2007年高考数学试题(广东卷)与评析和教学启示

2007年高考数学试题(广东卷)与评析和教学启示广州市从化中学宋发奎自2004年广东省自主命题以来，广东高考数学试题从04、05年的探索期到06年的适应期，07年迎来了她的成熟期和创新期。

看完全卷，使人眼前一亮，改革步伐之快让人耳目一新，是近几年来难得的好卷。

这份试卷可用“试题新颖，难度略降，紧扣课标，考查能力”来概括，命题风格向上海高考题靠近。

以下谈谈试卷特点和对今后教学的启示。

一、试题特点1．试题新颖，考查能力全卷新颖题很多，如第4题是一道分段函数图像题，既考查了函数的图像也间接考查了分段函数的解析式，定义域、值域，同时还是一道实际应用题。

第6题是统计与算法相结合的好题，同时也是图表信息题，要求学生从图表中获取信息。

第7题是一个优化问题，是线性规划的变种题，线性规划已经考过多年，确实要变一变，今年的优化问题，课本中找不到同类型的练习题，此题考查学生分析问题解决问题的能力。

第8题是“新定义”问题，考查学生的阅读理解能力、自学能力、知识迁移能力，06年也有些题，但今年此题更好，只需运用一般与特殊的关系，不难选出正确答案。

第12题是填空题中的“爬坡题”，是一道立体几何中的计数问题，同时也是一个归纳推理问题，比06年的“垒球”问题难度稍小一些，这样更合理。

第一大题是三角求值题，为送分题。

已知条件为：在直角坐标系中，给定三点的坐标，求一个角的三角函数值问题，考查余弦定理。

既容易又不落俗套。

第二大为《统计》中的求线性回归方程问题，在全国首创，新课标增加了统计的内容，此题体现了新课标的要求，考查了新课标要求的运算能力和数据处理能力。

这种题型出乎许多老师的意外，试题并不难，只相当于课本例题，高三复习一般都很少把其作为重点来复习，正因为如此，这道题就考平时学习的基本功了。

第18题为解析几何题，难度比０６年明显下降，这也体现了新课程的特点，在新课程中增加了许多学习内容，当然传统的重点内容如三角、解析几何的学习时间比以前减少，要求也有所降低。

第19题为立体几何题，为折叠问题中的最值问题，并用导数求解，第三问为用向量方法求异面直线所成的角。

这题集折叠问题、最值问题和导数为一体，体现了函数思想，淡化了推理论证，符合新课标对立体几何处理的思想。

第20题为含参二次方程的零点问题。

新标把二次函数、函数与方程作为函数的重点，这道题应运而生，此题考查了零点定理、数形结合思想和分类讨论思想。

第21题为递推数列问题，用到函数、导数等知识。

此题为压轴题，比去年的难度有所下降。

第一问为送分题，第二问是证明α<a，可用分析法或数学n归纳法证明，第三问转化为等比数列求和，但要发现并证明此数列为等比数列要有很高的数素养和变换技巧。

此题考查推理论证能力和化归思想。

2.紧扣新课标，全面考查各种数学能力和应用意识、创新意识今年是新课标实施后的第一次高考，人们都在猜测今年究竟是按新《课标》要求命题？还是按原《大纲》命题？或是过渡一年？07年试题明确地告诉我们，试题按新课标要求命题。

