福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试(期末考)数学(理)试题(Word版含答案)

三明市A片区高中联盟校2017—2018学年第一学期阶段性考试
高三理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
∴
故选B
2. 已知：，：，那么是成立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】∵：
∴可化简为或者
∵：
∴可化简为
∴是成立的必要不充分条件
故选B
3. 几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】由题可知该几何体为轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为
∴外接球半径
∴外接球表面积
故选A
点睛：求多面体的外接球的表面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.求多面体的外接球的半径的基本方法有三种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.
4. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，为了得到
的图象，可将的图象（）
A. 向右平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向左平移个单位
【答案】A
【解析】∵由图可知，最小正周期为，
∴
∴
∵经过点
∴
∵
∴
∴是将向右平移个单位得到
故选A
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为
，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.
5. 定义设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，则图象的交点为，
∵
∴根据对称性可得函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为
故选B
6. 已知奇函数满足，当时，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵
∴
∴
∵，且为奇函数
∴
故选B
7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图如图所示，若输出的，则的值可以是（）
（参考数据：）
A. 3.14
B. 3.1
C. 3
D. 2.8
【答案】B
【解析】输入，进入循环
由题可知不满足，进入循环
由题可知不满足，进入循环
由题可知满足，输出，此时
故选B
8. 已知椭圆（）与双曲线（）有相同的焦点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的焦点坐标为
椭圆的焦点坐标为
∵两曲线有相同的焦点
∴，即
∴
令，，
∴
∵
∴
∴
∴
故选C
9. 已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为4，则当取最小值时首项等于（）
A. 32
B. 16
C. 8
D. 4
【答案】A
【解析】设各项为正数的等比数列的公比为
∵与的等比中项为4
∴
∴
∴
当且仅当，即时取等号，此时
故选A
10. 若，且，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，且
∴
∴
∵
∴
∴
故选D
11. 已知（，…，）是抛物线：上的点，是抛物线的焦点，若
，则等于（）
A. 1008
B. 1009
C. 2017
D. 2018
【答案】D
【解析】设的横坐标为（，…，）
由抛物线的焦半径公式可得
∵
∴，即
∴
故选D
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
12. 设函数，，若实数，满足，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵由题可知
∴在为增函数
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴
故选D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若向量，，，则__________．
【答案】
【解析】∵
∴
∴
故答案为
14. 若实数，满足则的取值范围是__________．【答案】
【解析】作出可行域如图所示：
表示圆心为，半径为的圆
作图可知当圆与直线相切时值最小，且为
当经过点或者点时，最大，且为
∴
故答案为
点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
15. 双曲线：的左、右焦点，，过的直线交双曲线左支于，两点，则
的最小值为__________．
【答案】10
【解析】根据双曲线得
根据双曲线的定义
相加得
由题意可知,当是双曲线通径时最小
即有
即有
故答案为10
试题点评：本题考查双曲线的定义及几何性质，本题解答的关键是根据，两点的位置特征可得是双曲线通径时最小.
16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成，构成四棱锥，若为线段的中点，在翻转过程中有如下四个命题：①平面
；②存在某个位置，使；③存在某个位置，使；④点在半径为的圆周上运动，其中正确的命题是__________．
【答案】①③④
【解析】
对于①，取中点,连接,则∥，∥,所以平面平面,所以平面，故正确；对于②，因为在平面中的射影为，与不垂直，所以存在某个位置,使不正确，故不正确；对于③，由,可得平面平面
时,，故正确；对于④，因为的中点是定点,，所以点是在以为圆心，
为半径的圆上，故正确
故答案为①③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，点在边上，且满足，．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）（2）或．
【解析】试题分析：（1）由得，根据，可得
，再根据三角恒等变换，即可求出求；（2）由（1）得，利用余弦定理即可求出．
试题解析：（1）在中，，
∵
∴，
∵
∴，∴
∴，
∴（∵），
∴
∴．
（2）由（1）得，
∴，
∴或．
18. 已知各项为正数的数列，，前项和，是与的等差中项（）．（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由是与的等差中项（），可得，从而证出是等差数列及的通项公式；（2）由（1）可求出的通项公式，根据数列的特性，采用错位相减法即可求出．
试题解析：（1）∵当时，
∴，
即，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴
∴（），
∵当时也成立，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
..............................
19. 如图，在四棱锥中，平面，且，
，是边的中点．
（1）求证：平面；
（2）若是线段上的动点（不含端点）：问当为何值时，二面角余弦值为．【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由平面得，再根据，可推出平面，再由及是边的中点，可推出，从而可证平面；（2）在底面内过
点作直线，，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，由（1）可得是平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，再根据二面角余弦值为，即可求得.
试题解析：（1）证明：∵平面
∴ ，
∵，，
∴平面
∴，
在等腰直角中，∵是边的中点
∴，
∵
∴平面．
（2）解：在底面内过点作直线，，∵平面，
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
∴，
∴，
∵平面
∴是平面的一个法向量，
∵是线段上的动点，设（），
∴，∴，∴，
设是平面的一个法向量，
∴∴
取，，∴
设二面角大小为，
∴
∴，此时二面角是钝二面角，符合题意，此时．
点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：
（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．
20. 设椭圆的方程为（），点为坐标原点，点，的坐标分别为，，点在线段上，满足，直线的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点（），问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值，若不存在，说出理由．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）设点的坐标，由及直线的斜率为，即可求得
，从而求出椭圆的方程；（2）设直线方程：，联立椭圆方程，消去，得关于的一元二次方程，设，，结合韦达定理，可得与，假设存在实数使得以
为直径的圆恒过点，则，由，即可求出的值.
试题解析：（1）设点的坐标，，，，，
∴
∴椭圆的方程．
（2）设直线方程：，代入，得，
设，，则，，
假设存在实数使得以为直径的圆恒过点，则．
∴，，，
即，得，
整理得
∴（∵），当时，符合题意
21. 已知函数，，且在处的切线平行于直线．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知函数图象上不同两点，，试比较与的大小．
【答案】（1）函数的单调增区间是，单调减区间是．（2）
【解析】试题分析：（1）写出的定义域，对求导，由在处的切线平行于直线
可得，从而求出，即可求出函数的单调区间；（2）根据题设条件写出，求出，分别表示出与，两者作差，设，求出的单调性，即可比较大小.
试题解析：（1）的定义域为，，因为在处的切线平行于直线
，
∴，∴，
∴
∴，
∴时，，是增函数；
∴时，，是减函数；
所以函数的单调增区间是，单调减区间是．
（2）∵
∴，
∴
又，
∴
，
设，
∴在上是增函数．
令，不妨设
∴
∴
∴，即，
又
∴．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条
件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线
的极坐标方程为．
（1）当时，求曲线和曲线的交点的直角坐标；
（2）当时，设，分别是曲线与曲线上动点，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程，即可求出交点的直角坐标；（2）求出曲线的直角坐标方程，可得曲线是圆，求出圆心到直线的距离及圆的半径，即可求出的最小值．
试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．
联立消去得
∴或，
∵，
∴
∴，∴．
（2）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，则曲线
的圆心到直线的距离，因为圆的半径为1，
∴的最小值为．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，，都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可；（2）
，由，可得的单调性，从而求出的最小值，即可求出实数的取值范围．
试题解析：（1）由
∵，得不等式解集为．
（2）设，
∵，∴
∴在和上是增函数，在上是减函数，
∴的最小值是，
要使，都成立，只要，得，
综上，的取值范围是．
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。