2.2.2对数函数及其性质
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2.2.2对数函数及其性质
2.2.2对数函数及其性质（第一课时）一、教材分析：1、对数函数及其性质为必修内容，而且对数函数及其相关知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。
2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的，是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。
3、对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础。
4、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。
5、学生容易忽视函数的定义域，在进行对数函数定义教学时要结合指数式来强调对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为（0， ）的理解。
在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质是本节课的教学重点，而理解底数a的值对函数值变化的影响是教学的一个难点，教学时要充分利用图像，数形结合，帮助学生理解。
二、教学设计：三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）理解对数函数定义；掌握对数函数的图像和性质及其简单的应用。
（2）通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系;通过具体的函数图像结合认识对数函数的图像特征，模拟指数函数的研究得出对数函数的性质。
2、过程与方法：采用师生共同讨论法来充分调动学生积极性。
通过对对数函数内容的学习,渗透数形结合的数学思想和经历从特殊到一般的过程;3、情感态度与价值观：在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力四、教学重、难点重点：理解掌握对数函数的概念与性质；难点：对数函数的图像和性质与底数的关系；五、教学用具：三角板、黑板六、教学方法：启发式讲解法七、教学过程2log y x =4log y x = log y =。
2.2.2对数函数及其性质1
质
x>1时, y>0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
例1：求下列函数的定义域： （1）y=logax2 ; （2）y=loga(4-x).
分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为 （0，+∞）求解.
解 （1）由x2>0 得x≠0， ∴函数y=logax2的定义域是 {x│x≠0}. （2）由4-x>0 得x<4，
(2)真数位置是自变量x，且x的系数是1，x>0；
(3)logax的系数是1.
常用对数函数与自然对数函数
(1).常用对数函数：以10为底的对数函数
常用对数函数；
y lg x 为
(2).自然对数函数：以无理数
e 为底的对数函数
y ln x
为自然对数函数.
探索研究：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
首先想到要做什么？
要使函数有意义
依据： (1)若a 1,loga m loga n m n 0
(2)若0 a 1,loga m loga n 0 m n
[典例3]
(1)解方程：log2(x2－2x－3)＝log2(x＋1)；
[思路点拨] 首先注意定义域的问题，然后解方程．
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸 值 域 :
R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是：增函数
探索发现:认真观察 函数 y log 1 x
2
y 2 1 11
42
的图象填写下表
图象特征
0 -1 -2
1 2 3 4
必修一2.2.2对数函数及其性质
a
(a > 0且a ≠ 1)
y 2 1
0
11 42
y log2 x
y log3 x
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
底 大 图 低
-1 -2
3
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越小
由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y
logc x logd x
1
loga x logb x
注意： 1、对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，
2、对数函数对底数的限制：
(a 0
且
a 1)
判断是不是对数函数
(2) y log2 ( x 2)
x (1) y log 5 5
哈哈 ，我们都不是对数函数
（×） （×）
你答对了吗？？？
(3) y 2 log5 x （×）
x
-1
-2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
猜猜: 对数函数 y 2 1
0
y log3 x和y log1 x 的图象。
y log2 x
3
y log3 x
11 42
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
-1 -2
3
y = loga x与y = log 1 x关于x轴对称
与轴交点（1,0）
图象向上、向下无限延伸
定点（1,0）
值 域 :
R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
2.对数函数的图象和性质
a>1
(a > 0且a ≠ 1)
y 2 1
0
11 42
y log2 x
y log3 x
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
底 大 图 低
-1 -2
3
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越小
由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y
logc x logd x
1
loga x logb x
注意： 1、对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，
2、对数函数对底数的限制：
(a 0
且
a 1)
判断是不是对数函数
(2) y log2 ( x 2)
x (1) y log 5 5
哈哈 ，我们都不是对数函数
（×） （×）
你答对了吗？？？
(3) y 2 log5 x （×）
x
-1
-2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
猜猜: 对数函数 y 2 1
0
y log3 x和y log1 x 的图象。
y log2 x
3
y log3 x
11 42
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
-1 -2
3
y = loga x与y = log 1 x关于x轴对称
与轴交点（1,0）
图象向上、向下无限延伸
定点（1,0）
值 域 :
R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
2.对数函数的图象和性质
a>1
2.2.2对数函数及其性质1
对数函数及其性质
学习目标：
1.理解对数函数的含义，认识对数函数与指数函数的 关系；
2.类比指数函数的性质探究过程，用同样的方法探究对 数函数图像及其性质，并能再具体实例中指出其性质；
3.提高归纳演绎能力.
