第五章_贝塞尔函数
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
第五章-特殊函数(下)-贝塞尔函数
u |t 0 ( x, y ).
于是有
亥姆霍兹 方程
T a 2T 0,
Vxx V yy V 0.
T (t ) Ae
a 2 t
方程(4)的解为
.
由边界条件(2)有
V | x 2 y 2 R 2 T (t ) 0,
V | x 2 y 2 R 2 0.
4
这个问题归结为求解下列定解问题：
ut a 2 (u xx u yy ) ( x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令 u( x, y, t ) V ( x, y)T (t ), 代入方程(1)得
12
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
k 0
(12) (13)
(a0 0),
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
y a k ( s k 1)( s k ) x s k 2
k 0
k 2
13
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
(12) (13)
a k ( s k ) 2 n 2 x s k a k 2 x s k 0,
k 0
k 2
15
y ( x) a k x s k
k 0
05第五章贝赛尔函数
西安理工大学应用数学系
2. Bessel函数－Bessel方程的解 函数－ 函数 方程的解
用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论， 用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解 ∞ 为 y= a x s + k , ( a ≠ 0, s为常数 )
∑
k =0
k
0
各阶导数为
y ' = ∑ k = 0 ( s + k )ak x
ut = a2 (uxx + uyy ) 该问题的数学模型为： 该问题的数学模型为： u x2 +y2 =R2 = 0 u t=0 = ϕ(x, y)
用分离变量法求解。 用分离变量法求解。 令
x2 + y2 < R2, t > 0
u(x, y,t) =V(x, y)T(t) 代入方程得
9 ′ ′ ′ x J3/2 (x) + xJ3/2 (x) +(x − )J3/2 (x) = 0 4
2 2
证明： 证明：因
1 ′ = x J3/2(x) + x J3/2(x) ′ y 2 3 1 1 − − 1 2 ′ ′ ′ ′ y′ =− x J3/2(x) + x 2 J3/2(x) + x2 J3/2(x) 4
s +1
∞
x y " = ∑ k = 0 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k = a0 s( s − 1) x + a1 ( s + 1) sx
s
+ ∑ k = 2 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k
第五章 数理方程 贝塞尔函数
(1) 由 ( n m 1) ( n m )! 得 1 1 m J n ( x) 1 n2 m xn2m 2 m! n m ! 1 m 0 0 （２）取n=N , 在 J n x 中,由于m<N时， N m 1
a 2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
2V 2V 2 V 0 2 x y
由边界条件，可知
V
x2 y2 R2
0
在极坐标系下，问题可以写成
2V 1 V 1 2V 2 V 0 0 R 2 2 V | 0 R
2 k 1 d x k 1 k (2k 2) x 1 2 k 2 2 1 2 k 2 2 dx 2 k 1 ! 2 [ k 1 !] 1 1 n m 2m Jn x 1 x n2m 2 k 1 2 m! n×（－１） m ! x0 k m 1 2k 1 2 及k ! 1 ! : k 得 n 1 分别令n 0
所以级数从m=N开始 1 1 m J N ( x) 1 N 2 m x N 2m 2 m ! N m 1 m N
N N 1 N 4 x x x N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
y CJ n x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
x 2 (1) x Y0 x J 0 x (ln C ) 2 m 0 (m !)2 2 2
n 1 m
2m m
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
第五章 贝塞尔函数 学习要求：
本章需掌握下列问题：
1、方程 x
2
1 2 y xy (x ) y 0 叫什么方程？写出它的有限解吗？ 4
2、何谓 Bessel 函数 J n ( x) 的零点？它与 Bessel 方程的何种特征值问题有关？有 什么样的关系？ 3、利用 Bessel 函数表达式推导出 Bessel 函数的递推公式？这些公式有什么作 用？ 4、会用 Bessel 函数的性质做一些简单的证明题。 5、第二类 Bessel 函数是否也满足 Bessel 函数递推公式？为什么？ 6、任意函数能用 Bessel 函数的级数表示吗？ 7、Bessel 方程的通解是什么？ 8、 能完整地写出在柱坐标中对 u u 0或 u 0 分离变量后所得到的在柱体 内的分离变量形式的解吗？
第五章 贝塞尔函数1
q 1 1 q 1 1 q2 p 1 p 1 p q2 p 1 p 1 = (1 x ) ( x x x ) dx = (1 x ) [ x x (1 x)]dx p 0 p 0 q 1 q 1 q 1 = B( p, q 1) B ( p, q ) B ( p, q ) B( p, q 1) p p p q 1
第五章 贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的引出 二、贝塞尔方程的求解
三、贝塞尔函数的递推公式 四、函数展开贝塞尔函数的级数 五、 应用
§ 5.1 贝塞尔方程的引出
例：设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒 保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的温度分布规律。
问题归结为求解下述定解问题：
