梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明
梅洛策定理
梅洛策定理
梅涅劳斯定理（Menelaus's theorem）是一条与圆和直线有关的几何定理。
它描述了如果一条直线截过一个圆，且在圆的另一侧有三条不同长度的线段与这条直线相连，那么这三条线段的长度之比等于三个截点到圆心的距离之比的乘积。
具体来说，假设有一条直线L 穿过一个圆C，并且在圆的另一侧有A、B、C 三个点分别与直线L 相连。
那么根据梅涅劳斯定理，线段AB、BC、CA 的长度之比等于三个截点到圆心O 的距离之比（OA、OB、OC）的乘积。
即：
AB / BC * BC / CA * CA / AB = OA / OB * OB / OC * OC / OA
这个定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直线相关的问题时。
它的证明可以通过相似三角形的性质来完成。
梅涅劳斯定理不仅适用于圆内接三角形，还可以推广到任意与圆相交的直线。
总的来说，梅涅劳斯定理为我们提供了一种计算线段长度比例的有效方法，对于解决几何问题具有重要的意义。
梅涅劳斯定理的证明
梅涅劳斯定理的证明梅涅劳斯定理是描述三角形内切圆半径和三角形三边的关系的定理。
它是数学中的一个经典结果。
下面将详细阐述梅涅劳斯定理的证明过程。
我们需要明确梅涅劳斯定理的表达方式：对于任何三角形ABC，设其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，且三角形的三条边分别为a，b，c，则有如下关系：r = (s - a)tan(A/2) = (s - b)tan(B/2) = (s - c)tan(C/2)其中，s = (a + b + c)/2是三角形的半周长，A，B，C是三个内角。
现在，我们来证明这个定理。
证明步骤如下：设三角形的内切圆的圆心为O。
我们知道，三条角平分线Ox，Oy，Oz交于一点I，称为三角形的内心。
因此，我们可以将三角形ABC分成三个小三角形，即三角形OAx，OBy和OCz。
那么，根据余弦定理，我们可以得到以下几个关系：(1) OA² = IO² + IA²(2) OB² = IO² + IB²(3) OC² = IO² + IC²我们现在来计算这三个关系。
根据定义，IO就是内心到内切圆的半径，即IO=r。
那么，(1)式可以写成：OA² = r² + IA²接下来，我们来计算IA²。
由于IA是角平分线，所以IA与角C的角平分线OC构成的角为90度。
那么，IAOC构成一个直角三角形。
根据勾股定理，我们可以得到：IA² = IC² + AC²将这个结果代入(1)式，得到：OA² = r² + IC² + AC²同理，我们可以计算OB²和OC²，得到：OB² = r² + IA² + AB²OC² = r² + IB² + BC²接下来，我们来计算三角形ABC的面积S。
梅尼劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA 或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的重要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明一：
过点A作AG△BC交DF的延长线于G
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得：
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
证明二：过A做直线AM△FD交BC延长线于M点，则
CE/EA=CD/DM,AF/FB=MD/DB,故
(DB/DC)X(CE/EA)×(AF/FB)=(DB/DC)X(CD/DM)X(MD/DB)=1
