九年级数学上册专题突破讲练圆的周长和弧长试题新版青岛版
青岛版初中数学九年级上册《弧长及扇形的面积的计算》同步测试练习题卷练习题1
三、解答题：
1. 已知扇形的圆心角为 120°，弧长为 20πcm，求扇形的面积（精确到 1cm2）
2. 已 知 ： 如 图 3-37， ⊙O 是 等边 △ABC 的 外接 圆， 且其 内 切圆 的半 径 为 2 cm，求△ABC 的边长及扇形 AOB 的面积.
A
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OBCFra bibliotekͼ3-37
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【综合练习】 1. 如图 3-38，两个半圆中，大半圆的弦 CD 与直径 AB 平行且与小半圆相切， 已知 CD = 4 cm，求图中阴影部分的面积.
C
D
A
B
O
ͼ3-38
2. 如 图 3-39， ⊙O 的 直 径 EF = 10 cm， 弦 AB = 6 cm， CD = 8 cm， 且
⌒
⌒
AB∥EF∥CD，求由线段 AE、BE 和AB组成的图形及由线段 CF、DF 和CD组成
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3.6 弧长及扇形的面积的计算
【基础练习】
一、填空题：
1. 在半径为 5 cm 的圆中，30°的圆周角所对的弧长为
；
⌒⌒ 2. 如图 3-34，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，若 AB = 4 cm，则（AC+BD）的长
等于
；
3. 已知扇形的半径为 3 cm，面积为 6πcm2，则该扇形的弧长等于
.
二、选择题：
1. 如图 3-35，矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 3 ，以 BC 的中点 E 为圆心的弧 ⌒
九年级数学上册 专题突破讲练 圆的周长和弧长试题 青岛版
圆的周长和弧长1. 弧长公式：圆周长C=2πR （其中R 为圆的半径），即为圆心角是360°的弧长。
因此圆心角是1°的弧长等于圆周长的1360，即2R 360180R ππ=,所以n °的圆心角所对的弧长为180n R π。
即在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l =180n R π. 说明:（1)在应用公式进行计算时，要注意公式中n 的意义:n 表示1°的圆心角的倍数.公式中的n 、180都不带单位。
(2）同圆中圆心角n °越大，弧长越长；相等的圆心角半径越大,所对的弧长越大，L 与n 、R 两个因素有关。
2。
易错点:扇形的弧长和扇形的周长不一样，扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和。
直接利用公式求弧长例题1 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3,则⋂BC 的长为（ )A. π B 。
2π C 。
3π D 。
5π解析:连接OB,由于AB 是切线,那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC,那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC 的度数，在利用弧长公式即可求出⋂BC 的长。
解：连接OB.∵AB 与⊙O 相切于点B,∴∠ABO=90°。
∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°。
∵OB=OC，∴∠OCB=30°.∴∠BOC=120°.∴⋂BC 的长为12032180180n r πππ⨯⨯==，故选B. 答案:B点拨:利用弧长公式计算弧长时，关键是根据题意得出圆心角、半径，而本题解题的关键是连接OB,构造直角三角形.例题2 如图,在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上,将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°,则顶点A 所经过的路径长为( ）A 。
九年级数学上册 对圆的进一步认识 弧长及扇形的面积的计算同步练习青岛版(2)
弧长及扇形的面积的计算一、填空题:1.半径为9cm 的圆中，长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为______;60°的圆心角所对的弦的长为________.2.弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料. 根据如图1所示的图形可算得管道的展直长度为_______.(单位:mm ，精确到1mm).100︒R120180CBA 'C 'CBA(1) (2) (3)3.设计一个商标图形(如图2所示)，在△ABC 中，AB=AC=2cm ，∠B=30°，以A 为圆心，AB为半径作¼BEC ，以BC 为直径作半圆¼BFC ，则商标图案面积等于________cm2.4.扇形的弧长为20cm ，半径为5cm ，则其面积为_____.5.如图3，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，将△ABC 绕点B 旋转至△A ′BC′的位置，且使点A ，B ，C′三点在同一直线上，则点A 经过的最短路线长是______cm.6.如图4，扇形AOB 的圆心角为60°，半径为6cm ，C.D 分别是»AB 的三等分点， 则阴影部分的面积是________.OCDBAGA 32A 1F E CD BA(4) (5) (6) 二、选择题:7.秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，一小朋友荡该秋千时， 秋千最高处踩板离地面2米(左，右对称)，则该秋千所荡过的圆弧长为( )A.π米B.2π米C.43π米 D.32π米8.