高等概率论

第一章：测度与积分第一节：集族与测度(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成 σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭 Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ：Φ+→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量）例：Ω=[0,1].（a,b]⊂Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω∀∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞⎧⎪⎨⎪⎩几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛）②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ⎰（）d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=⎰⎰Fatou 引理，Levy 引理 记号、述语：大写英文字母表示Ω的子集（事件）花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）AαBβXχ∆δEεΦφΓγHηIιϑϕKκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυςϖΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对∀A1，A2，…A n ∈A ，则1i ∞=A i ∈A第二节：集族与测度1. 集合序列的极限 设1,2,...,,...,A A An ⊂Ω111limsup {:}{,,...,}x K k k K k n kAn n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∃∈== 可数个不同的，使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n kAn n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生关系：lim inf lim sup n n An An →∞→∞⊂如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=⊂=单调下降集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=⊃=例：A,B 是Ω的两个子集，221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞==11((1),1(1))nn An n n=-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓2几种常用集类的定义：①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭 ②∆称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ∆;(b). ∆对真差封闭：若,A B ∈∆,且A B ⊂,则B A -∈∆ （c ）∆对单调上升（下降）集合列的极限封闭 ③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ）④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭）⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（⇒可数交封闭，极限运算封闭）⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭） ⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果An ∈M ，且An ↑，则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ，且An ↓，则1n An ∞=∈ M代数、且又是单调族σ⇒代数 π类、且又是λ类σ⇒代数A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，最小单调类。

如：σ（）A 是A 生成的最小σ代数指：①σ（）A 是σ代数，且σ⊃（）A A ②如果Φ是σ∀代数，且Φ⊃A ，且σ⊂（）A F ⇒σσ⊃=是代数（）F AF A F单调类定理的两种形式和证明方法：λπ-类方法：设C 是一个π类，D 是λ类，且⊂C D ，则：σ⊃（）D C 单调族方法：设0F 是一个代数，M 是一个单调族，且0⊃M F ，则σ⊃0（）M F 推论：πλλσ==是类，（），则（）（）C D C C C0000σ==是代数，（），则（）（）F M M F M F F 证明：λσ⊂（）（）C C ，显然（σλ （）是包含的类C C ） 只要证λσ⊃（）（）C C ，令λ=（）D C如果D 对有限交封闭，则D 是一个σ代数C 11111.2.A \A A 3.A ,,B ,B B ,B ,lim B n n C Cn k n k k k n n n k n k A A A ==∞→∞=Ω∈⎛⎫ ⎪∈Ω=∈ ⎪⎪∈==∈ ⎪ ⎪⎪⎪∴∈↑=∈ ⎪⎝⎭，D D D D D D D()σ∴⊃D C①A {B A B }A ∀∈=⊂Ω∈ 固定，令；C H D 验证：A A A B,CBC C-B A C A-B A λ⊃∈⊂∈ 是类，且，，则（）=H H CH DA ∴⊃H D ,即对AB ,A B ∀∈∈∈ ，CD D②B B ={E :E B }∀∈⊂Ω∈ 固定，令D H D验证：B B B λλ⊃∴⊃=，且是类（）H C H H D C ， 即B ,E B E ∀∈∀∈∈ ，D D D #方法：实际中，要证明σ代数()σC 中集合（元素）具有某种性质（*），先证C 中元素具有性质（*），然后将定义类{:*}A A =∈Ω具有性质（）D 。

验证D 是一个λ类，则：λσ⊃=（）（）D C C例：11R ,(R )（）B 上Lebesgue 测度的1(R )------Borel σ代数B ，即由1R 得全体开集（开区间）生成的最小σ代数，也是左开右闭区间生成的最小σ代数。

