第二章实数期末复习
北师版八上数学第二章实数60题(含答案) 常考题型总结(全)
第二章实数常考题型总结（全）一．选择题（共23小题）1．在下列实数3.1415926，，，，，中无理数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列计算正确的是（）A．﹣＝﹣4B．＝﹣3C．D．＝﹣4 3．如图，OA＝OB，BD＝1，则数轴上点A所表示的数为（）A．B．C．D．4．若﹣，且x是整数，则满足条件的x值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x＝81时，输出的y等于（）A．2B．3C．D．6．下列说法错误的是（）A．﹣8的立方根是﹣2B．3的平方根是±C．﹣的相反数是D．|1﹣|＝1﹣7．下列说法中正确的是（）A．的平方根是±9B．﹣5的立方根是﹣C．的平方根是D．﹣9没有立方根8．如图，在数轴上表示的点在哪两个字母之间（）A．B与C B．A与B C．A与C D．C与D9．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．10．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（）A．0B．正实数C．0和1D．111．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（）A．x≤2B．x＜2C．x≤﹣2D．x＜﹣212．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12 13．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（）A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b14．下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（）A．B．C．D．15．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25B．7C．25或7D．25或1616．化简二次根式（a＜0）得（）A．B．﹣C．D．﹣17．的整数部分是a，小数部分是b，a﹣b的小数部分是（）A．7﹣B．8﹣C．﹣7D．﹣818．的相反数是（）A．B．C．D．19．下列各数中，与﹣3的乘积是有理数的是（）A．+3B．﹣3C．3﹣D．20．估算的值应在（）A．6.0～6.5之间B．6.5～7.0之间C．7.0～7.5之间D．7.5～8.0之间21．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．72B．52C．80D．7622．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC23．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞“，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF 的面积为28，S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A′F′＝90°，则四边形B′C′E′F′的面积为（）A．16B．20C．22D．24二．填空题（共22小题）24．请写出一个大于且小于的整数：．25．计算：＝．26．请举例说明：“存在两个不同的无理数，它们的积是整数”．举例如下：．27．计算：＝．28．化简：﹣＝．29．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值是．30．（﹣2）2的算术平方根是．31．若x、y为实数，且满足|2x+3|+＝0，则xy的立方根为．32．||＝．33．比较大小：﹣﹣4．34．估计与0.5的大小关系是：0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）35．9的算术平方根是．36．的算术平方根是，的立方根是，﹣2绝对值是，平方根是．37．在如图所示的数轴上，点B与点C关于A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C对应的实数为．38．如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是．39．已知x，y为实数，且，则＝．40．比较大小：1（填“＞”、“＜”或“＝”）．41．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后．42．比较大小：．43．的平方根为．44．一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C和A在数轴上的位置表示的实数为﹣1和1．那么当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是．45．如果a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是．三．解答题（共15小题）46．计算：+（﹣2）2﹣÷．47．计算：（﹣）×．48．计算：（1）2﹣+3；（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）249．计算：（1）（2）50．计算题：（1）﹣（﹣）2﹣|﹣|；（2）（﹣2）×﹣651．已知10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的算术平方根．52．（1）请在数轴上用尺规作图作出﹣的对应的点（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法．（将下列符合的选项序号填在横线上）A、数形结合；B、代入；C、换元；D、归纳．53．计算：（1）（2）（3）54．（1）+﹣2（2）﹣4+3（3）（﹣2）2﹣（+2）（2﹣）．55．已知x＝+1，y＝﹣1，求x2+xy+y2的值．56．计算：（1）．（2）．57．计算：（1）；（2）（3﹣2+）÷2．58．计算：（1）×﹣（+）（）；（2）÷﹣×+．59．计算：（1）++（﹣）﹣1；（2）﹣+．60．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．2022年10月23日182****0572的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．在下列实数3.1415926，，，，，中无理数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：在所列的6个数中，无理数有，这2个，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．下列计算正确的是（）A．﹣＝﹣4B．＝﹣3C．D．＝﹣4【分析】依据平方根、立方根的定义求解即可．【解答】解：A、﹣＝﹣4，故A正确；B、＝＝3，故B错误；C、与不能加减，故C错误；D、＝，故D错误．故选：A．【点评】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．3．如图，OA＝OB，BD＝1，则数轴上点A所表示的数为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据圆的半径相等，可得OA的长．【解答】解：由勾股定理，得OB＝＝，由圆的半径相等，得OA＝，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出OB的长是解题关键．4．