如图5的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只上虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿¼1ADA、¼12A EA、¼23A FA、¼3A GB、路线爬行，乙虫沿¼ACB路线爬行，则下列结论正确的是( )A.甲先到B点B.乙先到B点;C.甲、乙同时到B点D.无法确定9.一个滑轮起重装置如图6所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°)( )A.115°B.60°C.57°D.29°10.一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，那么扇形的圆心角是( )A.120°B.150°C.210°D.240°11.如图7，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A.B两点，B点坐标为(0，)，OC与⊙D相交于点C，∠OCA=30°，则图中阴影部分的面积为( )A.2π-4π4π-2πx(7) (8)12.如图8，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A.2B.12π+C.1D.24π-三、解答题:13.已知，一条弧长为cm，它所对的圆心角为120°，求这条弧所对的弦长.14.如图是一把绸扇，线段AD.BC所在的直线相交于点O，»AB与»CD是以点O为圆心、半径分别为10cm，20cm的圆弧，且∠AOB=150°，这把绸扇的绸布部分ADCB的面积是多少？(不考虑绸布的折皱，结果用含π的式子表示)O CDBA15.(南宁市中考.课改卷)如图，已知⊙O半径为8cm，点A为半径OB 延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，»BC的长为209πcm，求线段AB的长(精确到0.01cm).O CBA16.如图是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并与外圆交于A.B两点，测量结果为AB=30cm，求管道阴影部分的面积.BA17.一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料，如图所示，现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成形状不同的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并直接写出扇形的半径.C BA18.如图，正△ABC 的边长为1cm ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转120 °至AP1， 形成扇形D1;将线段BP1绕点B 顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2;将线段CP2绕点C 顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3;将线段AP3绕点A 顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4，…… 设n l 为扇形n D 的弧长(n=1，2，3…)，回答下列问题: (1)按要求填表:(2)根据上表所反映的规律，试估计n 至少为何值时，扉形n D 的弧长能绕地球赤道一周？(设地球赤道半径为6400km).D 4D 3D 2D 1P 4P 3P 2P 1CBA参考答案1.240°3πcm 2.389mm 3.16π6.2πcm27.B 8.C 9.C 10.B 11.A 12.A13.设其半径为R，则120,180R R π==g ，过圆心作弦的垂线，则可求弦长为9cm.14.由已知得，S 扇形DOC=2150500203603ππ=g ，S 扇形AOB=2150125103603ππ=g ，故绸布部分的面积为S 扇形DOC- S 扇形AOB=125π.15.由已知得， 2081809n ππ=g ，得n=50，即∠AOC=50°.又AC 切⊙O 于点C ，故∠ACO=90 °， 从而OA=00812.446cos50cos50OC =≈，故AB=AO-OB=12.446-8≈4.45cm.16.设切点为C ，圆心为O ，连接OC ，则OC⊥AB，故AC=BC=15，连接OA ，则OA2-OC2=AC2=152=225，故S 阴影=2222()225AO CO AO CO ππππ-=-=g g cm2. 17.如图所示.r=22CBAr=4CAr=42-4r=2OBA18.(1)依次填2468,,,3333ππππ. (2)根据表可发现: 23n l n π=g ，考虑 2264001000003n ππ≥⨯g g ，得n≥1.92×109，∴n 至少应为1.92×109.。
青岛版九年级数学上册第三章3.6弧长及扇形面积的计算专题练习【含答案】
青岛版九年级数学上册第三章3.6弧长及扇形面积的计算专题练习一、选择题1.将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分(阴影)的量角器弧(AB⏜)对应的圆心角(∠AOB)为120°，AO的长为4cm，OC的长为2cm，则图中阴影部分的面积为()A. (16π3+√2)cm2 B. (8π3+√2)cm2C. (16π3+2√3)cm2 D. (8π3+2√3)cm22.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB=2：7：11，CD=4，则CD⏜的长为()A. 2πB. 4πC. √2π2D. √2π3.如图所示，左边的正方形与右边的扇形面积相等，扇形的半径和正方形的边长都是2cm，则此扇形的弧长为()cm．A. 4B. 4πC. 8D. 8−π4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为()A. 2B. 2πC. 4D. 4π5.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为()A. π2B. πC. 2πD. 4π6.