江苏省南京市金陵中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题Word版含解析

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江苏省南京市金陵中学高二数学等差数列练习试题百度文库

一、等差数列选择题1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（）A ．4B ．6C ．7D ．82．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝24．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2206．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．2407．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +8．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸9．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200B ．100C ．90D ．8010．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项12．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（）A ．24B ．23C ．17D ．1613．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<14．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．515．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（） A ．51B ．57C ．54D ．7216．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2217．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．319．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15B ．20C ．25D ．30二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =23．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，()21212n n a a -=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列24．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列25．题目文件丢失！26．题目文件丢失！27．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 28．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝029．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值【详解】解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =，故选：A 2．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 4．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 6．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 7．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 8．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和．【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．故选：D ． 9．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 10．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 11．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．A 【分析】由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值【详解】解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=，故选：A. 13．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 14．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 15．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 16．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 17．C【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 18．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 19．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=，故选：C . 20．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.22．AD【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.23．ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC24．BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错;选项B: 2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11n n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.25．无26．无27．ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<设()()ln 2f x x x =+-，则()11122x f x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x << ，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.28．ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 29．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.30．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。

江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则AB = .2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为0x +=,则实数m 的值为 .7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 .9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2(3cos ,cos )n x x =.(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且132m n ⋅=-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,且过点1)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=.(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e=相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1(,e)e内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线L '的方程.22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(θ为参数,[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4p πθ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.试卷答案一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 45. 37. 31n-8.169. [5,13] 10.311. 36 12. 10(,]3-∞ 13. 111(,)(,1)32214. 5{|4a a <-或3}4a >- 二、解答题.15. 解(1)当3x π=时，1]m =-，1]4n =，所以311442m n ⋅=-=.(2) 2cos cos m n x x x ⋅=-112cos2222x x =-- 1sin[2]62x π=--，若122m n ⋅=-.则11sin[2]6222x π--=-，即sin[2]6x π-=. 因为[0,]4x π∈，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos[2]6x π-= 所以cos2cos[[2]]66x x ππ=-+cos[2]6x π=--1sin[2]62x π-⨯12=-=16.证明(1)因为在PAD ∆中, ,AP AD AM PD =⊥，所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ∆的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.又AB ⊂平面PAB , MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ，平面PAD平面,ABCD AD CD AD =⊥，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以AM ⊥平面PCD .17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==则1cos CE EB θ==，tan ED θ=，tan AE θ=，于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θθθ-=+因为E 在CD 之间,所以03πθ<<，故2sin ()cos f θθθ-=+，03πθ<<.(2) 22cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03πθ<<，令()0f θ=,得1sin ,26πθθ==，故当06πθ<<，()0f θ<，()f θ递减,当sin 62ππθ<<,()0f θ>,()f θ递增,所以,当6πθ=时, min ()()6f f πθ==12-+=答:当6DCE π∠=时, ()f θ最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =，由题意知22311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,010y k x =,又F , 所以直线AF的方程为y x =-.由221,4y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得2200(7)x x --20070x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C的横坐标C x =又点(,)C C C x y在直线y x =-上，所以C C y x =-=C的坐标为同理,点D的坐标为，所以2k =101472y k x ==，即存在7m =,使得217k k =.19.(1)证明:因为*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，21(1)2n n a p S ++=-+所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，所以*1,()n n a pa n N +=∈，又因为1p >,所以11n nn n a a p p++=，所以数列{}n na p是常数列, 112,2n n n n a a a p p p p -===，所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.(2)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n np n -=1(1)()2017n n n n -+所以20182b =.(3)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121n k -=++. 因为322322(21)n n k b k ---=+，所以当11n k ≤≤+时, 32n n c b =-，当2n k ≥+时，32n n c b =-. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++0121k k +++=-++(1)(2)2+121k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)(1)22121k k k k k k ++++=++. 20. (1)设直线2y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e=，把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n ah x ax x x=--, 设函数()h x 在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x x x x <，令22()a a h x a x x x'=+--2220ax x ax -+==, 则220ax x a -+=,设2()2m x ax x a =-+,因为121x x =,故只需0,20,()0,am e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩,所以, 2211e a e <<+.②因为121x x =,所以，121()()M f x f x ax =-=1221221n (21n )a ax ax x x x ----- 11121n a ax x x =---1111(21n )a ax x x -- 21112221n aax x x =--由21120ax x a -+=,得12121x a x =+,且111x e<<. 12111211222121x x x M x x x +=-+222111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设21x t =,211t e <<,令11()4(1n )+12t t t t ϕ-=-， 221()4()(+1)2t t t ϕ'=-222(1)0(1)t t t --=<+， ()t ϕ(在21(,1)e 上单调递减,从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<，所以,实数M 的取值范围是28(0,)1e +. 高二数学Ⅱ（附加题）21. 解(1)由题知 2 11 3MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1 10 32 17 2⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以0 3)2l 7 det(2MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .由 2 11 3x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3'x y x x y y ''-=⎧⎨''+=⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧'=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x +-⨯+-=，即5470x y +-=.即直线L 的方程为5470x y +-=. 22.解(1)由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22:13x C y +=，由cos ()4p πθθ-=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.(2)在22:13x C y +=上任取一点,sin )P θθ(02)θπ≤≤，则点P 到直线l的距离为d=|2sin()4|πθ+-=，02θπ≤≤，当sin()13πθ+=-，即76πθ=时，max d =23. 解(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()P A P A =-2211(1)25p =--=，解得35p =.(2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3, 且24(0)(1)25P X p ==-=, 2(1)(1)P X p p ==-24(1)(1)125p p p +--=， 327(3)125P X p ===，故(2)1(0)P X P X ==-=54(1)(3)125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望24()2125E X =+⨯54272133125125125+⨯=.24.解(1)如图,以D 为坐标原点,分别以直线1,,DA DC DD 所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -，易得1(0,2,3)A B =-,设BE a =,则(0,2,)AE a =，因为1A B AE ⊥,所以1(0,2,3)AB AE ⋅=- (0,2,)430a a ⋅=-=，解得43a =,即4(0,2,)3AE =, 又1(2,2,3)D B =-,(2,2,0)AC =-, 所以1(2,23)D B AE ⋅=-4 (0,2,)03⋅=,所以1D B AE ⊥, 且1(2,2,3)(2,2,0)0D B AC ⋅=-⋅-=，所以1D B AC ⊥，又AE AC A =，所以1D B ⊥平面AEC . (2) 4(0,2,)3AE =，1(2,0,3)D A =-，1(0,2,3)DC =-，设平面1ACD 的一个法向量(,,)n x y z =，则110,0,D A n D C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230,x z y z -=⎧⎨-=⎩令0z =，则3x y ==，即(3,3,2)n =，sin |cos ,AE θ=<|||||AE n n AE n ⋅>=⋅423=2⨯⨯==22.。