另证：连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”
的性质有。
AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF………… （3）（1）×（2）×（3）得(AF：FB)×( BD：DC)×(CE：EA)=(S△ADF：S△BDF)×(S△BDF：S△CDF)×(S△CDF：S△ADF)=1。
奥数定理
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
[编辑本段]塞瓦定理推论
1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
3：海伦公式
原理简介 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦
（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
———————————————————————————————————————rica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
menelaus定理和ceva定理
menelaus定理和ceva定理
Menelaus定理和Ceva定理都是解析几何中的重要定理，它们在三角形内部点的位置关系研究中具有广泛应用。
Menelaus定理（也被称为梅涅劳斯定理）描述了一个三角形内的三个非共线点所构成的三条直线的位置关系。
具体来说，如果三角形的顶点为A、B、C，相应的相交的三个直线上的点为D、E、F，那么当且仅当以下条件成立时，三角形ABC内的三个点D、E、F在一条直线上：
( \frac{AD}{DB} imes \frac{BE}{EC} imes \frac{CF}{FA} = 1 )
而Ceva定理（也被称为塞瓦定理）则描述了一个三角形内的三条角平分线的交点位置。
设三角形的顶点为A、B、C，相应的三条角平分线交于点I，那么当且仅当以下条件成立时，三角形ABC内的三条角平分线交于一点：
( \frac{BD}{DC} imes \frac{CE}{EA} imes \frac{AF}{FB} = 1 )
这两个定理不仅在解析几何中有重要应用，还在热力学研究中发挥了重要作用，有助于理解不同物质体系的能量变化。
梅涅劳斯定理及例题拓展
梅涅劳斯定理及例题拓展梅涅劳斯介绍：在证明点共线时，有一个非常重要的定理，它就是梅涅劳斯定理，梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍。
下面的定理就是他首先发现的。
这个定理在几何学上有很重要的应用价值。
定理：设D 、E 、F 依次是三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1=⋅⋅FA CF EC BE DB AD 证明：（此定理需要分四种情况讨论，但有两种可以排除） 先来说明两种不可能的情况 情况一：当三点均在三角形边上时，由基本事实可知三点不可能共线（只能组成内接三角形的三角形。
情况二：当一点在三角形一边上，另两点分别在三角形另两边的延长线上时，如图是三角形ABC 直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，平移直线DE 即可发现不能可两点同时在延长线上 情况三：当两点分别在三角形两边上，另一点在三角形另一边的延长线上时，如图是三角形ABC 直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，∵D 、E 、F 三点共线∴可过C 作CM ∥DE 交AB 于M ，于是FCAF DM BD DM AD EC