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为36cm，BD的长为18cm，则DE⏜的长为()cm．A. 154π B. 15π C. 18π D. 36π7.如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是()A. S1<S2<S3B. S2<S1<S3C. S1<S3<S2D. S3<S2<S18.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2√2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是()A. √2πB. πC. 2√2D. 29.如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为()A. 16π3−4√3 B. 4√3−4π3C. 16π3−8√3 D. 9√3−3π10.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是()A. 2π3−√3 B. 2π3−√32C. π−√32D. π−√3二、填空题11.如图，扇形ABC的圆心角为120°，半径为8，将扇形ABC绕点C顺时针旋转得到扇形EDC，点B，A的对应点分别为点D，E.若点D刚好落在AC⏜上，则阴影部分的面积为______．12.如图，在矩形ABCD中，BC=2，CD=√3，以点B为圆心，BC的长为半径作CE⏜交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作EF⏜交AB于点F，则图中阴影部分的面积为______．13.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F.若弧EF的长为π2，则AB=______．14.如图，E是半径为2cm的圆O的直径CD延长线上的一点，AB//CD且AB=OD，则阴影部分的面积是______．三、解答题15.如图，在等边△ABC中，BC=8，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．(1)求证：DF为⊙O的切线．(2)求弧DE的长度；(3)求EF的长．16.如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．(1)求证：PN与⊙O相切；(2)如果∠MPC=30°，PE=2√3，求劣弧BE⏜的长．17.在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，过A、B两点以r为半径作⊙O．(1)如图，对角线AC、BD交于点M，若AB=BC=2，且过点M，求r的值；(2)⊙O与边BC的延长线交于点E，DO的延长线交于点⊙OF，连接DE、EF、r，当CE=√2AB时，求∠DEF的度数．(提示：AC，若∠CAD=45°，AE⏜的长为π2可再备用图上补全示意图)18.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．(1)试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积(结果保留π)．答案和解析1.【答案】C【解析】解：易得△OBC中，∠BOC=60°，那么BC=2√3；故阴影部分的面积=120π42360+2×2√3÷2=(16π3+2√3)cm2，故选：C．根据题意，可得阴影部分的面积=扇形AOB的面积+△BOC的面积，代入数据计算可得答案．解决本题的关键是把阴影部分合理分割为规则图形的面积．2.【答案】D【解析】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB=2：7：11，∠AOD+∠DOB=180°，∴∠AOD=77+11×180°=70°，∠DOB=110°，∠COA=20°，∴∠COD=∠COA+∠AOD=90°，∵OD=OC，CD=4，∴2OD2=42，∴OD=2√2，∴CD⏜的长是90π×2√2180=√2π，故选：D．根据平角定义和已知求出∠AOD=70°，∠DOB=110°，∠COA=20°，求出∠COD=90°，解直角三角形求出半径OD，再根据弧长公式求出即可．本题考查了解直角三角形和弧长公式，能求出半径OD的长是解此题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查扇形的面积公式、弧长公式、正方形的性质等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角．利用扇形的面积公式求出圆心角n，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：设扇形的圆心角为n．由题意n⋅π⋅22360=4，∴n=360π，∴扇形的弧长为=360π⋅π⋅2180=4cm，故选：A．4.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，∴BC=√AB2+AC2=4√2，∠ACB=∠A′CB′=45°，∴阴影部分的面积=45π⋅(4√2)2360−12×4×4+12×4×4−45π⋅42360=2π，故选：B．根据阴影部分的面积是(扇形CBB′的面积−△CA′B′的面积)+(△ABC的面积−扇形CAA′的面积)，代入数值解答即可．本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=nπr2360．5.【答案】B【解析】解：这个扇形的面积=90⋅π⋅22360=π．故选：B．直接利用扇形的面积公式计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长)．6.【答案】B【解析】解：∵AB=36cm，BD=18cm，AB，AC夹角为150°，∴AD=AB−BD=18cm，∴DE⏜的长为：150π⋅18180=15π(cm)，故选：B．