【2019年整理】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
• [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； 1 2 3 (3)y＝ x＋x2＋x3；
2 (4)y＝xtanx－cosx.
• [解析] (1)方法一： y′＝[(x＋ 1)2]′(x－1)＋ (x ＋ 1)2(x － 1)′ ＝ 2(x ＋ 1)(x － 1) ＋ (x ＋ 1)2 ＝ 3x2＋2x－1. 方法二： y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－ x － 1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋x2cosx. 1 2 3 －1 －2 －3 －2 ＋ ＋ (3)y′＝ x ＋3· x )′＝－x 2 3 ′＝ (x ＋ 2· x x x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x)g ( x)
f (法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
8个基本初等函数的导数公式
8个基本初等函数的导数公式一、常数函数的导数公式：对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。
二、幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量，则有f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。
三、指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。
这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。
四、对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=1/(x*ln(a))。
这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。
五、三角函数的导数公式：(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。
(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。
(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。
(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。
(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。
(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。
这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。
六、双曲函数的导数公式：(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案马长琴
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案编写者：马长琴教学目标：1. 理解基本初等函数的导数公式。
2. 掌握导数的运算法则。
3. 能够运用导数公式和运算法则解决问题。
教学重点：1. 基本初等函数的导数公式。
2. 导数的运算法则。
教学难点：1. 导数公式的记忆和应用。
2. 导数运算法则的推导和应用。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教案手册。
3. 黑板和粉笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾导数的定义和性质。
2. 提问：导数在实际应用中的作用是什么？二、基本初等函数的导数公式（15分钟）1. 讲解常数的导数公式：\( (c)' = 0 \)2. 讲解幂函数的导数公式：\( (x^n)' = nx^{n-1} \)3. 讲解指数函数的导数公式：\( (a^x)' = a^x \ln(a) \)4. 讲解对数函数的导数公式：\( (\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)} \)5. 讲解三角函数的导数公式：\( (\sin(x))' = \cos(x) \)\( (\cos(x))' = -\sin(x) \)\( (\tan(x))' = \sec^2(x) \)6. 讲解反三角函数的导数公式：\( (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2} \)三、导数的运算法则（15分钟）1. 讲解导数的四则运算法则：加法法则：\( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \)减法法则：\( (f(x) g(x))' = f'(x) g'(x) \)乘法法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)除法法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)2. 讲解导数的复合运算法则：-链式法则：\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)-反函数法则：\( (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)-乘积法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)-商法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)四、巩固练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
基本初等函数的公式及导数的运算法则
5.若f x a x , 则f ' x a x ln a;
6.若f x e x , 则f ' x e x ;
1 7.若f x log a x, 则f ' x ; x ln a 1 8.若f x ln x, 则f ' x ; x
u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有 yx ' yu 'ux '
u '2x 3' 4u 8 x 12
2
(2)函数 y=e-0.05x+1 可以 看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根 据复合函数求导法则有
(3)函数 y=sin(x+) 可 以看作函数 y=sinu 和 u=x+的复合函数., 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y=3x2-2.
堂上练习 求下列函数的导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
1 4 2 y 3 2 x 4 x 5 x x 6
2 3
3y (2x3 1)(3x2 x)
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度 的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位:元)为
5 284 80 x 100 c x 100 x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%; (2) 98%.
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
'100 x 5284 100 x ' 5284 5284 c' x ' 2 100 x 100 x 5284 0 100 x 5284 1 100 x 2 100 x 2 1因为c' 90 5284 2 52.84, 100 90
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
和导数运算法则 , 求函数 y x 2 x 3 的导数.
解 因为y x 2 x 3
' 3
'
x
3 '
2x 3
'
'
3x 2.
2
所以,函数 y x 3 2 x 3 的导数是 y ' 3x 2 2.
例 3 日常生活中的饮用水 通常是经过 净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加 .已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用单位 : 元为 5284 80 x 100.求净化到下纯度 c x 100 x 时, 所需净化费用的瞬时变 化率 :
1.2.2 基本初等函数的导数公 式 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基本初等函数的导数公 式
1 . 若 f x c, 则 f ' x 0 ; 2 . 若 f x x n n N , 则 f ' x nx n 1 ; 3 . 若 f x sin x, 则 f x cos x ;
'
4 . 若 f x cos x, 则 f ' x sin x ; 5 . 若 f x a , 则 f x a ln a ;
x ' x
6 . 若 f x e x , 则 f ' x e x ;
1 7 . 若 f x log a x, 则 f x ; x ln a 1 ' 8 . 若 f x ln x, 则 f x . x
'
2. f x gx ' f ' xgx f xg' x;
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.2、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则班级__________ 姓名___________,【教学目标】1、掌握基本初等函数的导数公式，并能利用公式求简单函数的导数；2、掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数；3、能运用公式处理某些实际问题。
【教学重点】基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则【教学难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用【教学过程】一、知识回顾：公式1、0)'(=C （C 为常数）公式2、1)'(-=n n nx x （n 为有理数）二、新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表函数 导数y c = '0y =*()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -=sin y x = 'cos y x =cos y x = 'sin y x =-()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>()x y f x e == 'x y e =()log a f x x = )10(ln 1)('≠>=a a a x x f 且()ln f x x = '1()f x x =（二）导数的运算法则（1）导数的四则运算法则：导数运算法则1、[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2、[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3、[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）例题1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅；（3）2(251)x y x x e =-+⋅； （4）4x xy =；答案（1）y ′=232-x（2）y ′=sinx+xcosx（3）y ′=x e x x )32(2--（4）y ′=x x 44ln 1-处的切线方程。
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[ f (sin2 x)] [ f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
f (sin2 x) 2sin x cos x f (cos2 x) 2 cos x(sin x)
f
'(
x)
g
(x) f ( [ g ( x)]2
x)
g
(
x)
'
(
g
(
x)
0)
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1求下列函数的导数.
(1) y x3 sin x cosx (2) y (x 1)(x 2) (3) y tan x
解：(1) y' (x3)'(sin x)'(cos x)'
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C' 0 C为常数 (xn )' n(x)n1 (n Q)
(sin x) cos x (cos x) sin x
(ax )' a x ln a, (ex )' ex
(loga
x)'
1 x ln a
, (ln
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
22
2
2
解：（1） y sin x 2x2 1
y' cos x 4x.
(2) y cos2 x sin 2 x cos x,
2
2
y' (cos x)' sin x.
[ f (x)]' g(x)
f
'(
x)
g
(x) f ( [ g ( x)]2
x)
g
(
x)
'
(
g
(
x)
0)
2.复合函数及求导法则：
y
' x
yu'
u
' x
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积 （灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）
课后作业
课本18页 练习
y f (g(x))
复合函数的导数：
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数y f (u)u g(x) 的导数间的关 Nhomakorabea为y
' x
yu'
u
' x
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积．
小结
1.导数的四则运算法则：
[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g(x) '
sin 2x[ f (sin2 x) f (cos2 x)]. 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
四、复合函数及求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
x) '
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
函数和（差）的导数等于它们导数的和（差）.
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g(x) '
[ f (x)]' g(x)
3x2 cos x sin x
(2) y' (x 1)' (x 2) (x 1)(x 2)'
(x 2) (x 1) 2x 3
(3)
y'
( sin x )' cos x
(sin
x)'cos x sin cos2 x
x(cos
x)'
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.
例3 设f(x)可导,求下列函数的导数: （1）f (x2);（2）f ( 1 x2 );（3）f (sin2x)+f (cos2x) 解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2