若﹣，且x是整数，则满足条件的x值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】先估算出、的大小，然后找出符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜3＜4＜5，∴1＜．∴﹣．∴符合条件的x的值为：﹣2，﹣1，0，1．故选：B．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出﹣与的大小是解题的关键．5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x＝81时，输出的y等于（）A．2B．3C．D．【分析】根据算术平方根的概念进行计算即可．【解答】解：∵＝9，＝3，∴输出的y等于，故选：C．【点评】本题考查的是算术平方根的计算，掌握一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根是解题的关键．6．下列说法错误的是（）A．﹣8的立方根是﹣2B．3的平方根是±C．﹣的相反数是D．|1﹣|＝1﹣【分析】利用平方根、立方根、相反数、绝对值的意义，逐个分析得结论．【解答】解：∵＝﹣2，故选项A正确；3的平方根是，故选项B正确；﹣与只有符号不同，它们互为相反数，故选项C正确；∵1﹣＜0，∴|1﹣|＝﹣（1﹣）≠1﹣，故选项D错误．故选：D．【点评】本题考查了相反数、平方根、立方根及绝对值的化简，题目难度不大，掌握有理数的相关定义是解决本题的关键．7．下列说法中正确的是（）A．的平方根是±9B．﹣5的立方根是﹣C．的平方根是D．﹣9没有立方根【分析】利用平方根、立方根定义判断即可．【解答】解：A、＝9，9的平方根是±3，不符合题意；B、﹣5的立方根是﹣，符合题意；C、的平方根是±，不符合题意；D、﹣9的立方根是﹣，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．8．如图，在数轴上表示的点在哪两个字母之间（）A．B与C B．A与B C．A与C D．C与D【分析】先估算出的范围，再求出答案即可．【解答】解：∵2.52＝6.25＜7，∴2.5＜＜3，∴在点C、D之间，故选：D．【点评】本题考查了数轴和实数的大小比较法则，能估算出的范围是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．9．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝，故A不是最简二次根式；（B）原式＝2，故B不是最简二次根式；（D）原式＝4，故D不是最简二次根式；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．10．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（）A．0B．正实数C．0和1D．1【分析】根据立方根和平方根的性质可知，只有0的立方根和它的平方根相等，解决问题．【解答】解：0的立方根和它的平方根相等都是0；1的立方根是1，平方根是±1，∴一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是0．故选：A．【点评】此题主要考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同，一个正数的平方根有两个他们互为相反数．11．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（）A．x≤2B．x＜2C．x≤﹣2D．x＜﹣2【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2﹣x≥0，解得x≤2．故选：A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．也利用了算术平方根的定义．13．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（）A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．【解答】解：原式＝a﹣b﹣a＝﹣b．故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键．14．下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（）A．B．C．D．【分析】由于所求无理数大于1且小于2，所求数的平方得大于1小于4，据此判断即可．【解答】解：A、是有理数，故选项A不合题意；B、，故，故选项B符合题意；C、，故选项C不合题意；D、，故选项D不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．15．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25B．7C．25或7D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．化简二次根式（a＜0）得（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用积的算术平方根以及商的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来即可．【解答】解：当a＜0时，b≤0，∴＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．17．的整数部分是a，小数部分是b，a﹣b的小数部分是（）A．7﹣B．8﹣C．﹣7D．﹣8【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定a、b的值，计算a﹣b的值，再估算14﹣的大小即可．【解答】解：∵＜＜，即7＜＜8，∴a＝7，b＝﹣7，∴a﹣b＝7﹣（﹣7）＝14﹣，又∵﹣8＜﹣＜﹣7，∴6＜14﹣＜7，∴14﹣的小数部分为14﹣﹣6＝8﹣，故选：B．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确估算的前提，确定a、b的值是解决问题的关键．18．的相反数是（）A．B．C．D．【分析】根据互为相反数的定义和性质，互为相反数的两个数和为0，即可判定选择项．【解答】解：∵+（﹣）＝0，∴的相反数是﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重要考点．19．下列各数中，与﹣3的乘积是有理数的是（）A．+3B．﹣3C．3﹣D．【分析】直接利用分母有理化因式分析得出答案．【解答】解：与﹣3的乘积是有理数的是：+3．故选：A．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确掌握运算法则是解题关键．20．估算的值应在（）A．6.0～6.5之间B．6.5～7.0之间C．7.0～7.5之间D．7.5～8.0之间【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可．【解答】解：∵72＜50＜7.52，∴7＜＜7.5．故选：C．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．21．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．72B．52C．80D．76【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：D．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．22．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC【分析】为了验证勾股定理，梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可．