球的体积及表面积公式
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
圆球的表面积和体积公式
圆球的表面积和体积公式
一、圆球表面积公式。
1. 公式内容。
- 圆球的表面积公式为S = 4π r^2，其中S表示圆球的表面积，r表示球的半径，π是圆周率，通常取3.14。
2. 公式推导（高中阶段了解）
- 可以通过对球的表面积元素进行积分得到。
将球看作是由无数个小的圆锥面组成，利用极限的思想，通过积分运算最终得出S = 4π r^2。
3. 示例。
- 已知一个球的半径r = 3，求其表面积。
- 根据公式S = 4π r^2，将r = 3代入，可得S=4×3.14×3^2=4×3.14×9 =
113.04。
二、圆球体积公式。
1. 公式内容。
- 圆球的体积公式为V=(4)/(3)π r^3，其中V表示圆球的体积，r为球的半径，π是圆周率（约为3.14）。
2. 公式推导（高中阶段了解）
- 可以使用祖暅原理（等积原理）来推导球的体积公式。
将一个半球与一个底面半径和高都等于球半径r的圆柱以及一个底面半径和高都等于球半径r的圆锥放在同一平面上，通过比较它们的截面面积关系，得出半球的体积，进而得到球的体积公式V=(4)/(3)π r^3。
3. 示例。
- 若球的半径r = 2，求球的体积。
- 由公式V=(4)/(3)π r^3，把r = 2代入，可得V=(4)/(3)×3.14×2^3=(4)/(3)×3.14×8=(100.48)/(3)≈33.49。
球体的体积与表面积关系推导
球体的体积与表面积关系推导在数学中，球体是一种具有无限多个对称中心的几何体。
球体的特点是其表面上的每一点到中心的距离都相等，这个距离被称为半径。
通过研究球体的体积与表面积之间的关系，我们可以更深入地了解球体的性质和特点。
一、球体的定义及基本公式球体是由三维空间中所有到中心点距离小于等于给定半径的点构成的集合。
球体的体积和表面积可以通过以下公式计算得出：1. 球体的体积公式：V = (4/3)πr^3其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
2. 球体的表面积公式：A = 4πr^2其中，A表示球体的表面积，π是圆周率，r是球体的半径。
二、推导球体体积与表面积的关系我们可以通过对球体的切割和展开来推导球体的体积与表面积之间的关系。
1. 切割与展开球体将球体沿着两个垂直于彼此的坐标轴切割，并沿着这两个切割面将球体展开。
2. 形成球冠和圆盘我们可以看到，切割后的球体被分成许多球冠和圆盘。
球冠是由球的表面和两个切割面构成的部分，圆盘是由两个切割面和球的表面构成的部分。
3. 计算球冠的体积对于一个球冠，它的体积可以通过计算一个圆台的体积得出。
圆台的体积公式为：Vc = (1/3)π(h^2)(R + r)其中，Vc表示球冠的体积，h表示球冠的高度，R表示球冠的大半径，r表示球冠的小半径。
4. 计算圆盘的面积对于一个圆盘，它的面积可以通过计算一个矩形的面积得出。
矩形的面积公式为：Ac = 2πr * h其中，Ac表示圆盘的面积，r表示圆盘的半径，h表示圆盘的周长。
5. 求和计算球体的体积将所有球冠的体积相加，可以得到整个球体的体积。
同理，将所有圆盘的面积相加，可以得到整个球体的表面积。
V = Vc1 + Vc2 + Vc3 + ... + VcnA = Ac1 + Ac2 + Ac3 + ... + Acn三、结论与应用通过上述的推导过程，我们可以得出一个结论：球体的体积与表面积之间存在着特殊的关系。
球体体积和表面积的公式
球体体积和表面积的公式球体是一种几何体，具有独特的性质和特征。
在数学中，对于球体的体积和表面积有着严格的计算公式。
本文将对球体的体积和表面积进行介绍，并详细解释其计算公式。
一、球体的体积公式球体的体积是指球体所占据的空间大小。
我们可以通过计算球体的体积来了解其大小和容量。
球体的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示球体的半径。
通过这个公式，我们可以方便地计算出球体的体积。
例如，如果一个球体的半径r为5厘米，则可以使用上述公式计算出其体积V为(4/3)π(5³) ≈ 523.6立方厘米。
二、球体的表面积公式球体的表面积是指球体外部的总面积。
我们可以通过计算球体的表面积来了解其外部曲面的大小和形状。
球体的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球体的表面积，π是一个数学常数，约等于 3.14159，r表示球体的半径。
通过这个公式，我们可以方便地计算出球体的表面积。
例如，如果一个球体的半径r为5厘米，则可以使用上述公式计算出其表面积A为4π(5²) ≈ 314.16平方厘米。
三、球体的体积和表面积的关系通过球体的体积公式和表面积公式，我们可以看出，球体的体积和表面积之间存在一定的关系。
具体而言，当半径r固定时，球体的体积和表面积是不同的。
体积与r³成正比，而表面积与r²成正比。
这意味着，当半径增大时，球体的体积和表面积都会增大；当半径减小时，球体的体积和表面积都会减小。
这一关系可以通过计算公式得到验证。
四、应用举例球体的体积和表面积公式在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些具体的举例：1. 建筑领域：在建筑设计中，设计师需要计算球形穹顶的体积和表面积，以确保其结构的稳定性和合理性。
2. 化学实验：在化学实验中，需要计算球形试剂瓶中所装液体的体积，以便准确调配实验药液。
球的面积体积计算公式
球的面积体积计算公式
球体积计算公式：
球体积公式为V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π是圆周率（3.1415926...），r 是球半径。
