不等式必备知识(含基础水平必备知识+中级水平必备知识+高级水平必备知识)
《不等式及其性质》 知识清单
《不等式及其性质》知识清单一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
例如：5 ＞ 3 ，x ＜ 10 ，2x ＋3 ≥ 7 等等。
不等式表达了两个量之间的大小关系，它是数学中用于描述数量关系的重要工具。
二、不等式的分类1、一元一次不等式含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式，如 3x ＜ 9 。
2、一元二次不等式含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，例如 x²5x ＋ 6 ＞ 0 。
3、简单的多元不等式含有多个未知数的不等式，比如 2x ＋ 3y ＞ 8 。
三、不等式的性质1、对称性如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a 。
这意味着，两个数之间的大小关系是相互的，当一个数大于另一个数时，反过来另一个数就小于这个数。
2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
例如，5 ＞ 3 ，3 ＞ 1 ，所以 5 ＞ 1 。
传递性在比较多个数的大小时非常有用。
3、加法性质如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
也就是说，在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。
例如，因为 7 ＞ 5 ，所以 7 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 9 ＞ 7 。
4、减法性质如果 a ＞ b ，那么 a c ＞ b c 。
与加法性质类似，在不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变。
5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc 。
即在不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。
比如，3 ＞ 2 ，同时乘以 5 ，得到 15 ＞ 10 。
（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
当在不等式两边同时乘以一个负数时，不等号方向会改变。
例如，5 ＞ 3 ，但乘以－2 后，得到－10 ＜－6 。
6、除法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 a/c ＞ b/c 。
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
完整版高中数学不等式知识点总结
完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。
本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。
一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。
当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。
在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。
解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。
图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。
正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。
直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。
不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。
2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。
3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。
二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。
过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。
根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。
因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。
四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。
不等式知识点
不等式知识点不等式，作为高中数学中一项重要的内容，贯穿着整个数学学习的过程。
它不仅在数学中有重要的地位，也在实际生活中应用广泛。
了解不等式的各种性质和解题方法，不仅可以帮助我们在数学考试中取得好成绩，更能在解决实际问题时发挥巨大的作用。
1. 不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或含有变量的代数式。
其中，大于号表示大于关系，小于号表示小于关系。
例如：3 > 2，x + 1 < 5等。
在不等式中，大于号和小于号都可以加上等于号，分别表示大于等于和小于等于的关系。
2. 不等式的性质（1）等价不等式性质：如果两个不等式左右两边互相相等，那么两个不等式的解集也相等。
例如：若a + b < c，则a + b + d < c + d。
（2）加减法性质：在不等式两边同时加或减相同的数，不等关系不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c。
（3）乘除法性质：当不等号的一边为正数，另一边为负数时，改变不等关系。
例如：若a < b，则-a > -b。
但需注意，当两边同时乘或除以负数时，不等关系反转。
例如：若a < b，则-a > -b；若a > 0，则2a < a。
（4）倒置性质：如果不等式两边互相交换位置，不等关系也要交换。
例如：若a < b，则b > a。
3. 不等式的解法（1）图像法：将不等式等号两边的代数式分别画成函数图像，在坐标系中找出它们的共同区域，即为不等式的解集。
（2）试值法：根据不等式的性质，用一组特定的数值代替不等式中的变量，判断不等式是否成立。
（3）整理法：通过移动项的位置，使不等式看起来更简单。
例如：对于不等式a + b > c，可以移项为a + b - c > 0，更容易处理。
（4）分析法：对不等式进行逐步分析，通过推理和推导，得到不等式的解集。
4. 不等式在实际问题中的应用不等式在现实生活中有着广泛的应用。
高三不等式必背知识点
高三不等式必背知识点在高中数学课程中，不等式是一个重要且普遍存在的概念，而解不等式是解析几何、函数、导数等数学领域的基础。
在高三阶段，不等式也是重要的数学知识点之一。
本文将介绍高三阶段必背的不等式知识点，包括基本不等式、三角不等式、均值不等式等。
一、基本不等式基本不等式是指数学中最基础、最常用的两个不等式：算术平均-几何平均不等式和柯西-斯瓦茨不等式。
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）对于非负实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$，AM-GM 不等式定义为：$$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\ldots a_n}$$其中，等号成立的条件是$a_1=a_2=\ldots=a_n$。
2. 柯西-斯瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）对于实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$ 和实数 $b_1、b_2、\ldots、b_n$，柯西-斯瓦茨不等式定义为：$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2$$其中，等号成立的条件是$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$。
二、三角不等式三角不等式是指与三角函数相关的一系列不等式，在解析几何和三角学中有重要的应用。
1. 直角三角形的三角不等式对于直角三角形，设斜边为 $c$，两个直角边分别为 $a$ 和$b$，那么三角不等式定义为：$$a+b>c$$2. 一般三角形的三角不等式对于一般的三角形，设边长分别为 $a、b、c$，则有三种不等式：$$a+b>c, a+c>b, b+c>a$$其中，任意两边之和大于第三边。
三、均值不等式均值不等式是指反映一组数的平均值和什么程度相差的不等式。
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y
y ex
y 1 x
O
x
且仅当 x 0 时取等号.
