浅谈欧拉积分【文献综述】
数学分析19_3欧拉积分
数学分析19_3欧拉积分欧拉积分是数学中的一种特殊积分方法，由瑞士数学家欧拉发现并命名。
它是一种通过变量替换将原有的积分转变为特殊函数的积分形式。
欧拉积分的一般形式为：∫(ax^m)/(bx^n+c^p) dx其中a、b、c、m、n、p为常数。
接下来我们将分别讨论当n≠m，n=m，n=1，p=1，p=2时的欧拉积分的具体求解方法。
1.当n≠m时：将被积函数中的x=cy^k进行替换，其中k为使得nk+m=0成立的常数。
则有：∫(ax^m)/(bx^n+c^p) dx = ∫(a*c^m/b)*(y^m-1)/(y^n+c^p) dy通过数学变换及欧拉积分的表格，可以得到积分的结果。
2.当n=m时：这种情况下，被积函数的分子和分母有相同的次数。
我们可以将分子提取出来，并进行积分，得到一些基本的函数表达式。
例如：∫(x^m)/(x^n+c^p) dx = ∫(x^m-x^n+x^n)/(x^n+c^p) dx= ∫(x^m-x^n)/(x^n+c^p) dx + ∫(x^n)/(x^n+c^p) dx前一个积分可以通过分解为偏分式的形式进行求解，后一个积分则可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
3.当n=1时：这种情况下，被积函数的分子是线性函数，可以通过分解为偏分式的形式进行求解。
而分母可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
4.当p=1时：这种情况下，被积函数的分母是线性函数，可以通过分解为偏分式的形式进行求解。
而分子则可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
5.当p=2时：这种情况下，被积函数的分子和分母都是二次函数。
我们可以对二次函数进行平移和旋转，使得原有的二次函数转变为一些基本的二次函数。
然后再通过变量替换的方法，将欧拉积分转化为一些基本二次函数的积分形式。
总之，欧拉积分是一种强大的工具，可以通过变量替换将原有的积分转换为特殊函数的积分形式，进而求得积分的结果。
但是在具体应用中，需要根据被积函数的形式选择合适的欧拉积分形式，以便于通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
(整理)欧拉积分及其应用
欧拉积分及其应用摘 要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>⎰称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. B 函数及其相关性质1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰，当1p <时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，定义域为.0,0>>q p任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1110(1)p q x x ---⎰一致收敛，故B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质 性质1.2.1 (对称性)(,)(,)B p q B q p =.作变换y x -=1，),(q p B =1110(1)p q x x ---⎰=1110(1)p q y y dy ---⎰=),(p q B .性质1.2.2 （递推公式）(,)B p q =1(,1)1q B p q p q --+-,(1,0>>q p )， （1）1(,)(1,)1q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ， （2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+-，)1,1(>>q p . （3）当1,0>>q p 时，有(,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰=110(1)p q x x P --+1201(1)p q q x x dx P---⎰ =11121[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------⎰ =1112110011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------⎰⎰ =11(,1)(,)q q B p q B p q p p----，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ϕ=，则有(,)B p q =111(1)p q xx ---⎰=2121202sin cos q p d πϕϕϕ--⎰；(2) 令1y x y =+111x y -=+2(1)dydx y =+,则有 (,)B p q =1110(1)p q xx ---⎰=1(1)p p qy dy y -+∞++⎰；(3) 考察11(1)p p qy dy y -+∞++⎰.令1y t =，则有 =10(1)p p qy dy y -+∞++⎰=1110(1)p q p q y y dy y --+++⎰(,)B p q .2. Γ函数及其相关性质2.1 Γ函数的定义域()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰，1、积分区间为无穷；2、当10s -<时，0x =为瑕点；3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和：()1s xs xed x -+∞-Γ=⎰=1111s s xx x e dx x e dx --+∞--+⎰⎰)()(x J x I +=，其中110()s xI s x e dx --=⎰，11()s x J s x e dx -+∞-=⎰.当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛.所以，Γ函数()1s x s x e dx -+∞-Γ=⎰在0s >时收敛.2.2 Γ函数的性质性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=.