全等三角形__知识梳理
全等三角形知识点总结
全等三角形知识点总结全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础知识之一。
全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角分别相等。
全等三角形的性质和判定方法对于解题和证明都有很大的帮助。
下面我们来总结一下全等三角形的知识点。
1. 全等三角形的性质。
全等三角形的性质包括以下几点：（1）对应边相等，如果两个三角形全等，则它们的对应边相等。
（2）对应角相等，如果两个三角形全等，则它们的对应角相等。
（3）全等三角形的面积相等，如果两个三角形全等，则它们的面积相等。
2. 全等三角形的判定方法。
判定两个三角形是否全等有以下几种方法：（1）SSS判定法，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS判定法，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA判定法，如果两个三角形的一对角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）AAS判定法，如果两个三角形的两对角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 全等三角形的应用。
全等三角形的性质和判定方法在解题和证明中有着广泛的应用，特别是在几何证明中常常会用到全等三角形的知识。
例如，通过证明两个三角形全等，可以推导出它们的其他性质，进而解决一些几何问题。
此外，在实际生活中，全等三角形的知识也有着一定的应用。
例如在建筑、工程等领域，利用全等三角形的性质可以进行测量、设计和施工等工作。
总之，全等三角形是几何学中的重要概念，掌握全等三角形的性质和判定方法对于学习和应用几何知识都具有重要意义。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和运用全等三角形的知识。
清单02全等三角形(8个考点梳理题型解读核心素养提升中考聚焦)(原卷版)
清单02 全等三角形（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．1．（2022秋•剑阁县期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形2．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含60°角的直角三角形B．腰对应相等的两个等腰直角三角形C．边长为3和4的两个等腰三角形D．一个钝角相等的两个等腰三角形考点二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3．（2022秋•庄河市期末）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．50°B．71°C．58°D．59°4．（2022秋•丹阳市校级期末）已知△ABC≌△DEF，AC＝9cm，则DF＝cm．考点三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．（2022秋•莘县期末）如图，BC＝BD，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD 的是（）A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90°6．（2022秋•嘉鱼县期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A＝∠D＝90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．7．（2023春•渠县校级期末）已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG．8．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．考点四．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等10．（2022秋•磁县期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（）A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对11．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC．12．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．13．（2022秋•雄县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．考点五．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2022秋•大田县期末）如图，正方形ABCD是一张边长为12cm的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中P，Q，R三点分别在边CD，AD，BC 上，且PD＝2DQ，PC＝CR．（1）若DQ＝x，将△PDQ的面积用含x的代数式表示；（2）五边形PQABR的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．15．（2022秋•荣昌区期末）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．（1）求证：BE＝CF；（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．16．（2022秋•宿城区校级期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE．17．（2022秋•孝南区期末）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长．考点六．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．18．（2023春•长安区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．19．（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D 在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．20．（2022秋•新化县期末）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点七．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．（2022秋•双流区期末）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D 点．（1）求证：∠ADE＝∠AED；（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．22．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点．（1）求∠CAD的大小；（2）若BC＝9，求DE的长．考点八．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．23．（2022秋•长安区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．24．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【核心素养提升】逻辑推理——构建全等三角形进行证明1．（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝．2．（2022秋•江岸区期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，将BC沿BA方向平移至AE，连接CE、DE，若以AC、BD和DE为边构成的三角形面积是，则DE ＝．3．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C 在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【中考热点聚焦】热点1.三角形全等的判定1．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．2．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．热点2.三角形全等的判定和性质的综合应用3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．5．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．6．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．7．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．8．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．热点3.三角形全等的实际应用9．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 10．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面积．热点4.角的平分线的性质11．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为．12．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．。
全等三角形的知识点梳理
《全等三角形》一、结构梳理二、知识梳理（一）概念梳理1．全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．2．全等三角形这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．（二）性质与判定梳理1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．全等三角形的对应边、对应角分别相等．2．全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。