2 2 u u u 2 2 2 2 a ( ), x y R ; t 2 2 x y 2 2 2 u ( x, y ), x y R ; t 0 u x2 y 2 R2 0;
2 q 1 ( 2 2 )
d d
令： = cos , sin ( 0, 0< 则： ( p ) ( q ) 4
0 0
2
), d d d d
2 0
2
2( p +q ) 1 2
e
sin 2 p 1 cos 2 q 1 d d
0
=2 e 2( p +q ) 1d 2 2 sin 2 p 1 cos 2 q 1 d
2 x
=
0
e x x ( p +q ) 1dxB( p, q) ( p q)B( p, q)
贝塞尔函数-5
代入 Lplace 方程
1
(
u )
1
2
2u
2
2u z 2
0
如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是 齐次的，就得出
() A1 sinn A2 cos n
Z(z) B1e z B2e z
2
d d
2R
2
x2 22
x4 24 (2!)2
x6 26 (3!)2
(1)k
x2k 2k (k!)2
n=1 ；m=0→∞ ：
J1(x)
x 2
2
x3 3 2!
25
x5 2!
3!
27
x7 3!
4!
(1)k
22k
1
x 2k1 k!(k
1)!
取出第一个级数 J0( x)的第 k+1 项求导数, 得
x7 27 3! 4!
(1)k
x 2k1 22k1 k!(k 1)!
d (1)k1 dx
x2k2 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
(2k 2)x2k1 22k2[(k 1)! ]2
(k 1)! (k 1)k!
(3 1)! 4! (3 1)3!
x 2
)n2m
1
(1)m
(
x 2
)
n2
m
n m 1
(
1
m 1
1
)
m0 m!(n m)! k0 k 1 k0 k 1
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n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形得贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2、3可以瞧出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数得线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下得温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不就是考虑稳恒状态而就是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型得常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2、6中曾经指出过得贝塞尔方程，并讨论这个方程解得一些性质。
下面将瞧到，在一般情况下，贝塞尔方程得解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要就是引用正交完备性。
§5、1 贝塞尔方程得引出下面以圆盘得瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 得薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上得温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5、1）得22222()V V VT a T x y ∂∂'=+∂∂ 或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==->由此得到下面关于函数()T t 与(,)V x y 得方程20T a T λ'+= （5、4）22220V V V x yλ∂∂++=∂∂ （5、5） 从（5、4）得2()a t T t Ae λ-= 方程（5、5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件2220x y R V +== （5、6）得非零解，引用平面上得极坐标系，将方程（5、5）与条件（5、6）写成极坐标形式得22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩ 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，代入（5、7）并分离变量可得()()0θμθ''Θ+Θ= （5、9）22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5、10）由于(,,)u x y t 就是单值函数，所以(,)V x y 也必就是单值得，因此()θΘ应该就是以2π为周期得周期函数，这就决定了μ只能等于如下得数：2220,1,2,,,n L L对应于2n n μ=，有00()2a θΘ=（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a nb n n θθθΘ=+=L以2n n μ=代入（5、10）得222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （5、11）这个方程与（2、93）相比，仅仅就是两者得自变量与函数记号有差别，所以，它就是n 阶贝塞尔方程。
若再作代换r =，并记()F r P=， 则得222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=、这就是n 阶贝塞尔方程最常见得形式。
由条件（5、8）及温度u 就是有限得，分别可得()0(0)P R P =⎧⎪⎨<+∞⎪⎩ （5、12） 因此，原定解问题得最后解决就归结为求贝塞尔方程（5、11）在条件（5、12）下得特征值与特征函数（（5、12中第一个条件就是在R ρ=处得第一类边界条件，第二个条件就是在0ρ=处得自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。
在下一节先讨论方程（5、11）得解法，然后在§5、5中再回过头来讨论这个特征值问题。
§5、2 贝塞尔方程得求解在上一节中，从解决圆盘得瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程得解法。
按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为22222()0d y dy x x x n y dx dx ++-= （5、13） 其中n 为任意实数或复数。
