一种月球软着陆优化方法_林胜勇[1]

因式(1)中加速度为推力加速度与引力加速度
之和 , 由此可得火箭发动机需施加的加速度
apx =ax -gx ;
apy =ay -gy ;
(3)
apz =az -gz . 式中 :gx , gy , gz 为当地引力加速度 , 随位置而变 , 且
gx =-μrL3 x , gy =-μ r3L y , gz =-μrL3 z ;apx , apy , apz 为推
1 运动方程
设软着陆过程始于一环月停泊轨道 , 通过变轨 转入椭圆轨道 , 当到达近月点时 , 制动发动机点火开 始下降着陆 。本文研究从近月点发动机点火制动开 始 , 在不考虑月球自转影响的条件下 , 讨论软着陆轨 道的优化 。
在月心惯性坐标系中 , 采用变推力火箭发动机 , 使探月器加速度随时间而呈线性变化 。加速度可表 示为
a)计算飞行时间 ta =t2 -0 .618(t2 -t0 )。 b)计算着陆位置 θa =θ2 -0 .618(θ2 -θ0 )。代入 式(1)～ (4)、(9), 可算得与 ta , θa 对应的需要速度增 量 Δvaa 。 c)计算着陆位置 θb =θ0 +0 .618(θ2 -θ0)。 代入 式(1)～ (4)、(9), 可算得与 ta , θb 对应的需要速度增 量 Δvab 。 d)当 Δvaa ≤Δvab 时 , 令 Δvam =Δvaa , θam =θa , θ2 =θb ;当 Δvaa >Δvab 时 , 令 Δvam =Δvab , θam =θb , θ0 =θa 。若 θa -θb <ε且 Δv aa -Δvab <ε, 则转步 骤 e);否则返回步骤 b)。 此处 :ε为小数 。 e)计算 tb =t0 +0 .618(t2 -t0)。 f)由 θa 计 算 与 t a , θa 对 应 的 需 要 速 度 增 量 Δvba 。 g)由 θb 计 算 t b , θb 与 对 应 的 需 要 速 度 增 量 Δvbb 。 h)当 Δvba ≤Δvbb 时 , 令 Δvbm =Δvba , θbm =θa , θ2 =θb ;当 Δvba >Δvbb 时 , 令 Δvbm =Δvbb , θbm =θb , θ0 =θa 。若 θa -θb <ε且 Δvba -Δvbb <ε, 则转步 骤 i);否则返回步骤 f)。 i)当 Δvam ≤Δvbm 时 , 令 Δvm =Δvam , θm =θam , t2 =tb ;当 Δvam >Δvbm 时 , 令 Δvm =Δvbm , θm =θbm , t0 =ta 。 若 ta -tb <ε且 Δv am -Δvbm <ε, 则计算 结束 ;否则返回步骤 a)。 上述求解过程中 , 需计算一积分区间为变量的 积分 , 此为本文方法的难点 。 但该积分仅出现在确 定最优飞行时间和优化着陆点的过程中 , 在给定飞
图 1 月球软着陆示意 Fig.1 Lunar soft-landing
式中 :RL 为月球半径 , 且 R L =1 738 km ;θ为初始点 到着陆点的月心角(即软着陆段的行程角)。 给定飞行时间区间[ t0 , t 2] 和着陆区域[ θ0 , θ2 ] , 最小速度增量计算步骤如下 。
z0), (v x0 , vy0 , vz0)分别为着陆点要求的位置坐标和 速度 , t1 为软着陆段总飞行时间 , 则加速度系数
a0 =[ 6(x1 -x0 )-2v x1 t1 -4vx0 t1] / t21 ; a1 =[ 6(v x1 +vx0 )-12(x 1 -x0 )] / t31 ;
(2)
vy =v x0 +b0 t +b1 t2 ;
vz =vz0 +c0 t +c1 t2 .
