高中学生数学思维能力培养研究

高中学生数学思维能力培养研究
苏州工业园区第三中学杨原明
摘要：思维能力是数学能力的核心，因此高中数学教学必须将思维能力的培养置于首要位置。

全文首先分析了数学思维及数学思维的过程。

随后从三个方面阐述了如何在高中数学教学中培养学生的思维能力：举一反三，培养学生思维深刻性；追求知识融合，培养思维灵活性；结合现实，避免思维空洞性。

关键词:高中学生；数学思维；思维能力；
引言
数学是一门需要具有严密推理能力和抽象概括能力的学科。

高中学生的思维能力正处于形成时期，因此在教学中，要在帮助学生掌握一定的知识和技能的同时，还要注意学生个体思维能力的培养和形成。

只有这样，学生才能从实际问题出发，将数学问题进行科学的抽象和逻辑的推理，得出数学概念和规律，并把这些知识运用到实际问题中去。

1数学思维及数学思维的过程
数学思维能力就是抽象概括能力，推理能力，选择判断能力和数学探索能力等多种能力的综合，它是数学能力的核心。

高中数学教学本质上是思维能力的教学，即学生在教师指导下，学习数学思维，发展数学思维和智力。

思维能力的过程直接决定着学生能否顺利的解答数学问题，也正因为如此，学生由于其思维过程或方法在具体问题的解决时存在着差异，而导致不同的人采取不同的方法进行解答，或者根本就不能解答。

总结起来，数学的思维过程由以下几个环节组：（一）弄清题意，即搞清楚题目背景，已知参数，未知参数，满足条件，条件是否多余或不足等。

（二）拟订计划，即思索是否有相近的问题，是否有哪些公式，定理，或数学模型能用上。

如果有，应该怎样利用这些公式，能否有其他的解决办法等。

（三）实施计划，即实现求解计划，检验每一步骤，并保证每一个步骤是正确的。

（四）总结回顾。

对整个思维过程，解题过程进行回顾性总结，举一反三，看能否用其他方法解决，思维过程中是否走了捷径等。

2高中数学教学中学生思维能力的培养
2.1举一反三，培养学生思维的深刻性
以函数为例，函数是高中数学中最为重要的内容，而且很多函数之间有很关联性，如函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性贯穿于所有的函数中。

在教学时，就必须举一反三，不能让学生有死记硬背的习惯，如在苏教版（必修一）第二章（函数概念与基本初等函数）中，常会碰见基于以下定义的推论题：
x∈都有定义在R上的函数)
f是周期为4的函数，且对一切R
(x
=
f-
(x
x
+，则)
f是偶函数，仅仅记住这个推论就太可惜了，因为它代表了一)
2(
)
2(x
f
类问题，或者一类思维方式。

实际教学中，可以将问题发散为：
（1）定义在R上的函数)
x
f-
=
+对
f
2(
(x
2(x
f是周期为4的函数且为偶函数，则)
) x∈都成立。

一切R
（2）定义在R 上的函数)(x f 为偶函数，且对一切R x ∈都有)2()2(x f x f -=+，则)(x f 是周期为4的周期函数。

发散还不够，还可以继续将这个问题进行深刻化：若定义在R 上的函数的图像有两条不同的垂直于x 轴的对称轴，那么)(x f 是否为周期函数?周期是多少?通过这一发散和深刻的研究，就可以得到以下一般性质：
（一）R x x f y ∈=),(不是常数函数，且)(x f 的图像关于直线a x =和b x =)(b a <对称，则)(x f 是以)(2a b -为周期的周期函数。

（二）R x x f y ∈=),(不是常数函数，且)(x f 的图像关于点)0,(a 对称，又关于直线b x =)(b a <对称，则)(x f 是以)(4a b -为周期的周期函数。

（三）R x x f y ∈=),(不是常数函数，且)(x f 的图像关于点)0,(a 和)0,(b )(b a <对称，则)(x f 是以)(4a b -为周期的周期函数。

显然，将问题深刻化之后，就由例题变成了推论，更关键的是，学生体会了这个推理的过程，并在这个过程中认识到了函数变化的规律性与有趣性。

2.2追求知识融合，培养学生思维的灵活性
数学思维能力是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学知识的核心。

单纯的知识教学只能是学生知识的积累，而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提高过程中。

思维能力一旦得到很好的培养，学生在解决数学问题是就会从不同的角度考虑问题，自然也会有多种方法。

如在函数中，思维方法就有函数与方程思想，等价转化思想，分类讨论思想，数形结合的思想。

在具体的解题方法上有配方法，换元法，待定系数法，比较法等。

学生数学思维的灵活性的重要体现就是能熟练运用函数、数列、平面几何、立体几何、三角函数、统计、向量、不等式等多种方式进行解题。

如在苏教版（必修二）第二章（平面解析几何初步）中，对待这样一个例题：
已知c b a ,,是ABC ∆的三边，S 是ABC ∆的面积。

求证：222c b a ++ ≥43S 。

这是典型的平面几何和不等式知识的结合，如果思维灵活性不够，则可能束手无策，但是如果联想到三角形与三角函数的关系，就会想到用三角函数法，想到代入方法，可以用代数法，甚至可以用解析几何法等。