【解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．23．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞“，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF 的面积为28，S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A′F′＝90°，则四边形B′C′E′F′的面积为（）A．16B．20C．22D．24【分析】根据正方形的性质得到GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°，根据全等三角形的性质得到BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c，证得四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c，推出四边形B′C′E′F′是正方形，设S正方形ABGF＝4m，S正方形CDEG＝1m，根据六边形ABCDEF的面积为28，列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABGF、四边形CDEG是正方形，∴GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°，∴∠BGC＝∠FGE＝90°，在△BGC和△FGE中，∴△BGC≌△FGE（SAS），同理可证△BGC≌△B′A′F′≌△E′D′C′，∴BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c，∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c，∵∠DEF＝∠A′F′E′，∠OEF＝∠A′F′B′，∴∠B′F′E′＝90°，∴四边形B′C′E′F′是正方形，∵S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1，∴设S正方形ABGF＝4m，S正方形CDEG＝1m，∴FG＝2，EG＝，∵六边形ABCDEF的面积为28，∴4m+m+2××2＝28，∴m＝4，∴EF＝＝2，∴E′F′＝EF＝2，∴四边形B′C′E′F′的面积＝20，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．二．填空题（共22小题）24．请写出一个大于且小于的整数：2（或3）．【分析】根据无理数的估算，找出在与的整数，任选一个即可．【解答】解：因为，，所以大于且小于的整数有2，3．故答案为：2（或3）．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．25．计算：＝﹣2．【分析】首先计算开方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝﹣3+1＝﹣2故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用26．请举例说明：“存在两个不同的无理数，它们的积是整数”．举例如下：如（+1）（﹣1）＝1；（答案不唯一）．【分析】根据无理数的乘法，可得答案．【解答】解：．故答案为：．（答案不唯一）【点评】本题考查了实数的运算，熟记运算律法则是解题关键．27．计算：＝．【分析】根据算术平方根的定义求解可得．【解答】解：＝，故答案为：．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．28．化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．【解答】解：原式＝2﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．29．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值是44．【分析】估算出的值即可解答．【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，∴1936＜2022＜2025，∴44＜＜45，∵n为整数且n＜＜n+1，∴n＝44，故答案为：44．【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．30．（﹣2）2的算术平方根是2．【分析】根据乘方运算，可得幂，根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：（﹣2）2＝4，＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根，先求出幂，再求出算术平方根．31．若x、y为实数，且满足|2x+3|+＝0，则xy的立方根为﹣．【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．【解答】解：∵|2x+3|+＝0，∴2x+3＝0且9﹣4y＝0，解得：x＝﹣、y＝，则＝＝＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、y的值．32．||＝﹣1．【分析】根据实数的绝对值的性质计算即可．【解答】解：∵﹣1＞0，∴|﹣1|＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题的关键．33．比较大小：﹣＞﹣4．【分析】根据底数越大幂越大，可得答案；【解答】解：因为﹣4＝﹣，所以﹣＞﹣4．故答案为：＞【点评】本题考查了实数大小比较，利用底数越大幂越大是解题关键．34．估计与0.5的大小关系是：＞0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【解答】解：∵﹣0.5＝﹣＝，∵﹣2＞0，∴＞0，∴＞0.5．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．35．9的算术平方根是3．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．36．的算术平方根是9，的立方根是，﹣2绝对值是﹣2，平方根是±3．【分析】根据实数的性质，可得答案．【解答】解：＝81，81的算术平方根是9，的立方根是，﹣2绝对值是﹣2，＝9，9平方根是±3，故答案为：9，，﹣2，±3．【点评】本题考查了实数的性质，利用绝对值的性质，平方根、立方根的意义是解题关键．37．在如图所示的数轴上，点B与点C关于A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C对应的实数为．【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．【解答】解：设点C所对应的实数是x．则有x﹣＝﹣（﹣1），解得x＝2+1．故答案为1+2．【点评】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．38．如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是．【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1加上对角线的长度．【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度＝，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本题主要考查勾股定理的知识，还要了解数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．