根据AB=36cm，BD=18cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到DE⏜的长．本题考查弧长计算公式，明确弧长公式是nπr180是解答本题的关键．7.【答案】B【解析】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S扇形AOC =60πR2360=πR26；S扇形BOC =120πR2360=πR23．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=R2，CD=√3R2，BC=√3R，∴S△OBC=√3R24，S弓形=πR23−√3R24=(4π−3√3)R212，(4π−3√3)R212>πR26>√3R24，∴S2<S1<S3．故选：B．设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形−三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．8.【答案】B【解析】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2√2，∴AB=√2BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=12⋅2π⋅1=π．故选：B．取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=√2BC=4，则OC=12AB=2，OP=12AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M 在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接OD，由折叠性质可得AC=CO=2，CD⊥AO，∴∠DCO=90°，，∴∠DOC=60°．∴CD=√OD2−OC2=2√3．．故选B．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定于性质，扇形的面积计算，连接BD，设AD，BE相交于点G，BF，DC相交于点H，根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【解答】解：如图，连接BD，设AD，BE相交于点G，BF，DC相交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60∘，∴△DAB是等边三角形，∠ADC=120∘，∴∠1=∠2=60∘．∵AB=2，∴△ABD的高为√3．∵扇形EBF的半径为2，圆心角为60∘，∴∠4+∠5=60∘，又∠3+∠5=60∘，∴∠3=∠4.在△ABG和△DBH中，，∴S四边形GBHD=S△ABD，∴S阴影=S扇形EBF−S△ABD=60π×22360−12×2×√3=2π3−√3．故选A．11.【答案】32π3−16√3【解析】【分析】证明△BCD是等边三角形，根据S阴=S扇形DCE−(S扇形BDC−S△BCD)计算即可．本题考查扇形面积计算，旋转变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：如图，连接BD．由题意：CD=CB=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°，∴S阴=S扇形DCE−(S扇形BDC−S△BCD)=120⋅π⋅82360−(60⋅π⋅82360−√34×82)=32π3−16√3，故答案为32π3−16√3．12.【答案】5π12+√32【解析】解：连接BE、EF，由题意得．BE=BC=2，由勾股定理得，AE=√BE2−AB2=1，sin∠ABE=AEBE =12，∴∠ABE=30°，∴∠CBE=60°，则图中阴影部分的面积=扇形EBC的面积+△ABE的面积−扇形EAF的面积=60π×22360+12×1×√3−90π×12360=5π12+√32，故答案为：5π12+√32．连接BE、EF，根据勾股定理求出AE，根据正弦的定义求出∠ABE，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式：S=nπr2360是解题的关键．13.【答案】2【解析】解：如图所示，连接AC，∵CD与⊙A相切，∴CD⊥AC，在平行四边形ABCD中，∵AB=DC，AB//CD，AD//BC，∴BA⊥AC，∵AB=AC∴∠ACB=∠B=45°，∵AD//BC∴∠FAE=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE，∴EF⏜=EC⏜，∴EF⏜的长度=45πR180=π2，解得R=2，即AB=2．故答案是：2．由切线的性质和平行四边形的性质得到BA⊥AC，∠ACB=∠B=45°，∠DAC=∠ACB= 45°=∠FAE，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求得结果．本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长的求法．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．14.【答案】23πcm2【解析】解：连接OA、OB，∵AB=OD，OD=OA=OB=2cm，∴OA=OB=AB=2cm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵AB//CD，∴△AOB的边AB上的高和△AEB的边AB上的高相等，∴S△AOB=S△ABE，∴阴影部分的面积S=S扇形AOB =60π×22360=23π(cm2)，故答案为：23πcm2．连接OA、OB，根据等底等高的三角形的面积相等求出△AOB的面积=△ABE的面积，求出阴影部分的面积=扇形AOB的面积，再求出扇形AOB的面积即可．本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能求出S△AOB=S△ABE是解此题的关键．15.