第1页
例如： x 1 时，左边 e x 2.718 ，右边 1 x 2 故： e x 1 x
3、对数不等式： ln x x 1 （当且仅当 x 1 时取等号）
注解：由于 0 和负数没有对数，所以： x 0 记忆方法见函数图. 曲线 y ln x 在 x 0 区间都处在直线 y x 1 的下方，仅在 x 1 处相切. 即： ln x x 1 ，
1
n 1 ...
1
；即： n 1 1 ... 1
Hn a1 a2
an
a1 a2
an
其中， a1, a2 , ...an 0
例如： a1 1 ， a2 2 ，求 Qn 、 An 、 Gn 、 Hn ，并比较它们的大小.
解： Qn
12 22 2
5 1.6 ； 2
An
1
2
2
1.5
著名的对数不等式是：
x ln(1 x) x ( x 1 ) 1 x
4、柯西不等式：
(a12 a22 ... an2 )(b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
（当且仅当 a1 a2 ... an 时取等号）
b1 b2
bn
注解：设向量 A (a1, a2 , ..., an ) ，向量 B (b1, b2 , ..., bn ) ，
⑵ 设在 x [a, b] 区间 f ( x) 为下凸函数，如图
即 f ( x) 的二次导数 f ''( x) 0 ，
则：
f (a)
f (b)
ab f( )
②
2
2
图中， A 点为均值的函数值， B 点为函数的均值.
B A
Oa
b
即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值. 第3页
上面的①②式，称为琴生不等式.
例如：对于函数 f ( x) sin x ，在 x [0, ]区间为上凸函数，
因为 f '( x) cos x ， f ''( x) sin x 0 （ x [0, ]）
故： f ( x) sin x 在 x [0, ]区间为上凸函数.
此时， a 0 ， b ，则 a b 22
所以 f ( x) 下凸函数.
在 x [0, 2] 区间有： f (0) 1 ， f (2) 1 ， f (1) 0
即： f (0) f (2) 1 ， f (0 2 ) f (1) 0
2
2
O
1
2
故： f (0) f (2) f (0 2 )
2
2
其实，在 x R 区间，都满足 f (a) f (b) f ( a b )
y
y x1
y ln x
O
x
当且仅当 x 1 时取等号 也可以由 e x 1 x 得： e y1 y 两边取对数： y 1 ln y ，即： ln x x 1
例如： x e 时，左边 ln x ln e 1 ，右边 x 1 e 1 1.718 1 ，故： ln x x 1
f (a) f (0) 0 ， f (b) f ( ) 0
即： f (a) f (b) 0 0 0 ；
O
2
2
而
f (ab)
f ( ) 1.
故：
f (a)
f (b)
ab f( )
2
2
2
2
例如：二次函数 f ( x) x2 2 x 1
A
B
A
因为 f '( x) 2 x 2 ， f ''( x) 2 0
；
Gn 2 1 2 2 1.4 ；
Hn
2 1
1
2 21
4 3
1.3
12 2
可见：有 Qn An Gn Hn
从大到小的顺序是：平方算术，几何调和
2、指数不等式： e x 1 x （当且仅当 x 0 时取等号）
注解：由于要求不等式右边 1 x 0 ，故： x 1 记忆方法见函数图. 曲线 y e x 在 x R 区间都处在直线 y 1 x 的上方，仅在 x 0 处相切. 即： e x 1 x ，当
两边自乘得：
A
2
B
2
(
A
B )2
第2页
将上面的结果代入得： (a12 a22 ... an2 )(b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2 这正是柯西不等式.
例如： a1 1 ， a2 2 ， b1 3 ， b2 4 则： a12 1 ， a22 4 ， (a12 a22 ) 5 ； b12 9 ， b22 16 ， (b12 b22 ) 25 ； (a12 a22 )(b12 b22 ) 5 25 125 ； a1b1 3 ， a2b2 8 ， (a1b1 a2b2 )2 112 121 . (a12 a22 )(b12 b22 ) 125 121 故： (a12 a22 )(b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2
5、琴生不等式：
注解：
⑴ 设在 x [a, b] 区间 f ( x) 为上凸函数，如图
即 f ( x) 的二次导数 f ''( x) 0 ，
则： f (a) f (b) f ( a b ) ①
2
2
图中， A 点为均值的函数值， B 点为函数的均值.
A B
Oa
b
即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值.
不等式基础必备
1、均值定理： Qn An Gn Hn （当且仅当 a1 a2 ... an 时取等号）
注解：
Qn 平方平均值： Qn
a12 a22 ... an2 ； n
An 算术平均值：
An
a1
a2
n
...
an
；
Gn 几何平均值： Gn n a1a2 ...an ；
Hn 调和平均值： Hn
2
2
⑶ 推广为一般形式
对于 x (a, b) 的上凸函数，即: f ''( x) 0 ，有：
其中： a1 , a2 , ...an 为 A 在正交系中的各分量； b1 , b2 , ...bn 为 B 正交系中的各分量.
则
2 A
a12
a22
... an2 ，
B
2
Hale Waihona Puke b12b22... bn2
，
A B a1b1 a2b2 ... anbn
由向量公式： A B A B cos A, B 得： A B A B