(1)在内容上，新课标中被删除或降低要求的内容也相应不再出现或降低了要求。

如降低要求的有：、三角函数、立体几何中的推理论证、解析几何等，不再出现的内容如：反函数、极限、坐标平移、定比分点等内容。

而新增内容如函数与方程，统计、算法等在大题和小题中，得到充分的体现。

(2)新课标要求的各种能力在试题中得到充分的体现。

如第19题，考查空间想象能力，第17题考查运算求解能力和数据处理能力，21题考查推理论证能力，第12、21题考查了抽象概括能力。

在注重数学应用方面，第4、6、7、17题，三道小题和一道大题为实际应用问题，改革力度之大让人惊讶。

第7、8、21题等新题型考查了学生的创新意识和创新能力。

第4、6、17题，考查了学生的画图、识图能力。

3．试题梯度明显，区分度高选择题可分为二个层次，前六题为第一层次，主要考查基础知识和基本技能，没有复杂的运算，前四题一看就能得出结果。

第7、8两题为第二层次，没有繁难运算，考查思维能力。

填空题也分两个层次，第12题为第二层次，其他题为第一层次，各层次试题的难度与选择题难度一样。

解答题可分为三个层次，前三题为基础题，只相当于课本难度，第19、20题为第二层次，属中档题，考查数学思想和方法和数学能力。

第21题为第三层次，属压轴题，考查推理论证能力和化归能力。

全卷梯度合理，区分度好。

4．试卷结构有所创新理科选择题由去年的10题变为今年的8题，填空题由去年的4题变为今年的6题，减少选择题，增加填空题有利于提高试卷的信度。

填空题的设问也作了调整，有三道题是一题两空，一道题为一题三空，这样增加了填空题的区分度，提高了得分率。

解答题的题数、分值没有变化，但高考从没考试过的新题型比较多，学生普遍感觉试题新。

5．文理试题有别，内容相差不大，小题有所区别，大题区别不大今年广东卷是首次文理分卷，人们普遍关注文理究竟有多大区别。

在试卷结构方面，文科选择题10题，填空题4题，在选择、填空共14道题中，文理共用题有8题(含一道选做题)，文科与理科不同的题有7题，其中有4题是姊妹题，考同一内容，难度相差不大，还有一题是因为理科在选做题中有《不等式选讲》而文科没有，文科多了一道用导数求函数单调区间的小题，文理在小题上真正在难度上有区别的只有两题，文科将理科选择题中第8题(新定义题)和填空题中第12题(归纳推理题)变成了一道函数题和立几判断题，由第二层次降为第一层次，所以文科小题中基本上都是基础题。

在大题中，第一题是三角题，文理为姊妹题，理科题本来就很容易，文科更容易。

唯一有区别的是立体几何题，文科是已知几何体的三视图，求体积和侧面积。

位于第二题，属于容易题，理科是折叠问题中的最值问题，位于倒数第三题，属中难度题。

统计大题、解析几何大题和函数大题则完全一样，理科的压轴题共有三问，去掉第二问，保留第一问和最难的一问后作为文科倒数第二题，所以在大题中，除立体几何外，其他题难度下降不大。

其实文科题应将理科压轴题改为常规等差、等比数列题也许效果会更好。

二、对今后的教学启示1．学习新《课标》、钻研新《课标》、落实新《课标》。

新《课标》不仅是高一、高二上新课时的行动指南，更是高三复习的行动指南。

2．抓基础，精讲精练，培养能力。

应对这种试题，题海战术显然不能奏效，只有精讲精练，让学生扎实打好基础，把时间还给学生，让学生多思考，在日常教学中注重培养数学的运算能力、数据处理能力、空间想象能力和推理论证能力。