39．已知x，y为实数，且，则＝2．【分析】首先根据被开方数是非负数求得x的值，则y的值即可求得，进而代入代数式求值．【解答】解：根据题意得，解得，∴y＝，∴＝＝＝2．故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，正确求得x的值是关键．40．比较大小：＞1（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】直接估计出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，故＞1．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较，正确得出的取值范围是解题关键．41．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后2a﹣15．【分析】利用数轴确定a的取值范围，然后结合二次根式的性质及整式加减运算法则进行化简求解．【解答】解：由题意可得5＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，原式＝|a﹣4|﹣|a﹣11|＝a﹣4﹣（11﹣a）＝a﹣4﹣11+a＝2a﹣15，故答案为：2a﹣15．【点评】本题考查二次根式的化简，整式的加减运算，理解二次根式的性质，利用数形结合思想解题是关键．42．比较大小：＜．【分析】先估算出的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大即可进行解答．【解答】解：∵≈1.7，∴﹣1＜1，∴＜．故答案为：＜．【点评】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，解答此题时要熟知：同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的较大．43．的平方根为±2．【分析】根据立方根的定义可知64的立方根是4，而4的平方根是±2，由此就求出了这个数的平方根．【解答】解：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．4的平方根是±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．44．一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C和A在数轴上的位置表示的实数为﹣1和1．那么当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是3+2．【分析】首先利用数轴即可得到等腰直角三角形的直角边AC、CB的长度，然后根据勾股定理即可求得AB的长，则求出了C到达的点到原点的距离，由此即可解决问题．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝CB＝2，根据勾股定理可以得到AB＝2，则当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是4+2﹣1＝3+2．故答案为：3+2．【点评】此题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．45．如果a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是3+2．【分析】根据完全平方公式把和进行化简，再根据题意求出a 和b的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵＝＝5﹣，＝＝5+，∵又a是的小数部分，b是的小数部分，∴a＝2﹣，b＝﹣1，∴＝＝＝3+2；故答案为：3+2．【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三．解答题（共15小题）46．计算：+（﹣2）2﹣÷．【分析】先把除法运算化为乘法运算，再利用二次根式的性质和乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝+12﹣×＝+12﹣＝+12﹣＝12．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．47．计算：（﹣）×．【分析】利用分配律以及二次根式的乘法法则计算，然后化简二次根式，进行加减运算即可．【解答】解：原式＝﹣1＝6﹣1＝5．【点评】本题考查了二次根式的运算，在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．48．计算：（1）2﹣+3；（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）2【分析】（1）先化简，然后根据二次根式的加减法可以解答本题；（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．【解答】解：（1）2﹣+3＝4﹣+＝；（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）2＝5﹣2﹣3+2﹣1＝2﹣1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．49．计算：（1）（2）【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（2）利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣＝12﹣＝11；（2）原式＝3﹣2+＝1+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．50．计算题：（1）﹣（﹣）2﹣|﹣|；（2）（﹣2）×﹣6【分析】（1）利用二次根式的除法法则和完全平方公式计算，然后去绝对值后合并即可；。
八年级上册数学第二章
C.3个
D.4个
2. （2020赤峰）估计 A. 4和5之间
的值应该在( A ) B. 5和6之间
C. 6和7之间
D.7和8之间
3. 3的相反数是（ A ）
A.-3
B.3
C.
D.±3
4. （2020北京）实数a在数轴上的对应点的位置如图Z2-1，若实
数b满足-a＜b＜a，则b的值可以是( B )
A. 2
知识导航
无理数 概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数 平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作
“根号a”
续表
平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个 数叫做a 的平方根（二次方根）. 平 性质: 实 方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 数 根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
第二章 实数
单元复习课 本章知识梳理
目录
01 课标要求 02 知识导航
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的 平方根、算术平方根、立方根. 2. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平 方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和 立方根. 3. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应. 能求实数的相反数与绝对值.
