹣2）=f（2﹣m）∴m＞2﹣m，解得：1＜m，实数m 的取值范围是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题关键是根据函数的奇偶性与单调性得出函数在R上的单调性，利用单调性将不等式f（m）+f（m﹣2）＞0转化为代数不等式，求出实数m 的取值范围，本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型．11．已知直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n、B n，O为坐标原点，设△OA n B n的面积为S n（n=1，2，…），则= 4 ．【分析】由直线l n：nx+2ny=4n+1求出与x轴、y轴的交点，进一步求出三角形的面积，然后再由极限运算得答案．【解答】解：直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n（），B n（），O为坐标原点，∴△OA n B n的面积为S n=，则=．故答案为：4．【点评】本题考查了直线的截距式方程以及三角形面积的求法，考查了极限及其运算，是基础题．12．已知{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，那么首项a1的取值范围是．【分析】由已知得a1=﹣，q＞0，a1（q﹣1）＞0，由此能求出a1的取值范围．【解答】解：∵{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，∴q＞0，且=﹣1，∴a1=﹣，∵{a n}是递增的等比数列，∴a2＞a1，∴a1q＞a1，∴a1（q﹣1）＞0，同理，a3＞a2，即a1q2＞a1q，即a1q（q﹣1）＞0，∴q＞0，a1（q﹣1）＞0，当a1＞0时，有q＞1，由a1=﹣＞0，得：q（1+q）＜0，得：﹣1＜q＜0，矛盾，舍去；当a1＜0时，有0＜q＜1，由a1=﹣＜0，得：q（1+q）＞0，得：0＜q＜1符合．故当0＜q＜1时，t=q+q2单调增，取值为（0，2），∵a1=﹣，∴a1的取值范围为（﹣∞，﹣）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为，可得这个角的大小．【解答】解：摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为，所以这个角的大小是arccos，故答案为：arccos，【点评】本题考查空间直线所成角大小的求解，考查学生的计算能力，摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体是关键．14．在数列{a n}中，a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，则数列{a n}的前100项之和为1300 ．【分析】a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，对n分类讨论可得：a2k+2+a2k=1，a2k+1﹣a2k﹣1=1，k∈N*．利用分组求和、等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，∴n=2k为偶数时，a2k+2+a2k=1；n=2k﹣1为奇数时，a2k+1﹣a2k﹣1=1，k∈N*．∴数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为1，首项为1．∴数列{a n}的前100项之和=（a1+a3+…+a99）+[（a2+a4）+…+（a98+a100）]=50×1+×1+25=1300．故答案为：1300．【点评】本题考查了分组求和、等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：∵，即||||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图中的曲线是半径为2的圆弧，则该几何体的体积为（）A．6﹣πB．8﹣πC．6﹣2πD．8﹣2π【分析】由三视图知该几何体一个正方体挖去圆柱所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个正方体挖去圆柱所得的组合体，正方体的棱长是2，圆柱底面圆的半径是2、母线长是2，∴几何体的体积V==8﹣2π，故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．17．过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上【分析】根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．【解答】解：易知||=∵，||==1∴||=∴OP==1又圆的半为1∴点P一定在单位圆上故选：B【点评】本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．18．（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A．B．C．D．，任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N （2m﹣x，2n﹣y），由，联立方程组：，解这个方程组得到，故选C．【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【分析】（1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可．【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣x，0＜x＜2．∴S圆柱侧=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．，∴当x=1时，S圆柱侧取最大值2π，此时，r=1，所以．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题．20．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【分析】（Ⅰ）由三角函数定义，得x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得y1=sinα，，分别求得S1和S2的解析式，再由S1=2S2求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．21．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1）到抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的距离为，点M（t，1）（t＞0）是C上的定点，A、B是C上的两个动点，且线段AB的中点Q（m，n）在线段OM上．（1）抛物线C的方程及t的值；（2）当点A、B分别在第一、四象限时，求k OA k OB的取值范围．【分析】（1）求得抛物线的准线方程，由题意可得1+=，解得p，可得抛物线的方程；代入M的坐标，可得t的值；（2）求得Q的坐标，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得m的范围，运用直线的斜率公式，化简整理配方，由二次函数的值域可得所求范围．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线是，所以，解得，所以抛物线C的方程为y2=x．又点M（t，1）（t＞0）在曲线上，所以t=1．（2）由（1）知，M（1，1），可得直线OM的方程为y=x，故m=n，即点Q（m，m）．由题意，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y﹣m=k（x﹣m），由消去x，得ky2﹣y+m﹣km=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由线段AB的中点为Q，可得y1+y2=2m，所以，m＞0，由，得，所以，因为，所以2m2﹣m的取值范围是，故k OA k OB的取值范围是（﹣∞，﹣8]．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意读懂直线的距离公式，考查直线的斜率的乘积的范围，注意联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．设数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的首项a1及数列的递推关系式a n+1=f（a n）；（2）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）数列{a n}中是否存在三项a s，a p，a r（s＜p＜r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由递推公式a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1求解（2）利用递推公式可得a n=s n﹣s n﹣1，利用等比数列的定义可求c（3）假设存在a s，a p，a r成等差数列，则2a p=a s+a r，结合（1）中的通项公式进行推理．【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1=2a1﹣3，所以a1=3．…（1分）由S n=2a n﹣3n①，得S n+1=2a n+1﹣3（n+1）②，…（2分）②式减①式，得a n+1=2a n+1﹣2a n﹣3，…（3分）故数列的递推关系式为a n+1=2a n+3．…（4分）（2）由（1）知，a n+1=2a n+3，则，…（1分）由题意a n+1+c=q（a n+c），故当q=2，且时，数列{a n+c}是等比数列，所以当c=3时，数列{a n+c}成等比数列．…（3分）此时，．故，即，n∈N*．…（5分）综上，c=3，{a n}的通项公式为，n∈N*．