只有把培养学生的思维能力放在首位，才能以不变应万变。

平时的训练要控制好难度和比例，选择、填空题以基础题为主，大题以基础题和中难度题为主。

3．重视数学思想方法的渗透，注重培养学生的应用意识和创新意识。

在教学中注重渗透函数与方程思想、数形结思想、分类讨论思想和化归思想等数学思想方法。

数学的精华在于数学思想方法，思考问题的支撑点也是数学思想方法，只有理解了数学思想方法，才算真正学明白了数学。

三、高考揭榜后的反思本文是在高考成绩没有放榜时写成，现结合高考结果，谈谈有关问题。

据了解，今年广州省全省理科平均分为７９分，文科平均分是８６分，文科均分比理科高，除试题难度不同外，还有题型不同的原因，选择的得分率比填空题的得分高。

广州市A 组理科１０４分，文科１０８分，B 组理科９４分，文科９９分。

附：2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙．用最小二乘法求线性同归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的． 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N =A ．{}1x x >-B ．{}1x x <C ．{}11x x -<<D ．∅2．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A ．2B ．21C ．21-D ．-23．若函数21()sin (),()2f x x x f x =-∈R 则是 A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发．经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A ．B ．C ．D ． 5．已知数{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k= A ．9 B ．8 C ．7 D ．66．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．i<6B ． i<7C ． i<8D ． i<97．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A ．15B ．16C ．17D ．188．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A ．（a*b ）*a=aB ．［a*(b*a)］*(a*b)=aC ．b*(b*b)=bD ．(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球． 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10． 若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120，则a a ＋=a b ．11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条．这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 图4 ; )(n f ＝ ．（答案用数字或n 的解析式表示）13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3()3x t t y t =+⎧∈⎨=-⎩R 参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ． 14．（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 ．图5 三、解答题：本大题共有6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、． （1）若5=c ，求sin ∠A 的值; （2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围．17．(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生 产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx a =+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性 同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O ．椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程．（2）试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点．点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ．现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ．记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积．（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值20．（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n =． （1）求α、β的值；（2）证明：任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln n n n a b a βα-=-，(1,2,)n =，求数列{n b }的前n 项和n S ．2007年普通高等学校全国招生统一考试 （广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题9．19 10．12 11．54x =- 12．()12n n +，()()122n n n --13．（0，2）， 14．6，[]1,1- 15．30 ，3三、解答题16．解：（1）∵()3,4A ，()0,0B ，∴5AB =，4sin 5B =． 当5c =时，5BC =，AC ==根据正弦定理，得sin sin BC ACA B=， ∴sin A =（2）∵()3,4A ，()0,0B ，(),0C c ， ∴5AB =，AC =BC c =．根据余弦定理，得222cos 2AB AC BCA AB AC+-=．若A ∠为钝角，则cos 0A <，即2220AB AC BC +-<，即()22225340c c ⎡⎤+-+-<⎣⎦，解得253c >．17．解：（1）如下图（2）y x i ni i ∑=1＝3⨯2.5＋4⨯3＋5⨯4＋6⨯4.5＝66.5，x ＝46543+++＝4.5，y ＝2.534 4.54+++＝3.5，222221345686ni ix ==+++=∑，b ＝266.54 4.5 3.50.7864 4.5-⨯⨯=-⨯， a ＝3.5－0.7⨯4.5＝0.35．故线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35．（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7⨯100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65（吨）18．解：（1）设圆心坐标为（m ，n ）（m <0，n >0），则该圆的方程为()()228x m y n -+-=，已知该圆与直线y ＝x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2n m -＝22．即n m -＝4 ① 又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m 2＋n 2＝8． ② 联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨⎧=-=22n m ，故圆的方程为()()22228x y ++-=． （2）a ＝5，∴a 2＝25，则椭圆的方程为221259x y +=． 其焦距c ＝925-＝4，右焦点为（4，0），那么OF ＝4．要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点，半径为4的圆()2248x y -+=与（1）所求的圆的交点数．通过联立两圆的方程解得x ＝54，y ＝512． 即存在异于原点的点Q （54，512），使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长． 19．解：（1）∵EF AB ⊥，∴EF PE ⊥．又∵PE AE ⊥，EF AE E =，且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE ．∵EF AB ⊥，CD AB ⊥，∴EF CD ．∴6EF x CD EF x x CD BD BD =⇒==． 所以四边形ACFE 的面积2211322ACFE ABC BEF S S S x x ∆∆=-=⨯-=．∴四棱锥P ACFE -的体积31363P ACFE ACFE V S PE x -==．即()336V x x =-（0x <<．（2）由（1）知()212V x x '=． 令()0V x '=，解得6x =．∵当06x <<时，()0V x '>，当6x <<()0V x '<，∴当6BE x ==时，()V x 有最大值，最大值为()6V =（3）（解法1）过点F 作FGAC 交AE 于点G ，连接PG ，则PFG ∠为异面直线AC 与PF 所成的角．∵ABC ∆是等腰三角形，∴GBF ∆也是等腰三角形．于是FG BF PF ====从而PG ==在GPF ∆中，根据余弦定理，得2221cos 27PF FG PG PFG PF FG +-∠==⋅． 故异面直线AC 与PF 所成的角的余弦值为17． （解法2）以点E 为坐标原点，向量EA ，EF ，EP 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()0,0,6P ，()F ，()6,0,0A ，()6,3,0C ．于是()AC =-，()6PF =-． 异面直线AC 与PF 所成角θ的余弦为1cos 73AC PFAC PF θ===，故异面直线AC 与PF 所成的角的余弦值为17． 20．解：当a ＝0时，函数为()23f x x =-，其零点x ＝32不在区间[－1，1]上． 当a ≠0时，函数()f x 在区间[－1，1]分为两种情况：①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根．此时()4830a a ∆=++=，解得a =．当32a --=时，()0f x =的重根[]31,12x =∈-． ②函数在区间[─1，1]上只有一个零点，但不是()0f x =的重根．此时()()110f f -≤，即()()510a a --≤，解得15a ≤≤．③函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时()()0,111,2110.a f f ⎧∆>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-≥⎩解得32a --<或5a ≥． 综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a 的取值范围为[)1,⎛-∞+∞ ⎝⎦．21．解：（1）解方程x 2＋x －1＝0得x ＝251±-， 由αβ>，知α=β=． （2）∵()21f x x '=+，∴1()()n n n n f a a a f a +=-'2121n n a a +=+． ()()2222212121212121n n n n n n n n n a a a a a a a a a αααααααα+-+-+---+--===+++． 下面用数学归纳法证明，当1n ≥时，0n a α->成立．①当1n =时，110a αα-=-=>，命题成立．②假设n k =（1k ≥）时命题成立，即0k a α->，此时0k a α>>． 则当1n k =+时，()21021kk k a a a αα+--=>+，命题成立．根据数学归纳法可知，对任意的正整数n ，有0n a α->．（3）根据（2），同理可得()2121n n n a a a ββ+--=+． ∵n a αβ>>（1,2,3,n =），且11a =，∴11b =＝14ln 2． ln nn n a b a βα-=-()()2111211ln 2ln 2n n n n n a a b a a ββαα-------===--， 即数列{}n b 为首项为1b ，公比为2的等比数列． 故数列{}n b 前n 项和()()()1212212412n n n n b S +-==-⋅=--．。