江苏省南京市中学2018年高二数学理期末试卷含解析

江苏省南京市中学2018年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A．10m/s B．9m/s C．4m/s D．3m/s参考答案：C【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故选C【点评】本题考查导数在物理中的应用：位移的导数值为瞬时速度．2. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A．34949 B． 34950 C．34951 D．35049参考答案：B略3. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：4. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）（A） k＞4? （B）k＞5? （C）k＞6? （D）k＞7?参考答案：A略5. 已知二项分布ξ～B（4，），则该分布列的方差Dξ值为（）A．4 B．3 C．1 D．2参考答案：C【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据比例符合二项分布，根据所给的二项分布的表示式，把n，p，q的结果代入方差的公式，做出要求的方差的值．【解答】解：∵二项分布ξ～B（4，），∴该分布列的方差Dξ=npq=4××（1﹣）=1故选：C．6. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为A. B.C. D. 1参考答案：C略7. 三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．8. 已知复数满足，则的实部（）A.不小于B.不大于C.大于D.小于参考答案：B1. 已知集合,，则=A. B. C. D.参考答案：D略10. 设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p 的值分别是()A．50， B．60， C．50， D．60，参考答案：B由得二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三角形内圆的半径是高的，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球的半径是高的___________.参考答案：略12. 若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为___ _______参考答案：略13. 已知点，，则向量的坐标为▲.参考答案：（-5，6，-1）略14. 已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．参考答案：x2+（y+1）2=18【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3， |AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18【点评】此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．15. 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为__________．参考答案：3【分析】先令，用导数的方法求出其最大值，结合题中条件，得到，进而有，用导数方法求出的最大值，即可得出结果.【详解】因为，，且，令，则，令得，显然，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此；因为对任意的恒成立，所以；即，所以，因此，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，故最小值为3，所以故答案为3【点睛】本题主要考查导数的应用，掌握导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.16. 已知函数的导函数为，且满足，则＝ . 参考答案：略17. 将正整数1，2，3，…按照如图的规律排列，则100应在第列．参考答案：14【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】先找到数的分布规律，求出第n列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案．【解答】解：由排列的规律可得，第n列结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n+1）个数．每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，而第13列的第一个数字是13×（13+1）=91，第14列的第一个数字是14×（14+1）=105，故100应在第14列．故答案为：14【点评】此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南京市金陵中学2019届高二年级下学期数学检测卷(1)Word版含答案

金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。

临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!金陵中学2018-2019学年高二年级数学检测卷（1）学号________ 姓名_______________一、填空题(共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处)最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

1．已知集合A ＝{x|x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为▲．2．函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为▲．3已知i 是虚数单位,则1－2i2＋i 等于▲．4．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输出s 的值是▲．5．已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是▲．6．若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角的余弦为▲．7．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝▲．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为▲．9．已知实数x ，y 满足x ＋y ＞2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则c ＝▲．11．若函数f(x)＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是▲．12．若命题“x ∈[1，3]，x 2－ax ＋4≥0”是真命题，则a 的取值范围是▲．填空题答题区1．2．3．4．5．．开始输入n i ←１，s ←１i ≤ns ←s ＋(i －1)Yi ←i ＋1输出s 结束N（第4题）6．7．8．9．10．．11．12．二、解答题(共6小题，总分80分)13．（本小题14分）已知函数f(x)＝2cos2x2－3sinx．（1）求函数f(x)的最小正周期和值域；（T－13）（2）若α为第二象限角，且f(α－π3)＝13，求cos2α1－tanα的值．（T－14）14．（本小题14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E?F分别是BD?BB1 的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1CD；（T－15）（2）求证：EF⊥AD1．（T－16）15．（本小题14分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8－200＝1000(元)．设购买某商品得到的实际折扣率＝实际付款额商品的标价．设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ．（1）写出当x ∈（0，1000]时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（T －17）（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于23?（T －18）16．（本小题11分）正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(a n ＋12)2．（1）证明数列{a n }为等差数列并求其通项公式；（T －19）（2）设c n ＝1a n a n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明:13≤T n ＜12．（T －20）17．（本小题11分）已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x －1．（1）用a表示b，c；（T－21）（2）若f(x)≥lnx在[1，＋∞）上恒成立，求a的取值范围．（T－22）18．（本小题16分）如图，已知椭圆C：x24＋y2＝1的上?下顶点分别为AB，点P在椭圆上，且异于点AB，直线AP，BP与直线l：y＝－2分别交于点MN．（1）设直线APBP的斜率分别为k1?k2，求证:k1・k2为定值；（T－23）（2）求线段MN的长的最小值．（T－24）金陵中学高二年级数学检测卷（1）解答1．4 2．(0，6] 3．－i 4．11 5．18 36．－127． 68．369．710．±511．(－3，－1)∪(1，3) 12．(－∞，4]13．(1)因为f(x)＝1＋cosx －3sinx ＝1＋2cos(x ＋π3)，所以函数f(x)的周期为2π，值域为[－1，3]．……6分(2)因为f (α－π3)＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13．因为cos2α1－tan α＝cos 2α－sin 2αcos α－sin αcos α＝cos α(cos α＋sin α)＝cos 2α＋cos αsin α，因为α为第二象限角，所以sin α＝223．所以cos2α1－tan α＝19－229．……14分14．(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连结B 1D 在平面BB 1D 内，E?F 分别为BD ?BB 1的中点，∴EF ∥B 1D ．又∵B 1D ?平面A 1B 1CD ，EF ?/平面A 1B 1CD ，∴EF ∥平面A 1B 1CD ．……………………7分(2)∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴A 1D 1⊥A 1D ，AD 1⊥A 1B 1．又A 1D ∩A 1B ＝A 1，∴AD 1⊥平面A 1B 1D ，∴AD 1⊥B 1D ．又由(1)知，EF ∥B 1D ，∴EF ⊥AD 1．………………14分15．(1)∵500÷0.8＝625∴y ＝0.8，0＜x ＜625，0.8x －100x，625≤x ≤1000．当x ＝1000时，y ＝0.8×1000－1001000＝0.7即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．……6分(2)当x ∈[2500，3500]时，0.8x ∈[2000，2800] ①当0.8x ∈[2000，2500)即x ∈[2500，3125)时，0.8x －400x ＜23解得x ＜3000 ∴2500≤x ＜3000；…10分②当0.8x ∈[2500，2800]即x ∈[3125，3500]时，0.8x －500x ＜23解得x ＜3750 ∴3125≤x ≤3500；……13分综上，2500≤x ＜3000或3125≤x ≤3500 即顾客购买标价在[2500，3000)∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于23．。