BE FCAF DM AD DM BD EC BE ⋅=⋅∴==,,所以1=⋅⋅FA CF EC BE DB AD 情况四：三点分别在三角形三边的延长线上时，如图是三角形ABC 直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，同情况三∵D 、E 、F 三点共线∴可过C 作CM ∥DE 交AB 于M ，于是FCAF DM BD DM AD EC BE FCAF DM AD DM BD EC BE ⋅=⋅∴==,,所以1=⋅⋅FACF EC BE DB AD∴设D 、E 、F 依次是三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1=⋅⋅FACF EC BE DB AD拓展（1题）在任意三角形PQR 中，A2,A4分别是PR,PQ 延长线上的点，做射线A4A2,A6是射线A4A2上的一点，做射线A6Q ，A1是射线A6Q 上的一点，连结A1A2交射线PR 于X ，作射线A4A3交射线PQ 于点A3，交射线A1A6于点Y ，连结A1A3交射线PR 于点A5，连结A6A5交射线PQ 于点Z ，求证X,Y,Z 三点共线（该命题又为一六边形相间各顶点分别在两直线上求证：它的三对对边（所在直线）的交点共线）这个定理为帕波斯定理（2题）给定△ABC内两点O,O',连结AO,AO'交BC于点X,X',BO,BO'交AC于Y,Y',CO,CO'交AB于Z,Z'.设YZ'与Y'Z交于点P,ZX'与Z'X交于点Q,XY'与X'Y 交于点R.求证O,O',P,Q,R五点共线（3题）在任意三角形ABC中，E是直线AC上的一点，D是直线BC上的一点，F 是直线DE上一点，G是直线AC上一点，作直线BG交直线DF于点Q，作直线CF 交直线AB于点P，作直线GF交直线AB于点H作直线DH交直线AC于点R,求证P,Q,R三点共线（4题）一直线截△ABC三边BC,CA,AB或延长线X,Y,Z。
梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯(Menelaus)定理的证明1. 梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理。
它指出：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积。
直线与三角形的位置关系有两种情况：1) 如图(1)，三角形ABC 与直线DEF 交点其中两点在边上，另一交点在边的延长线上，则有：2) 如图(2)，三角形ABC 与直线DEF 的三个交点均在边的延长线上时，仍有：AF FB ×BD DC ×CE EA =1图(1) AF FB ×BD DC ×CE EA=1图(2)AF FB =AI BJ BD DC =JD DH ,CE EA =CH AI ∴AF FB ×BD DC ×CE EA =AI BJ ×JD DH ×CH AI =CH BJ ×JD DH=12. 证明方法分析命题：设直线l 分别与△ABC 的三边所在直线相交于点D 、E 、F ，则有分析：需证明比例式，一般采用的方法为相似、正弦或余弦定理、共边共角定理等。
添加辅助线的方法多为创造平行线。
在得到比例 式后相乘得所求式子。
3. 证明方法i. 证法1（作平行线，利用平行线分线段成比例）如图(3)，过点C 作直线DF 平行线，交AB 与点G 。
由平行线分线段成比例得：ii. 证法2（作高创造平行，利用比例线段）如图(4)，过点ABC 作直线DF 垂线，垂足为点I 、J 、H 。
