考研数学-专题5 导数的概念及应用

f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
f (x0
n ) f (x0 n n
n)
f (x0 )
【例
1】设
f
(1) 存在，则 lim x0
f
(cos x)
f
(1 3 tan2 x2
x) cos x
（
）
(A) 4 f (4)
(B) 2 f (1) ,
(C) 2 f (1) f (1) ,
(D) 5 f (1) 1 f (1)
2
2
（D）
f (a x) f (a) f (a)
【例 2】设 f (x) 在 x a 处二阶可导，则极限 lim
x0
x
x0
x
故 f (0) 1 ln 2 ，选（D）.
【例 3】设函数(x) sin x f (tx2 )dt ，其中 f (x) 是连续函数，且 f (0) 2. 0 （1）求(x) ；
4
（2）讨论(x) 的连续性.
【解】 令 tx2 u ，则
(x)
x 2 sin x 0
1 x2
【解 2】 f(0) (cos x x2 ) x0 ( sin x 2x) x0 0
f(0)
lim sin x0 x
x
lim
x0
x cos x sin x2
x
lim
x0
x sin 2x
x
0
【注】本题中用了三种求分段函数在分界点处导数的方法：
方法 1：导数定义
解 1 用的此方法.
方法 2：求导代入
lxim0 1 (
cos x 1
f
(x) x
)
sin
x
lim[
x0
cos x 1 sin x
f (x) ] x sin x
1 x2 lim[ 4
x0 x
f
(x) x2
]
lim f (x) f (0) 1
x0 2x
2
1
lim
x0
cos x
f (x) sin x x
e1
【例 4】设 f (x) 在 x0 点可导， n , n 为趋于零的正项数列，求极限
0
x
在 x 0 点处，由导数定义有
(0) lim (x) (0)
x0
x
lim
x0
1 x3
x2 sin x
f (u)du
0
lim
x0
x2 sin x x3
f
( )
(积分中值定理)
f (0) 2.
所以 ( x)
2 x3
x2 sin x f (u)du f (x2 sin x)( 2 sin x cos x),
解 2 中左导数 f(0) 用的此方法，其理论依据是：
若在 (x0 , x0 ]上， f (x) g(x), 则 f(x0 ) g (x0 ) .右导数有类似结论.
方法 3：导函数极限
解 2 中右导数 f(0) 用的此方法，其理论依据是：
若
f
(x) 在[x0 , x0
) 上连续，在 (x0 , x0
x0
x
即 F(0) 1, 故选(D).
【解 2】排除法
取 f (x) x, 则 F (x) x f (t)dt x tdt 1 x2, F(0) 0,
0
0
2
显然，选项（A）(C) 均不正确.
取 f (x) 1, 则 F (x) x f (t)dt x dt x , F(0) 不存在.
存在时，则称该极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记为 f(x0 ) .
定义 3(右导数) 若右极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x 0
x 0
x
存在时，则称该极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记为 f(x0 ) .
定理 可导 左右导数都存在且相等.
x0
x
1
（二）连续、可导、可微之间的关系
【例 2】设 f (x) 在 x0 处可导，则 (A) f (x) 在 x0 的某邻域内可导； (B) f (x) 在 x0 的某邻域内连续； (C) f (x) 在 x0 处连续； (D) f (x) 在 x0 处连续.
与导数概念相关题型主要有三种 （一）利用导数定义求极限
从而 f (x) 在 x0 处连续；
【例 5】若函数 f (x) 在[a,b] 上可导,且 f(a) f(b) 0, 则 (a,b), 使 f ( ) 0.
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练习题
1.讨论函数
f
(x)
(x 1)2 arctan
2
1
, ,
x 1
x 1, 在 x 1 处的可导性.
x 1,
4）若
f
(x)
在
x0
处导函数的极限
lim
x x0
f
( x)
存在，则
f
(x) 在
x0 处连续.
则上述命题中正确的个数为
（A）0； （B）1； （C）2；
（D）3.
【解】 应选（C）
2）正确.
(1)若 f (x0 ) 0, 则在 x0 某邻域内， f (x) f (x), 从而 f (x) 在 x0 处可导；
) 内可导，且 lim x x0
f
(x) 存在，
则
f(x0 )
lim
x x0
f
(x). 左导数有类似结论.
【例
2】设函数
f
(x)
x2
2x
b,
x 0, 处处可导,确定常数 a,b 并求 f (x).
ln(1 ax), x 0,
【解 1】
【解 2】
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【例 3】设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续， F (x)
【例 1】 下面几个极限能作为 f (x) 在 x0 处导数定义的是
（A） lim f (x0 x) f (x0 x) ；
x0
2x
（B） lim n[ n
f
( x0
1) n
f
(x0 )] ；
（C） lim x0
f (x0
x2) x2
f (x0 )
;
（D） lim f (x0 ) f (x0 x) .
y
x x0
，或
d d
y x
x x0
.如果上述极限不存在，则称
f
(x)
在点
x0
处不可导.
【注】常用的导数定义的等价形式
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) ， x x0
定义 2(左导数) 若左极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x 0
x 0
x
0
0
显然，选项（B）不正确.
故应选（D）.
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【例 4】设有命题
1）若 f (x) 在 x0 处可导，则 f (x) 在 x0 处可导；
2）若 f (x) 在 x0 处连续，且 f (x) 在 x0 处可导，则 f (x) 在 x0 处可导；
3）若 f (x) 在 x0 处的左、右导数都存在，则 f (x) 在 x0 处连续；
x
f (t)dt ,则
0
(A) F (x) 在 x 0 处不可导；
(B)若 f (x) 在 x 0 处可导，则 F (x) 在 x 0 处可导；
(C)若 f (0) 0 ，则 F(0) 1；
(D)若 f (0) 0, f (0) 1, 则 F(0) 1.
【解 1】直接法 (D)正确.
（三）利用导数定义判定可导性
【例 1】讨论函数
f
(
x)
cossixnx x
x2 ,
,
x 0, x 0, 在 x 0 处的可导性.
5
【解 1】
f(0)
lim
x0
cos