…（6分）（3）假设a s，a p，a r（s＜p＜r）成等差数列，则2a p=a s+a r，…（1分）即2（32p﹣3）=（32s﹣3）+（32r﹣3），所以2p+1=2s+2r，…（2分）从而，2p﹣s+1=1+2r﹣s，…（4分）因为s，p，r∈N*且s＜p＜r，故2p﹣s+1为偶数，而1+2r﹣s为奇数．所以，2p﹣s+1=1+2r﹣s不可能成立，即不存在满足条件的三项．…（6分）【点评】本题主要考查了数列的递推关系a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．23．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=．（1）证明：2是函数f（x）的周期；（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在x∈[﹣1，0）时的解析式，并写出f（x）在x∈[2k ﹣1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；（3）对于（2）中的函数f（x），若关于x的方程f（x）=ax恰好有20个解，求实数a的取值范围．【分析】（1）令x取x+1代入化简后，由函数周期性的定义即可证明结论；（2）由x∈[﹣1，0）得x+1∈[0，1），求出f（x+1）代入化简后求出f（x），即可求出一个周期[﹣1，1）上的解析式，利用函数的周期性求出f（x）在x∈[2k﹣1，2k+1）（k ∈Z）时的解析式；（3）由（2）和函数的周期性画出f（x）的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对a分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出a的取值范围．【解答】证明：（1）因为，令x取x+1得，所以，所以，2是函数f（x）的周期．解：（2）当x∈[﹣1，0）时，x+1∈[0，1），则f（x+1）=x+1，又，即，解得．所以，当x∈[﹣1，0）时，．所以，因为f（x）的周期为2，所以当x∈[2k﹣1，2k+1）（k∈Z）时，f（x）=f（x﹣2k）=，（3）由（2）作出函数的图象，则方程f（x）=ax解的个数：就是函数f（x）的图象与直线y=ax的交点个数．若a=0，则x=2k（k∈Z）都是方程的解，不合题意．若a＞0，则x=0是方程的解．要使方程恰好有20个解，在区间[1，19）上，f（x）有9个周期，每个周期有2个解，在区间[19，21）上有且仅有一个解．则解得，．若a＜0，同理可得．综上，．【点评】本题考查了函数周期性以及解析式，方程的根与函数图象交点之间的转化问题，考查了数形结合思想，推理能力与计算能力，属于难题．。
2020届上海市嘉定区高三一模数学试题(解析版)
2020届上海市嘉定区高三一模数学试题一、单选题1．已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】解：由题意可知，x ∈R ，{}|0x x >⫌{}|1x x >∴“0x >”是“1x >”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 2．下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ） A ．2xy = B ．12y x =C ．ln y x =D ．cos y x =【答案】A【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解． 【详解】解：选项A.2xy =的值域为()0,∞+，选项B. 12y x =的值域为[)0,+∞，选项C.ln y x =的值域为R ，选项D. cos y x =的值域为[]1,1-．故选：A ． 【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45︒角.以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】作出过P 与两直线相交的直线l 判断①；通过平移直线a ，b ，结合异面直线所成角的概念判断②． 【详解】解：直线AB 与A 1D 1 是两条互相垂直的异面直线，点P 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB 1的中点Q ，则PQ ∥A 1D 1，且 PQ ＝A 1D 1，设A 1Q 与AB 交于E ，则点A 1、D 1、Q 、E 、P 共面，直线EP 必与A 1D 1 相交于某点F ，则过P 点有且只有一条直线EF 与a 、b 都相交，故①为真命题；分别平移a ，b ，使a 与b 均经过P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题． 故选：B ．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．4．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A ．16时 B．17时C ．18时D ．19时【答案】D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可． 【详解】解：由题意可知，0x =时，0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭， 由五点法作图可知：如果当16x =时，函数取得最小值可得：51662ππωπ+=，可得748ω=， 此时函数70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：296147748T ππ==≈， 该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当19x =时，函数取得最小值可得：51962ππωπ+=，可得757ω=，此时函数70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：21147757T ππ==， 24x =时，70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足， 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．二、填空题5．已知集合{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7A B ==，则AB =________．【答案】{}1,3,5【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】解：∵集合{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7A B ==， ∴{}1,3,5AB =．故答案为：{}1,3,5． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集的运算等基础知识，是基础题． 6．方程27x =的解为________． 【答案】2log 7x =【解析】利用指对数的互化即可解答. 【详解】根据对数的概念可得方程27x =的解为：2log 7x =， 故答案为：2log 7x =． 【点睛】本题考查了对数的概念，属于基础题． 7．行列式2113-的值为________．【答案】7【解析】直接展开二阶行列式得答案． 【详解】 解：21231(1)713-=⨯-⨯-=．故答案为：7． 【点睛】本题考查行列式的运算，是基础题． 8．23lim1n n n →∞+=+___________【答案】2【解析】上下同除以n 求解即可.【详解】32232lim lim 21111n n n n n n→∞→∞++===++ 故答案为2 【点睛】本题主要考查分式类的极限,属于基础题型.9．已知母线长为6cm 的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________cm ． 【答案】2【解析】设底面半径为r ，由两个面积的关系可得底面半径的值． 【详解】解：设底面半径为r ，则由题意，可得213262r r ππ=⨯⨯，解得2r ，故答案为：2． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题．10．已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，3122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________．【答案】6π【解析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC∠的大小. 【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅ 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A =种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A =种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种； 故答案为：72 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=______.【答案】3【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y ，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得，tan 2y α=-， ()tan tan παα-=-=tan 2y α∴=-=-解得y =sin 3α∴==故答案为：3． 【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．13．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______. 