(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结
八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结数学课本中介绍了大量的数学专题知识，尤其是应用题部分，是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。
学生一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。
下面是为大家整理的有关八年级上册数学第二章知识点，希望对你们有帮助!八年级上册数学第二章知识点1一、实数的概念及分类1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0;另一种分类是：有理数、无理数将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数，如等;(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;(4)某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0.3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
八年级上册数学第二章知识点2一、定义1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称。
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
北师大版八年级数学上册--第二单元 《实数》综合练习1 练习题(含答案)
实数知识点1 无理数1．下列四个实数中是无理数的是（ ）A ．2.5B ．103C ．πD ．1.414 2．下列各数中，不是无理数的是（ ）A ．7B ．0.5C ．2πD ．0.151151115…511（两个之间依次多个）3．有下列说法:①带根号的数是无理数;•②不带根号的数一定是有理数;③负数的平方根有两个且互为相反数;④是17的平方根,其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个知识点2 实数及其分类4．有理数和 统称实数．5．下列说法正确的是（ ）A ．正实数，0和负实数统称实数B ．整数和分数，0统称有理数C ．正无理数和负无理数统称无理数D ．无限小数就是无理数知识点3 实数大小比较6．-53、、、-2π四个数中,最大的数是（ ）A ．-53B ．C ．D ．-2π7．比较大小163 8．在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＞”连接： －•3.0，－2，25，0，3.14 知识点4 实数与数轴9．和数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数10的点表示的数是_________．知识点5 实数与绝对值、相反数、倒数关系11．23-的相反数地 ，绝对值是 ．12．－5的相反数是 ，绝对值是 ，没有倒数的实数是 ． 学科能力迁移 13．【易错题】实数227，2-，21+， 3π，|3|-中，无理数的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个14．【易错题】 414、226、15三个数的大小关系是（ ）A ．41415226<<B ．22615414<<C ．41422615<<D ．22641415<<15．【新情境题】实数a 在数轴上的位置如图1所示，则a ，a -，1a，2a 的大小关系是（ ）A ．21a a a a <-<< B ．21a a a a-<<< C ． 21a a a a -<<< D ． 21a a a a <<<- 16．【多变题】满足大于π-而小于π的整数有（ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个17．【开放题】若2a a =-，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点右侧C ．原点或原点左侧D ．原点或原点右侧课标能力提升 18．【趣味题】已知a 是13的整数部分，b 是13的小数部分，计算a-b 的值．19．【学科内综合题】某公路规定汽车行驶速度不得超过70千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是16v df =，其中v 表示车速(单位：千米/时)，d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米)，f 表示摩擦因数．经测量，20d =米， 1.2f =，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度．20．【开放题】 阅读下面的文字,解答问题．大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用2-1来表示2的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为2的整数部分是1,•将这个数减去其整数部分,差就是小数部分．请解答:已知:10+3=x+y,其中x 是整数,且0<y<1,求x-y 的相反数．21．【探究题】如图3是三个周长相同的长方形，用不同的组合方法，它们的面积就会不一样，请分别计算它们的面积和对角线，并根据计算结果观察一下对角线和面积之间有什么关系?22．【学科内综合题】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为gl 2T ＝,其中T 表示周期（单位：秒）l 表示摆长（单位：米）g ＝9．8米/秒2，假如一台座钟的摆长为0．5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分内该座钟大约发出了多少次滴答声？品味中考典题23．（2007年广东中山）在三个数0.5，3，13-中，最大的数是（）A．0.5B．C．13-D．不能确定24．（2007是．参考答案1．C2．B3．B4．无理数．5．A6．B7．<,>,>,=8．23.002514.3＞－＞－＞＞• 9．D10．11．2-2-12．055，， 13．B14．A15．D16．D17．C18． 点拨：∵，∴a=3，，a-b=3-）19．肇事汽车当时已经超速．20． -12．21．按不同的方式组合，对角线短的面积反而大．22．42次23．A24．2。
八年级数学上册 第二章 实数
第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (1)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (4)知识要点六：实数的概念 (5)知识要点七：实数的性质 (5)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (8)知识要点10：实数的运算 (9)总练习题 (9)C 基础巩固 (9)B 能力提升 (10)A 拔尖训练 (11)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (13)知识要点一：二次根式的概念 (13)知识要点二：二次根式有意义的条件 (13)知识要点三：二次根式的性质与化简 (14)知识要点四：最简二次根式 (14)知识要点五：分母有理化 (15)知识要点六：二次根式的乘除法 (16)知识要点七：同类二次根式 (17)知识要点八：二次根式的加减法 (18)知识要点九：二次根式的混合运算 (18)知识要点十：二次根式的化简求值 (19)知识要点十一：二次根式的应用 (20)总练习题 (20)C 基础巩固 (20)B 能力提升 (21)A 拔尖训练 (22)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四<五总分得分[1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分.一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=、D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a(3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2 C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a 4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=~B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数。