【答案】(1)证明：连接DO，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°−∠C=30°，∴∠FDO=180°−∠ADO−∠CDF=90°，即OD⊥DF，∵OD为半径，∴DF为⊙O的切线；(2)解：连接OC，OE，∵在等边△ABC中，OA=OB，∴CO⊥AB，∠OCB=∠OCA=30°，∴OB=12BC=12×8=4，∵∠AOD=60°，同理∠BOE=60°，∴∠DOE=60°，∴弧DE的长度：60π×4180=43π；(3)解：∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=12AB=4，∴CD=AC−AD=4，Rt△CDF中，∠CDF=30°，∴CF=12CD=2，DF=2√3，连接OE，∵OB=OE，∠B=60°，∴△OBE是等边三角形，∴OB=BE=4，∴EF=BC−CF−BE=8−2−4=2．【解析】(1)连接OD，求出△ADO是等边三角形，求出∠ADO=60°，求出∠CDF=30°，求出∠FDO=90°，根据切线的判定得出即可；(2)连接OC，求得OB=4，∠DOE=60°，代入弧长公式求得即可；(3)连接OE，求出CF、BE长，即可求出EF；本题考查了切线的性质和判定、等边三角形的性质和判定、解直角三角形、弧形计算等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16.【答案】解：(1)证明：连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，{∠EPO=∠FPO ∠OEP=∠OFP OP=OP，∴△PEO≌△PFO(AAS)，∴OF=OE，则PN与圆O相切；(2)在Rt△EPO中，∠MPC=30°，∴∠EOP=60°，∠EOB=120°，PE=2√3，设OE=x，则OP=2x，由勾股定理，4x2=x2+(2√3)2，解得x=2，即OE=2，则BE的长l=120π×2180=4π3．【解析】此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．(1)连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出PN与圆O相切；(2)在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，∠EOB 度数，利用弧长公式即可求出劣弧BE的长．17.【答案】解：(1)如图1，在▱ABCD中，AB=BC=2，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴∠AMB=90°，∴AB为⊙O的直径，∴r=12AB=1；(2)如图2，设圆心为如图点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，直线OC与AD交于点N，则OA=OB=OE=r．在⊙O中，AE⏜的长=nπr180．∵AE⏜的长为π2r，∴nπr180=π2r，∴n=90°.即∠AOE=90°，∴∠ABE=12∠AOE=45°．在▱ABCD中，AD//BC，∴∠ACB=∠DAC=45°．∴∠ABE=∠ACB=45°．∴∠BAC=90°，AB=AC．∴在Rt△ABC中，BC=√2AB，∵CE=√2AB，∴BC=CE．又∵OB=OE，∴OC⊥BE，∵AD//BC，∴∠OCB=∠ONA=90°．∴OC⊥AD．在▱ABCD中，∠ADC=∠ABC=45°．∴AC=CD．∴AN=ND．即直线OC垂直平分AD，∴OA=OD．∴点D在⊙O上，∴DF为⊙O的直径．∴∠DEF=90°．【解析】(1)根据菱形的性质得出∠AMB=90°，根据圆周角定理得出AB为⊙O的直径，进而求得半径；(2)设圆心为如图点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，直线OC与AD交于点N，根据弧长公式求得∠AOE=90°，根据圆周角定理得到∠ABC=45°，即可得到BC=√2AB，从而证得BC=CE.进一步证得直线OC垂直平分AD，证得OA=OD，即可证得D在⊙O 上，则DF是⊙O的直径，根据圆周角定理求得∠DEF的度数．本题考查了弧长的计算，圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握并灵活应用性质定理是解题的关键．18.【答案】解：(1)BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AO=DO，∴∠CAD=∠ADO，∴AC//OD，∵∠ACD=90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；(2)连接OE，ED，∵∠BAC=60°，OE=OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE=60°，∴∠ADE=30°，∠BAC=30°，又∵∠OAD=12∴∠ADE=∠OAD，∴ED//AO，∴S△AED=S△OED，∠BAC=30°，∵∠EAD=12∴∠DOE=2∠EAD=60°，∴阴影部分的面积【解析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定，切线的判定，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．(1)连接OD，由角平分线的定义，等腰三角形性质可得∠CAD=∠ADO，推出AC//OD，由平行线的性质得出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；(2)连接DE、OE，证明S△AED=S△OED，求出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．。
青岛版初中数学九年级上册《圆周角》同步测试练习题卷练习题2
A．AC=BC
B． AN BN
C． AM BM
D．OC=CN
M
O
A
CB
N
A
B
O
A
O
C
ED
B
（4）
（5）
（6）
TB:小初高题库
青岛版初中数学
8．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点 O 到弦 AB 的距离为 4，则⊙O 的直 径的长为（ ）