【答案】310【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率． 【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=， 使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=， 又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=， 所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．14．已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－3【解析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-． 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________【答案】1078【解析】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），分别令2,3,4,5n =，求得{}n a 的前5项，观察得到最小值12310m =++++，最大值291222M =++++，计算可得M m +的值. 【详解】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ）， 可得211a a a -=，解得2122a a ==，又3212{,}a a a a -∈，可得3213a a a =+=或3224a a ==，又43123{,,}a a a a a -∈，可得4314a a a =+=或5； 4325a a a =+=或6；4326a a ==或8；又541234{,,,}a a a a a a -∈，可得5415a a a =+=或6或7；5426a a a =+=或7或8；5437a a a =+=或8或9或10或12；5328a a ==或9或10或12或16，综上所示可得10S 的最大值为()10291121222102312M ⨯-=++++==-，最小值为()1101012310552m +⨯=++++==，所以1023551078M m +=+=. 故答案为：1078 【点睛】本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题. 16．已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则实数m 的取值范围为______. 【答案】2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】本题要根据数形结合法将函数1y x x=+的图象向下平移到一定的程度，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m 的取值范围． 【详解】解：由题意，1y x x =+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则只要找到其中一个实数a ，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小即可， 如图，函数1y x x=+向下平移到一定才程度时，函数()1f x x a x =++的最大值最小．此时只有当()()13f f =时，才能保证函数()f x 的最大值最小．设函数1y x x=+图象向下平移了t 个单位，（0t >）． ()1023t t ∴-=--，解得83t =. ∴此时函数()f x 的最大值为1082333-=． 根据绝对值函数的特点，可知 实数m 的取值范围为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．三、解答题17．如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小；（2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值. 【答案】（1）2arctan5θ=；（2）证明详见解析，4V =. 【解析】（1）说明1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，由于底面积和高都不变，故体积不变. 【详解】解：（1）由直棱柱知1A A ⊥平面ABCD ，所以1A A CD ⊥， 又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ 由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=. （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅，由已知3d =，112442A MM S ∆=⨯⨯=,所以13443V =⨯⨯=为定值.【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图.其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB边上，要求4MDNπ∠=.（1）若2AN CM==百米，判断DMN∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDMθ∠=，写出DMN∆面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2）32cos cos4Sπθθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，最小值为)1221.【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解MDN∠，判断MDN∆是否符合要求，即可．（2）CDMθ∠=，4ADNπθ∠=-，求出132sin24cos cos4S DN DMππθθ=⋅⋅=⎛⎫-⎪⎝⎭，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意5MN13DN=25DN=所以2cos22251365MDN∠==≠⨯⨯所以4MDNπ∠≠，DMN∆不符合要求（2）CDMθ∠=，4ADNπθ∠=-，所以cos4DMθ=，3cos4DNπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭132sin24cos cos4S DN DMππθθ=⋅⋅=⎛⎫-⎪⎝⎭，()cos cos cos sin 42πθθθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭)sin 2cos 214θθ=++11sin 224424πθ⎛⎫=++≤+⎪⎝⎭所以)121S ≥，S 的最小值为)121.【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且()2*,,n n n a S a n N∈成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；（3）设1(0)n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈，都有{}*|n m T b m N ∈∈，求实数t 的值.【答案】（1）11a =，22a =，33a =，n a n =；（2）详见解析；（3）1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）代入22n nn a a S +=，求出1a ，2a ，3a ，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t 是整数，所以1t k=，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，因为n 的任意性，不妨设2m b T =，求出即可． 【详解】（1）解：由已知22n nn a a S +=，所以11a =，22a =，33a =， 猜想n a n =证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a = 所以()*n a n n =∈N（3）解由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-， 因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t-都是整数，进而1t 是整数所以1t k =，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--， 设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n 项和公式的应用，中档题．21．已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =.若0a <，且3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()y g x =[]()1,2x ∈的反函数；（3）若在[]0,2上存在n 个不同的点()1,2,,.3i x i n n =⋅⋅⋅≥，12n x x x <<⋅⋅⋅<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),2-∞；（2）[])30,3y x =∈；（3）(][),26,-∞-+∞.【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果． （2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果． 