性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明 有分部积分法得：(1)s Γ+=0sxx e dx +∞-⎰=0s x x e-+∞-+1s x s x e dx -+∞-⎰=()s s Γ.性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明 只要证明对[1,)p ∈+∞，11p q+=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ()s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21log ()s qΓ. 事实上，由Holder 不等式即得12()s s p qΓ+=12(1)0s s p q xxe dx +-+∞-⎰=12110()()s s x xpp q qx e xe dx ----+∞⎰1211110()()s s x x pqx e dx x e dx +∞+∞----≤⎰⎰=1211()()s s pqΓΓ，性质得证.出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像）设1+≤<n s n ，即10≤-<n s ，应用性质2可得到=-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s).()()1(n s n s s s -Γ--= （1）若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0n dx n n n n ex==Γ⋅+=+Γ⎰+∞- . （2）对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增.由于()s Γ=()s s sΓ=(1)s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s +→Γ+=Γ=，故有0(1)lim ()lim s s s s s++→→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得lim ()s s →+∞Γ=+∞.综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示.性质2.2.5 （延拓）改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为(1)()s s sΓ+Γ=. 当10s -<<时，(1)s sΓ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<.用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1)()s s sΓ+Γ=又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3s =以外），其图像如上图所示.性质2.2.6 （其他形式）在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=dx e x x s 2122--⎰ (0)s >；(2) 令py x =，可得=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=10ss py py e dy +∞--⎰(0,0)s p >>.3. B 函数与Γ函数的关系当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+.又由于1101(,1)m B m x dx m-==⎰，所以 1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+1n-2111m+n-2m+1mn m n -=⋅⋅⋅+-(1)!(1)!(1)!n m m n --=+-，即()()(,)()n m B m n n m ΓΓ=Γ+.对于任何实数0,0>>q p 也有关系式：()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分dx xk x x cos 11sin cos 10++⎰π，)10(<<k .分析 这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解 令2tan 112tanx k k t +-=，则有2tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得t k k t x cos 1cos cos --=，tk k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=.将其代入原式得dx x k x x cos 11sin cos 10++⎰πdt tk k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=⎰πdt t t k k 2cos 2sin)1()1(210214341⎰-+-=πtdt t k k 2120214341cos sin )1()1(2⎰-+-=π)43,41(21)1()1(24341B k k ⋅+-=)4341()411()41(21)1()1(24341+Γ-ΓΓ⋅+-=k k 4sin 21)1()1(24341ππ⋅+-=k k4341)1(2)1(k k +-=π.4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和. 分析 这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=111!!(1)!!(2)!