【导入】
一、创设情景，引入概念
某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第1次分裂后 变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，…，问：经过多少次分裂以后，变
成 y 个细胞？ 解：设通过 x 次分裂以后，变成 y 个细胞，则
y 2x
解得
x log2 y
所以，通过log2 y 次分裂以后，变成 y 个细胞。
【导入】
一、创设情景，引入概念
已知函数 y 2x ：
x R, y (0, )
1. 反解 x ： x log2 y x R, y (0, )
2. x, y 互换： y log2 x x (0, ), y R
3. 定义域： (0, )
二、对数函数的定义
一般地，我们把函数 y = loga x a 0且a 1 叫做对数函数，其中
x 是自变量，函数的定义域是 0， .
三、对数函数的图象与性质
【学习新知】
对数函数的图像和性质 y = loga x a 0且a 1
五、课堂小结
谈谈这节课你的收获？
【小结】
【学习新知】
a 的范围
0 a 1
a 1
图像
定义域
(0, )
值域
R
定点
(1, 0)
单调性
在（0,）单调递减
在（0,）单调递增
奇偶性 函数值的变化范围
非奇非偶函数
当 0 x 1时，y 0 当 x 1 时，y 0
学习目标：
1.理解对数函数的含义，认识对数函数与指数函数的 关系；
2.类比指数函数的性质探究过程，用同样的方法探究对 数函数图像及其性质，并能再具体实例中指出其性质；
3.提高归纳演绎能力.
【导入】
一、创设情景，引入概念
某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第1次分裂后 变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，…，问：经过多少次分裂以后，变
成 y 个细胞？ 解：设通过 x 次分裂以后，变成 y 个细胞，则
y 2x
解得
x log2 y
所以，通过log2 y 次分裂以后，变成 y 个细胞。
【导入】
一、创设情景，引入概念
已知函数 y 2x ：
x R, y (0, )
1. 反解 x ： x log2 y x R, y (0, )
2. x, y 互换： y log2 x x (0, ), y R
3. 定义域： (0, )
二、对数函数的定义
一般地，我们把函数 y = loga x a 0且a 1 叫做对数函数，其中
x 是自变量，函数的定义域是 0， .
三、对数函数的图象与性质
【学习新知】
对数函数的图像和性质 y = loga x a 0且a 1
五、课堂小结
谈谈这节课你的收获？
【小结】
【学习新知】
a 的范围
0 a 1
a 1
图像
定义域
(0, )
值域
R
定点
(1, 0)
单调性
在（0,）单调递减
在（0,）单调递增
奇偶性 函数值的变化范围
非奇非偶函数
当 0 x 1时，y 0 当 x 1 时，y 0
【高中数学必修一】2.2.2对数函数及其性质
5 5
1 例4. 比较log23和 log 3 两个值的大小。 2
1 若把 log 3 改为 log 3 2呢？ 2
钥匙：底真都不同，利用中间数法。
1.课堂作业：
阅读教材73页有关反函数的 概念，并理解反函数的概念。
2.课后自主学习：
阅读并掌握教材72页，例9
小结：两个对数比较大小
（一）底同真不同比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断； 2.当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。 （二）真同底不同及底真都不同比较大小
法二:
log2 5 log7 5
l og2 5 l og7 5
1 log 5 2 1 log 5 7
log2 5 log7 5
0
y
y log2 x
y log7 x
1
x
图象法
法三:
x5
又 0 log5 2 log5 7 倒数公式 钥匙：1 真同底不同，利用中间数法、 1 log 2 log 7 log2 5 log7 5 图象法或倒数公式
引入新知
1.定义： 形如
y loga x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，定义
域为 （0，+）
在同一坐标系中，用描点法画出图象
y log2 x
y log 1 x
2
2.图象
y
x
1 2
y log2 x y log 1 x
2
y log2 x
4 3 1 A. 3 , , , 3 5 10
4 C. , 3
4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5
1 3 3, , 10 5
1 例4. 比较log23和 log 3 两个值的大小。 2
1 若把 log 3 改为 log 3 2呢？ 2
钥匙：底真都不同，利用中间数法。
1.课堂作业：
阅读教材73页有关反函数的 概念，并理解反函数的概念。
2.课后自主学习：
阅读并掌握教材72页，例9
小结：两个对数比较大小
（一）底同真不同比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断； 2.当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。 （二）真同底不同及底真都不同比较大小
法二:
log2 5 log7 5
l og2 5 l og7 5
1 log 5 2 1 log 5 7
log2 5 log7 5
0
y
y log2 x
y log7 x
1
x
图象法
法三:
x5
又 0 log5 2 log5 7 倒数公式 钥匙：1 真同底不同，利用中间数法、 1 log 2 log 7 log2 5 log7 5 图象法或倒数公式
引入新知
1.定义： 形如
y loga x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，定义
域为 （0，+）
在同一坐标系中，用描点法画出图象