【详解】解：（1）解不等式12x x -<当1≥x 时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <， 综上，该不等式的解集为(),2-∞ （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-， 因为()g x 是以2为周期的偶函数， 所以3111122222g g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，且0a <，得2a =-， 所以当01x ≤≤时，()()2g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈，所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-；②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥；③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()1223m 1ax 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2424a a f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()2224f a =-<， 在[]0,2上，()()max max ,242a f x f f ⎧⎫⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. ()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.③当24a ≤<时，则122a ≤<，所以()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，于是()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()22max 22(0)2242a a a f x f f ⎛⎫⎛⎫≤=-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令282a ≥，解得4a ≤-或4a ≥，不符合题意；④当02a <<时，()f x 分别在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[],2a 上单调递增，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()()()2(0)22a f f f f a ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222222224242a a a f f a a ⎛⎫=+=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭令22482a a -+≥，解得2a ≤-2a ≥+.综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
2020-2021学年上海市嘉定区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. 2x+y=0C. x2+1=0D. x2+y= 32.下列各组线段中，成比例线段的一组是( )A. 1，2，3，4B. 2，3，4，6C. 1，3，5，7D. 2，4，6，83.下列命题中正确的是( )A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的平行四边形是正方形D. 一组对边平行的四边形是平行四边形4.根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c−0.06−0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是( )A. 3<x<3.23B. 3.23<x<3.24C. 3.24<x<3.25D. 3.25<x<3.265.某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是( )A. 12B. 13C. 16D. 196.一元二次方程3x2−x=0的解是( )A. x=0B. x1=0，x2=3C. x1=0，x2=13D. x=137.如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD 于E，则△ABE的周长为( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm8.如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB =23，则AEEC=( )A. 13 B. 25 C. 23 D. 359. 某城市2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是( )A. 300(1+x)=363B. 300(1+x)2=363C. 300(1+2x)=363D. 363(1−x)2=30010. 如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且△AEF 是等边三角形，则BE 的长为( )A. 2−√3B. 2+√3C. 2+√5D. √5−211. 如果关于x 的方程mx 2+(m −2)x +5=0是一元二次方程，那么m ______ ．12. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED =3BE ，则∠AOB 的度数为______．13. 一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是______ ． 14. 若ab=c d=23，则2a−3c+42b−3d+6的值为______．15. 菱形的两条对角线的长为6和8，则菱形面积为______，周长为______．16. 关于x 的一元二次方程x 2−3x −m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围______． 17. 把方程2x(x −3)=3x +2化成一元二次方程的一般式是：______．18. 对于实数a ，b ，定义运算“∗”：{a ∗b =a 2−ab(a ≥b)a ∗b =ab −b 2(a <b)，例如：4∗2，因为4>2，所以4∗2=42−4×2=8.若x 1、x 2是一元二次方程x 2−5x +6=0的两个根，则x 1∗x 2的值是______．19.解方程：(1)4(x−1)2=9；(2)x2+8x+15=0；(3)3x2−5x+1=0；(4)x(x−2)+x−2=0．20.已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC．求证：EC=FC．21.已知方程x2−ax−3a=0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根．22.一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？(2)从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．23.先阅读材料，然后按照要求答题：阅读材料：为了解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0，我们可以将x2−1将视为一个整体，然后设x2−1=y，(x2−1)2=y2，则原方程可化为y2−5y+4=0．①解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2−1=1，x2=2.∴x=±√2．当y=4时，x2−1=4，x2=5.∴x=±√5．∴原方程的解为：x1=√2，x2=−√2，x3=√5，x4=−√5．仿照上题解方程：x4−6x2+8=0．24.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.求证：四边形EBFC是菱形．25.某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？26.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．27.已知：关于x的方程x2−4mx+4m2−1=0．(1)不解方程：判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．28.如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合)，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒．(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=______cm；QC=______cm.(用含t的代数式表示)(2)若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ 为等腰三角形？(3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？29.如果a：b=3：5，那么下列四个选项中一定正确的是( )A. 3a=5bB. b−a=2C. (a+3)：(b+5)=3：5D. b−ab =2530.如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，且DE//BC，EF//AB，下列4个式子中，不正确的是( )A. ADAB =AEACB. BDAD =BFFCC. AEEC =BFFCD. ADAB =BFBC31.下列四个命题中，真命题是( )A. 有一个角是60°的两个等腰三角形相似B. 对应边成比例的两个多边形相似C. 有两条边成比例的两个直角三角形相似D. 有一边相等的两个相似三角形全等32.