【精品高二数学期末】2019-年江苏省南京市高二第二学期数学期末试题+答案

2018-2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A B =U ____________.2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是____________.3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为____________.4.如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为____________.6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>一条渐近线方程为30x +=,则实数m 的值为____________. 7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是____________.9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为____________. 10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()3sin g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为____________.11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10=OB ，6OD =. 若28DA DC ⋅=-u u u r u u u r ,则BC BA ⋅的值为____________.12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为____________. 13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ____________.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程. 15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-r ,23,cos )n x x =r .(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且3132m n ⋅=-.求2cos x 的值.16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD , AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ;(2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3,且过点1(3,)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线CD AB ,的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足21=a ,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列}{n b 满足2121log ()n n b a a a n =L . (1)求证:数列{}n a 是等比数列；(2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和.20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e =相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值；(2)设函数()()a h x ax g x x=--在区间1(,)e e 内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210l x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线'l 的方程.22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ()4πθ-＝. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为)10(<<p p .现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, B A AE 1⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求θsin 的值.2018-2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A B =U ____________.【答案】{2,4,6,8}【解析】分析：{}2,4,6,8A B ⋃=详解：因为{}2,4A =,{}2,6,8B =,A B ⋃表示A 集合和B 集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以{}2,4,6,8A B ⋃=点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是____________.【答案】5【解析】分析：先将复数z 右边化为a bi +形式，然后根据复数模的公式计算详解：因为()21214434z i i i =-=--=-- 所以z =点睛：复数计算时要把复数化为a bi +形式，以防止出错.3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为____________.【答案】120【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人所以女学生占的比例为10005 240012=女学生中抽取的人数为50人所以5n5012⨯=所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.4.如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.【答案】4【解析】分析：按照循环体执行，直到跳出循环详解：第一次循环后：S=7，n=6；第二次循环后：S=13，n=5；第三次循环后：S=18，n=4；1818<不成立，结束循环所以输出值为4点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可.5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为____________.【答案】3【解析】分析：等体积转化111111A A AB D A B D V V --=详解：根据题目条件，在长方体1111ABCD A B C D -中,111111A A AB D A B D V V --= =1133232⨯⨯⨯⨯=3所以三棱锥111A AB D -的体积为3点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所对应的椎体进行计算，体现了数学中的转化与化归思想，要深刻体会. 6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为30x +=,则实数m 的值为____________. 【答案】3【解析】分析：双曲线2221(0)x y m m-=>的焦点在x 轴上，所以其渐近线方程为1y x m =±，根据条件，所以m 3详解：因为双曲线2221(0)x y m m-=>的焦点在x 轴上，所以其渐近线方程为1y x m=±，又因为该双曲线一条渐近线方程为0x +=,即y = 所以m点睛：双曲线渐近线方程：当焦点在x 轴上时为y b x a =±，当焦点在y 轴上时为y a x b=±.7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.【答案】13n -【解析】分析：根据基本量直接计算详解：因为数列{}n a 为等比数列，52378,13a a S -== 所以()41131781131a q a q a q q ⎧-=⎪-⎨=⎪-⎩解得：113a q =⎧⎨=⎩ 所以13n n a -=点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法.8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是____________.【答案】1 6【解析】分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足2m n>的有6种详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n,则共有6636⨯=种结果，满足2m n>共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种则2m n>”的概率是61P366==点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式()AP A事件包含的基本事件个数试验的基本事件总数=求解.9.若实数,x y满足条件14,23,x yx y-≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y=-的取值范围为____________. 【答案】[5,13]【解析】分析：根据,x y满足条件14,23,x yx y-≤+≤⎧⎨≤-≤⎩画出可行域，然后分析42z x y=-的最值详解：,x y满足条件14,23,x yx y-≤+≤⎧⎨≤-≤⎩即4132x yx yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎪⎨-≤⎪⎪-≥⎩，画出可行域：根据可行域可知，目标函数42z x y =-在A 点处取得最小值，在C 点处取得最大值13A ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，71C ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以42z x y =-的取值范围为[]5,13点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。

2018-2019学年高二下期末数学试题(文)含答案

2018--2019学年度第二学期期末质量检测试题高二数学（文科）注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。

）1、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（） A . 4- B . 4i 5 C . 4 D . 452、函数cos sin y x x x =-的导数为（）A ．sin x xB ．sin x x -C ．cos x xD ．cos x x - 3、设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是( ) A ．若a b ≠-，则a b ≠ B ．若a b =-，则a b ≠ C ．若a b ≠，则a b ≠-D ．若a b =，则a b =-4、用反证法证明命题“设a ，b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根5、设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为错误！未找到引用源。

；命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6、设x R ∈，则“11x +<”是“220x x +-<”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 7、若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．24y x =B ．26y x = C ．28y x = D ．210y x =8、以下命题中，真命题有（）①对两个变量y 和x 进行回归分析，由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ； ②若数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为4；③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二(下)期中数学试卷