y log2 x
y log 1 x
2
2.图象
y
x
1 2
y log2 x y log 1 x
2
y log2 x
4 3 1 A. 3 , , , 3 5 10
4 C. , 3
4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5
1 3 3, , 10 5
2.2.2 对数函数及其性质 (1)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
二、对数函数的图像
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
图象与性质
x y 3log 5. 2 5
2. y=log(x-1)x 4.y=lnx
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
2 解（1）因为 x 0
（2）因为 4 x 0 所以函数的定义域为
所以函数的定义域为
{x x 0}
{x x 4}
a N
b
，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时， 由1个分裂成2个，2个分裂成4个，· · ·，1个这样的细 胞分裂x次会得到多少个细胞？
y2
x
如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次 数x呢？ 由对数式与指数式的互化可知：
当x=1时，总有loga1=0
a 1且0 x 1时， loga x 0
o
x 1
o
图象
x
(0, )
R
y
y loga （ x a>1）
a>1
y
y loga （ x 0<a<1）
(1,0)
0<a<1
(1,0)
x 1
x
定义域
值域 定点 单调性
2.2.2 对数函数及其性质
3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它 例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示： 函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质 如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。
2.2.2 第一课时对数函数及其性质
(
)
x－1>0， 解析：由题意得 解得 2－x>0.
1<x<2.
答案：B
3．求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1＋x)； (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝ log2x； (4)y＝ log0.5（4x＋3）. 3
3．求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1＋x)；
大，图象向右越靠近x轴；0<a<1时，a越小，图象向
右越靠近x 轴． (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的 横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
答案：[1，2]
[例3] 求函数y＝log2(x2－4x＋6)的值域．
[思路点拨] 先确定真数的取值范围，再运用对数函数的单调
性求解．
解: ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2， 又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数， ∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)．
[一点通] 解决与对数函数有关的定义域问题时，经常 需要考虑的问题 1 (1) 中 f(x)≠0； f（x） (2) 2n f（x）(n∈N*)中 f(x)≥0；
(3)logaf(x)(a>0，且 a≠1)中 f(x)>0； (4)logf(x)a 中 f(x)>0 且 f(x)≠1； (5)[f(x)]0 中 f(x)≠0； (6)实际应用问题中自变量的取值要有实际意义．
8．求下列函数的值域： (1)y＝log2(x ＋4)； (2)y＝log1(3＋2x－x )．
2
2
2
(2)设 u＝3＋2x－x2，则 u＝－(x－1)2＋4≤4.
2＋4)的定义域为R. 解：(1) y ＝ log ( x ∵u >0 ， ∴ 0 ＜ u≤4. 2 2＋4)≥log 又 y＝ log1u 在 (0 ，＋ ∞)上是减函数， ∵ x 2＋ 4≥4 ，∴ log ( x 2 24＝2.
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2.2.2对数函数及其性质
问题提出
1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服， 若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗 次数y与残留污垢x的关系式.
2.y log 1 x （x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
对数函数的定义：
一般地，我们把函数y=logax （ a＞0,且 a≠l ）叫做对数函数，其中x是自变量，函 数的定义域为（0，+∞）
思考？ 为什么在对数函数中要求a＞0，且a≠l？
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的 思路，提出研究对数函数性质的内容和方 法吗？
研究内容：定义域、值域（最大或最小值）、关键点、 特征线、单调性、奇偶性等 探索研究：
在同一坐标系内，画出下列函数的图像： 1.y=log2x ，2. y=log1/2x， 3. y=log3x ，4. y=log1/3x
(3)
y ln(16 4 . )
x
数f(x)的定义域，并确定其奇偶性.