D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数（7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,<B．,,C．，，D．,, 9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<@D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－！11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米*C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b-14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）^A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间，C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1。
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三四五总分得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,B．,,C．，，D．,,9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，118、如果是6－x的三次算术根，那么（）A．x<6B．x=6C．x≤6D．x是任意数19、若m<0，则m的立方根是（）A．B．－C．±D．20、在下列各式中：=，=，=，－=－27，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题(注释)21、已知m是3的算术平方根，则x－m<的解集为______.22、若是一个实数，则a=______.23、等腰三角形的两条边长分别为2和5，那么这个三角形的周长等于______.24、－的相反数是______，绝对值等于______.25、计算（保留四个有效数字）=______.26、的平方根为______.27、（）÷=______.28、a是的整数部分，b是的整数部分，则a2+b2=______.29、大于－且小于的整数有______.30、不等式（2－）x>0的解集为__________.评卷人得分三、计算题(注释)31、计算：。
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 知识点总结
第二章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
第二章 实数 易错剖析+重难点突破训练(含答案)2024-2025-北师大版数学八年级上册
第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰【例1】 在−π ，227，0，3−4，5.⋅6，−2.5656656665⋯ （相邻两个5之间6的个数逐次加1）中，无理数有（ ）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：23.跟踪练习1. 下列各数：3.14159，−27，0，−π ，−17，其中有理数有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在0，227，−1，−π2，0.101001⋯ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法【例2】 比较大小：52 33（填“> ”“=”或“< ”）.实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0> 负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a ，b ，①当a−b >0时，a >b ；②当a−b =0时，a =b ；③当a−b <0时，a <b ；（4）平方法：若要比较任意两个实数a ，b 的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a ，b 本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.跟踪练习3. 下列实数中，最小的数是（）.A. −2B. −3C. 1D. 34. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（）.A. a>0B. b<0C. a>bD. |a|>|b|易错点三二次根式的化简要彻底【例3】计算：12−27+613.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.跟踪练习5. 计算：（1）232−18−12；（2）35+4135−75115;（3）128−0.5−412+250.重难点突破重难点一实数的相关概念熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方，实数涉及的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义、概念就容易混淆出错，此部分知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现.提醒：多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.1. 实数−2的相反数是（）.A. −2B. 2C. −12D. 122. 下列各数是无理数的是（）.A. 0B. 2C. −13D. 3.33. 25的平方根是 .4. 无理数5的倒数是（）.A. −5B. −55C. −5 D. 555. 16的算术平方根的相反数是（）.A. 2B. −2C. 4D. −46. 下列说法中，正确的是（）.A. 16的平方根是4B. 任何实数都有立方根C. 若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数D. 算术平方根等于本身的数只有17. 一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A，则点A所表示的数是（）.A. 4B. −4C. ±4D. ±8重难点二实数的混合运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算.提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运(a≠0)；特别地：算有括号和无括号的区别，公式：a0=1(a≠0)；a−p=1a p(a≠0).a−1=1a.8. 计算：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×529. 计算：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1.10. 计算：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1.11. 计算：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4.12. 计算：|−5|+2−2−(π−2024)0.重难点三利用实数性质及二次根式化简求值实数及其相关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方.实数是牵连概念最多的一个考点，需要我们准确掌握各种概念的定义及其考察方向.二次根式的性质：①(a)2=a(a≥0)；②a2 =a(a≥0)；③a2=|a|(a取全体实数).做这类习题需先根据实数的性质得出结论，或先对二次根式进行化简，再代入求值，注意书写格式.13. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，则化简|a+b|−a2−3(b−a)3的结果为 .14. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示.化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|.15. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+ |a−b|.16. 先化简，再求值：x (6−x )+(x +5)(x−5)，其中x =6−2.17. 已知a =13−2，b =13+2.（1） 求a +b 的值；解：a =13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b =13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.（2） 求a 2−3ab +b 2的值.第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰跟踪练习1．C 2．B（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都.是分数，如：23【例1】 A易错点二不能够熟练掌握实数比较大小的方法跟踪练习3．B4．D实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0>负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a，b，①当a−b>0时，a>b；②当a−b=0时，a=b；③当a−b<0时，a<b；（4）平方法：若要比较任意两个实数a，b的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a，b本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.【例2】>易错点三二次根式的化简要彻底跟踪练习5．（1）解：232−18−12=82−32−22=922.（2）35+4135−75115=155+1215−515=36155.（3）128−0.5−412+250=12×22−22−322+2×52=2−22+102=92.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.【例3】解：原式=23−33+6×33=23−33+23=3.重难点突破重难点一实数的相关概念1．B2．B3．±54．D5．B6．B7．A重难点二实数的混合运算8．解：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×52=−2−(5−2)+1+25=−2−5+2+1+25=5+1.9．解：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1=2+2−1+2=5.10．解：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1=2+1−(3−1)+(−3)=2+1−3+1−3=1−3.11．解：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4=1+4−1+3−2=5.12．解：|−5|+2−2−(π−2024)0−1=5+14=4+14.=174重难点三利用实数性质及二次根式化简求值13．−a−2b14．解：根据数轴可得c<b<0<a，∴a−b>0，c−a<0，b+c<0，∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|=a−(a−b)−(c−a)−(b+c)=a−a+b−c+a−b−c=a−2c.15．解：由数轴可知a<0，b>2，∴a−b<0，a−3<0,3−b<0,∴a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+|a−b|=|a|+|−b|−[−(a−3)]−[−(3−b)]+[−(a−b)]=−a+b+a−3+3−b+b−a=b−a.16．解：原式=6x−x2+x2−5=6x−5，当x=6−2时，原式=6×(6−2)−5=6−23−5=1−23.17．（1）解：a=13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b=13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.17．（1）a+b=3+2+3−2=23.（2）∵ab=(3+2)(3−2)=3−2=1，∴a2−3ab+b2=(a+b)2−5ab=(23)2−5=12−5=7.。
2019-2020学年八年级数学上册《第二章实数》知识点总结新人教版.docx
2019-2020 学年八年级数学上册《第二章实数》知识点总结新人教版1、 数的分整数自然数 (0, 1, 2, 3 )负整数 ( 1,2, 3 )有理数正分数 ( 1 2 ) (整数 、有限小数 、无限循环小数 ), 3实数分数 (小数 ) 21 2负分数 (), 32无理数正有理数 (无限不循环小数 )负有理数2、无理数：无限不循 小数叫做无 理数。
在理解无理数 ，要抓住“无限不循 ” 一 之， 起来有四 ：（ 1）开方开不尽的数，如 7, 3 2 等；（ 2 ）有特定意 的数，如 周率 π ，或化 后含有π 的数，如π+8 等；（ 3）有特定 构的数，如 0.1010010001 ⋯等；3（ 4）某些三角函数 ，如sin60 o 等二、 数的倒数、相反数和2、在数 上，一个数所 的点与原点的距离，叫做 数的 。
（ |a| ≥ 0）。
零的 是它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a ， a ≥ 0；若 |a|=-a ， a ≤0。
3、倒数如果 a 与 b 互 倒数， 有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1 和-1 。
零没有倒数。
4、数定了原点、正方向和 位 度的直 叫做数 （画数 ，要注意上述 定的三要素缺一不可） 。
解 要真正掌握数形 合的思想，理解 数与数 的点是一一 的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算 平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a ，即 x 2=a ，那么 个正数x 就叫 做 a 的算 平方根。
特地， 0 的算 平方根是 0。
表示方法： 作“a ”， 作根号a 。
性 ：正数和零的算 平方根都只有一个，零的算 平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x 2=a ，那么 个数x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。
表示方法：正数 a 的平方根记做“ a ”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
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第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
a ±例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是；B ．；（C ）、的平方根是； （D ）、01±24±=813±没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、981±=14.314.3-=-ππ3927-=-235=-（3）的算术平方根是 。
（4）若有意义，则2)3(-x x -+___________。
=+1x （5）已知△ABC 的三边分别是且满足，求c 的取值范围。
,,,c b a b a ,0)4(32=-+-b a （6）（提高题）如果x 、y 分别是4－的整数部分和小数部分。
求x － y 的值.3平方根：1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称a x =2x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根例（1）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是（2）当x 时，x 有意义。
x 23－（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？3. 的性质与22)0()(a a a ≥ （1）（2）中，a 可以取任意实数。
如77)0()22=≥=）如：（a a a ||2a a =5|5|52==3|3-|3-2==）（例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2727-）（249-）（2.已知，那么a 的取值范围是 。