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.则A∩B=___ ．2.（填空题.5分）函数f （x ）=lg （-x 2+2x+3）的定义域为___ ．3.（填空题.5分）若复数 1+ai 1−i 为纯虚数.i 是虚数单位.则实数a 的值是___ ．4.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本.则应从高一抽取的学生人数为___ 名．5.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出S 的值是___ ．6.（填空题.5分）一只口袋内装有大小相同的5只球.其中3只白球.2只黑球.从中一次性随机摸出2只球.则恰好有1只是白球的概率为___ ．7.（填空题.5分）已知变量x.y 满足 {2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0.则2x+y 的最大值为___ ．8.（填空题.5分）已知函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））.则函数y=f （x-1）的值域为___ ．9.（填空题.5分）已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.|φ|＜ π2 ）的图象上有一个最高点的坐标为（2. √2 ）.由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点（6.0）.则此解析式为___ ．10.（填空题.5分）若曲线C 1：y=3x 4-ax 3-6x 2与曲线C 2：y=e x 在x=1处的切线互相垂直.则实数a 的值为___ ．11.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c.若tanA=7tanB. a 2−b 2c =3.则c=___ ．12.（填空题.5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数．若f （-1）=-2.则满足f （2x-3）≤2的x 的取值范围是___ ．13.（填空题.5分）已知函数f （x ）=x 2-2ax+a 2-1.若关于x 的不等式f （f （x ））＜0的解集为空集.则实数a 的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0f (x −1)+1，x ＞0.当x∈[0.100]时.关于x 的方程f （x ）=x- 15的所有解的和为___ ．15.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ．（1）求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .求△ABC 的面积．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）=ax 2+x-a.a∈R ．（1）若函数f （x ）有最大值 178 .求实数a 的值；（2）解不等式f （x ）＞1（a≥0）．17.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.O.E 分别为B 1D.AB 的中点．（1）求证：OE || 平面BCC 1B 1；（2）求证：平面B 1DC⊥平面B 1DE ．18.（问答题.16分）某地发生地质灾害.使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后.决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后.经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x）.其中f（x）= {x216+2(0＜x≤4)x+142x−2 (x＞4).当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4.试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m.为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化.试确定应该投放的药剂质量m的最小值．19.（问答题.16分）设函数f k(x)=2x+(k−1)•2−x（x∈R.k∈Z）．（1）若f k（x）是偶函数.求k的值；（2）设不等式f0（x）+mf1（x）≤4的解集为A.若A∩[1.2]≠∅.求实数m的取值范围；（3）设函数g（x）=λf0（x）-f2（2x）-2.若g（x）在x∈[1.+∞）有零点.求实数λ的取值范围．20.（问答题.16分）记f′（x）.g′（x）分别为函数f（x）.g（x）的导函数．若存在x0∈R.满足f （x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0）.则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2-1与g（x）=lnx存在“S点”.求实数a的值；（3）已知函数f（x）=-x2+a.g（x）= be xx．对任意a＞0.判断是否存在b＞0.使函数f（x）与g（x）在区间（0.+∞）内存在“S点”.并说明理由．2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{-1}【解析】：利用交集的定义求解．【解答】：解：∵集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.∴A∩B={-1}．故答案为：{-1}．【点评】：本题考查交集的求法.是基础题.解题时要认真审题．2.（填空题.5分）函数f（x）=lg（-x2+2x+3）的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-1.3）【解析】：要使函数有意义.则需-x2+2x+3＞0.解出即可得到定义域．【解答】：解：要使函数有意义.则需-x2+2x+3＞0.解得.-1＜x＜3．则定义域为（-1.3）．故答案为：（-1.3）．【点评】：本题考查函数的定义域的求法.注意对数的真数必须大于0.考查运算能力.属于基础题．3.（填空题.5分）若复数1+ai为纯虚数.i是虚数单位.则实数a的值是___ ．1−i【正确答案】：[1]1【解析】：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．【解答】：解：∵复数 1+ai 1−i = (1+ai )(1+i )(1−i )(1+i ) =1−a+(1+a )i 2 = 1−a 2+1+a 2i 为纯虚数. ∴ {1−a2=01+a2≠0 .解得a=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义.属于基础题．4.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本.则应从高一抽取的学生人数为___ 名．【正确答案】：[1]32【解析】：先求出高一学生在总体中所占的比例.再用样本容量乘以此比例.即得应从高一年级抽取的学生人数．【解答】：解：高一学生在总体中所占的比例为 44+3+3 = 25 .故应从高一年级抽取的学生人数为80× 25 =32.故答案为：32．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义和方法.利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比.属于基础题．5.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出S 的值是___ ．【正确答案】：[1]35【解析】：根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】：解：k=1.k ＞5不成立.S=0+12=1.k=1+2=3.k=3.k ＞5不成立.S=1+32=10.k=3+2=5.k=5.k ＞5不成立.S=10+52=35.k=5+2=7.k=7.k ＞5成立.输出S=35.故答案为：35【点评】：本题主要考查程序框图的识别和判断.利用模拟运算法是解决本题的关键．6.（填空题.5分）一只口袋内装有大小相同的5只球.其中3只白球.2只黑球.从中一次性随机摸出2只球.则恰好有1只是白球的概率为___ ．【正确答案】：[1] 35【解析】：从中一次性随机摸出2只球.基本事件总数n= C 52=10 .恰好有1只是白球的基本事件个数m= C 31C 21=6 .由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】：解：从中一次性随机摸出2只球.基本事件总数n= C 52=10 .恰好有1只是白球的基本事件个数m= C 31C 21=6 .∴恰好有1只是白球的概率P= m n =610 = 35．故答案为： 35 ．【点评】：本题考查概率的求法.是基础题.解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.（填空题.5分）已知变量x.y 满足 {2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0.则2x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：作出不等式组对应的平面区域.设z=x+y.利用z 的几何意义.先求出z 的最大值.即可得到结论．【解答】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y.则y=-x+z.平移直线y=-x+z.由图象可知当直线y=-x+z 经过点A 时y=-x+z 的截距最大.此时z 最大．由 {2x −y =0x −2y +3=0.解得 {x =1y =2.即A （1.2）. 代入z=x+y 得z=1+2=3．即z=x+y 最大值为3.∴2x+y 的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】：本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算.利用z 的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8.