解释：球体积指球所占据的空间大小，其计算公式基于球的三维形状和尺寸，通过将球的体积公式中球半径r代入计算，可以得到球的体积。
球表面积计算公式：
球表面积公式为S = 4πr²，其中S表示表面积，π是圆周率（3.1415926...），r 是球半径。
解释：球表面积指球体表面所覆盖的面积大小，其计算公式基于球的三维形状和尺寸，通过将球的表面积公式中球半径r代入计算，可以得到球的表面积。
球体的表面积和体积
球体的表面积和体积
1.球的表面积公式
半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R 的二次方）
球的表面积计算公式推导过程：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份，每份等高，并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径，则从下到上第k个类似圆台的侧面积：S（k）=2πr（k）×h，其中r（k）=√[R^2-（kh）^2]，S （k）=2πr（k）h=（2πR^2）/n，则S=S（1）+S（2）+S（n）=2πR^2；乘以2就是整个球的表面积4πR^2.
2.球的体积公式
球体体积公式是V=（4/3）πr^3，一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径，球体有且只有一个连续曲面的立体图形。
球的体积公式推导过程：欲证v=4/3×πr^3，可证1/2v=2/3×πr^3.做一个半球h=r，做一个圆柱h=r。
V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3.。
球体表面积和体积公式
球体表面积和体积公式球体是一个非常常见的几何形状，它具有许多独特的性质和特征。
在这篇文章中，我们将重点介绍球体的表面积和体积公式，以及它们的应用。
一、球体的表面积公式球体的表面积是指球体外部所有点的集合所形成的曲面的总面积。
球体表面积的计算公式如下：S = 4πr^2其中，S表示球体的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r是球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的表面元素，并对每个表面元素的面积进行累加得到。
然而，在这里我们不会对公式的推导过程进行详细讲解。
二、球体的体积公式球体的体积是指球体内部所有点的集合所形成的空间的总体积。
球体体积的计算公式如下：V = (4/3)πr^3其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 是球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的体积元素，并对每个体积元素的体积进行累加得到。
同样，在这里我们不会对公式的推导过程进行详细讲解。
三、球体表面积和体积的应用球体的表面积和体积公式在许多领域都有着广泛的应用。
1. 建筑工程：在建筑设计中，球体的表面积公式可以用于计算建筑物的外墙面积，从而确定建筑材料的使用量。
而球体的体积公式则可以用于计算建筑物内部空间的容积，从而确定建筑物的可使用面积。
2. 包装设计：在包装设计中，球体的表面积公式可以用于计算圆形容器的外表面积，从而确定包装纸的大小。
而球体的体积公式则可以用于计算圆形容器的容积，从而确定包装物的容量。
3. 天文学：在天文学中，球体的表面积公式可以用于计算恒星的表面积，从而确定恒星的辐射能力。
而球体的体积公式则可以用于计算行星的体积，从而确定行星的质量。
4. 地理学：在地理学中，球体的表面积公式可以用于计算地球的表面积，从而确定地球的大小。
而球体的体积公式则可以用于计算地球的体积，从而确定地球的体积。
除了上述应用领域，球体的表面积和体积公式还可以在数学、物理、化学等学科中找到许多其他的应用。
球体表面积与体积公式
球体表面积与体积公式
一、球体表面积公式。
1. 公式内容。
- 设球的半径为r，球的表面积公式为S = 4π r^2。
2. 推导思路（简单介绍）
- 可以通过极限的思想，将球体看作是由无数个小的棱锥组成，这些棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上。
当这些棱锥的底面足够小时，棱锥的高近似等于球的半径r。
设球的表面积为S，根据棱锥的体积公式V=(1)/(3)Sh（这里S是棱锥的底面积，h是棱锥的高），对于组成球体的这些小棱锥，总体积V=(1)/(3)rS。
同时，我们知道球体的体积公式V = (4)/(3)π r^3，通过等式(1)/(3)rS=(4)/(3)π r^3，可以推导出S = 4π r^2。
二、球体体积公式。
1. 公式内容。
- 设球的半径为r，球的体积公式为V=(4)/(3)π r^3。
2. 推导思路（简单介绍）
- 一种推导方法是使用定积分。
我们可以把球看作是由半圆y=√(r^2)-x^{2}绕x轴旋转一周所形成的旋转体。
根据旋转体体积的定积分公式V=π∫_ - r^ry^2dx，将
y=√(r^2)-x^{2}代入可得：
- V=π∫_ - r^r(r^2-x^2)dx=π<=ft(r^2x-(1)/(3)x^3)big_ - r^r
- 计算可得V=(4)/(3)π r^3。
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3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于 正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这 三个球的体积之比_1_:_2_2_:_3_3__.