B. -1
C. -2
D.-3
5. 如图Z2-2所示为洪涛同学的小测验卷，他的得分应是
___1_0_0____分.
姓名___洪涛___
北师大版八年级数学上册第二章《实数》章末复习题含答案解析 (42)
一、选择题1. 现有 a ，b ，c ，d 四个正整数，将它们随机抽取两个并相加，所得的和都是 6，7，8，9 中的一个，并且 6，7，8，9 这 4 个数都能取到，那么 a ，b ，c ，d 这四个正整数 ( ) A ．各不相等B ．有且只有两个数相等C ．有且只有三个数相等D ．全部相等2. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 √(a −4)2+√(a −11)2 化简后为 ( )A ． 7B ． −7C ． 2a −15D ．无法确定3. 如图，点 A ，B ，C 分别是同一数轴上的三个点，且 AB =AC ，A ，B 两点对应的实数分别是 1 和 −√3，则点 C 位于下列哪两个相邻整数之间 ( )A ． 3 和 4B ． 2 和 3C ． 1 和 2D ． 4 和 54. 下列二次根式中，最简二次根式是 ( ) A ． √8 B ． √x2C ． √9aD ． √x 2+y 25. 设 √2 的整数部分用 a 表示，小数部分用 b 表示，4−√2 的整数部分用 c 表示，小数部分用 d 表示，则 b+d ac值为 ( )A ． 12B ． 14C ．√2−12D ．√2+126. 在二次根式：① √12；② √23；③ √23；④ √27 中，与 √3 是同类二次根式的是 ( )A ．①和③B ．②和③C ．①和④D ．③和④7. 下列各数中，与 2−√3 的乘积是有理数的是 ( )A ． 2−√3B ． 2+√3C ． −2+√3D ． √38. 在 √4，27，0.201，√3，π5，0.1010010001⋯ 这 6 个数中，无理数共有 ( )A ． 2 个B ． 3 个C ． 4 个D ． 5 个9. 对任意两个正实数 a ，b ，定义新运算 a ★b 为：若 a ≥b ，则 a ★b =√ab ；若 a <b ，则 a ★b =√ba ．则下列说法中正确的有 ( ) ① a ★b =b ★a ； ② (a ★b )(b ★a )=1； ③ a ★b +1a ★b <2． A ．① B ．② C ．①② D ．①②③10. 下列整数中，与 10−√13 最接近的是 ( ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7二、填空题 11. 已知 a =(−34)−2，b =(−π+14)0，c =0.8−1，则 a ，b ，c 按从小到大的顺序排列的结果是（用“<”连接）．12. 最简二次根式 √2m −1 与 √34−3m n−1是同类二次根式，则 mn = ．13. 若 y =√x−4+√4−x2−2，则 (x +y )y = ．14. 已知 x 1=√3+√2，x 2=√3−√2，则 x 12−x 22= ．15. 面积为 a 的正方形的边长为 ．16. 比较下列各数大小：（1）√2 π2； （2）2√5 5；（3）−2+√3 −2+√5．17. 规定用符号 [m ] 表示一个实数 m 的整数部分，例如：[23]=0，[3.14]=3．按此规定，则[√3+√5] 的值为 ．三、解答题18.计算：(1) 计算∣1−√3∣√3√12−(π−3)0+√(−3)2．(2) 若a=−12−√32，b=−12+√32，求a2−ab+b2的值．19.下列各数有没有平方根？如果有，请求出它的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由．36，1100，0，1，−1．20.计算．(1) √18+√32+√27．(2) √48÷√3−√12×√12+√24．21.计算：(√3−√2)(√3+√2)+(√5−1)2．22.已知4x2+y2−4x−6y+10=0，求(23x√9x+y2√xy3)−(x2√1x−5x√yx)的值．23.已知x=12(√5+√3)，y=12(√5−√3)，求式子x2−xy+y2的值．24.2√12×14√3÷5√2．25.计算：(2√6−3√2)(3+2√3)−(√15−√24)(5+√40)．