（填空题.5分）已知函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））.则函数y=f （x-1）的值域为___ ．【正确答案】：[1][0.2）【解析】：由指数函数的单调性求出函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））的值域.再由函数图象的平移得答案．【解答】：解：∵x∈（-1.2）.∴ 2x ∈(12，4) . 2x −2∈(−32，2) .则f （x ）=|2x -2|∈[0.2）.y=f （x-1）的图象是把函数f （x ）左右平移得到的.函数值域不发生变化.∴函数y=f （x-1）的值域为[0.2）．故答案为：[0.2）．【点评】：本题考查了函数的值域的求法.考查了函数图象的平移.是基础题．9.（填空题.5分）已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.|φ|＜ π2 ）的图象上有一个最高点的坐标为（2. √2 ）.由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点（6.0）.则此解析式为___ ．【正确答案】：[1]y= √2 sin （ π8 x+ π4 ）【解析】：根据函数的最高点的坐标确定A.根据函数零点的坐标确定函数的周期.利用最值点的坐标同时求φ的取值.即可得到函数的解析式．【解答】：解：∵函数图象的一个最高点为（2. √2）.∴A= √2 .x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6.0）.∴ T4=6-2=4.即函数的周期T=16.∵T= 2πω=16.∴ω= π8.此时函数y=f（x）= √2 sin（π8x+φ）.∵f（2）= √2 sin（π8×2+ψ）= √2 .∴sin（π4+φ）=1.即π4+φ= π2+2kπ.即ψ= π4+2kπ.∵|φ|＜π2.∴当k=0时.φ= π4.∴这个函数的解析式为y= √2 sin（π8 x+ π4）．故答案为：y= √2 sin（π8 x+ π4）【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.根据条件确定A.ω.φ的取值是解决本题的关键．10.（填空题.5分）若曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1] 13e【解析】：分别求出两个函数的导函数.求得两函数在x=1处的导数值.由题意知两导数值的乘积等于-1.由此求得a的值．【解答】：解：由y=3x4-ax3-6x2.得y′=12x3-3ax2-12x.∴y′|x=1=-3a.由y=e x.得y′=e x.∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直.∴-3a•e=-1.解得：a= 13e．故答案为：13e．【点评】：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程.函数在某点处的导数.就是曲线过该点的切线的斜率.是中档题．11.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.若tanA=7tanB. a2−b2c=3.则c=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式.进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题.化简求得a.b和c的关系式.然后根据已知条件可直接求得c．【解答】：解：∵tanA=7ta nB.∴ sinA cosA =7• sinBcosB．∴sinAcosB=7sinBcosA.∴a• a2+c2−b22ac =7•b• b2+c2−a22bc.整理得8a2-8b2=6c2. ①∵ a2−b2c=3. ②① ② 联立求得c=4.故答案为：4【点评】：本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．12.（填空题.5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数．若f （-1）=-2.则满足f（2x-3）≤2的x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.2]【解析】：根据题意.由奇函数的性质分析可得函数f（x）在R上是增函数.且f（1）=-f（-1）=2.进而f（2x-3）≤2可以转化为2x-3≤1.解可得x的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）是定义在R上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数.则在f（x）在[0.+∞）上也是增函数.故函数f（x）R上也是增函数；又由f（-1）=-2.则f（1）=-f（-1）=2.则f（2x-3）≤2⇒2x-3≤1.解可得x≤2.即不等式的解集为（-∞.2]；故答案为：（-∞.2]．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.关键是将f（2x-3）≤2转化为关于x 的不等式．13.（填空题.5分）已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1.若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集.则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]a≤-2【解析】：由f（x）＜0解得a-1＜x＜a+1.不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1.原不等式的解集为空集.得到a-1＜f（x）＜a+1解集为空集.那么（a-1.a+1）与值域的交集为空集.求出a的范围．【解答】：解：f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]由f（x）＜0即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0解得a-1＜x＜a+1.那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）又f（x）=（x-a）2-1当x=a时.f（x）取得最小值-1即函数的值域为[-1.+∞）若原不等式的解集为空集.则（*）的解集为空集.那么（a-1.a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤-1所以a≤-2．故答案为：a≤-2．【点评】：本题考查了由一元二次不等式的解集求参数的范围.属于中档题．14.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0f (x −1)+1，x ＞0 .当x∈[0.100]时.关于x 的方程f （x ）=x- 15 的所有解的和为___ ．【正确答案】：[1]10000【解析】：根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和.找出规律作和即可．【解答】：解：x∈[0.1）时.f （x ）=（x-1）2+2（x-1）+1=x 2. 令f （x ）=x- 15.得：x 2-x+ 15=0.∴x 1+x 2=1； x∈[1.2）时.f （x ）=（x-1）2+1. 令f （x ）=x- 15 .得：x 3+x 4=3. x∈[3.4）时.f （x ）=（x-2）2+2. 令f （x ）=x- 15 .得：x 5+x 6=5. ….x∈[n .n+1）时.f （x ）=（x-n ）2+n. 令f （x ）=x- 15 .得：x 2n+1+x 2n+2=2n+1. x∈[99.100]时.f （x ）=（x-99）2+99. 令f （x ）=x- 15 .得：x 199+x 200=199. ∴1+3+5+…+199=10000. 故答案为：10000．【点评】：本题考查了分段函数问题.考查了分类讨论以及二次函数的性质.是一道基础题． 15.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ．（1）求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .求△ABC 的面积．【正确答案】：【解析】：（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式.即可求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .根据向量的数量积.求出AB•AC 的大小即可.求△ABC 的面积【解答】：解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA. 即sin （B+C ）=2sinAcosA. 则sinA=2sinAcosA. 在三角形中.sinA≠0. ∴cosA= 12 . 即A= π3 ；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 . 则AB•ACcosA= 12 AB•AC= √3 . 即AB•AC=2 √3 .则△ABC 的面积S= 12 AB•ACsinA= 12×2√3×√32 = 32．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用.以及三角形面积的计算.利用向量数量积的公式是解决本题的关键．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）=ax 2+x-a.a∈R ．（1）若函数f （x ）有最大值 178 .求实数a 的值；（2）解不等式f （x ）＞1（a≥0）．【正确答案】：【解析】：（1）函数f （x ）有最大值 178 .则 {a ＜0−4a 2−14a=178.解之.即可求实数a 的值；（2）f （x ）=ax 2+x-a ＞1.即ax 2+x-（a+1）＞0.即（x-1）（ax+a+1）＞0.再分类讨论.确定不等式的解集．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）有最大值 178 .所以a≥0.