我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中得系数出现2n 得项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。
设方程（5、13）有一个级数解，其形式为20120()c kc k k k k y x a a x a x a x a x ∞+==+++++=∑L L ，00a ≠ （5、14） 其中常数c 与(0,1,2,)k a k =L 可以通过把y 与它得导数,y y '''代入（5、13）来确定。
将（5、14）及其导数代入（5、13）后得220{[()(1)()()]}0c k k k c k c k c k xn a x ∞+=++-+++-=∑化简后写成22221220122()[(1)]{[()]}0c c c k k k k c n a x c n a x c k n a a x ∞++-=-++-++-+=∑要上式为恒等式，必须各个x 幂得系数全为零，从而得到下列各式： 1°220()0a c n -=；2°221[(1)]0a c n +-=；3°222[()]0(2,3,)k k c k n a a k -+-+==L 。
由1°得c n =±，代入2°得10a =。
先暂取c n =，代入3°得 4°2(2)k k a a k n k --=+。
因为10a =，由4°知13570a a a a =====L ，而246,,,a a a L 都可以用0a 表示，即022(22)a a n -=+， 0424(22)(24)a a n n =++g ， 06246(22)(24)(26)a a n n n -=+++g g ，…202(1)2462(22)(24)(22)(1)2!(1)(2)()m m m m a a m n n n m a m n n n m =-+++-=+++g g L L L 、由此知（5、14）得一般项为202(1)2!(1)(2)()m n m m a x m n n n m +-+++L 0a 就是一个任意常数，让0a 取一个确定得值，就得（5、13）得一个特解。
把0a 取作012(1)n a n =Γ+ 这样选取0a 可使一般项系数中2得次数与x 得次数相同，并可以运用下列恒等式：()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++L使分母简化，从而使（5、14）中一般项得系数变成221(1)2!(1)m m n m a m n m +=-Γ++ （5、15） 这样就比较整齐、简单了。
以（5、15）代入（5、14）得到（5、13）得一个特解2120(1)(0)2!(1)n mmn m m x y n m n m +∞+==-≥Γ++∑用级数得比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。
这个无穷级数所确定得函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。
记作220()(1)(0)2!(1)n mmn n m m x J x n m n m +∞+==-≥Γ++∑ （5、16） 至此，就求出了贝塞尔方程得一个特解()n J x 。
当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有220()(1)(0,1,2,)2!()!n mmn n m m x J x n m n m +∞+==-=+∑L （5、17） 取c n =-时，用同样得方法可得（5、13）得另一特解220()(1)(1,2,)2!(1)!n mmn n m m x J x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑L （5、18） 比较（5、16）式与（5、18）式可见，只要在（5、16）右端把n 换成n -，即可得到（5、18）式。
因此不论n 式正数还就是负数，总可以用（5、16）统一地表达第一类贝塞尔函数。
当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -就是线性无关得，由齐次线性常微分方程得通解得结构定理知道，（5、13）得通解为()()n n y AJ x BJ x -=+ （5、19）其中,A B 为两个任意常数。
当然，在n 不为整数得情况，方程（5、13）得通解除了可以写成（5、19）式以外还可以写成其它得形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关得特解，它与()n J x 就可构成（5、13）得通解，这样得特解就是容易找到得。
例如，在（5、19）中取cot ,csc A n B n ππ==-，则得到（5、13）得一个特解()cot ()csc ()()cos ()()sin n n n n n Y x n J x n J x J x n J x n n ππππ--=--=≠整数（5、20） 显然，()n Y x 与()n J x 就是线性无关得，因此，（5、13）得通解可以写成()()n n y AJ x BY x =+ （5、21）由（5、20）式所确定得函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。
§5、3 当n 为整数时贝塞尔方程得通解上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（5、13）得通解由（5、19）或（5、21）式确定，当n 为整数时，（5、13）得通解应该就是什么样子呢？首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -就是线性相关得。
事实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样得结果），这在（5、18）中，1(1)N m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =-L 时均为零，这时级数从m N =起才开始出现非零项。
于就是（5、18）可以写成222424()(1)2!(1)! (1){}2!2(1)!2(2)!2! (1)()N mmN n m m N N N N NN N N N N x J x m N m x x x N N N J x -+∞--+=++++=-Γ-++=--++++=-∑L 即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程得通解了。