(2)!n n n n n n n n n ∞∞==-=∑∑ =11()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞∞==ΓΓ+=+Γ+∑∑=1101(1)n n n t t dt ∞-=-∑⎰由于当01t ≤≤时，10(1)4t t ≤-≤，所以 1110(1)()4n n n t t --≤-≤因而级数11(1)n n n t t ∞-=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有201n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=110(1)n n t t dt --⎰=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑⎰ =101(1)tdt t t --⎰=1201t dt t t -+⎰=33π. 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用 例 3 设)(~2n X χ，求EX .分析 这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x=2，将其转化为欧拉积分.解 dxe x n x dx x xf EX xn n21220)2()21()(--∞+∞-∞+⋅⋅Γ⋅==⎰⎰ dt e t n t nn t-∞+=⋅⋅Γ=−−→−⎰0222x )2(2)2()21(令dt e t n t n n n -∞+-+⋅Γ⋅⋅=⎰011222)()2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2(2n n n Γ⋅⋅Γ==n .例 4 证明概率积分22π=⎰∞+-dx e x .分析 我们知道，著名的概率积分dx e x ⎰+∞-02及其推广形式dx e x x n ⎰+∞-022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解 令2x y =，则dy y dx y x 212121,-==，所以dy y edx eyx 21212-∞+-∞+-⎰⎰= 2)21(21π=Γ=. 结束语通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900.[3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986.[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998.[6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993.。
欧拉积分知识点总结
欧拉积分知识点总结一、欧拉积分的概念1.1 定积分的定义首先，我们来回顾一下定积分的定义。
设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，将区间$[a, b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x_i$，在第$i$个小区间上取任意一点$\xi_i$，那么定积分的定义就是：$$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\int_{a}^{b}f(x)dx$$1.2 欧拉积分的引入欧拉积分的概念由数学家欧拉在18世纪引入，它是对定积分的一种推广。
设函数$f(x, y)$在区域$D$上连续，将区域$D$分成$n$个小区域，每个小区域的面积为$\Delta A_i$，在第$i$个小区域上取任意一点$(\xi_i, \eta_i)$，那么欧拉积分的定义就是：$$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta A_i=\iint_{D}f(x, y)dA$$1.3 欧拉积分的几何意义欧拉积分的几何意义是对二重积分的推广，它表示函数$f(x, y)$在区域$D$上的满面积分。
在二维平面上，欧拉积分可以理解为函数$f(x, y)$在区域$D$上的投影面积。
1.4 欧拉积分的物理意义欧拉积分在物理学中有着重要的应用，它可以表示物理量在空间中的分布情况。
比如，电荷密度、质量密度、能量密度等物理量可以通过欧拉积分来描述其在空间上的分布情况。
二、欧拉积分的性质2.1 线性性质与定积分类似，欧拉积分也具有线性性质。
即对于任意的常数$k_1,k_2$和函数$f(x, y),g(x,y)$，有：$$\iint_{D}(k_1f(x, y)+k_2g(x,y))dA=k_1\iint_{D}f(x, y)dA+k_2\iint_{D}g(x,y)dA$$2.2 改变积分顺序与二重积分类似，欧拉积分可以改变积分的顺序。
欧拉积分在解题中的应用
欧拉积分是一种常见的积分形式，它在数学、物理、工程学等领域中有着广泛的应用，以下是欧拉积分在解题中的一些应用：
微积分中的应用：欧拉积分是一种复杂的积分形式，可以用于解决一些特殊的微积分问题。
例如，在微积分中，可以将一些无穷级数通过欧拉积分的形式来求和，得到更加简单的表达式。
物理学中的应用：欧拉积分可以用于求解物理学中的一些问题。
例如，欧拉积分可以用于求解质点在匀强磁场中的运动轨迹等问题。
工程学中的应用：欧拉积分可以用于解决一些工程学中的问题。
例如，在机械工程中，欧拉积分可以用于求解一些物体的力学性质，如物体的重心、转动惯量等。
统计学中的应用：欧拉积分也可以用于解决统计学中的问题。
例如，在概率论中，欧拉积分可以用于求解正态分布的概率密度函数。
总之，欧拉积分在各个学科领域中都有着广泛的应用，可以用于解决各种复杂的问题。
欧拉积分及其应用
欧拉积分及其应用摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma 函数和Bate 函数的性质及其在求定积分时的应用。
对r 函数与B 函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1()r m的计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。
使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。
关键词：含参变量积分； Gamma 函数； Bate 函数； 余元公式 1、 ￥2、 知识预备、(Bohr-Mollerup 定理)如果定义于（0，+ ∞）的函数f （x ）满足以下条件：（1）f(x)>0 x ∀∈（0，+ ∞） f(1)=1；（2）(1)()f x x f x +=⋅ x ∀∈（0，+ ∞）（3）ln ()f x 为凸函数，那么必有f(x)=r(x) x ∀∈（0，+ ∞）。