1 x 例2 已知函数 f ( x) log 2 , 求函 1 x
例3 求下列函数的定义域、值域：
(1) y＝ 1 log3 ( x 1)；
(2) y＝log2(x2＋2x＋5).
例4 比较下列各组数中的两个值的大小：
0
x
1
y=log1/3x
y=log1/2x
对数函数
y=logax(a>0,a≠1)
y
a>1
y
0<a<1
x x
O 1
图像 定义域 值域 过定点 单调性 取值范围 图像特征
O
1
(0,+∞) R (1,0) 增函数
y0 x 1, 0 x 1, y 0
减函数
y0 x 1, 0 x 1, y 0
若函数为f(x)=2x,则上述成立的有
②③⑥
；
若函数为f(x)=log1/2x,则上述成立的有 ①④⑤
。
问题提出
思考1:设a＞0，且a≠1为常数， .若以 t为自变量可得指数函数y＝ax，若以s为自 变量可得对数函数y＝logax. 这两个函数之 间的关系如何进一步进行数学解释？
x
思考2:设 2 y ，分别x、y为自变量可以 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
（1）log23.4，log28.5 ；
（2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1); （4）log75，log67. （5） log212，log575 .
做一做
1.教材P73
2 、3
1 1 2.已知 log a log b 0,则下列关系正确的是( ) 2 2
1 1 log a logb log a b b b
4.设a,b,c均为正数，且满足
a
1 b 1 c 2 log 1 a, ( ) log 1 b, ( ) log 2 c 2 2 2 2
a<b<c 。
则a,b,c大小关系为
图像，估算法(分析法的威力！)
5.若x (e ,1), a ln x, b 2ln x, c ln x, 则a,b,c 大小关系为 b<a<c 。
例1 若点P（1，2）同时在函数y＝ ax b 及其反函数的图象上，求a、b 的值.
例2 已知函数 f ( x) log 2 (1 2 ). （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x
18.对于函数f(x),有下列六个命题：
①f(x1x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x1+x2)=f(x1)f(x2);
③
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ⑤f ( ) ; 2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) ; ⑥ f( 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0; ④ 0; x1 x2 x1 x2
log a ( x 2 x ) 的定义域为
2
。
11.求函数 f ( x) log 1 (2 x x )的定义域、值域、单调 2 区间。 函数问题注意：定义域先行!!!主要是对数、分母、 偶次根式、零次幂和题目规定的定义域！ 12.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]. 5
1.函数y=logax与y=log1/ax的图像关于x轴对称；2.函数 y=logax的图像与直线y=1的交点横坐标为底数a，即在第 一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变 大；3.对数函数图像以y轴为渐近线。
例1 求下列函数的定义域：
(1) y＝log0.5|x+1| ;
(2) y＝log2(4－x) ;
2
13.若函数f(x)=loga(2-ax)在(3,4)上为增函数，则实数a 的取值范围为 0<a≤1/2 。 14.已知函数 y loga2 ( x 2ax 3)在(-∞,-2)上是增 函数，求a的取值范围。 [ 1 , 0) (0,1)
2
a ，或a 1 ①若f(x)定义域为R,求实数a的取值范围； 3 5 ②若f(x)值域为R,求实数a的取值范围。 1 a 3
我们把具有上述特征的两个函数互称为 反函数. 一般地，对数函数y=logax与指数函数 y=ax （ a＞0,且a≠l ）互为反函数.
思考？一般地，原函数与反函数的定义域、 值域有什么关系？函数图象之间有什么关系？ 单调性有什么关系？
y=ax
图象 定义域 值域 性质
y
1 0
(a>1)
x
y=logax(a>1)
y 0
1
x
R
(0, )
R
当 x >1 时 y >0 ； 当0<x<1时y<0； 当x=1时y=0； 在R上是减函数.
(0, )
当 x >0 时 y >1 ； 当 x <0 时 0 <y <1 ； 当x=0时y=1； 在R上是增函数.