A．4 2
B．8 2
C．24 D．16
9．如图 5，在半径为 2cm 的圆 O 内有长为 2 3 cm 的弦 AB，则此弦所对
5．如图 3，AB、CD 是⊙O 的两条弦，M、N 分别为 AB、CD 的中点，且 ∠AMN=∠CNM，AB=6，则 CD=_______．
6．如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对 7．如图 4，在圆 O 中，直径 MN⊥AB，垂足为 C，则下列结论中错误的 是（ ）
些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过
程，写出六条以上结论）
_A
_O
_B
_E _C
_D
二、拓广探索:
12．如图 7 所示，已知 C 为 AB 的中点，OA⊥CD 于 M，CN⊥OB 于 N，
若 OA=r，ON=a，则 CD=_______．
C
A B
D MO N
A
_D
_C
_O_1
_P
_O_2
_B
_A
17．如图所示，点 O 是∠EPF 平分线上的一点，以点 O 为圆心的圆与角的 两边分别交于点 A、B 和 C、D．
青岛版九年级数学上册第三章3.6弧长及扇形面积的计算专题练习【含答案】
青岛版九年级数学上册第三章3. 6弧长及扇形面积的计算专题练习一、选择题将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影 ）的量角器弧（応）对应的圆心角（"0B ）为120。
，AO 的长为4cm,OC 的长为2cm,则图中阴影部分的面积为（）2. 如图，皿是O0的直径，仞是弦, 的两侧.若"OC ： ZJ1OD ： Z.DOB = 则？S 的长为（）A. 2nB. 4兀D ・ y]2n3.如图所示，左边的正方形与右边的扇形而积相等，扇形的半径和正方形的边长都是2cm ,则此扇形的弧长为（）cm ・如图，在△力3C 中，LB AC = 90% AB = AC = 4.以点C 为中 心，把AABC 逆时针旋转45。
，得到AA f B f C,则图中阴影部分 的而积为（）1.B.(牛 + V2)cm 2A. 4D ・ 8 — 7T4. 乂 0 CD. (y + 2\/3)cm 22cmB. 4nAC8\/3 D. 9\/3-3TTA. S x < S 2 < S 3B. S 2<S 1< S 3C. Si V S3 V S 2D. S 3<S 2< S x 如图，在等腰RthABC^. AC = BC = 2y]2，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动 至点B 时，点M 运动的路径长是（）D. 2如图一个扇形纸片的圆心角为90。
，半径为4•将这张 扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为 CD,则图中阴影部分的而积为（）A. ^-4x/3B. 4V3-^ C ・字-SSS5. 6. 7. A. 2B. 2n若扇形的半径为2,圆心角为90。
, B. n C.4则这个扇形的面积为（D. 47TC. 2nD. 4n如图，扇形纸扇完全打开后.外侧两竹条AB, AC 夹角为150°, AB 的长为36cm, BD 的长为18c/n,则宛的长 为（）cm ・A. is —n 4B. ISnC. 18TT 如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且乙CO 力= 60。
青岛版数学九上圆练习题
青岛版数学九上圆练习题在数学的学习过程中，练习题是巩固知识点和提高解题能力的重要手段。
下面是一些青岛版数学九年级上册关于圆的练习题，供学生们练习。
一、选择题1. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是：A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切C. 直线与圆相离D. 直线是圆的直径2. 点P在圆O上，PA和PB是圆的两条半径，如果∠APB=60°，那么圆的周长是：A. 12πB. 15πC. 18πD. 20π二、填空题3. 已知圆的直径为10，那么圆的周长是_______。
4. 圆的半径为r，圆心角为α，扇形的弧长为l，若α=30°，则l=_______。
三、计算题5. 已知圆的半径为7，求圆的面积。
6. 如果一个扇形的半径为5，圆心角为45°，求扇形的面积和弧长。
四、解答题7. 圆O的半径为10，点A在圆O上，点B在圆O外，AB=12，求弦AB 所对的圆心角。
8. 在圆中，弦AB=10，弦CD=8，且AB⊥CD，求圆的半径。
五、证明题9. 已知圆的半径为r，点P在圆上，PA和PB是圆的两条半径，证明∠APB=2∠AOB。
10. 已知圆O的半径为r，点A和点B在圆上，且AB是圆的直径，证明∠AOB=90°。
这些练习题覆盖了圆的基本性质、面积和周长的计算、扇形的面积和弧长的计算，以及一些几何证明问题。
通过解决这些问题，学生可以加深对圆的理解，并提高解决几何问题的能力。
希望这些练习题能够帮助学生们更好地掌握青岛版数学九年级上册关于圆的知识点。
在解答过程中，如果遇到难题，不妨多尝试几种解题方法，或者与同学和老师讨论，以获得更深刻的理解。
九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的动态问题试题 (新版)青岛版
与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。
解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。
在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。
3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例题1如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。
根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。