不满足题意； ∴ {a ＜0−4a 2−14a=178. ∴8a 2+17a+2=0.∴a=-2或a=- 18 ．（2）f （x ）=ax 2+x-a ＞1.即ax 2+x-（a+1）＞0.即（x-1）（ax+a+1）＞0a=0时.解集为（1.+∞）a＞0时.解集为（-∞.-1 −1）∪（1.+∞）．a【点评】：本题考查函数的最值.考查解不等式.解题的关键是确定方程两根的大小关系．17.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.O.E分别为B1D.AB的中点．（1）求证：OE || 平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【正确答案】：【解析】：（1）：连接BC1.设BC1∩B1C=F.连接OF.可证四边形OEBF是平行四边形.又OE⊄面BCC1B1.BF⊂面BCC1B1.可证OE || 面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC.再证BC1⊥面B1DC.而BC1 || OE.OE⊥面B1DC.又OE⊂面B1DE.从而可证面B1DC⊥面B1DE．【解答】：证明：（1）：连接BC1.设BC1∩B1C=F.连接OF.…2分DC .因为O.F分别是B1D与B1C的中点.所以OF || DC.且OF=12又E为AB中点.所以EB || DC.且d1=1..即四边形OEBF是平行四边形.从而d2=d3=32所以OE || BF.…6分又OE⊄面BCC1B1.BF⊂面BCC1B1.所以OE || 面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1.BC1⊂面BCC1B1.所以BC1⊥DC.…10分又BC 1⊥B 1C.且DC.B 1C⊂面B 1DC.DC∩B 1C=C. 所以BC 1⊥面B 1DC.…12分而BC 1 || OE.所以OE⊥面B 1DC.又OE⊂面B 1DE. 所以面B 1DC⊥面B 1DE ．…14分【点评】：本题主要考查了平面与平面垂直的判定.直线与平面平行的判定.属于基本知识的考查．18.（问答题.16分）某地发生地质灾害.使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后.决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后.经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y=mf （x ）.其中f （x ）= {x 216+2(0＜x ≤4)x+142x−2 (x ＞4) .当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4.试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m.为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化.试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意.写出y=4f （x ）= {x 24+8(0＜x ≤4)2x+28x−1(x ＞4) .再对每一段考虑大于等于4.解出x 的范围.求并集即可；（2）由y=m•f （x ）= {mx 216+2m (0＜x ≤4)m (x+14)2x−2(x ＞4) .确定各段的单调性.求出值域.再求并集.为使4≤y≤10恒成立.则4≤y min .且10≥y max 即可．【解答】：解：（1）由题意.当药剂质量为m=4.所以y=4f （x ）= {x 24+8(0＜x ≤4)2x+28x−1(x ＞4) .当0＜x≤4时 x 24 +8≥4.显然符合题意．当x ＞4时2x+28x−1≥4.解得4＜x≤16.综上0＜x≤16．所以自来水达到有效净化一共可持续16天．（2）由y=m•f （x ）= {mx 216+2m (0＜x ≤4)m (x+14)2x−2(x ＞4) .得在区间（0.4]上单调递增.即2m ＜y≤3m ；在区间（4.7]上单调递减.即 7m 4≤y ＜3m .综上7m 4≤y ≤3m .为使4≤y≤10恒成立.只要 7m 4≥4 且3m≤10即可.即 167≤m ≤103．所以应该投放的药剂质量m 的最小值为 167 ．【点评】：本题考查分段函数的应用.考查函数的单调性及应用：求值域.注意函数的各段解析式.属于中档题．19.（问答题.16分）设函数 f k (x )=2x +(k −1)•2−x （x∈R .k∈Z ）．（1）若f k （x ）是偶函数.求k 的值；（2）设不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4的解集为A.若A∩[1.2]≠∅.求实数m 的取值范围；（3）设函数g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2.若g （x ）在x∈[1.+∞）有零点.求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据函数是偶函数.建立方程进行求解即可．（2）根据A∩[1.2]≠∅.等价为不等式在[1.2]内有解.利用参数分离法进行转化求解即可．（3）求出g （x ）的解析式.根据函数存在零点转化为方程有根.利用参数分离法进行求解即可．【解答】：解：（1）若f k （x ）是偶函数. 则f k （-x ）=f k （x ）.即2-x +（k-1）•2x =2x +（k-1）•2-x .即2-x -2x =（k-1）•2-x -（k-1）•2x =（k-1）（2-x -2x ）. 则k-1=1.即k=2；（2）f 0（x ）=2x -2-x .f 1（x ）=2x .则不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4等价为2x -2-x +m2x ≤4. ∵A∩[1.2]≠∅.∴不等式在[1.2]内有解. 即m2x ≤4-2x +2-x . 则m≤4−2x +2−x2x=4•2-x +（2-x ）2-1. 设t=2-x .∵1≤x≤2.∴ 14 ≤t≤ 12 . 设4•2-x +（2-x ）2-1=t 2+4t-1. 则y=t 2+4t-1=（t+2）2-5. ∵ 14≤t≤ 12.∴当t= 12时.函数取得最大值y= 14+2-1= 54.要使不等式在[1.2]内有解.则m≤ 54 .即实数m 的取值范围是 (−∞，54] ；（3）f 0（x ）=2x -2-x .f 2（x ）=2x +2-x .则f 2（2x ）=22x +2-2x =（2x -2-x ）2+2. 则g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4. 设t=2x -2-x .当x≥1时.函数t=2x -2-x .为增函数.则t≥2- 12 = 32 .若g （x ）在x∈[1.+∞）有零点.即g （x ）=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4=λt -t 2-4=0. 在t≥ 32 上有解. 即λt=t 2+4.即λ=t+ 4t .∵t+ 4t ≥2 √t •4t =4.当且仅当t= 4t .即t=2时取等号. ∴λ≥4.即λ的取值范围是[4.+∞）．【点评】：本题主要考查函数与方程的综合应用.求出函数的解析式.利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．20.（问答题.16分）记f′（x ）.g′（x ）分别为函数f （x ）.g （x ）的导函数．若存在x 0∈R .满足f （x 0）=g （x 0）且f′（x 0）=g ′（x 0）.则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”．（1）证明：函数f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x-2不存在“S 点”；（2）若函数f （x ）=ax 2-1与g （x ）=lnx 存在“S 点”.求实数a 的值；（3）已知函数f （x ）=-x 2+a.g （x ）=be xx．对任意a ＞0.判断是否存在b ＞0.使函数f （x ）与g （x ）在区间（0.+∞）内存在“S 点”.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据“S 点”的定义解两个方程.判断方程是否有解即可；（2）根据“S 点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数.结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】：解：（1）证明：f′（x ）=1.g′（x ）=2x+2.则由定义得 {x =x 2+2x −21=2x +2.得方程无解.则f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x-2不存在“S 点”；（2）f′（x ）=2ax.g′（x ）= 1x .x ＞0. 由f′（x ）=g′（x ）得 1x =2ax.得x= √12a . f （ √12a ）=- 12 =g （ √12a ）=- 12 lna2.得a= e2 ；（3）f′（x ）=-2x.g′（x ）= be x (x−1)x 2.（x≠0）.由f′（x 0）=g′（x 0）.假设b ＞0.得b e x 0 =- 2x 03x 0−1＞0.得0＜x 0＜1.由f （x 0）=g （x 0）.得-x 02+a= be x 0x 0 =- 2x 02x 0−1.得a=x 02- 2x 02x0−1. 令h （x ）=x 2- 2x 2x−1 -a=−x 3+3x 2+ax−a1−x.（a ＞0.0＜x ＜1）. 设m （x ）=-x 3+3x 2+ax-a.（a ＞0.0＜x ＜1）.则m （0）=-a ＜0.m （1）=2＞0.得m （0）m （1）＜0. 又m （x ）的图象在（0.1）上不间断. 则m （x ）在（0.1）上有零点. 则h （x ）在（0.1）上有零点.则存在b＞0.使f（x）与g（x）在区间（0.+∞）内存在“S”点．【点评】：本题主要考查导数的应用.根据条件建立两个方程组.判断方程组是否有解是解决本题的关键．。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_10