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵四个正整数a，b，c，d具有同等不确定性，不妨设a≤b≤c≤d，故a+b=6，c+d=9，（1）当a=1时，得b=5，∵a≤b≤c≤d，∴c，d为4或5，不合题意舍去，所以a≠1；（2）当a=2时，得b=4，∴c=4，d=5，符合题意，四个数是：2，4，4，5；（2）当a=3时，得b=3，∴c=3，d=6，不符合题意，两数之和不能得7；或c=4，d=5，符合题意，四个数是：3，3，4，5；综上所述：这四个数只能是：2，4，4，5或3，3，4，5．【知识点】实数的大小比较2. 【答案】A【解析】由数轴上点的位置可知5<a<10，∴a−4>0，a−11<0，∴√(a−4)2+√(a−11)2=∣a−4∣+∣a−11∣=a−4+11−a=7．【知识点】二次根式的性质与化简3. 【答案】A【解析】设点C所表示的数为x，∵点B与点C到点A的距离相等，∴AC=AB，即x−1=1+√3，解得：x=2+√3．∵1<√3<2，∴3<2+√3<3，即点C位于3和4之间．【知识点】其它(D)、平方根的估算4. 【答案】D【解析】A、原式=2√2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；C、原式=3√a，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；D、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；故选：D．【知识点】最简二次根式5. 【答案】A【解析】 ∵1<2<4， ∴1<√2<2， ∴a =1，b =√2−1， ∵2<4−√2<3，∴c =2，d =4−√2−2=2−√2， ∴b +d =1，ac =2， ∴b+d ac=12．【知识点】平方根的估算6. 【答案】C【知识点】同类二次根式7. 【答案】B【解析】 ∵2−√3 的有理化因式为 2+√3， ∴ 与 2−√3 的积为有理数的是 2+√3． 【知识点】二次根式的乘法8. 【答案】B【解析】 √4=2 是整数，属于有理数； 27 是分数，属于有理数；0.201 是循环小数，属于有理数；∴ 无理数有：√3，π5，0.1010010001⋯ 共 3 个． 【知识点】无理数9. 【答案】A【解析】由定义可知：当 a ≥b 时，a ★b =√ab ，b ★a =√ab ；当 a <b 时，a ★b =√ba ，b ★a =√ba ．①当 a ≥b 时，a ★b =b ★a ，当 a <b 时，a ★b =b ★a ， ∴ ①正确；②当 a ≥b 时，(a ★b )(b ★a )=√ab ⋅√ab =√a 2b 2=ab ， 则 (a ★b )(b ★a ) 不一定等于 1，当 a <b 时，(a ★b )(b ★a )=√b a⋅√b a=√b 2a2=ba，则 (a ★b )(b ★a ) 不一定等于 1， ∴ ②错误；③当 a ≥b 时，a ★b +1a ★b =√ab +√ab=√a b +√ba ， 若 a =16，b =4，则 a ★b +1a ★b =2+12>2， 当 a <b 时，a ★b +1a ★b =√ba √ba=√b a +√ab ，若 a =4，b =16，则 a ★b +1a ★b =2+12>2， ∴ ③错误．【知识点】二次根式的混合运算10. 【答案】C【知识点】实数的大小比较二、填空题11. 【答案】 b <c <a【解析】因为 a =(−34)−2=1(−34)2=169，b =(−π+14)0=1，c =0.8−1=10.81=10.8=54，1<54<169，所以 a ，b ，c 的大小关系是 b <c <a ． 【知识点】实数的大小比较12. 【答案】21【解析】n −1=2，2m −1=34−3m ， ∴n =3，m =7 . 【知识点】同类二次根式13. 【答案】14【知识点】二次根式的概念14. 【答案】 4√6【解析】 ∵x 1=√3+√2，x 2=√3−√2，∴x12−x22=(x1−x2)(x1+x2)=(√3+√2−√3+√2)(√3+√2+√3−√2)=2√2×2√3=4√6.【知识点】二次根式的混合运算15. 【答案】√a【知识点】二次根式的概念16. 【答案】<；<；<【知识点】平方根的估算、实数的大小比较17. 【答案】3【解析】方法一：∵3<√3+√5<4，∴[√3+√5]的值为3．故答案为：3．方法二：√3≈1.732，√5≈2.236，∴[√3+√5]≈3.968，∴[√3+√5]=3．【知识点】平方根的估算三、解答题18. 【答案】(1) 原式=√3−1+√3−2√3−1+3=1．(2) ∵a=−12−√32，b=−12+√32，∴a2−ab+b2 =(a+b)2−3ab=(−12−√32−12+√32)2−3×(−12−√32)(−12+√32)=1−3×(14−34)=1+32=52.