图象之间的关系：
对数函数y=logax与指数函数y=ax （ a＞0, 且a≠l ）的图象关于直线y=x对称；即点 （a,b）在原函数图象上，那么点（b,a） 一定在其反函数图象上.
x y=log2x
… 1/8 1/4 1/2 … -3 3 -2 2 -1 1
1 0 0
2 1 -1
4 2
8 3
… …
y=log1/2x …
-2 -3 …
请在同一坐标系中作出函数y=log3x的图像，并观 察、比较、分析异同点，概括出一般对数函数的图 像特征与函数性质。
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=log2x
y=log3x
A.1<a<b B.1<b<a C.0<a<b<1 D.0<b<a<1 A
3.试比较下列各数大小关系： ①a=3/2, b=log1/21/3, c=log47; ② a 2 , b log 3, c log2 0.7.
0.5
c<a<b c<b<a
1 1 ③已知0<a<1,b>1,ab>1,则 log a , log a b, log b 的大 b b 小关系为 。
4
15.判断下列函数的奇偶性：
1 x ① f ( x ) lg 1 x
奇函数
2 f ( x ) lg( x 1 x) ②
奇函数
16.若函数 R上的奇函数，则实数a= ±1 ,b=
3
f ( x) lg( x2 2 ax) lg b是定义在
2 .
2
17.如果函数 f ( x) ax b lg( x x 1) 2在 (0,+∞)上有最小值-5，a,b为常数，那么函数f(x)在 (0,+∞)上有最 大值为 9 。
3 1
6.函数 y
0<a<1时，定义域为 [1
2,0) (2,1 2] a>1时，定义域为 （ ， 1 2] [1 2, )
7.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图像上 任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的 图像. ①写出函数g(x)的解析式；g(x)=loga(1-x) ②当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x) ≥m成立，求m的取值 范围。 m≤0 9.函数f(x)=log2(x+4)-3x有 2 个零点？ 10.已知函数f(x)=|lgx|,且0<a<b<c,若f(b)<f(a)<f(c),则( B) A.ac=1 B.ac>1 C.0<ac<1 D.以上都有可能
问题提出
1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服， 若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗 次数y与残留污垢x的关系式.
2.y log 1 x （x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
对数函数的定义：
一般地，我们把函数y=logax （ a＞0,且 a≠l ）叫做对数函数，其中x是自变量，函 数的定义域为（0，+∞）
思考？ 为什么在对数函数中要求a＞0，且a≠l？
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的 思路，提出研究对数函数性质的内容和方 法吗？
研究内容：定义域、值域（最大或最小值）、关键点、 特征线、单调性、奇偶性等 探索研究：
在同一坐标系内，画出下列函数的图像： 1.y=log2x ，2. y=log1/2x， 3. y=log3x ，4. y=log1/3x
(3)
y ln(16 4 . )
x
数f(x)的定义域，并确定其奇偶性.
1 x 例2 已知函数 f ( x) log 2 , 求函 1 x
例3 求下列函数的定义域、值域：
(1) y＝ 1 log3 ( x 1)；
(2) y＝log2(x2＋2x＋5).
例4 比较下列各组数中的两个值的大小：
0
x
1
y=log1/3x
y=log1/2x
对数函数
y=logax(a>0,a≠1)
y
a>1
y
0<a<1
x x
O 1
图像 定义域 值域 过定点 单调性 取值范围 图像特征
O
1
(0,+∞) R (1,0) 增函数
y0 x 1, 0 x 1, y 0
减函数
y0 x 1, 0 x 1, y 0
若函数为f(x)=2x,则上述成立的有
②③⑥
；
若函数为f(x)=log1/2x,则上述成立的有 ①④⑤
。
问题提出
思考1:设a＞0，且a≠1为常数， .若以 t为自变量可得指数函数y＝ax，若以s为自 变量可得对数函数y＝logax. 这两个函数之 间的关系如何进一步进行数学解释？
x
思考2:设 2 y ，分别x、y为自变量可以 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
（1）log23.4，log28.5 ；
（2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1); （4）log75，log67. （5） log212，log575 .
做一做
1.教材P73
2 、3
1 1 2.已知 log a log b 0,则下列关系正确的是( ) 2 2
1 1 log a logb log a b b b
4.设a,b,c均为正数，且满足
a
1 b 1 c 2 log 1 a, ( ) log 1 b, ( ) log 2 c 2 2 2 2
a<b<c 。
则a,b,c大小关系为
图像，估算法(分析法的威力！)
5.若x (e ,1), a ln x, b 2ln x, c ln x, 则a,b,c 大小关系为 b<a<c 。
例1 若点P（1，2）同时在函数y＝ ax b 及其反函数的图象上，求a、b 的值.