由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．（5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有图2三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：⎪⎩⎪⎨⎧→→SSS SAS 找另一边找夹角 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边找任一角边为角的对边 ⎩⎨⎧→→AASASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．（三）基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型：它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．2．对称型 如图4，下面几种图形属于对称型：它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型：它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例（1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3图4图6（1）角都是600，但这两个三角形显然不全等； （2）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如图6（2），中的△ABC 和△ABD 中，虽然有AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，但它们显然不全等． 2．在判定三角形全等时，还要注意的问题 在判定三角形全等时，应做到以下几点：（１）根据已知条件与结论认真分析图形；（２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；（４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；（５）想办法找出所需的条件来．四、例题：例1．如图7（1），E 、F 分别是四边形ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，AB//CD ，AD//BC ，且AE=CF ，EF 交AD 于G ，交BC 于H ．（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任何辅助线）（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明． 我选择的是： ．解：（1）2，△AEG ≌△CFH 和△BEH ≌△DFG ． （2）如求证明：△AEG ≌△CFH ．证明：在平行四边形ABCD 中，有∠BAG=∠HCD ， 所以∠EAG=1800－∠BAG=1800－∠HCD=∠FCH ． 又因BA ∥DC ，所以∠E=∠F ．又因AE=CF ，所以△AEG ≌△CFH ．点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．例2．如图8，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式：○1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．（提示：答案不唯一）．点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中 有的是假命题，请同学们注意分辨．例3．如图9，点E 在AB 上，AC=AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
三角形的全等知识点总结
三角形的全等知识点总结在几何学中，全等是一个重要的概念，它意味着两个或多个图形在形状和大小上完全相同。
在三角形中，全等三角形是非常常见的，它们具有相等的边和角。
本文将对三角形的全等知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的定义全等三角形的定义是：如果两个三角形的对应边相等，对应角相等，那么这两个三角形是全等的。
二、全等三角形的判定条件1. SSS判定法（边边边）：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SAS判定法（边角边）：如果两个三角形的一条边和这个边上的两个角分别与另一个三角形的一条边和这个边上的两个角相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法（角边角）：如果两个三角形的一条角和这个角对应的两边分别与另一个三角形的一条角和这个角对应的两边相等，则这两个三角形是全等的。
4. RHS判定法（直角边斜边）：如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别与另一个直角三角形的一条直角边和斜边相等，则这两个直角三角形是全等的。
三、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应角相等，即对应顶点的角是相等的。
2. 全等三角形的对应边相等，即对应边的长度是相等的。
3. 全等三角形的对应高线相等。
4. 全等三角形的周长和面积完全相同。
四、全等三角形的性质运用利用全等三角形的性质可以进行各种几何推理和证明。
1. 利用全等三角形可以证明两条线段相等。
2. 利用全等三角形可以证明两个角相等。
3. 利用全等三角形可以证明两个三角形全等。
4. 利用全等三角形可以证明两个四边形全等。
五、全等三角形的应用全等三角形的知识在实际生活和工程中具有广泛的应用。
1. 在建筑工程中，利用全等三角形可以计算高楼房屋的高度，简化测量过程。
2. 在地图测量中，利用全等三角形可以计算两地的距离和高度。
3. 在设计中，利用全等三角形可以保证建筑物的比例和对称性。
4. 在计算机图形学中，利用全等三角形可以进行图形变换和模型重建。
全等三角形的判定(HL)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
专题12.7全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.（2）书写格式：如图，在Rt△ABC 和△Rt DEF 中，AB DE AC DF=⎧⎨=⎩ABC DEF ∴∆≅∆（HL）【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路（1）已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；（2）已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;（3）已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CA AB ⊥，DB AB ⊥，AE FB =，CF DE=（1）求证：CAF DBE ≌ ；（2）若25AFC ∠=︒，求D ∠的度数【变式1】如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，若用HL 判定Rt △ABD 和Rt BCD 全等，则需要添加的条件是（）A ．AD CB =B ．AC ∠=∠C ．BD DB =D ．AB CD=【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，BD CF =，FD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BE CD =，若145AFD ∠=°，则EDF ∠=．【题型2】全等的性质与“HL”综合【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图AD 为ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F 且有BF AC =，ED CD =．（1）问BF 与AC 的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．（2）直接写出ABC ∠的度数．【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，交AC 于点E ，BC BF =，连接BE 交CD 于点G ．下列结论：①CE EF =；②CG EF =；③BGC AEB ∠=∠．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在ABC 中，M 为边BC 的中点，ME AB ⊥于点E ，MF AC ⊥于点F ，且BE CF =．若25BME ∠=︒，则A ∠=°．【题型3】全等三角形的综合问题【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，ABC 中，AC AB >，D 是BA 延长线上一点，点E 是CAD ∠的平分线上一点，过点E 作EF AC ⊥于F ，EG AD ⊥于G ．（1）求证：EGA EFA ≌△△；（2）若2BEC GEA ∠=∠，3AB =，5AC =，求AF 的长．【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，90E F ∠=∠=︒，B C ∠=∠，AE AF =，给出下列结论：12∠=∠①；②BE CF =；③ACN ABM ≌；CD DN =④，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，ABC 中，AH BC ⊥，BF 平分ABC ∠，BE BF ⊥，EF BC ∥，以下四个结论：①AH EF ⊥，②ABF EFB ∠=∠，③AF BE =，④E ABE ∠=∠．正确的是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒．过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，延长EA 至点D ．使AD AC =．在边AC 上截取AF AB =，连接DF ．求证：DF CB =．【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A B C D E ，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段,AB CD 交于点F ，若CFB α∠=，则ABE ∠等于（）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．90α︒+D ．902α︒+2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O 引射线OM ，ON ，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，点C 为平面内一点，连接AC ，BC ，有ACB O ∠=∠．（1）如图1，若AO BC ∥，则AC 和ON 的位置关系是______；（2）如图2，若ABC ABO ∠=∠，AC OM ⊥，请求出CBD ∠和O ∠的度数的等量关系式；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OM ∥交射线ON 于点D ，当8CDN CBD ∠=∠时，求ABC ∠的度数．【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．。
(完整版)全等三角形知识点总结
全等三角形 知识梳理一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 S S S 全等形全等三角形应用边角边 S A S 判定角边角 A S A 角角边 A A S 斜边、直角边 H L 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
全等三角形—知识讲解及典型例题解析
中考总复习：全等三角形—知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAO AO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 .如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB 中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。
人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
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全等三角形 知识梳理
一、知识网络
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理
（一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3
π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；。