已知a⃗是非零向量，与a⃗同方向的单位向量记作e⃗⃗，下列式子中，正确的是( )A. |e⃗⃗|⋅a⃗⃗=|a⃗⃗|B. |a⃗⃗|⋅e⃗⃗=a⃗⃗C. 1|a⃗⃗|⋅a⃗⃗=1 D. |a⃗⃗||e⃗⃗|=a⃗⃗33.如图，△ABC的顶点在5×6网格图的格点上，cosB的值为( )A. 45B. 35C. 34D. 4334.在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，点A(1,0)，B(0,2)，C(3,0)，点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有个．( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个35.如果a2=b3，且a+b=25，那么a=______．36.已知某一地图的比例尺为1：20000，如果A、B两地的图上距离为5cm，那么A、B的实际距离为______km37.已知线段AB=6cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则BC=______cm．38.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，BE、B1E1分别是它们的对应中线，如果BE=6，AB：A1B1=3：2，那么B1E1的长是______．39.已知|a⃗|=2，|b⃗⃗|=1，如果向量b⃗⃗与向量a⃗方向相反，那么用向量b⃗⃗表示向量a⃗为：a⃗=______．40.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E、F分别在边AB、DC上，且满足EF//BC，如果CF=2，BE：EA=1：2，那么DC=______．41.如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠B，如果AD=4，BD=AE=6，那么AC的长为______．42.如图5，在△ABC中，点G是△ABC的重心，如果EG//BC，那么△AEG与△ABC的面积之比是______．43.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果AD=1，BD=2，那么ACBC的值为______．44. 如图，将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC 及含30°角的直角三角板DCB)按图示方式叠放，斜边交点为O ，则△AOB 与△COD 的面积之比等于______ ．45. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果AD DB=m ，AE EC=n.那么m 与n满足的关系式是：m = ______ (用含n 的代数式表示m)．46. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，tanA =34，点M ，N 分别在AC ，BC 边上，将△ABC 沿直线MN 翻折，点C 恰好落在边AB 上，记为点C 1，如果△C 1MN 与△ABC 相似，那么折痕MN 的长为______．47. 计算：9sin30°⋅cos60°−tan45°⋅cos30°． 48. 已知：如图，△ABC 中，点D 是边AC 的中点．(1)设BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗.先化简，再求作：(3a⃗⃗⃗⃗⃗−b ⃗⃗)−2(a ⃗⃗−14b ⃗⃗)； (2)用a ⃗、b⃗⃗的线性组合表示向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．49. 如图，已知AB//CD//EF ，直线AF 与BE 相交于点O ，点C 、D 分别在线段OE 、OF 上，且AF =9，BO =2，OC =1，CE =4． (1)求S△ABO S △EFO的值．(2)求DF 的长．50.如图，矩形EFGD的边EF在等腰△ABC的底边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知AB=AC=10，BC=12，设BE=x，矩形EFGD的面积为y．(1)求BC边上的高．(2)试求y关于x的函数关系式及定义域．51.已知：在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD一个动点，联结AM、AN、AC．(1)如图1，如果AM⊥BC，AN⊥CD，求证：△AMN∽△DCA；(2)如图2，如果∠MAN=∠D，试问△AMN∽△DCA是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理由．52.已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是(1,0)，联结BC．(1)求△ABC的面积．(2)求sin∠ABC的值；(3)如果动点P在直线y=x+3上，且△ABC与△POB相似，求点P的坐标．53.如图1，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边AB的动点，将三角板的直角顶点与点E重合，直角边分别与线段BC交于点F，与射线AD相交于点G，联结FG．(1)求证：△AEG∽△BFE．(2)点E为线段AB的中点．①如图2，当点G在线段AD上运动时，(点G不与点D重合)，设BF=x，四边形CDGF的周长是否随x的变化而变化？如果变化，试用含有x的代数式表示四边形CDGF的周长，如果不发生变化，请说明理由．②如图3，联结AC，交GE于点P，交FG于点Q，当△AEG与△PQG相似时，求tan∠EGF的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是一元二次方程，故本选项错误；B、不是一元二次方程，故本选项错误；C、是一元二次方程，故本选项正确；D、不是一元二次方程，故本选项错误；故选C．根据一元二次方程的定义判断即可．本题考查了对一元二次方程的定义的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、2×6=3×4，故本选项正确；C、1×7≠3×5，故本选项错误；D、2×8≠4×6，故本选项错误．故选：B．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3.【答案】B【解析】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24<x<3.25．【解答】解：∵x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24<x<3.25．故选：C．5.【答案】B【解析】解：画树状图为：(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用A、B、C表示)共有9种可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为3，所以小波和小睿选到同一课程的概率=39=13．故选：B．先画树状图(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用A、B、C表示)展示所有9种可能的结果数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法，6.【答案】C【解析】解：3x2−x=0x(3x−1)=0∴x=0或3x−1=0解得：x1=0，x2=13．故选C．本题可对方程提取公因式x，得到两个因式的积的形式，则这两个因式至少有一个为0，由此可以解出x的值．本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．7.【答案】D【解析】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，∵EO⊥BD，∴EO为BD的垂直平分线，根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=12×20=10cm．故选：D．根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．此题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，还利用了中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．8.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，∴AE EC =ADDB=23，故选：C．直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．9.【答案】B【解析】【分析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程．本题为增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【解答】设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程300(1+x)2=363．故选：B．10.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中{AE=AFAB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1−x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，在Rt△CEF中，FE2=CF2+CE2，∴AB2+BE2=CF2+CE2，∴x2+1=2(1−x)2，∴x2−4x+1=0，∴x=2±√3，而x<1，∴x=2−√3，即BE的长为=2−√3．故选：A．由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1−x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．11.