例2 已知函数 f ( x) log 2 (1 2 ). （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x
18.对于函数f(x),有下列六个命题：
①f(x1x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x1+x2)=f(x1)f(x2);
③
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ⑤f ( ) ; 2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) ; ⑥ f( 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0; ④ 0; x1 x2 x1 x2
log a ( x 2 x ) 的定义域为
2
。
11.求函数 f ( x) log 1 (2 x x )的定义域、值域、单调 2 区间。 函数问题注意：定义域先行!!!主要是对数、分母、 偶次根式、零次幂和题目规定的定义域！ 12.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]. 5
1.函数y=logax与y=log1/ax的图像关于x轴对称；2.函数 y=logax的图像与直线y=1的交点横坐标为底数a，即在第 一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变 大；3.对数函数图像以y轴为渐近线。
例1 求下列函数的定义域：
(1) y＝log0.5|x+1| ;
(2) y＝log2(4－x) ;
2
13.若函数f(x)=loga(2-ax)在(3,4)上为增函数，则实数a 的取值范围为 0<a≤1/2 。 14.已知函数 y loga2 ( x 2ax 3)在(-∞,-2)上是增 函数，求a的取值范围。 [ 1 , 0) (0,1)
2
a ，或a 1 ①若f(x)定义域为R,求实数a的取值范围； 3 5 ②若f(x)值域为R,求实数a的取值范围。 1 a 3
我们把具有上述特征的两个函数互称为 反函数. 一般地，对数函数y=logax与指数函数 y=ax （ a＞0,且a≠l ）互为反函数.
思考？一般地，原函数与反函数的定义域、 值域有什么关系？函数图象之间有什么关系？ 单调性有什么关系？
y=ax
图象 定义域 值域 性质
y
1 0
(a>1)
x
y=logax(a>1)
y 0
1
x
R
(0, )
R
当 x >1 时 y >0 ； 当0<x<1时y<0； 当x=1时y=0； 在R上是减函数.
(0, )
当 x >0 时 y >1 ； 当 x <0 时 0 <y <1 ； 当x=0时y=1； 在R上是增函数.
图象之间的关系：
对数函数y=logax与指数函数y=ax （ a＞0, 且a≠l ）的图象关于直线y=x对称；即点 （a,b）在原函数图象上，那么点（b,a） 一定在其反函数图象上.
x y=log2x
… 1/8 1/4 1/2 … -3 3 -2 2 -1 1
1 0 0
2 1 -1
4 2
8 3
… …
y=log1/2x …
-2 -3 …
请在同一坐标系中作出函数y=log3x的图像，并观 察、比较、分析异同点，概括出一般对数函数的图 像特征与函数性质。
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=log2x
y=log3x
A.1<a<b B.1<b<a C.0<a<b<1 D.0<b<a<1 A
3.试比较下列各数大小关系： ①a=3/2, b=log1/21/3, c=log47; ② a 2 , b log 3, c log2 0.7.
0.5
c<a<b c<b<a
1 1 ③已知0<a<1,b>1,ab>1,则 log a , log a b, log b 的大 b b 小关系为 。
4
15.判断下列函数的奇偶性：
1 x ① f ( x ) lg 1 x
奇函数
2 f ( x ) lg( x 1 x) ②
奇函数
16.若函数 R上的奇函数，则实数a= ±1 ,b=
3
f ( x) lg( x2 2 ax) lg b是定义在
2 .
2
17.如果函数 f ( x) ax b lg( x x 1) 2在 (0,+∞)上有最小值-5，a,b为常数，那么函数f(x)在 (0,+∞)上有最 大值为 9 。
3 1
6.函数 y
0<a<1时，定义域为 [1
2,0) (2,1 2] a>1时，定义域为 （ ， 1 2] [1 2, )
7.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图像上 任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的 图像. ①写出函数g(x)的解析式；g(x)=loga(1-x) ②当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x) ≥m成立，求m的取值 范围。 m≤0 9.函数f(x)=log2(x+4)-3x有 2 个零点？ 10.已知函数f(x)=|lgx|,且0<a<b<c,若f(b)<f(a)<f(c),则( B) A.ac=1 B.ac>1 C.0<ac<1 D.以上都有可能