但是事实证明，结合函数与代入的方法最为简单，
解法如下(参见右图一)：
设CD 是ABC ∆底边AB 上的高，CD =h ， AD =m ，DB =n ，
则222n h a +=，222m h b +=，S=2)(h
n m ⋅+
根据题设，只要判断-++222c b a 43S ≥0是否成立即可。

用函数的观点处理是一种比较好的方式。

将-++222c b a 43S 变形
得到-++222c b a 43S=-++222c b a 43
2*)(h n m + =-+++2222m h n h 43
2*)(h n m + =2[-+++mn m n h 222)(3n m h +] 此时，将h 换成x ，将该等式的值定义为y ，
有)(x f y ==2[-
+++mn m n h 222)(3n m h +]，显然y 是x 的二次函数，原题转化为求该函数的值总是大于0。

运用该函数的Δ= 2)](3[n m +- )(422mn m n ++- =2)(n m --≦0. 该函数的一次项系数为1，表明该方程的值总是≥0，即222c b a ++ ≥43S 。

在培养学生思维灵活性的过程中，应鼓励学生用多种方法进行解题，这样可以使得多种知识结构了然于胸，解题游刃有余。

2.3注意结合现实，避免思维的空洞性
数学其实是离不开生活的。

如苏教版（必修三）的第6章（统计），第7章（概率）等都与生活结合的较为紧密，因为统计，概率分析是在工作生活中常遇见的，有实际意义的数学知识。

但是概率恰恰是对抽象思维要求较高的一门数学知识，不能像函数一样，运用单纯推理方式进行教学，而必须结合实际，让学生的思维能够在生活中找打启发点。

如问题：某班级有n 个人(n ≤365)，那么至少有两个人的生日在同一天的概率多大？显然对于不同的n 值，其概率p 值不一样，如下表所示：
这些结果表明，当人数超过50时，几乎必然至少有两人是同一天生日，而学生对这个结果往往非常惊奇，但是数学理论推算出来即是如此。

同时，借助这个与生活紧密相连的问题，可以讲解什么是概率，什么时候发生，n 和P(n)的关系等。

与生活紧密结合的另外一个问题就是数学建模。

如在二次函数最值问题后，可以让学生通过数学建模的来解决生活中的实际问题，这既发散了他们的思维，增强了对函数定义域，值域的认识，同时又能体会到函数学习的有效性。

例如：某商人若将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现他提高售价，减少进货量。

假设该商品每涨价1元，其销售数量就减少10个，要求用建模的方法分析商人的定价行为。

那么在思维过程中，必经过两个步骤：
首先将实际问题转化为数学模型，即所谓的弄清题意，拟定计划：设每件提价x 元，（x ≥0），利润为y 元，则每天销售额为)10100)(10(x x -+元，进货总价为8（100-10x ），故
0≤x≤10。

其次将原问题转化为二次函数的最值问题，利润)
y-
=(0≤x≤10)，
x
+
2(x
10
100
)(
并注意其定义域的存在。

最终会解除售出价每件14元时利润最大。

这种案例，学生较为熟悉，因此在解题过程中，其思维模式的生活化，使得数学问题实际模型问题能很快的建立关联。

3运用回忆性思维方法，提高学生的反思能力
当前高中数学作业以做习题为主，教师批改的主要目的是督促检查和了解学生对知识的掌握情况，判明对错，给一个成绩后下发。

学生所学的数学知识都是文字、数字、字母、符号，从内涵到形式都比较抽象。

运用这些抽象的东西进行数学思维，对于智力仍在发育中的高中生而言，如果没有长期的回忆性思维，各种思维方法容易忘记。

如何让一定的思维方法在学生头脑中扎根，就必须借助回忆性思维方法，即对知识结构，思维过程，方法进行阶段式的回忆，总结。

回忆的过程多种多样，如让学生看着教材目录，对目录中的各个知识点进行回忆，并标出知识点与知识点之间的联系，经过一段时间的锻炼之后，可以鼓励学生尝试用图表、箭头、口诀、形象比喻等技巧编织知识网，对知识进行再加工，提高了概括能力和抽象思维能力。

这种方法的最大好处就在于避免学生形成思维定势，强化了对一题多解，一题多变的认识，有利于发散思维的形成。