【答案】≠0【解析】解：因为关于x的方程mx2+(m−2)x+5=0是一元二次方程，所以二次项系数m≠0．本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)只含有一个未知数．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12.【答案】60°【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵ED=3BE，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为60°．13.【答案】14【解析】解：画树状图：共有4种等可能的结果数，其中两个都是女孩的结果数为1，所以两个都是女孩的概率=14．故答案为14．画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两个都是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．14.【答案】23【解析】解：∵ab =cd=23，∴2a 2b =−3c−3d=46=23，∴2a−3c+4 2b−3d+6=23．故答案为23．先由ab =cd=23，根据分式的基本性质得出2a2b=−3c−3d=46=23，再根据等比性质即可求解．本题主要考查了分式的基本性质与比例的性质，难度适中．熟练掌握性质是解题的关键．15.【答案】2420【解析】解：菱形面积为6×8÷2=24；由两条对角线的长为6和8，可求得菱形的边长为√32+42=5，则周长为20．故答案为24，20．根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可求得其面积，根据勾股定理求得菱形的边长，从而可求得其周长．主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．16.【答案】m>−94【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−3，c=−m∴△=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−m)>0，，解得m>−94．故答案为：m>−94若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．17.【答案】2x2−9x−2=0【解析】解：2x(x−3)=3x+22x2−6x=3x+2，则2x2−9x−2=0．故答案为：2x2−9x−2=0．首先去括号，进而移项合并同类项进而得出答案．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．18.【答案】±3【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−5x +6=0的两个根，∴(x −3)(x −2)=0，解得：x =3或2，①当x 1=3，x 2=2时，x 1∗x 2=32−3×2=3；②当x 1=2，x 2=3时，x 1∗x 2=3×2−32=−3．故答案为：±3．首先解方程x 2−5x +6=0，再根据运算“∗”：{a ∗b =a 2−ab(a ≥b)a ∗b =ab −b 2(a <b)，求出x 1∗x 2的值即可． 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．19.【答案】解：(1)∵4(x −1)2=9，∴(x −1)2=94，∴x −1=±32，∴x 1=52，x 2=−12；(2)∵x 2+8x +15=0，∴(x +3)(x +5)=0，则x +3=0或x +5=0，解得x 1=−3，x 2=−5；(3)∵3x 2−5x +1=0，∴a =3，b =−5，c =1，则Δ=(−5)2−4×3×1=13>0，∴x =5±√136， ∴x 1=5+√136，x 2=5−√136； (4)∵x(x −2)+x −2=0，∴(x −2)(x +1)=0，则x −2=0或x +1=0，解得x 1=2，x 2=−1．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；(3)利用公式法求解即可；(4)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20.【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =DC ，∠ABC =∠ADC ，∴∠EBC =∠FDC ．在△EBC 和△FDC 中，{BE =DF∠EBC =∠FDC BC =DC，∴△EBC≌△FDC(SAS)，∴EC =FC ．【解析】要证EC =FC ，只要证明三角形BCE 和DCF 全等即可，两三角形中已知的条件有BE =DF ，CB =CD ，那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论，根据四边形ABCD 是菱形我们可得出∠ABC =∠ADC ，因此∠EBC =∠FDC.这样就构成了三角形全等的条件．因此两个三角形就全等了．本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定，求简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，如等角的补角相等．21.【答案】解：根据题意，得62−6a −3a =0，即36−9a =0，解得，a =4；设方程x 2−ax −3a =0的另一个根为x ，则6+x =a =4，解得，x =−2，即方程的另一根是−2．【解析】将x =6代入已知方程列出关于a 的新方程，通过解新方程即可求得a 的值；然后利用根与系数的关系来求原方程的另一根．本题主要考查了方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．22.【答案】解：(1)因为箱子里共3个球，其中2个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是23；(2)画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2，所以两次摸出的球都是白球的概率=26=13． 【解析】(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n ，再从中选出符合事件A 的结果数m ，然后利用概率公式计算事件A 的概率为m n ．23.【答案】解：设x 2=y ，x 4=y 2，则原方程可化为y 2−6y +8=0，解得y 1=2，y 2=4．当y =2时，x 2=2，解得，x =±√2，当y =4时，x 2=4，解得，x =±2．∴原方程的解为：x 1=√2，x 2=−√2，x 3=2，x 4=−2．【解析】设x2=y，x4=y2.则方程即可变形为y2−6y+8=0，解方程即可求得y即x2的值，进而即可求得x的值．本题考查了换元法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24.【答案】证明：∵AB=AC，AH⊥CB，∴BH=HC，∵FH=EH，∴四边形EBFC是平行四边形，又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．【解析】根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH=HC，从而得出四边形EBFC 是菱形．本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．25.【答案】解：设每件羽绒服应降价x元，依题意得：(40−x)(20+2x)=1200，整理得：x2−30x+200=0，解得：x1=10；x2=20；为了使顾客多得实惠，所以要尽量多降价，故x取20元．答：每件羽绒服应降价20元．【解析】本题可设每件羽绒服应降价x元，因为每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，所以降价后每件可盈利(40−x)元，每天可售(20+2x)件，又因平均每天要盈利1200元，所以可列方程(40−x)(20+2x)=1200，即可求解．本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意所求的解要适合实际的需要．26.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC，AB=DE，AE=BD．∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD//AE，CD=AE．∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．【解析】已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法．27.【答案】解：(1)∵Δ=(−4m)2−4(4m2−1)=4>0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)∵Δ>0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2−4mx+4m2−1=0的根．将x=5代入原方程，得：25−20m+4m2−1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2−8x+15=0，解得：x1=3，x2=5，∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2−12x+35=0，解得：x1=5，x2=7，∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．【解析】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)代入x=5求出m值．