所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。
解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA＝2OP，∴∠OA P＝30°。
故选A。
答案：A点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。
例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）解析：考虑用特殊值验证的方法。
解：可以采用特殊值的方法来“破题”，比如当x＝1时，△APO恰为正三角形，此时面积为3，达不到12，这样就排除了选项B、D；由于3比较接近12，所以只有选项A符合要求。
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圆的周长和弧长1. 弧长公式：圆周长C=2πR （其中R 为圆的半径），即为圆心角是360°的弧长。
因此圆心角是1°的弧长等于圆周长的1360，即2R 360180R ππ=，所以n °的圆心角所对的弧长为180n Rπ。
即在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l =180n Rπ。
说明：（1）在应用公式进行计算时，要注意公式中n 的意义：n 表示1°的圆心角的倍数。
公式中的n 、180都不带单位。
（2）同圆中圆心角n °越大，弧长越长；相等的圆心角半径越大，所对的弧长越大，L 与n 、R 两个因素有关。
2. 易错点：扇形的弧长和扇形的周长不一样，扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和。
直接利用公式求弧长例题1 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则⋂BC 的长为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 5π解析：连接OB ，由于AB 是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC ，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC 的度数，在利用弧长公式即可求出⋂BC 的长。
解：连接OB 。
∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO=90°。
∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°。
∵OB=OC，∴∠OCB=30°。
∴∠BOC=120°。
∴⋂BC 的长为12032180180n r πππ⨯⨯==，故选B 。
答案：B点拨：利用弧长公式计算弧长时，关键是根据题意得出圆心角、半径，而本题解题的关键是连接OB ，构造直角三角形。
例题2 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（ ）A. 10πB.3C.3π D. π解析：由题意得点A 所经过的路径是以C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为60°的弧，而要求的顶点A 所经过的路径长就是求以C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为60°的弧长，利用弧长公式180rn l π=计算可得。
解：∵在Rt△ACD 中，AD=3，DC=1，∴根据勾股定理得：AC= 101322=+， ∵△ABC 绕点C 顺时针旋转60°， ∴顶点A 所经过的路径长为l=1801060180⨯⨯=ππr n π。
故选C 。
答案：C点拨：求动点所经过的路径长，必须先分析清楚动点所经过的路径是什么。
此题中的动点绕一定点在旋转，故动点所经过的路径是以定点为圆心，动点到定点的长度为半径的一条弧，从而把求长度问题转化为求弧长问题，直接利用弧长公式180n rl π=计算。
弧长公式的逆用例题3 一条弧所对的圆心角为135°、弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm 。
解析：已知圆半径可由圆周长公式r π2得圆周长。
弧长的计算为公式：180rn l π=，已知圆心角为135°，故弧长为180135rπ，由题意列方程可解得弧所在圆的半径。
解：设弧所在圆的半径为rcm ，由题意得：352180135⨯⨯=ππr，解得r=40， 故这条弧的半径为40cm 。
答案：40点拨：注意区别圆周长的计算公式：r π2（d π）与弧长的计算公式：180rn l π=弧长公式在滚动问题中的应用在旋转变换中，有时就隐含着弧长的计算，准确理解弧长公式各个量的含义，是解题的关键。
满分训练 如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 做无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，则点A 经过的路线长为 。
解析：从点A 第一次翻滚到点A 1位置时，先确定翻转过程中点A 每一次转角及旋转半径大小，再求各弧长，最后求和。
解：如图，由1A C ''=5，则AA ⋂'=903180π⨯=32π，A A ⋂'''=904180π⨯=2π， 1''A A ⋂=905180π⨯=52π，则点A 第一次翻滚到点A 1位置时，则点A 经过的路线长为AA ⋂'+A A ⋂'''+1''A A ⋂=35222πππ++=6π。
答案：6π点拨：根据弧长公式l ＝180n rπ可知，确定弧长的关键是弄清圆心角和半径大小。
弧长公式180n rl π=中包含三个量，已知其中的两个可以求出第三个。
所以利用弧长公式进行计算一般有三种类型：①已知r 、n ，代入公式直接求l ；②已知n 、l ，代入公式借助方程求r ；③已知r 、l ，代入公式借助方程求n 。