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。

）1.复数（为虚数单位）的虚部是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部。

【详解】，因此，该复数的虚部为，故选：A。

【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题。

2.已知～，则 ( )．A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】利用二项分布的数学期望，计算出，再利用期望的性质求出的值。

【详解】，，因此，，故选：B。

【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.函数在区间上的最大值为（）.A. 17B. 12C. 32D. 24【答案】D【解析】【分析】对函数求导，求出函数的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值。

【详解】，则，令，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为，又，，因此，函数在区间上的最大值为，故选：D。

【点睛】本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题。

4.已知，则函数单调递减区间为( )．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，并对该函数求导，解不等式，将解集与定义域取交集得出函数的单调递减区间。

【详解】函数的定义域为，，令，得，因此，函数的单调递减区间为，故选：B。

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，除了解导数不等式之外，还要注意将解集与定义域取交集，考查计算能力，属于中等题。

5.设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解析：当时，；当时，，故，应选答案A。

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江苏省南京市金陵中学2018-2019学年下学期期末考试高二数学试题数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.1. 设集合,,则____________.【答案】{2,4,6,8}【解析】分析：详解：因为,,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.2. 已知复数,其中是虚数单位,则的值是____________.【答案】5【解析】分析：先将复数z右边化为形式，然后根据复数模的公式计算详解：因为所以=5点睛：复数计算时要把复数化为形式，以防止出错.3. 某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么的值为____________.【答案】120【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人所以女学生占的比例为女学生中抽取的人数为50人所以所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.4. 如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.【答案】4【解析】分析：按照循环体执行，直到跳出循环详解：第一次循环后：S=7，n=6；第二次循环后：S=13，n=5；第三次循环后：S=18，n=4；不成立，结束循环所以输出值为4点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可.5. 如图,在长方体中, ,,则三棱锥的体积为____________.【答案】3【解析】分析：等体积转化详解：根据题目条件，在长方体中,==3所以三棱锥的体积为3点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所对应的椎体进行计算，体现了数学中的转化与化归思想，要深刻体会.6. 在平面直角坐标系中,若双曲线的一条渐近线方程为,则实数的值为____________.【答案】【解析】分析：双曲线的焦点在x轴上，所以其渐近线方程为，根据条件，所以的值为详解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以其渐近线方程为，又因为该双曲线一条渐近线方程为,即所以的值为点睛：双曲线渐近线方程：当焦点在x轴上时为，当焦点在y轴上时为.7. 设各项均为正数的等比数列的前项和为，若,则数列的通项公式为____________.【答案】【解析】分析：根据基本量直接计算详解：因为数列为等比数列，所以解得：所以点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法.8. 将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则“”的概率是____________.【解析】分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足的有6种详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则共有种结果，满足共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种则”的概率是点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式求解.9. 若实数满足条件则的取值范围为____________.【答案】【解析】分析：根据满足条件画出可行域，然后分析的最值详解：满足条件即，画出可行域：根据可行域可知，目标函数在A点处取得最小值，在C点处取得最大值，所以的取值范围为点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。