练习二
课堂练习
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3, 5，, 15
则它的外接球的表面积为___9__.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,
①V 4 R 3 3
②S 4R 2
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用；
熟练掌握球的体积、表面积公式：
①V 4 R 3 3
②S 4R 2
A
17
退出
O
OO R,ABC是正三角
2
A
C
O
OA2 3AB 23r
B
32
3
A
11
例题讲解
例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等
于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面
积．
解 R O ： O A t中 , O 在 2 O A O 2 O A 2 ,
R2 (R)2 (2 3)2,
1 3R (S iS 2S 3.. .S n)1 3RS
又球的体积V为 4： R3
3
4R 31R,S 从S 而 4 R 2
3
A3
10
例题讲解
例1:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9[4(5)34x3]142
32 3
x3(5 2)37 1 .9 4 43 21.1 3
由计算器算得: x2.24
2x4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
A
6
二.球的表面积
o
ΔS i
o
A
7
球的表面积
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
第
S 1 ， S 2 ， S 3, ,S n
A
3
球的体积
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2,,n n
V ir i2R n R n 3[1 (i n 1 )2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半 球 V 1V 2V n
R n3[n1222 n2(n1)2]
R 3 1(n1)n(2n1)
n[nn2
] 6
R 3[1n 1 2(n1)6 2 (n1)]
一
步： 分
O
则球的表面积：
S S 1 S 2 S 3 S n
割
设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积为 Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V 1V 2V 3 V n
A
8
球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O
O
Vi
Vi 13Sihi
由第一步得：
V V 1 V 2 V 3 V n
R
4 3
2
.
3
V3 4π3R 3 4π3 4( )32851 π 6 ;A
S4R2416 64 .
9 A9
O C
O
B
12
例题讲解
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它 的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心 对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与 球的直径相等。
A
4
球的体积
(11)(21)
V半 球 R3[1
n
n]
6
当 n 时 , 1 0. n
V 半球
2 R 3
3
从而 V 4 R 3 .
3
定理：R 半 的径 球是 的体 V 积 4R 为 3 ：
3
A
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题讲解
例1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
A
1
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积？
分割 A
求近似和
化为准确和
极限的思想
A
O
C2
O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2, n
A
2
一.球的体积
A
ri
O
R (i 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面半的径：
r i R2[R n( i1 ) 2, i ]1 ,2,n .
1
1
1
1
V 3S 1h 1 3S 2h 2 3S 3h 3 3S nh n
A
9
球的表面积
第
如果网格分的越细,则:
三 步： 化 为
Si
hi
Vi
“小锥体”就越接近小棱锥
hi的 值 就 趋 向 于 球 的 半R径
Vi 13SiR
准 确
Si
R
和
O Vi
V 1 3S iR 1 3S 2R 1 3S 3R 1 3S n R
略解： Rt B 1 D 1 D 中 :
(2R )2 a 2 ( 2a)2,得
R 3a 2
S 4R 2 3a 2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
则两球的直径之差为_____4_.
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是___1_2__3 .3
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：