(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=4>0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据等腰三角形的性质及Δ>0，可得出5是方程x2−4mx+4m2−1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．28.【答案】3t3t【解析】解：(1)∵AP=3t，CQ=3t．故答案为3t，3t；(2)过点P作PE⊥CD于点E，∴∠PED=90°，∵PD=PQ，DQ∴DE=12在矩形ABCD中，∠A=∠ADE=90°，CD=AB=16cm∴四边形PEDA是矩形，∴DE=AP=3t，又∵CQ=2t，∴DQ=16−2t∴由DE=1DQ，2∴3t=1×(16−2t)，2∴t=2∴当t=2时，PD=PQ，△DPQ为等腰三角形(3)在矩形ABCD中，AB=CD，AB//CD，AD=BC，依题知AP=CQ=3t∴PB=DQ，∴四边形BPDQ是平行四边形，当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，∴PB=AB−AP=16−3t在Rt△APD中，PD=√AP2+AD2=√9t2+36，由PD=PB，∴16−3t=√9t2+36，∴(16−3t)2=9t2+36，解得：t=5524∴当t=5524时，四边形BPDQ是菱形．(1)根据路程=速度×时间，即可解决问题．(2)过点P作PE⊥CD于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，DE=12DQ，列出方程即可解决问题．(3)当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，列出方程即可解决问题．本题考查四边形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．29.【答案】D【解析】解：∵a：b=3：5，即ab =35，∴5a=3b，b−ab =5−35=25．故选：D．根据内项之积等于外项之积、合比和分比性质进行判断．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．30.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =AEAC，故A正确，不符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =AEAC，即BDAD=CEAE，∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴CE CA =CFCB，∴CE AE =CFBF，∴BD AD =CFBF，故B错误，符合题意；∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴CE CA =CFCB，即AEEC=BFFC，故C正确，不符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =DEBC，∵DE//BC，EF//AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，∴AD AB =BFBC，故D正确，不符合题意．故选：B．由DE//BC证明△ADE∽△ABC，得ADAB =AEAC，可判断A；由DE//BC证明△ADE∽△ABC，得ADAB =AEAC，即BDAD=CEAE，由EF//AB证明△CEF∽△CAB，得CECA=CFCB，即CEAE =CFBF，可判断B；由EF//AB证明△CEF∽△CAB，得CECA =CFCB，即AEEC=BFFC，可判断C；由DE//BC证明△ADE∽△ABC，得ADAB =DEBC，由四边形BDEF是平行四边形得DE=BF，可判断D．此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，正确理解和掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．31.【答案】A【解析】解：A 、有一个角是60°的两个等腰三角形相似，正确，是真命题，符合题意； B 、对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C 、两条直角边成比例的两个直角三角形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D 、有一对应边相等的两个相似三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：A ．利用相似多边形的判定方法、全等三角形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查命题，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．32.【答案】B【解析】解：A 、|e⃗⃗|⋅a ⃗⃗=a ⃗⃗，原式计算错误，故本选项不符合题意； B 、|a ⃗⃗|⋅e ⃗⃗=a ⃗⃗，原式计算正确，故本选项符合题意；C 、1|a|⃗⃗⃗⃗⃗⋅a⃗⃗=e ⃗⃗，原式计算错误，故本选项不符合题意； D 、|a|⃗⃗⃗⃗⃗|e|⃗⃗⃗⃗=|a ⃗⃗|，原式计算错误，故本选项不符合题意．故选：B ．单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向．一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．33.【答案】A【解析】解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，则点D 在格点上，在Rt △ABD 中，AD =3，BD =4，∴AB =√AD 2+BD 2=√32+42=5，∴cosB =BD AB =45，故选：A ．由网格构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．34.【答案】C【解析】解：设点D(m,n)(m >0,n >0)，∵A(1,0)，B(0,2)，C(3,0)，∴OA =1，OB =2，OC =3，AB =√5，OD =√m 2+n 2，CD =√(m −3)2+n 2，∵∠AOB =90°，∴△AOB 是直角三角形，∵点D 在第一象限内，∴∠COD <90°，∵以点D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，∴∠COD =∠OAB 或∠COD =∠OBA ，①当∠COD =∠OAB 时，△COD∽△OAB 或△COD∽△BAO ，Ⅰ、当△COD∽△OAB 时，OC OA =OD AB =CD OB ， ∴31=√m 2+n 2√5=√(m−3)2+n 22，∴m =3，n =6或n =−6(舍去)，∴D(3,6)； Ⅱ、当△COD∽△BAO 时，OC AB =OD OA =CD OB ， ∴√5=√m 2+n 21=√(m−3)2+n 22， ∴m =35，n =0(舍去)，②当∠COD =∠OBA 时，△COD∽△OBA 或△COD∽△ABO ， Ⅰ、当△COD∽△OBA 时，OC OB =OD AB =CD OA ， ∴32=√m 2+n 2√5=√(m−3)2+n 21， ∴m =3，n =32或n =−32(舍去)， ∴D(3,32)；Ⅱ、当△COD∽△ABO 时，OC AB =OD OB =CD OA ， ∴√5=√m 2+n 22=√(m−3)2+n 21， ∴m =125，n =65或n =−65(舍去)， ∴D(125,65)； ∴D(3,6)或(3,32)或(125,65)共三个， 故选：C ．设点D(m,n)(m >0,n >0)，进而得出OA =1，OB =2，OC =3，AB =√5，OD =√m 2+n 2，CD =√(m −3)2+n 2，再判断出∠COD <90°，进而得出∠COD =∠OAB 或∠COD =∠OBA ，最后分情况，利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解，即可求出答案．此题主要考查了相似三角形性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．35.【答案】10 【解析】解：设a 2=b 3=k ，则a =2k ，b =3k ，∵a +b =25，∴2k +3k =25，解得k =5，∴a =2k =10．故答案为：10．设a 2=b 3=k ，利用比例性质得到a =2k ，b =3k ，则2k +3k =25，然后求出k ，从而得到a 的值． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．36.【答案】1【解析】解：根据题意： 5÷120000=100000(厘米)100000厘米=1千米．即A 、B 两地的实际距离是1千米．。
2021届嘉定区官方标答