10. 在平面直角坐标系中,已知,,两曲线与在区间上交点为.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点,则线段的为____________.【解析】分析：求出点坐标，然后分别求出和在A处切线方程，即可求出两点坐标详解：由可得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以所以线段BC的长度为点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握.11. 如图,在平面四边形中, 是对角线的中点,且，. 若,则的值为____________.【答案】36【解析】分析：利用极化恒等式可快速解决此题详解：如图，O为BC中点， (1) (2)把(1)式和(2)式两边平方相减得：该结论称为极化恒等式所以在本题中运用上述结论可轻松解题，所以所以点睛：极化恒等式是解决向量数量积问题的又一个方法，尤其在一些动点问题中运用恰当可对解题思路大大简化，要注意应用.12. 若对满足的任意正实数,都有,则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】分析：正实数满足，可求得，由可求得恒成立，利用双钩函数性质可求得a的取值范围.详解：因为，又因为正实数满足解得：由可求得根据双钩函数性质可知，当时有最小值所以的取值范围为点睛：（1）基本不等式是每年高考中必考的考点，要熟练掌握；（2）恒成立问题要注意首选方法是分离参数，将参数分离后让不等式的另一边构造为一个新函数，从而解决新函数的最值是这类问题的基本解题思路.13. 在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.【答案】【解析】分析：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论详解：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P在第一象限，，当时，，即，解得又因为，所以当时，，即且解得：综上或点睛：圆锥曲线中离心率范围问题是一个难点，在分析时要根据条件找到a和c之间的不等关系，有时可能要利用基本不等式、正余弦定理等其他知识综合分析.14. 对于任意的实数,记为中的最小值.设函数，，函数,若在恰有一个零点,则实数的取值范围是 ____________.【答案】或【解析】分析：函数可以看做由函数向上或向下平移得到，在同一个坐标系中画出和图象即可分析出来详解：如图，设，所以函数可以看做由函数向上或向下平移得到其中在上当有最小值所以要使得,若在恰有一个零点,满足或所以或点睛：函数问题是高考中的热点，也是难点，函数零点问题在选择题或者填空题中往往要数形结合分析比较容易，要能够根据函数变化熟练画出常见函数图象，对于不常见简单函数图象要能够利用导数分析出其图象，数形结合分析.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15. 在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】分析：(1)直接带入即可(2)利用向量数量积打开后再利用二倍角公式变形化同名详解：(1)当时，，，所以.(2)，若.则，即.因为，所以，所以，所以.点睛：三角函数跟向量的综合是高考当中的热点问题，常常需要利用二倍角公式的逆用对得到的函数关系式进行化简，最终化简为的形式.16. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面, ,点在棱上,,点是棱的中点,求证：(1) 平面;(2) 平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：(1)，所以点是棱的中点，所以，所以，所以平面. (2)先证明平面所以，又因为，所以平面.详解：证明：(1)因为在中, ，所以点是棱的中点.又点是棱的中点,所以是的中位线,所以.因为底面是矩形,以,所以.又平面, 平面,所以平面.(2)因为平面平面, 平面，平面平面，所以平面.又平面,所以.因为,, ,平面,平面,所以平面.点睛：线面垂直的判定和性质定理的应用是高考一直以来的一个热点，把握该知识点的关键在于判定定理和性质定理要熟练掌握理解，见到面面垂直一般都要想到其性质定理，这是解题的关键.17. 如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄和供电站恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且位于河流的两岸,村庄侧的河岸所在直线恰经过的中点.现欲在河岸上之间取一点,分别修建电缆和,.设,记电缆总长度为 (单位:千米).(1)求的解析式；(2)当为多大时,电缆的总长度最小,并求出最小值.【答案】（1），；（2）当时, 最小值为.【解析】分析：易得，，，，. (2)求导，令,得，故当，，递减，当,,递增，当时,详解：(1)易得垂直平分，则，，，于是，因为在之间,所以，故，.(2) ，，令,得，故当，，递减,当,,递增,所以,当时, .答:当时, 最小值为.点睛：此题为三角函数的实际应用题，解题时要注意分析题目中的条件，常常跟正余弦定理，三角函数比值关系等几何关系结合在一起考查，不难，但是综合性强；第二问求最值如果不能转化为三角函数求得最值，那就通过导数来分析.18. 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）存在,使得.详解：(1)设椭圆的方程为，，由题意知解得所以椭圆的方程为.(2)设,则,,又,所以直线的方程为.由消去，得.因为是该方程的一个解,所以点的横坐标. 又点在直线上，所以，从而点的坐标为(同理,点的坐标为(，所以，即存在,使得.点睛：椭圆和抛物线的结合也是高考一直以来的一个热点，设而不求思想是圆锥曲线题目的考查核心，韦达定理就是该思想的体现，所以在圆锥曲线中要把所求的问题转化出来韦达定理，整体带入是解题的关键.19. 设数列的前项的和为,且满足,对,都有 (其中常数),数列满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)若,求的值；(3)若,使得,记,求数列的前项的和.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】分析：(1)因为两式相减，时所以数列是等比数列(2) (3).所以显然分类讨论即可详解：(1)证明:因为,都有，所以两式相减得,即，当时，所以，又因为,所以，所以数列是常数列, ，所以是以2为首项, 为公比的等比数列.(2)由(1)得.所以.(3)由(1)得..因为，所以当时, ，当时，.因此数列的前项的和.点睛：数列问题中出现一般都要用这个原理解题，但要注意验证时是否满足；等比数列常常跟对数运算结合在一起，很好的考查了数列的综合分析问题能力，因此在计算时要熟练掌握对数相关运算公式.20. 在平面直角坐标系中,已知函数的图像与直线相切,其中是自然对数的底数.(1)求实数的值；(2)设函数在区间内有两个极值点.①求实数的取值范围；②设函数的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围 .【答案】（1）2；（2）①；（2）.【解析】分析：(1)直接利用导数的几何意义即可求得c值(2)函数在区间内有两个极值点，则在区间内有两个不同跟即可；的极大值和极小值的差为进行化简分析；详解：(1)设直线与函数相切于点，函数在点处的切线方程为: ，，把代入上式得.所以,实数的值为.(2)①由(1)知,设函数在区间内有两个极值点，令,则,设,因为,故只需,所以, .②因为,所以，由,得,且..设,,令，，(在上单调递减,从而，所以,实数的取值范围是.点睛：导数问题一直是高考中的必考考点，也是难点，函数在某区间有两个极值点，说明该函数的导函数在该区间内有两个解，在此类问题中经常跟二次函数结合在一起考查，所以要熟练掌握二次函数根的分布.高二数学Ⅱ(附加题)21. 已知矩阵，.(1)求；(2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接根据逆矩阵公式计算即可(2) 由，即解得，即.详解：(1)由题知，所以，根据逆矩阵公式,得.(2)设由上的任意一点在作用下得到上对应点.由，即解得，因为,所以，即.即直线的方程为.点睛：(1)逆矩阵计算公式是解第一问关键，要会掌握其运算公式(2)一直线在对应的变换作用下所得直线的方程计算不难，不要算错一般都可以解决.22. 在直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线的参数方程为,(为参数, ),直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)求曲线上的点到直线的最大距离.【答案】（1）.；（2）时，.（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．试题解析：⑴由得，∴由得⑵在上任取一点，则点到直线的距离为≤3． 7分∴当－1，即时，. 10分考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.23. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是.(1)求的值；(2)设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解析】分析：(1)设事件:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:“前两次投篮均不中”,所以, (2)的所有可能值为,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:“前两次投篮均不中”,依题意, ，解得.(2)依题意, 的所有可能值为,且,，，故.的概率分布列为:数学期望.点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.24. 如图,已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3, ,垂足为,交于点.(1)求证: ⊥平面;(2)记直线与平面所成的角,求的值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】分析：此题建系比较容易，所以两问都用建系处理，以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴, 轴, 轴，分别写出坐标，设，利用解得所以，所以平面；(2)计算平面法向量，所以即可解题详解：(1)如图,以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系，易得,设,则，因为,所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2) ，，，设平面的一个法向量，则即令，则，即，.点睛：空间向量是解决立体几何问题很好的方法，也是高考每年的必考考点，所以在遇到此类问题时要注意合理的建立坐标系，建系的原则要尽量使得更多的点落在坐标轴上，这样方便计算.。