3.已知2＜x ＜3,化简 1)12-=-a a （=-+|3|)-22x x （。
【立方根】3叫做三次方根）记为，读作，3次根号a 。
如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
3a 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是 （2）若，则b 等于9.28,89.233==ab a （3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④3±y y =3364。
()4832±=±其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。
如3＜＜4 方法二：作差法。
如a ＞b 则a-b ＞0.10方法三：乘方法.如比较的大小。
3362与例：比较下列两数的大小（1）（2）2123-10与5325与【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是（a≠0）；实数a 的绝对值a1|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
r例：（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有 ；D 、不带根号的数都是有理数。
2（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、B 、C 、D 、b a -ab b a +a b -（3）比较大小(填“>”或“<”).， ， ，3-32076______67215-21（4）数 的大小关系是 ( )2,3-- A. B. C. D. 32<-<-32-<<-23-<<-32-<-<（5）将下列各数：，用“＜”连接起来；51,3,8,23---______________________________________。
（6）若，且，则：= 。
2,3==b a 0<ab b a -【二次根式】定义：形如的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数）（0≥a a 注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就99不是二次根式。
（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。
若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。
例：下列根式是否为二次根式（1） （2） （3） （4）3-｜｜3-a -32--二次根式的性质：性质1： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个)0,0(.≥≥=b a b a ab 性质也可以对二次根式进行化简。
性质2：商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
)0,0.( b a baba≥=最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
例：1.化简：（1） （2） （3）1512⨯)0(2724≥b b a x942.计算：32278115.041--+323811613125.0⎪⎭⎫⎝⎛-+-3.已知：，求代数式的值。
()()064.01,121732-=+=-y x 3245102y y x x ++--6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ① ②2111111112111122=+-+=++6111212113121122=+-+=++③， (12111313114)131122=+-+=++（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；2251411++（2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。
课后练习一、重点考查题型：1.－1的相反数的倒数是2.已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b ）的相反数 b +13.数－3．14与－Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是 5.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是6.在实数中Л,－,0,,－3．14, 无理数有 个25347．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）（A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数g8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜= 。
9．下列说法正确是（ ）（A ）有理数都是实数 （B ）实数都是有理数（B ）带根号的数都是无理数 （D ）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1）c-b 和d-a （2）bc 和ad 二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a 为实数，那么－a 一定是负数；（ ）（2）对于任何实数a 与b,|a －b|=|b －a|恒成立；（ ）（3）两个无理数之和一定是无理数；（ ）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）（5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ）（7）a 的相反数的绝对值是它本身；（ ）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a －b=－1；（ ）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－, －,, (－)0，3－2，ctg45°,22793－18Л28231.2121121112．．．．．．中无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝整数集合｛ ｝ 非负数集合｛ ｝*3．已知1<x<2，则|x －3|+= 。
(1-x)24．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3,－1， 3， － 0．3， 3－1， 1 +， 32213互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数：*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X －）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y 的值 26.ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求+4m-3cd= 。
|a+b|2m2+1*7．已知＝0，求ａ＋ｂ= 。
（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜a +2三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）A 、无尽小数都是无理数B 、无理数都是无尽小数C 、带拫号的数都是无理数D 、不带拫号的数一定不是无理数。
2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）A 、整数B 、有理数C 、无理数D 、实数2．零是（ ）A 、最小的有理数B 、绝对值最小的实数C 、最小的自然数D 、最小的整数4.如果a 是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个1a *5．比较下列各组数的大小： (1) (2)a<b<0时, 323121a 1b6．若a,b 满足=0,则的值是|4-a2|+a +ba +22a +3b a *7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且|a|=|c|（1）判定a+b,a+c,c-b 的符号（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。