ABC1A 1C 1D 1B D 嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．{}4,2 2．()0,1 3．22≤≤-x 4．2 5．43-6．6 7．32 8．15π 9．21 10．216 11．8- 12．⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．A 14．D 15．B 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意得 322211=-=AD D A AA ，………………………………2分则该正四棱柱的表面积为31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ，………………………4分体积为 383222=⋅=V ．……………………………6分 （2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．………………………………2分在11DC A △中，22,321111===C A DC D A ,……………4分 由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，………………………………………………………………7分所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos．………………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． ……………………………………………………………2分 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ． ………………………4分当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-． ………………………………………………………6分（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ．……………2分 因为ABC △的面积为33，则得33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．………………………………………………………………………………4分又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)( …6分41222=+=，所以 4=a ． ……………………………………………………………………………8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意知 当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时）， 代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，… …………………………………………………2分 当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意； …………………………………………3分 当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．……5分综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是]80,20(．……6分（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立； …………………………………3分 当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 …………………………5分 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即 2800)140(2=-x ，即720140±=-x ，]120,20(87720140∈≈-=x 成立．综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．………………………………………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）由题意得 62=a ，解得 3=a ．…………………………………………1分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+ba ， 由于 3=a ，解得 2=b ． …………………………………………………………3分所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ．……………………………………4分 （2）因为02 =+， 则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，…………1分又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ．由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5859y x ，即得 ），（5859P ． 所以 ()510858359||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP ，即线段AP 的长为5108．……………………………………………………………6分 （3）由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ： （32>k ）． 令0=y ，得)0,2kD （． ………………………………………………………………1分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=， 所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（． ………………………………2分 于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （． 令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ． …………………………………3分所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k k k k ， 即四边形ABDC 的面积为定值6．………………………………………………………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．………………………………………………………1分 因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项， 所以数列8,4,2,1不具有性质P ．……………………………………………………………4分 （2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ．设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-． ………………………………2分 则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=，………………………………………………………4分将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．………………………………………………6分 （3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一） …………2分 下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列． 由（2）得 01=a ． ①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--． 因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=， 因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*) …………………………………………2分 ②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈．由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-= 及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=． 所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．……………………………………………………4分 因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=， 所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**) ………………………6分 由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-， 两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列． ………………………………………8分。
上海市嘉定一中2021届高三9月测试数学试卷含答案
（3）设 bn qn1 （q 是不小于 2 的正整数）， c1 b1 ，是否存在等差数列an ，使得对任意的 n N * ，在
bn 与 bn1 之间数列an 的项数总是 bn ？若存在，请给出一个满足题意的等差数列an ；若不存在，请说
明理由．
参考答案
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，考生应在答题纸相应编 号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
5．设抛物线
y2
8x 的焦点与双曲线 x2
y2 b2
1(b
0) 的右焦点重合，则 b
_____．
6．已知二项式 (2x x )5 ，则展开式中的 x3 系数为_____．
7．已知边长为 1 的正方形 ABCD 绕 BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为_____．
8．已知顶点在原点的锐角
（1）求直线 A1C 与底面 ABCD 所成角的大小； （2）若 BM 2 ，求点 A 到平面 A1MC 的距离．
18．（本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知 f (x) x2 1 x2 kx ． （1）若 k 2 ，求方程 f (x) 0 的解； （2）若关于 x 的方程 f (x) 0 在 x (0, 2) 上有两个不同解 x1 ， x2 ，求实数 k 的取值范围．
点，点 P 在第一象限），求直线 AP 与 OQ 的斜率之积：
（3）记圆 O :
x2
y2
ab a2 b2
为椭圆
C
的“关联圆”．过点
P
作椭圆
C
的“关联圆”的两条切线，切点