高三数学课件-三角恒等变换复习课件3 推荐
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2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
高考数学一轮复习第三章第四讲简单的三角恒等变换课件
又 α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜34π.
所以 α－π4＝π2.故 α＝34π.
因此，tan
α＋π3＝tan
34π＋π3＝1t－anta3n4π＋34πttaann
π 3π＝－11＋＋
3
3＝ 3
2－ 3.
【反思感悟】三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 a sin x＋b cos x 的形式.
(2)构造 f(x)＝
a2＋b2
a a2＋b2·sin
x＋
b a2＋b2·cos
x.
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)(其中 φ 为辅助
角).
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
【高分训练】
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
答案：B
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件
5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析 由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=
高考数学复习第三章三角函数解三角形第4讲简单的三角恒等变换文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT
(2)当 x∈0，π2时，求函数 f(x)的值域．
29/35
[解]
(1)f(x)＝2sin
x
3 2 sin
x＋12cos
x
＝ 3×1－c2os 2x＋12sin 2x
＝sin2x－π3＋ 23.
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
解得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，
3sin(π－C)＝ 3sin C，又 cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故
3sin C＝1－cos C，即 3sin C＋cos C＝1，即 2sinC＋π6＝1， 即 sinC＋π6＝12，由于π6＜C＋π6＜76π，故只有 C＋π6＝56π，即 C
＝23π.
第三章 三角函数、解三角形
第4讲 简单三角恒等变换
1/35
常见的三角恒等变换有三种形式：化简，求值，证明． (1)化简：要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值， 常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式 及和、差、倍角公式进行转化求解． (2)求值：分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充 分利用条件进行转化求解，注意尽量用已知角表示未知角．
所以 fα2－π8
＝2sin α＝
23，即 sin α＝
3 4.
又 α 是第二象限的角，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 432＝－ 413，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 43×－
413＝－
39 8.
17/35
2．求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°. [解] 原式＝
29/35
[解]
(1)f(x)＝2sin
x
3 2 sin
x＋12cos
x
＝ 3×1－c2os 2x＋12sin 2x
＝sin2x－π3＋ 23.
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
解得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，
3sin(π－C)＝ 3sin C，又 cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故
3sin C＝1－cos C，即 3sin C＋cos C＝1，即 2sinC＋π6＝1， 即 sinC＋π6＝12，由于π6＜C＋π6＜76π，故只有 C＋π6＝56π，即 C
＝23π.
第三章 三角函数、解三角形
第4讲 简单三角恒等变换
1/35
常见的三角恒等变换有三种形式：化简，求值，证明． (1)化简：要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值， 常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式 及和、差、倍角公式进行转化求解． (2)求值：分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充 分利用条件进行转化求解，注意尽量用已知角表示未知角．
所以 fα2－π8
＝2sin α＝
23，即 sin α＝
3 4.
又 α 是第二象限的角，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 432＝－ 413，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 43×－
413＝－
39 8.
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2．求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°. [解] 原式＝
课件高中数学必修简单的三角恒等变换PPT课件_优秀版
2tan
sin()1tan22
129231123
2
4
例 5.求证：sin3 sin3 + cos3 cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= 1 (cos4 cos2)sin2 + 1 (cos4 + cos2)cos2
2
2
= 1 cos4sin2 + 1 cos2sin2 + 1 cos4cos2 + 1 cos2cos2
倍
角cos 2 cos2 sin2
公
式t：an 2
2 tan 1 tan2
k
24
R R
k k Z
2
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
引申：公式变形：
1sin2(sincos)2
1cos22cos2 升幂降角公式
1cos22sin2
co2s1co2s 2
ta n
2
1 ta n 2
2
三、讲解范例： 例1.已知 2sincos5 求3cos 2 + 4sin 2 的值
sin3cos
解：∵ 2sincos5 ∴cos 0 (否则 2 = 5 )
sin3cos
2tan 15 解之得：tan = 2 tan 3
∴原式
3 ( 1 ta 2 )n 4 2 ta n 3 ( 1 2 2 ) 4 2 2 7 1 ta 2 n1 ta 2 n1 2 2 1 2 2 5
2
2
2
2
= 1 cos4cos2 + 1 cos2 = 1 cos2(cos4 + 1)
sin()1tan22
129231123
2
4
例 5.求证：sin3 sin3 + cos3 cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= 1 (cos4 cos2)sin2 + 1 (cos4 + cos2)cos2
2
2
= 1 cos4sin2 + 1 cos2sin2 + 1 cos4cos2 + 1 cos2cos2
倍
角cos 2 cos2 sin2
公
式t：an 2
2 tan 1 tan2
k
24
R R
k k Z
2
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
引申：公式变形：
1sin2(sincos)2
1cos22cos2 升幂降角公式
1cos22sin2
co2s1co2s 2
ta n
2
1 ta n 2
2
三、讲解范例： 例1.已知 2sincos5 求3cos 2 + 4sin 2 的值
sin3cos
解：∵ 2sincos5 ∴cos 0 (否则 2 = 5 )
sin3cos
2tan 15 解之得：tan = 2 tan 3
∴原式
3 ( 1 ta 2 )n 4 2 ta n 3 ( 1 2 2 ) 4 2 2 7 1 ta 2 n1 ta 2 n1 2 2 1 2 2 5
2
2
2
2
= 1 cos4cos2 + 1 cos2 = 1 cos2(cos4 + 1)
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换2省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
4/32
探究一：a sin x b cos x的变形及应用
a sin x b cos x能化成一个角的三角函数值吗？
提醒: 令 cos a ,sin b
a2 b2
a2 b2
a sin x b cos x
a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 cos sin x sin cos x
所以周期T = 2π，最大值为2，最小值为- 2.