（答题时间：45分钟）1. 如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）A.cm 4π B. cm 47π C. cm 27π D. π7cm2. （聊城中考）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米，那么钢丝大约需加长（ ）A. 210厘米B. 410厘米C. 610厘米D. 810厘米 3. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为（ ）A. 6cmB. 12cmC. 23cmD. 6cm4. 已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°。
用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿厘米。
*5. 如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A ＝30°，则劣弧BC ⋂的长为 cm 。
6. （四川中考）点A 、B 、C 是半径为15cm 的圆上三点，∠BAC =36°，则弧BC 的长为 ______cm 。
*7. 点O 在直线AB 上，点A 1、A 2、A 3…在射线OA 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OB 上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度。
一个动点M 从O 点出发，按如图所示的箭头方向沿实线段和以O 为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度。
按此规律，则动点M 到达A 101点处所需时间为 。
**8. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB ⌒上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD⌒的长为 。
**9. 如图，已知CB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，点A 为CD 延长线上一点，BC =AB ，∠CAB =30°。
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，求BD ⋂的长。
**10. 如图所示，AC⊥AB，AB=AC=2，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE⊥CD 交直线AB 于点E ，设∠DAB=α，（0°＜α＜90°）。
（1）当α=18°时，求BD ⋂的长。
（2）当α=30°时，求线段BE 的长。
（3）若要使点E 在线段BA 的延长线上，则α的取值范围是 （直接写出答案）。
*11. 如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，求游泳池的周长。
1. B 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，r =27cm ，则“蘑菇罐头”字样的长= =⨯1802790πcm 47π。
故选B 。
2. A 解析：先设地球的半径为r ，则赤道的长近似为2πr cm ，当钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米时，钢丝的长度近似为2π（r +16）cm ，则钢丝大约需加长2π（r +16）﹣2πr =32π≈100 cm ，故选A 。
3. A 解析：根据弧长公式，18060πr=2π，解得r=6，故选A 。
4. 25 解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的母线长R =60cm ，因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长，所以2πr =180Rn π，解得r =25cm 。
5. π2 解析：∵AB 是⊙O 的切线，∴AB⊥BO。
∵∠A=30°，∴∠AOB=60°。
∵BC∥AO，∴∠OBC=∠AOB=60°。
在等腰△OBC 中，∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×60°=60°。
∴弧BC 的长为ππ2180660=⨯⨯cm 。
6. 6π 解析：如图，在⊙O 中，∠BAC =36°，∴∠BOC =72°，∴根据弧长公式计算弧BC的长为：︒⨯⨯︒1801572π=6π。
7. （5050 π＋101）s 解析：动点M 到达A 1的时间为1s ，到达A 2的时间为[(12)2π++]s ，到达A 3的时间为[(12)3π++]s ，到达A 4的时间为[(123)4π+++]s ，……，所以到达A 101的时间为[(12100)101π++++]s=(5050 π＋101)s 。
8. 5π 解析：如图，连接OD 。
由折叠可得OB=DB=OD ，∴△ODB 是等边三角形，从而DOB=60°。
∴∠AOD=∠AOB－∠DOB=50°，因此AD ⌒的长为1801850⨯π=5π。
9. 解析：（1）∵BC=AB，∴∠C=∠A=30°，∴∠BOA=2∠C=60°，∴∠OBA=180°－∠A－∠BOA=180°－30°－60°=90°，∴AB 是⊙O 的切线。
⑵BD ⋂的长=60221803ππ⨯=。
10. 解析：（1）连接OD ，∵α=18°，∴∠BOD=36°，又∵AB=BD ⋂的长=36180π⨯5。
（2）∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ADB=90°，又∵α=30°，∴∠B=60°，又∵AC 为半圆O 的切线，∴∠CAD=60°，∴∠CAD=∠B ，又∵DE⊥CD ，∴∠ADC+∠A DE=90°，又∵∠ADE+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠ADC ，∴△BDE∽△ADC ，∴BE BD AC AD =，即23BE =，（3）60°＜α＜90°。