备战(北京版)高考数学分项汇编 专题07 不等式(含解析)理
北京市高考数学分类汇编：不等式
（A） 0
（B） 3
（C） 4
（D） 5
（2016 理）（5）已知 x, y R ，且 x y 0 ，则
（A） 1 1 0 xy
（B） sin x sin y 0
（C）
1 2
x
1 2
y
0
（D） ln x ln y 0
x ≤ 3,
（2017
理）（4）若
x,
y
满足
y
≥
1,
则 y x 的最小值为________，最大值为________．
4x 3y 1≥ 0,
第3页共3页
整数 a, b, c 的值依次为
．
x ≤ 3,
（2017
文）（4）若
x,
y
满足
x
y
≥ 2,
则 x 2 y 的最大值为
y ≤ x,
第2页共3页
（A） 1
（B） 3
（C） 5
（D） 9
（2017 文）（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
．
ab
（2018 文）（13）若 x, y 满足 x 1≤ y ≤ 2x ，则 2 y x 的最小值是
．
（2019 理）（5）若 x, y 满足 | x |≤1 y ，且 y≥1，则 3x y 的最大值为
（A） 7 （C） 5
（B）1 （D） 7
x ≤ 2,
（2019
文）（10）若
x,
y
满足
y C(0, 2)
A(2,1)
O
B(1, 0)
x
x y ≤ 0,
（2015
高考数学压轴专题北京备战高考《不等式》单元汇编及答案
【高中数学】数学高考《不等式》复习资料一、选择题1．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞ C．)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OMy k k k x k k +∴===+≥=2k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞. 故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.2．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C．2 D．1【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A．5B．455C．5D．25【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.【详解】作出不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立260x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得22xy=⎧⎨=⎩，由图知AB的最小值即为()4,3A、()2,2B两点间的距离，所以AB()()2242325-+-=故选：C．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．若,x y满足4,20,24,x yx yx y+≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4yx-的最大值为（）A．72-B．52-C．32-D．1-【答案】D 【解析】 【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D 【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.8．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2323,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r， 即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=， 解得233t <-或233t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.9．已知不等式组y xy x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当3m =时，等号成立. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.13．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.14．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． A 5B ．3C ．23 D ．22【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---2()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立 所以22a b a b+-的最下值为2故答案选D考点：基本不等式．15．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.16．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.17．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.18．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b +的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】【分析】 把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】 ∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ） ＝13(366b a a b +++12)≥13=9 等号成立的条件为66b a a b =，即a=b=1时取等所以36 a b +的最小值为9．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题20．已知实数,x y满足线性约束条件120xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx+的取值范围为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，(1,3)A，3(1)410QAk--==-，过Q与直线0x y+=平行的直线斜率为－1，∴14PQk-<≤．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1yx+表示动点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．。
高考数学压轴专题北京备战高考《不等式选讲》单元汇编及答案
新《不等式选讲》专题解析一、141．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <C ．{|48}x x <≤D ．{|45}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时45x <<；当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}5x x <，故选B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。
北京市高考数学一轮复习核心板块不等式函数篇第7讲函数考题示例学案(PDF)
函数考题示例~ 第 1页 ~函数考题示例例题1、设函数定义在R 上对任意实数m , n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.（1）求证：f (0)=1且当x <0时f (x )>1.（2）求证：f (x )在R 上单调递减。
（3）设集合A={(x ,y )|f (x 2)f (y 2)>f (1)}, B={(x ,y )|f (ax -y +2)=1, a ∈R}，若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围。
例题2、设f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a ,b ∈[-1,1]，当a +b ≠0时，都有()()0f a f b a b +>+。
（1）若a >b ,试比较f (a ),f (b )的大小。
（2）解不等式11((24f x f x −<−（3）设P={x |y =f (x -c )},Q={x |y =f (x-c 2) }且P ∩Q=∅，求C 的取值范围。
例题3、已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+，是定义域上的奇函数，且(1)2,(2)3f f =< （1）求a b c 、、的值；（2）证明()f x 在定义域上的单调性。
第 2页例题4、设函数f (x )=x 2+px +q (p ,q ∈R).（1）若q =2，求使不等式f (x )<2的解集A 满足(0,2)}A }(0,10)的p 的范围；（2）当p 在(1)的范围内变化时，是否存在实数对(p ,q )，使不等式|f (x )|>2在区间[1,5]上无解.例题5、设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[10],[1,2].x x ∈−∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； （II ）证明：()21102f x −≤≤−。
高考数学(理科,北京市专用)复习专题测试课件：第七章 不等式 §7.4 基本不等式及不等式的应用
2
2
评析 本题考查基本不等式的应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.