9/32
经过三角恒等变换，我们把形如
函
数转化为形如
函数，从而使问题得到简
化.
10/32
【变式练习】
已知函数 f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxsin(π2－ωx)(ω>0)的 最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)在区间[0，23π]上的值域．
Q
分析：（1）找出 S与 之间函数关系.
（2）由得出函数关系，求S最大值. D
C
OA
BP
18/32
19/32
20/32
【变式练习】
已知半径为1半圆，PQRM是半圆内接矩形，如 图，P点在什么位置时，矩形面积最大，并求最大 面积值．
分析：连接OP,设POM , Q
用角 表示面积.
R
P
OM
21/32
3cosx＝2
3
23sinx－12cosx
＝2 3sinxcosπ6－cosxsinπ6
＝2 3sinx－π6.
24/32
3、sin2x－sinxcosx＋2cos2x＝( A )
A. 22sin2x＋34π＋32
B. 22sin2x＋34π
探究一：a sin x b cos x的变形及应用
a sin x b cos x能化成一个角的三角函数值吗？
提醒: 令 cos a ,sin b
a2 b2
a2 b2
a sin x b cos x
a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 cos sin x sin cos x
所以周期T = 2π，最大值为2，最小值为- 2.
9/32
经过三角恒等变换，我们把形如
函
数转化为形如
函数，从而使问题得到简
化.
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【变式练习】
已知函数 f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxsin(π2－ωx)(ω>0)的 最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)在区间[0，23π]上的值域．
Q
分析：（1）找出 S与 之间函数关系.
（2）由得出函数关系，求S最大值. D
C
OA
BP
18/32
19/32
20/32
【变式练习】
已知半径为1半圆，PQRM是半圆内接矩形，如 图，P点在什么位置时，矩形面积最大，并求最大 面积值．
分析：连接OP,设POM , Q
用角 表示面积.
R
P
OM
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3cosx＝2
3
23sinx－12cosx
＝2 3sinxcosπ6－cosxsinπ6
＝2 3sinx－π6.
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3、sin2x－sinxcosx＋2cos2x＝( A )
A. 22sin2x＋34π＋32
B. 22sin2x＋34π
高考数学一轮总复习 第三章 第5节 三角恒等变换课件
π 4
＝ 2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－ 22[2cos2(α＋π6)－1]
＝ 2×35×45－ 22[2×(45)2－1]
＝1225 2－7502＝1750
2 .
[答案]
17 2 50
考向一 三角函数式的化简与给角求值
例 1 (1)化简：
1＋sin θ＋cos θsin θ2－cos 2＋2cos θ
tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ (Tα－β) tan (α＋β)＝1t＋antαan＋αttaannββ (Tα＋β)
2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin2α＝2cos 2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝1－2tatnanα2α.
(2)原式＝2×22sicno1s021°c0o°s
10°－sin
cos 10°( sin
55°°－csoins
5° 5°)
＝2csoisn
1100°°－sin
cos2 5°－sin2 5° 10°· sin 5°cos 5°
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
5．设 α 为锐角，若 cos(α＋π6)＝45，则 sin(2α＋1π2)的值为
______________． [解析] ∵α 为锐角且 cos (α＋π6)＝45，
∴sin(α＋π6)＝35.
∴sin(2α＋1π2)＝sin[2(α＋π6)－π4]
＝sin 2(α＋π6)cos
π4－cos 2(α＋π6)sin
4cos2θ2＝2cos
θ 2.
又(1＋sin θ＋cos θ)(sin