∵ BJ ⊥DF ，AI ⊥DF∴ BJ ∥AI∴ ∠3=∠4又∵∠1=∠2∴ △AFI ∼△BFJ得同理 BD DC =FB GF ，CE EA =GF AF ∴AF FB ×BD DC ×CE EA =AF FB ×FB GF ×GF AF =1图(3) 图(4) AF FB ×BD DC ×CE EA =1∴AFFB×BDDC×CEEA=ADEBDE×BDECDE×CDEADE=1AEFBFD=AF×EFFB×DF，BFDCDE=BD×DFDC×DE，CDEAEF=DE×CEEA×EF1=AF×EF×BD×DF×DE×CEFB×DF×DC×DE×EA×EF=AFFB×BDDC×CEEAAFFB×BDDC×CEEA=AF×BD×CEEA×FB×DC=Sin∠AEF×Sin∠BFD×Sin∠EDCSin∠AFE×Sin∠BDF×Sin∠ECDAFFB×BDDC×CEEA=1iii.证法3（利用共边定理）如图(5)，联结BE、AD由共边定理得：iv.证法4（利用共角定理）如图(6)，由共角定理得：三式相乘，得：v.证法5（利用正弦定理）同图(6)，在△AEF、△BDF、△CDE中，由正弦定理得：∵∠AEF=∠ECD，∠EDC=∠FDB∠BFD+∠AFE=180°∴Sin∠AEF=Sin∠ECD，Sin∠EDC=Sin∠FDB且Sin∠BFD=Sin∠AFE∴上式右端分式化为1即图(5)图(6)图(6)。
梅涅劳斯(Menelaus)定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/E A)=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1证明四：连接BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
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两式相减得 （ １＋ｒ ） Ｏ Ｆ一（ １ ＋ ｓ ） Ｏ Ｅ＝ ｒ Ｏ Ｂ— ｓ Ｏ Ｃ，
ＤＣ ＥＡ
ＥＡ ＦＢ ＤＣ
ｓ ｎ厶 ＡＦ Ｅ
ｓ ｉ ｎ／ ＦＤＢ
又雎 与Ｂ Ｃ交于点 Ｄ， 故有 ， Ｏ Ｂ— Ｏ Ｃ＝（ ｒ 一 ） Ｏ Ｄ，
，
因
Ｆ ＝ＬＣ Ｅ Ｄ ， ／ ＿ Ｂ 肋 ｔ Ａ 而
ＡＦ
—
Ｆ Ｂ ｄ
： 一
ｄ Ａ ＢＤ
：
，
ｄ Ｂ Ｃ Ｅ
一 ，一
ｃ ｄ
：
，
口
’ ＤＣ ｄｃ’ Ｅ Ａ ｄ Ａ…
三式相乘 即得证
—… … 。 — ～
图３
图４
证法 ２ 共边定理法 如图４ ， 由共边疋挫 刘 Ａ Ｆ
ＳＡ Ｃ Ｅ Ｏ
． —
—
ＣＥ
，
ＳＡ ￣ Ｅ Ｏ Ｓ￣ ｎ Ｅ Ｖ
则 蔚＝ ÷ ， 于 是 ・ Ｂ Ｄ ・ 簧 ＝ ｒ ・ ÷ ・ ÷ ＝ ・ ．
以上过程 中点 ０是任意 的 ， 并不起实质性作 用 ， 完 全可 以省略不写 ， 用一个字母 表示 向量 ， 这就是质点几 何 了． 质点法 的最新 研究成 果是 建立 了能处 理 希尔 伯 特交点类命 题的仿射几何机器证 明算 法 ＭＰ Ｍ（ Ｍａ ｓ ｓ— Ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ —Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ） ， 并编写 了 Ｍａ ｐ ｌ ｅ程序 ， 验算 了几 百个 非平凡命题 ， 不仅效率 高 ， 程序 自动生成 的证 明也 有可 读性 ， 这一工作是广 州大学 邹 宇博士 在张 景 中院士 的 指导下完成 的． 最后给 出梅涅劳斯定理 的机器证 明 ， 算
何 必要在空间 中作 一个辅 助平 面 呢 ， 且看单 蹲 先生 在
文［ ３ ］中给 出的精彩证 明． 证法 ５ 垂 线法
２７
如图８ ， 分别 自Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ向 Ｚ 作 垂线 ， 议 垂 线 段 的长
度 分 别 为 ｐ ｒ ， 贝 Ｊ Ｉ 篙 ＝ 号 ？ ＝ 手 ， ＝ 古 ， 三 式 相 乘
共角定理 如 图 ６ ， 若