4.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存 储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 答案 30 解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元,则y= ×6+4x=4 x
600 x
)
C.[-2 3 ,2]
47 39 16 16 39 D. 2 3, 16
答案 A
本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.
x 2
x 2
①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥ a 在R上恒成立等价于-x2+x-3≤ +a≤x2-x+3在R上恒成立,
规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一 致.
2.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 答案 -2 解析 ∵a+b=2,
时, + 取得最小值.
|a| 1 2|a| b
∴ + = + = + = + + ≥ +2 当且仅当 = 且a<0,即b=-2a,a=-2时, + 取得最小值.
3 2
x 2
1 2
3 2
基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.
3.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最大值时, + - 的最大值为
(
xy z
2 x
[2014-2018]北京高考数学真题分类汇编 专题七 不等式
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专题七 不等式1．（2018.8）设集合A ＝{（x ，y ）|x ﹣y ≥1，ax +y ＞4，x ﹣ay ≤2}，则（ ） A ．对任意实数a ，（2，1）∈A B ．对任意实数a ，（2，1）∉AC ．当且仅当a ＜0时，（2，1）∉AD ．当且仅当a ≤32时，（2，1）∉A2．（2018.11）设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．3．（2018.12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是 ．4．（2018.13）能说明“若f （x ）＞f （0）对任意的x ∈（0，2]都成立，则f （x ）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ．5．（2017.4）若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．96．（2017.6）设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2017.13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．8．（2016.2）若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．59．（2016.5）已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．1x −1y＞0B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0 D ．lnx +lny ＞010. （2015.2）若x ，y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．211. （2015.6）设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞√a 1a 3D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞012. （2015.7）如图，函数f （x ）的图象为折线ACB ，则不等式f （x ）≥log 2（x +1）的解集是（ ）A ．{x |﹣1＜x ≤0}B ．{x |﹣1≤x ≤1}C ．{x |﹣1＜x ≤1}D ．{x |﹣1＜x ≤2}专题七 不等式 答案部分1.解：当a ＝﹣1时，集合A ＝{（x ，y ）|x ﹣y ≥1，ax +y ＞4，x ﹣ay ≤2}＝{（x ，y ）|x ﹣y ≥1，﹣x +y ＞4，x +y ≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x +y ＞4，x +y ≤2，所以A 不正确； 当a ＝4，集合A ＝{（x ，y ）|x ﹣y ≥1，ax +y ＞4，x ﹣ay ≤2}＝{（x ，y ）|x ﹣y ≥1，4x +y ＞4，x ﹣4y ≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；当a ＝1，集合A ＝{（x ，y ）|x ﹣y ≥1，ax +y ＞4，x ﹣ay ≤2}＝{（x ，y ）|x ﹣y ≥1，x +y ＞4，x ﹣y ≤2}，显然（2，1）∉A ，所以当且仅当a ＜0错误，所以C 不正确； 故选：D ．2.解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0则ω的最小值为：23．故答案为：23．3. 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z ＝2y ﹣x ，则y =12x +12z ， 平移y =12x +12z ，由图象知当直线y =12x +12z 经过点A 时， 直线的截距最小，此时z 最小， 由{x +1=y y =2x 得{x =1y =2，即A （1，2），此时z ＝2×2﹣1＝3， 故答案为：34. 解：例如f （x ）＝sin x ，尽管f （x ）＞f （0）对任意的x ∈（0，2]都成立， 当x ∈[0，π2）上为增函数，在（π2，2]为减函数，故答案为：f （x ）＝sin x ．5.解：x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x的可行域如图：由可行域可知目标函数z ＝x +2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由{x =3x =y ，可得A （3，3），目标函数的最大值为：3+2×3＝9． 故选：D ．6. 解：m →，n →为非零向量，存在负数λ，使得m →=λn →，则向量m →，n →共线且方向相反，可得m →•n →＜0．反之不成立，非零向量m →，n →的夹角为钝角，满足m →•n →＜0，而m →=λn →不成立． ∴m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是m →•n →＜0”的充分不必要条件． 