【知识点】二次根式的混合运算19. 【答案】36的平方根是±6，算术平方根是6；1100的平方根是±110，算术平方根是110；0的平方根和算术平方根都是0；1的平方根是±1，算术平方根是1；−1是负数，没有平方根．【知识点】算术平方根的运算、平方根的运算、算术平方根的概念，性质及运算20. 【答案】(1)√18+√32+√27 =3√2+4√2+3√3 =7√2+3√3.(2)√48÷√3−√12×√12+√24=√483−√122+√24=4−√6+2√6=4+√6.【知识点】二次根式的加减、二次根式的混合运算21. 【答案】原式=3−2+5−2√5+1 =7−2√5.【知识点】二次根式的混合运算22. 【答案】∵4x2+y2−4x−6y+10=0，4x2−4x+1+y2−6y+9=0，(2x−1)2+(y−3)2=0，∴x=12，y=3，原式=23x√9x+y2√xy3−x2√1x+5x√yx=2x√x+√xy−x√x+5√xy=x√x+6√xy.当x=12，y=3时，原式=12×√12+6√32=√24+3√6.【知识点】二次根式的混合运算23. 【答案】因为x=12(√5+√3)，y=12(√5−√3)，所以x−y=√3，xy=12，所以原式=x2−2xy+y2+xy=(x−y)2+xy=3+12=312．【知识点】二次根式的混合运算24. 【答案】310√2【知识点】二次根式的除法25. 【答案】原式=√2(2√3−3)(2√3+3)−√3(√5−√8)⋅√5(√5+√8) =3√2+3√15.【知识点】二次根式的混合运算。
北师大版八年级数学上册第二章实数复习
第二章：实数知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
北师大八年级数学上册第二章实数复习练习题
一、口算
-12 ______； 1 7 ______； 3 0.0125 ______； 3 - 3 3 ______；
9
8
二、化简
0.81100 ______； 三、定义
64b2 9a2
=______；
1 9 =______； 3
2. 比较 2， 5 ， 3 7 的大小，即_____＜_____＜_____；
3. （1） 5 - a _____ 3 a 6 ；
（2） 3 5 _____ 4 5 - 2 ；（作业）
（3） 17 1 _____ 9 ；（作业）
5
10
（4） 3 260 _____6 ；
六、数、轴结合
1.有理数 a 在数轴上的位置如图示，则 a 42 a 112 化简后为（ ）
2
7. 已知 a，b，c 满足 a 8 2 b 5 c 3 2 0 .①求 a，b，c 的值；②试
问以 a，b，c 为边能否构成三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，说明 理由。
五、比较大小
1. 比较大小： 5 - 3 _____ 5 - 2 .（填“＞”“＜”或“=”）； 2
A.-1
B.1
C. 32018
D. 32018
2. 已知实数 x，y 满足 x 4 y 8 0 ，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角 形的周长是（ ）
A.20
B.20 或 16
C.16 D.无法确定
3. 已知 m 1 2 ，n=1- 2 ，则代数式 m2 n2 3mn 的值为（ ）（作业）
A.9
B. 3
C.3 D.5
第二章实数期末复习
导学2
1.什么是算术方根、 平方根?什么是立方根? 2.平方根和立方根各有 什么性质?
3.平方根与立方根中的四 个公式.
2、下列说法错误的是___. A、0的算术平方根是0 B、-9的算术平方根是-3 C、3的算术平方根是 D、2是4的算术平方根
3、一个数的算术平方 根是它本身，则这个 数是___. A.１和-1 B.0和1 C.0和正负1 D.0
11.若m的立方根等于m， 则m的值是 . 一个自然数的算术 平方根是n，则与它相 邻的下一个自然数的 算术平方根是 。
12.一个正方体的体积扩 大64倍，则该正方体的棱 长扩大的倍数为 ； 一个正方形的面积扩 大16倍，则它的边长扩 大 .
13.一个正数的平方根是 x+3和2x-6，则x= ， 这个正数是 。
导学3
根式的乘除法法 则是什么?
20.计算
第二章复习
初二数学组
学习目标
1.了解实数的分类。 2.总结平方根和立方根的公式。 3.能熟练进行实数的运算。
导学1
怎样对实数进行分类?