、对于p 不是整数时22112(1)sin n n p p p p n ππ∞==+--∑ .、对于0<p<1时，1220112(1)1p n n y pdy y p p n -∞+∞==+-+-∑⎰、瓦里斯公式：n =、对于(0,1]x ∈，我们有 221sin (1)n x x x n ππ∞==⋅-∏2、欧拉积分)、定义含参变量的广义积分+s-1-x 0()x e dx r s ∞=⎰s>0 (1)1p-1q-10(,)x (1-x)dx B p q =⎰ p>0,q>0 (2)它们统称欧拉积分，其中前者又称格马Gamma 函数（r 函数），后者称贝塔Bate 函数（B 函数）。
（即r 函数与B 函数实际上是含参变量非正常积分表示的两个特殊函数）$、性质2.2.1、r 函数的性质（1）r(s)在定义域时连续，且具有各阶连续导数（2）递推公式(1)()r s s r s +=⋅ (s>0) 如果s 取整数n ，那么有(1)()!r n n r n n +=⋅=（3）延拓后r(s)的函数在0,1,2,3s ≠---……外均收敛（（4）根据()()sss 1+Γ=Γ及()s s Γ+→0lim =∞+， ()s s Γ+∞→lim =∞+可得到图像：（5）函数的其他形式ａ）当x py = (p>0),则有r(s)=+s-1-xx e dx ∞⎰=+s-1-0()e dx py py ∞⎰=+s-1-0e dx py py ∞⎰（s>0,p>0）^ｂ）当2x y =,则有r(s)=+s-1-xx e dx ∞⎰=22(-1)0dx s y y e +∞-⎰= 22-102dx s y ye+∞-⎰2.2.2、B 函数的性质（1）(,)B p q 在p>0,q>0内连续^（2）对称性：(,)(,)B p q B q p = （3）1(,)(,1)1q B p q B p q p q -=-+- (p>0,q>1)1(,)(1,)1p B p q B p q p q -=-+- (p>1,q>0)(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+- (p>1,q>1)~（4）B 函数的其他形式ａ）在（2）式中，令2cos x ϕ=，则有212120(,)2cos q p B p q sin d πϕϕϕ--=⎰ｂ）在（2）式中，令1y x y =+ (y>0)，于是有10(,)(1)p p qyB p q dy y -+∞+=+⎰ dy y y dy y y dy y y qp p q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1(&再对第二个式子令1y t=，整理得：dt t t dy y y dy y y qp q q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1(所以111(,)(1)p q p qy y B p q dy y --++=+⎰（p>0,q>0） 、B 函数与r 函数联系()()(,)()r p r q B p q r p q =+ p>0,q>0)证明：对于任意取定的q>0，我们考察这样的一个函数()(,)()()r p q B p q f p r q +=，以下证明该函数满足预备知识中定理的三个条件：（1）显然有f(p)>0 p ∀∈（0，+ ∞），并且1()(1)(1,)(1)1()()qr q r q B q qf r q r q +===（2）()()(,)(1)(1,)(1)()()()pp q r p q B p q r p q B p q p qf p pf p r q r q +++++++===（3）对于任意的q>0，因为ln ()r p q +和ln (,)B p q )都是变元x 的凸函数，所以ln ()ln ()ln (,)ln ()f p r p q B p q r q =++-也是变元x 的凸函数。
euler积分的探究与应用
euler积分的探究与应用
首先，什么是欧拉积分？欧拉积分（Euler Integration）是
一种用于解决动力学问题的数值积分方法，它由欧拉发明，是一种积分算法，可以用来计算某一时间步的积分值。
欧拉积分的结果是一个方程组，由不同的方程组参数确定，这些参数可以从微分方程中推导出来。
欧拉积分是一种基于误差传播的数值积分方法，它可以用来计算某一时间步的积分值，这些积分值可以用来解决动力学问题。
欧拉积分的主要优点是计算量小，精度高，而且可以在给定的时间步内得到可靠的结果。
欧拉积分的应用范围很广，可以用来求解复杂的动力学问题，如传动系统，机械系统，流体力学系统等。
此外，欧拉积分还可以用来求解智能控制系统，机器人系统，电子电路，电力系统等问题。
欧拉积分在许多工程领域都有重要的应用，包括航空航天，机械，电子，计算机，电力，船舶，冶金，石油，化学，等等。
欧拉积分的另一个重要应用是在量子物理学和宇宙学的领域，它可以用来计算宇宙的演化，以及量子力学系统的发展。
此外，欧拉积分还可以用来计算分子动力学，统计物理学，可穿戴技术等领域。
欧拉积分是一种简单而又高效的数值积分方法，它可以用来解决各种动力学问题，以及在量子物理学和宇宙学领域的应用。
欧拉积分技术可以用来求解复杂的动力学问题，以及电子电路，智能控制系统，机器人系统，电力系统等问题，在工程领域有广泛的应用。
欧拉积分在求解定积分中的应用
2
0
∫x - x d x
2 2
1
θ= B sin θ co sθ d ∫ 2
6 4
1
7 5 , 2 2
=
解 :法 1 通过三角换元法可得
a - x dx = a - x + a rc sin ∫ 2 2 a 1 1 ∫x - x d x = ∫ 4 - ( x - 2 ) d x 1 1 = + a rc sin2 t - t ∫ 4 - t d t = 2t 1 2 4
0
e ∫
+∞
-x
d x = 1, 即
x e ∫
n +∞ -x
Γ (α) =
0
x ∫
+∞
α- 1
e d x (α > 0 ) 我们称之为成
-x
Γ ( n + 1 ) = n! =
0
d x。
为 Γ函数 。 2 令 x = t 时 , 代入上式得 Γ (α) = 2 令 x = ln Γ (α) =
1. 1. 2 性质
4
北京印刷学院学报 , 1998, 1.