／ ＿ Ａ Ｂ Ｃ和 ／ ＿ Ｘ Ｙ Ｚ 相 等 或互
贿 ＝ ．
Ｚ （ ｙ ） Ｚ Ｃ
如图 ３ ， 过点 ｃ作 Ｃ Ｇ∥ Ｄ Ｆ交 Ａ Ｂ于点 Ｇ ， 则
ＢＤ ＢＦ ＣＥ ＧＦ
ｘ Ｙ ｚ
～
Ａ ｌ ’ ｌＺ
一
证 法 ４ 辅 助平 面法
分别 与 ＡＡ Ｂ Ｃ的三边（ 或边 的延 长线 ） 相交于点 Ｄ、 Ｅ 、 ，测 有 Ａ Ｆ
・ ・ ＝
．
，
得 证．
注 共边定 理 和共 角定 理源 自于张景 中院士 的
直线 ｚ 与三角形的三边 相交 ， 有 两种情 形 ： （ １ ）其
中两个 交点在边上 ， 一个交点在边的延长线上 ， 如图 １ ； （ ２ ）三个交点均在边的延 长线上 ， 如图２ ．
ＤＣ ＦＧ’ ＥＡ ＦＡ ’
． ，
如图７ ， 过截线 作平 面
・ 一 ＝ ｌ
图６
ＡＦ ＢＤ ＣＥ ＡＦ ＢＦ ＧＦ
ＦＢ ＤＣ ＥＡ ＦＢ ＦＧ Ｆ Ａ —
Ａ Ａ
・ 一 ＝ 一
ｌ ｌ ｔ Ｖ一
Ｏ ｌ ， 设 顶点 Ａ 、 Ｂ、 Ｃ到该 平 面 的距离 分别为 ｄ 、 ｄ 、 ｄ 。 ， 则有
证法 ６ 正 弦定理法 在 Ｚ Ｘ Ａ Ｅ Ｆ、 △Ｂ Ｄ Ｆ． ＡＣ Ｄ Ｅ中 ， 由正弦定 理仔Ａ Ｆ
曰Ｄ ＣＥ
一 ：：
・
（ １＋， ）Ｏ — Ｆ：
＋，
，
（ １ ＋ ）
＝
＋
，
ＡＦ ＢＤ
一 ●
Ｃ Ｅ
一 ＝
ｓ ｉ ｎ ＡＥＦ ｓ ｉ ｎ／ ＢＦＤ
一 ０
＝
・
图 ７
：１ ． Ｓ△ ＾ Ｅ Ｄ
图 ８
该证 明 曾在 网上 被大 量转 载 ， 被称 为令 人感 动 的 证 明． 文［ ２ ］ 中也收 录了该证 明 ， 并称 “ 上 面这种方 法恐
证法 ３ 共角定理法 如图 １ ， 由共角定理知
Ｓ Ｆ Ｓ＆ ８ Ｆ Ｄ
面积法 ， 下面是定理 的具体 内容． 。 共边定理 若直线 Ａ Ｂ和 Ｐ Ｑ相交 于点 Ｍ（ 如图５ ，
有 ４种情
Ｐ
财有
△ｏ Ａ Ｂ
＝ ．
触
图 １
图２ 图５
Ｍ
梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度 比例 的计算 时， 尤为快撼 值得一提的是 ， 其逆定理也成立 ， 可作为三点 共线、 三线共点等问题 的判定方法． 下面给出梅涅劳斯定 理的十种精彩证明 ， 证 明中仅以图 １ 作为示例． 证法 １ 平行线 法
即得 证 ．
扎 ， 于 是 Ａ 而 Ｆ ・ ・ ＝ ｒ ・ ÷ ・ ÷ ： ．
质点法直接 让几 何学 里最 基本 的元 素 —— 点参 与运算 ， 稍微修改就可得 向量证法 ： 在 ＡＡ Ｂ Ｃ所在平面 内任取一点 ０， 设Ａ ＝ｒ Ｆ Ｂ， Ａ Ｅ＝ｓ Ｅ Ｃ ， 则有
ＬＥ Ｄ Ｃ：ＡＦ Ｄ Ｂ， 故 上式 右端乘 积为 １ ， 得证．
证法 ７ 向量法
设 ＝ Ａ 赢， 蔚 ＝
－ － － －
， 商＝ 蔚 ， Ｅ Ａ ｙ ＝ １ ．
梅涅劳斯 （ Ｍｅ ｎ ｅ ｌ ａ ｕ ｓ ） 定 理 的 十种 证 明
河 南郑 州外 国语 学校
梅涅劳斯定理是平面几何学 以及射影几何学 中的 项基本 定理 ， 具有重要作用 ， 其具体 内容为 ： 设直线 ｚ
・
４ ５ ０ ０ ０ １
杨 春 波
一
一 ＝
ＣＥ
・
・
・
＝ 篙
ＤＥ ・ＣＥ ＥＡ ．ＥＦ ’
怕是最帅的一种 了． 它解 决 了其 他证 明方法 缺 乏对 称
ＢＤ ・ＤＦ ＳＡ Ｃ Ｄ Ｅ ＤＣ ・ＤＥ Ｓ Ａ Ｅ Ｆ
ＡＦ ・ＥＦ
Ｓ／ ， Ｂ ￣ ｖ
性的问题 ， 完美展示 了几何命 题 中的对称之 美” ． 其实，
ＦＢ ・ＤＦ ｓ ｃ Ｄ Ｅ
质点法的最新研究成果是建立了能处理希尔伯特交点类命题的仿射几何机器证明算法mpmmassmethod并编写了maple程序验算了几百个非平凡命题不仅效率高程序自动生成的证明也有可读性这一工作是广州大学邹宇博士在张景中院士的指导下完成的
中学数 学 杂 志
２ ０ １ ５ 年 第 ９期
嚣
６ ６
９