式中 :(x0 , y0 , z0 ), (v x0 , vy0 , vz0 )分别为初始位置坐 标和速度 。
式(2)中有方程 6 个和变量 7 个 , 控制其中的某
个参数即 可实 现软 着陆 的轨道 优化 。 若(x0 , y 0 ,
关键词 :月球探测 ;软着陆 ;轨道 ;变推力火箭发动机 ;优化 中图分类号 :V 476.3 文献标识码 :A
A Method of Trajectory Optimization for Lunar Soft-Landing
LIN Sheng-y ong
(Beijing Institute o f Electro nic Sy stem Enginee ring , Beijing 100854, China)
状况是加速度线性变化 , 对如仅常数项或二次多项
式等其他状况 , 或变量数少于方程数无解 , 或变量数
远多于方程数(即有多个可 控制参数)。 控制 参数
多 , 利于实现燃料绝对最省 , 但不利于计算和工程实
现 。 因此 , 本文主要研究式(1)表示的加速度线性变
化软着陆 。
2 推力计与燃耗优化
2 .1 推力加速度和燃耗
收稿日期 :2007-02-05 ;修回日期 :2007-03-07 作者简介 :林胜勇(1975 —), 男 , 博士后 , 主要研究方向为飞行器 设计 。
计算中 , 打靶法 、遗传算法和序列 SQP 都需多次迭 代 , 且要求事先猜测未知状态变量的初值 , 当猜测值 与真值相差较 大时计算常会陷入局部 极值点或发 散 。这主要是因为初始与终端条件(即两点)间须用 运动微分方程逐步积分连接 , 每确定一组满足初始 与终端条件的参数均需多次积分运动微分方程 。为 简化该过程 , 本文研究了一种用变推力火箭发动机 实现的月球软着陆优化方法 。
(或燃耗质量)为 t1 和着陆点位置的函数 。
2 .2 燃耗优化
由上可知 :软着陆燃料消耗最少的优化中 , 对定
点着陆 , 只需给定一容许飞行时间区间 , 通过一维搜
索方法求解即可 ;对不定点着陆 , 需同时给定一容许
飞行时间区间和着陆区域 , 通过一维嵌套或二维搜
索求解 。以下讨论不定点着陆时用一维嵌套黄金分
.
m
=-ap m/ I e .
(6)
由式(6)可得质量计算公式为
∫ ln(mm
k 0
)
=-
t1 0
ap Ie
dt
.
(7)
式中 :m0 , mk 分别为探月器初始和最终的质量 。 若
Ie 为常数 , 则可式(7)可改写为
mk =m0 e-Δv/ Ie .
(8)
∫ 式中 :Δv = t1 apdt 。 0 式(8)为齐氏公式的另一种形式 。由此可见 :计
为常系数 ;t 为时间 。 软着陆轨道任一时刻的 位置
和速度分别为
x = x0 +v x0 t +a0 t2 / 2 +a1 t3 / 6 ;
y = y0 +vy0 t +b0 t2 / 2 +b1 t3 / 6 ;
z =z 0 +vz0 t +c0 t2 /2 +c1 t 3/ 6 ; vx =v x0 +a0 t +a1 t2 ;
力加速度 , 是时间的函数 , 且
ap = a2p x +a2py +a2pz .
(4)
此处 :r = x2 +y 2 +z2 ;μL 为月球引力常数 。
若当时探月器质量为 m , 发动机比冲为 Ie , 则需
要的火箭发动机推力
F =apm .
(5)
F 的方向可由计算的推力加速度求得 。其对应的质
量秒流量
算燃料消耗最少(或剩余质量最大)可转化成求解需
要速度增量最小 , 即求 Δv 最小 。由上述推导可知 :
当着陆点位置给定(即定点着陆)时 , 已知总飞行时
间 , 即可求出需要速度增量 , 进而求得 燃料消耗质
量 , 此时需要速度增量(或燃耗质量)为 t1 的函数 ;
当着陆点位置未定(即一般着陆)时 , 需要速度增量
Abstract:A trajecto ry optimizatio n appro ach o f lunar sof t-landing with variable thrust w as pr esented in this paper .In case of acceleration changing linearly , the fo rmulas to compute mo tio n parameter s and thrust we re derived .A nd fuel-o ptimal sof t-landing trajecto ries o f lunar pro bes we re investig ated thro ug h selection of flig ht time and landing position .T he me tho d wa s simple to implement g uidance fo r soft-landing on the appointed po sitio n of the luna r surface .T he example s show ed that the method wo uld be feasible and effective .
面内时因无需改变运动平面而最省能量 。 因此 , 对
不定点着陆优化 , 着陆点位置用一参数表示即可(着
陆要求速度为 0 值), 即
x1 =RL cos θ;
y 1 =RL sin θ;
(9)
z1 =0 .
2008 年第 4 期
林胜勇 :一种月球软着陆优化方法
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行时间和着陆点后的制导过程中并不出现 。
b0 =[ 6(y1 -y0 )-2v y1 t1 -4vy0 t1 ] / t21 ; b1 =[ 6(vy1 +vy0 )-12(y1 -y0 )] / t31 ; c0 =[ 6(z 1 -z 0)-2vz1 t1 -4vz0 t1] / t21 ; c1 =[ 6(vz1 +vz0 )-12(z 1 -z 0 )] / t31 . 用多项式表示软着陆加速度的一种最简单可行