高中数学复习专题讲座(第25讲)直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)

高中数学复习专题讲座直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C| Array成等差数列(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法错解分析 第三问在表达出“k =3625y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3故椭圆方程为92522y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B 59因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上得22112222925925 925925 x y x y ⎧+=⨯ ⎪⎨+=⨯⎪⎩①②①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516 解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0 (当k =0时也成立)(以下同解法一)例2若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a的范围解法一 （对称曲线相交法）曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由2211y ax x ay ⎧=-⎨-=-⎩22()y x a x y ⇒+=- ∵ 0,x y +≠∴ 1y x a=-代入21y ax =-得 2110ax x a-+-=有两个不同的解， ∴ 213(1)4(1)04a a a ∆=--->⇒>解法二 （对称点法）设抛物线21y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交点的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称点00(,)A y x '--也在抛物线21y ax =-上则200200(1)1(2)()1y ax x a y ⎧=-⎨-=--⎩ 必有两组解(1)-(2)得220000()y x a x y +=- 必有两个不同解∵000y x +≠， ∴00()1a x y -=有解从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解∴ 22()4(1)a a a ∆=---+>∵ 0a ≠， ∴ 4a >解法二 （点差法）设抛物线21y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线0x y +=对称，且以00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21(1)x y a=+）内的点从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由211222(1)1(2)1y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩ (1)-(2)得 221212()y y a x x -=- ∴ 1212012()2AA y y k a x x ax x x '-==+=-由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a'=⇒=⇒==-⇒- 从而有 21113()(1)224a a a a <-+⇒> 例3 试确定m 的取值范围，使得椭圆22143x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称设椭圆22143x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，且以00(,)M x y 为中点是椭圆22143x y +=内的点从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由22112222(1)3412(2)3412x y x y ⎧+=⎨+=⎩(1)-(2)得 222212124()3()y y x x -=-- ∴ 012121212033()4()4AA x y y x x k x x y y y '-+==-=--+由00003113444AA x k y x y '=-⇒-=-⇒= 由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ⇒=-=-⇒--从而有222()(3)41(43131313m m m m --+<⇒<⇒∈- 例4 已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值解 可设直线l 的方程为4x my =+代入22y px =得 2280y pmy p --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121212122()8,224y y y y y y p x x p p p=-=== 由题意知，OP ⊥OQ ，则0OP OQ =即 12121680x x y y p +=-= ∴2p =此时，抛物线的方程为24y x =学生巩固练习1 在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________2 已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程 ①4x +2y －1=0, ②x 2+y 2=3, ③22x +y 2=1, ④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________3 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称(1)求双曲线C 的方程(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标参考答案:1 解析 设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得，(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2)即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8故所求直线方程为y =8x －15答案 8x －y －15=02 解析 点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点答案 ②③④3 解 (1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2)∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2(2)设直线l y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l ′间的距离为设直线l ′ y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0可得m 2+2k 2=2③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解得m =510,k =552,此时x =2212=--k mk,y =故B (22,10)。