在1R （）B 上定义一个集函数μ：使I =I μ（）的长度，I 是区间，令{}=∞≤≤∞（a,b ）:-a<b +C ，则C 是一个π类。

(,),b a a b μ-⎧∀∈⎨+∞⎩区间有限定义（（a,b ））=区间无限C ，1iA R ,*(A)=inf{():A}i i i iI I I μμ∀∈∃∈⊃∑ 有限个，使C*i(A)=sup{():A}i i i iI I I μμ∃∈⊂∑ 有限个，使C1*{:*()()}A R A A μμ=⊂=⊃D C R λσ∴⊃1是一个类，（）=（）D D B C测度的连续性：n An An A An ()An An A ,..(),lim (n)()n A s t A A A μσμμμμμμμ→∞∀∈↑→∞∀∈↓∃<∞= 00n 设是代数的一个非负可数可加集函数（a)下方连续：，，（）（b)上方连续：，，n 则F F F有限可加+连续性⇔可数可加性第三节：测度的扩张定理Ω 非空集，F （代数或σ代数）R μ+→：F ，集函数，满足：①μφ（）=0；②具有可数可加性：即 1n n 1A ,,A An ∞=∀∈∈ ，且互不相交，且F F ，n 1n 1An An μμ∞∞==∑ （）=（）（有限可加：1n A ,,A 有限个），称μ是上的一个测度F测度分类：11An ..,()1[0,1],([0,1])A A A R R I I I L An An n n n s t A A Borel μμσμσμμμμσμ∞=Ω∞Ω=∃∈Ω=<∞Ω==---∈Ω∀∈== 有限测度：（）<+,概率测度（）有限测度：，非有限无穷测度：（）域，（）=的长度，则是有限测度，且是概率测度（2）=，=（），区间（）=的长度----ebesgue 测度则是有限测度。

令（-n,n ）,(An)=2n.且：F F B F F B F n 1R (3)[0,1],A A A μμ∞=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪=∞∞⎪⎪Ω==Ω∈⎪⎪⎩（-,+）的一切子集，（）中点的个数，是一个计数测度F F扩张的步骤：01P 是代数0F 上的概率测度：中单调上升序列的极限集全体0G =F =，将P 的定义扩张到G 上，0n A An An An lim P An μμ→∞∀∈∃∈↑ ，，，（）（），在上具备的性质：G F G①0,0()1P A μφμμμΩ=≤≤（）=0，（）=1，F |； ②,,,()()()A B A B A B A B φμμμ∈==+ G ; ③,,A B A B A B μμ⊂∈≤、则（）（）G ； ④n An An A lim An A μμμ→∞∈↑在上下方连续，即，，且（）=（）G G02设=Ω的一切子集所成集类，E 将μ的定义扩张到E 上。

*A *A G G A μμμ∀∈∈⊃ （外侧度）：，（）inf{（）：，}E G G ，则：①***,0*A μμμφμμ=Ω≤≤，（）=0，（）=1（）1G |； ②*A B +*A B *A +*B (),*A +*B 1A B μμμμμμ≤≥∀∈ （）（）（）（）次可加性（）（）、E③A B *A *B μμ⊂≤，则（）（）④n *An An A lim *An *A μμμ→∞∈↑=下方连续，即，，则（）（）E证④：111n n n n 0,,,..,()*(),2,*()*()()lim ()1()*()()2lim *()lim *()A A *()*()*()lim *()n n n n n nnn n n n k n nnk n nk n kk k n n n n n G s t G A G A A A G G A G G G G A A A A A A A εεμμμμμμμμεμεμεμμμμ→∞===→∞→∞→∞∀>∀∃∈⊃≤+=⊂∈≤==<≤+>≤++≥≥∴≥∑且归纳法（）=，，G G03令C {A :*()+*()=1}A A μμ=∈H E则H 是一个σ代数，且*μ在H 上是概率测度。

0⊃H F ，同时0*P μ=F |，（称*μ为μ的扩张）。

0是的扩张H F ，限制到σ⊂0（）（）F H 结论：0P **PσμμσμΩΩ=000（，，）扩张到了（，（），），使得*是（）上的概率测度。

F F F F |04如果P 是0F 的一个有限测度，1, 1.2.....,P n n n n n ∞=∃Ω∈Ω=Ω=ΩΩ∞ 且互不相交，且（）<将001~3用到00(,,),()()*,()n n n n n P P A P A μσΩΩ 扩张为一个F F 对01(),*()*()nn n A A A σμμ∞=∀∈=Ω∑ F ，00(,(),*)P σμΩΩ是（，，）F F 的扩张，且还是唯一的。