∫
-∞
+∞
1 +x 4 dx = 1 +x
2
0
∫1 + td t
+∞
Solv in g D ef in ite In tegra l Ca lcula tion by Usin g Euler In tegra l
TIAN B ing ( Editor of Academ ic Journal, B aotou Teachers’College; Baotou 014030 ) Abstract: The paper describes the definition and the nature of Euler Integral, discussed about the app lication of solving definite integral calculation by using Euler Integral . Key words: Keywords: Euler Integral; definition; nature; app lication
欧拉数值积分
欧拉数值积分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉数值积分（Euler numerical integration）是一种数值计算方法，用于近似计算定积分的数值值。
它是以数学家欧拉命名的一种数值积分方法，被广泛应用于科学工程计算和数值模拟中。
欧拉数值积分的基本思想是将被积函数在积分区间上进行近似处理，通过对积分区间的划分和插值计算来得到数值积分的结果，从而避免直接对函数进行复杂的解析计算。
在数值积分中，通常采用数值积分公式来计算函数在给定区间上的积分值。
欧拉数值积分是一种基础的数值积分方法，它的优点在于简单易懂、易于实现和具有良好的数值稳定性。
欧拉数值积分还可以适用于各种类型的函数，包括连续函数、离散函数和多项式函数等。
对于给定的积分区间[a, b]和被积函数f(x)，欧拉数值积分的基本步骤如下：1. 将积分区间[a, b]等分为n个小区间，即将积分区间划分为n个子区间[a, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, b]；2. 计算每个小区间的积分近似值，可以采用矩形法则、梯形法则、辛普森法则等数值积分公式；3. 将各个子区间上的积分近似值进行求和计算，得到整个积分区间[a, b]上的数值积分近似值。
欧拉数值积分的计算过程中需要根据具体的被积函数类型和积分区间的大小来选择合适的划分方式和数值积分公式。
在实际应用中，欧拉数值积分通常需要进行数值稳定性分析和误差估计，以确保数值积分结果的准确性和可靠性。
欧拉数值积分在科学工程计算和数值模拟中具有广泛的应用，例如在数值解微分方程、积分方程、优化问题、概率统计等领域中都能看到欧拉数值积分的身影。
它的应用范围涵盖了物理学、工程学、计算机科学、统计学等多个学科领域，为解决复杂实际问题提供了有效的数值计算方法。
第二篇示例：欧拉数值积分，又称欧拉方法(Euler method)，是求解微分方程数值解的一种常用方法。
它是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是一种基本的数值积分方法，用于数值解析微分方程。
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文献综述
信息与计算科学
浅谈欧拉积分
微积分成为一门学科来说是在十七世纪, 但是微分和积分的思想在古代就已经产生了.
公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代就有比较清楚的论述. 比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇”中, 记有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念.
极限的思想方法可追溯到古代. 中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积, 求出圆周率 的近似值3.141024, 并指出: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆合体而无所失矣”. 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法, 正是极限思想的具体体现. 一个数列n a 如果当n 无限增大时, n a 与某一实数s 无限接近, 就称之为收敛数列, s 为数列的极限.
到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 归结起来, 大约有四种主要类型的问题: 第一类是研究运动的时候直接出现的, 也就是求即时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线的问题; 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格, 英国的巴罗、瓦里士, 德国的开普勒, 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献. 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一, 他不但为数学界作出贡献, 更把数学推至几乎整个物理的领域. 他对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉(Euler)积分是其重要贡献之
一, 它是以广义积分定义的特殊函数, 在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到, 本文重点阐述了gamma 函数, beta 函数的性质, 并通过列举实例的方法揭示出二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用, 从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法, 同时这也揭示了数学与不同学科之间的密切联系, 在提高解题能力的同时, 也加深对数学的理解和应用.
正如我们熟知微分学的基本概念是导数, 积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分. 主要内容包括积分的性质、计算, 以及在理论和实际中的应用. 不定积分的概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的. 如果对每一x I ∈ , 有()()f x F x '=, 则称()F x 为()f x 的一个原函数, f(x)的全体原函数叫做不定积分, 记为, 因此, 如果()F x 是()f x 的一个原函数, 则()f x 积分等于()F x C +, 其中C 为任意常数. 定积分概念的产生来源于计算平面上曲边梯形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题. 解决这些问题的基本思想是用有限代替无限; 基本方法是在对定义域[a, b]进行划分后, 构造一个特殊形式的和式, 它的极限就是所要求的量. 具体地说, 设闭区间[]b a ,内有1-n 个点, 依次为
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ它们把[]b a ,分成n 个小区间
[]n i x x i i i ,,2,1,,1Λ==∆-这些分点或这些闭子区间构成对[]b a ,的一个分割, 记为{}n x x x T ,,,10Λ=或{}n ∆∆∆Λ,,21小区间i ∆的长度为1--=∆i i i x x x , 并记{}i n i x T ∆=≤≤1max .
定积分除了可求平面图形的面积外, 在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”.
求解定积分是学习高等数学的一个重要内容, 也是解决数学问题的一个基本技能. 求解定积分的方法一般来说是先求出原函数, 然后再根据牛顿- - 莱布尼茨公式带入上下限进行计算. 这种方法对于一般的定积分求解问题比较实用. 在实际问题中, 有许多定积分的原函数, 难以计算或者计算过程非常繁杂. 而如果将其进行适量的变量代换, 变为我们熟悉的定积分, 那么这一问题就得到了很好的解决. 欧拉积分恰恰就是我们解决这样问题的一个有效工具.
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