7 下列实数 ， ， 81， 0， 9 3 21， 6 2 ，12131415 1. ...... 有理数：无理数：
0
1.关于无理数的说法正确的 是______. A、有理数都是有限小数 B、无限小数都是无理数 C、不是有限小数就不是有理数 D、无理数都是无限小数
八年级数学上册第二章实数复习教案北师大
第二章课题第二章总复习课型教学目标掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。
灵活运用二次根式的性质、运算法则。
重点二次根式的加减乘除的混合运算。
难点二次根式的加减乘除的混合运算。
新课导入这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。
课程讲授第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
即ax=2，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a的平方根用a±表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，a-叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a±（根指数2省略）0有一个平方根，为0，记作00=，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a的平方根的运算。
aa=2==⎩⎨⎧-aa<≥aa()aa=2（0≥a）⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后，得____3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294*若0>>b a ，则b a >（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33 a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
实数复习2
第二章实数 1.认识无理数有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n （m ，n 都是整数，且n ≠0）的形式。
任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.无理数：无限不循环小数叫无理数 。
像π，0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数 实数：分为有理数和无理数两类 实数的分类：⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例：练习：在73; －π； ；0；0.3 ；3π；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中①属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： 2.算数平方根 例题：x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤3.平 方 根迁移应用：1、如果—b 是a 的平方根，那么A 、2a b =； B 、2b a = ； C 、2a b -=； D 、2b a -=。
2、16的算术平方根是_______，平方根是_______3、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；4、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；5、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；6、△ABC 的三边是a 、b 、c2(2)0b -=，求c 的取值范围； 4.立方根 一、基础知识回顾〖结论〗：性质⎪⎩⎪⎨⎧的立方根一个负数有一个有一个立方根，是的立方根一个正数有一个____________0_____类似于平方根，一个数α的立方根，记作3a ，读作________ α，其中α叫做__________，3是__________，不能省略，若省略表示开平方。
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实数复习
导学1
怎样对实数进行分类?
无理数的形式：
1、含π型 2、构造型
3、开方开不尽型
7 下列实数 ， ， 81， 0， 9 3 21， 6 2 ，12131415 ...... 1. 有理数： 无理数：
0
1.关于无理数的说法正确的是__. A、有理数都是有限小数 B、无限小数都是无理数 C、不是有限小数就不是有理数 D、无理数都是无限小数
则：y=______ .
8.
a 1 2
的最小值是________，
此时a的取值是________．
9.如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、 C所对应的实数． 试化简：． c | a b | (a b) | b c |
2 3 3
B
A
0
C
20.计算
a b
a b
（a≥0，b＞0）．
当堂训练 15分钟
（-9）2 的平方根 ±9 1. 。
2.当 a≥-2
３
时，
2a+4 有意义
３. （-2）3 =
-2 2
。
4. 16 的算术平方根是
（3.14-π ）2 的算术平方根是 π -3.14。 5.
6. 3 27 的平方根是
3。
8.已知a、b为实数，且 a 3 1 ( b 2 )2 0 求a-b的值. 9. 1 x 选做题
（4） 25 的算术平方根是
+b2-2a+4b+5=0，则a+2b的值
-3
5
；
（5） (5) 2 的平方根是（ D ） (A)
5
(B) 5
(C) 5
(D)
5
1、带根号的数的化简有什么要求？
（1）使被开方数不含开得尽方的因数或因式；
（2）使被开方数不含分母． 2、运算法则、运算律
a b a b （a≥0，b≥0） ， a a （a≥0， b＞0）． b b a b a b （a≥0，b≥0），
平方根，算术平方根，立方根 导学二 1.一个数 x 的平方等于a,即x2=a,则 x 叫 a 的平方根. 记作: X = a (a≥0). 0
的平方根是0.
2、一个数 x 的立方等于a,即x3=a,则 x 叫 a 的立方根. 记作: X =
3
a
0的立方根是
0.立方根等于本身的数： 0，±1 .
3.非负性
| a |≥ 0， a
≥ 0， ) ≥ (a
2
0。
导学2
4.平方根与立方根中的四 个公式.
( a )=
2
.
a=
3
. ( a )= .
3
a a≥ 0 2、 2=| a | 0 a0 a a≦ 0 a
练习
0 ⑵若a2
（3）若|x﹣3|=x﹣3，则下列不等式成立 的是（ C ）
A、x﹣3＞0 C、x﹣3≥0 B、x﹣3＜0 D、x﹣3≤0
1、解下列方程： （1）（x-1)3 =125 2、已知x、y满足
3 2 1
x 1 x
2
0 1 ______
（2） 2（3x-1)2=8 2 x 1 y 4 y 4 0
求
x y
2
2
的值。
5、(－4)2的算术平方根是
2=a2，则a= 6、(－8)
。
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 7、若 y x 2005 2005 x x