故选：A ．7. 解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题， 则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣38. 解：作出不等式组{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ， 平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{2x −y =0x +y =3，解得{x =1y =2，即A （1，2），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝1×2+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．9.解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则1x ＜1y，sin x与sin y的大小关系不确定，(12)x＜(12)y，即(12)x−(12)y＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．10.解：作出不等式组{x−y≤0x+y≤1x≥0表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝0+2×1＝2．故选：D．11解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2√a1a3，∴a2＞√a1a3，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．12. 解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选：C．。
【备战2021】（十年高考）北京市高考数学分项精华版 专题07 不等式（含解析）(1)
【备战2021】（十年高考）北京市高考数学分项精华版 专题07 不等式（含解析）1. 【2007高考北京理第6题】假设不等式组220x y x y y x y a-≥0⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个三角形，那么a 的取值范围是（ ） Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ． 01a <≤或43a ≥2.【2007高考北京理第7题】若是正数abcd ，，，知足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一3. 【2020高考北京理第5题】假设实数x y ，知足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ ）A ．0B ．1 CD ．94. 【2020高考北京理第7题】设不等式组1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D .假设指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，那么a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)【答案】A【解析】试题分析：平面区域D 如下图．要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，∴1＜a ≤3.考点：线性计划.5. 【2021高考北京理第8题】设关于x ，y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，知足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )．A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 考点：线性计划.6. 【2021高考北京理第6题】假设x 、y 知足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，那么k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】 7.【2006高考北京理第13题】已知点(,)P x y 的坐标知足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于 ,最大值等于 .8. 【2020高考北京理第10题】假设实数,x y 知足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则s y x =-的最小值为__________.【答案】6-【解析】试题分析：如图，当4,2x y ==-时，246s y x =---=-为最小值.故应填6-.考点：线性计划9. 【2021高考北京理第14题】已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，假设同时知足条件： ①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②)4,(--∞∈∀x , )(x f 0)(<x g 。
专题07不等式(第01期)-决胜高考全国名校试题理数分项汇编(北京特刊)(解析版).doc
第七章不等式一.基础题组1. （北京市房山区2015年高三第一次模拟考试理3）设变量兀、y满足约束条件■y<x< x-i-y >2 ,则目标函数z = 2x+ y的最小值为（）y >3x-6A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】试题分析：由题可知，根据兀、y的约束条件，作出可行域，则目标函数在点（1昇）处取得最小值, 即2. （北京市顺义区2015届高三第一次统一练习（一模）理5）若4V+4V=1,则x+y的取值范围是（）A [0,1] B[—l,0] C.[-l,+oo） D（-8,—l]【答案】D【解析】试题分析：由于4x+4y > 2^4x x4y =2x+y+i,所以得2X+V+1 <1 = 2° =>x+y + l<0即x+y <-1故选D.考点：基本不等式.3. （北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理11）若变量x, y 满足约束y-4W0, 条件< x + y - 4 5 0,则Z = 2兀+ y 的最大值是 . x-y<0,【答案】6【解析】试题分析：作出可厅域如團所示：可知目标函数z=2x^y 在A （2,2）处取得最犬值6.考点：线性规划.4. （北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理10）已知正数满足=那么x+ y 的最小值为 ________________ • 【答案】4 【解析】/ \2试题分析：因为：x>0,y>0,由均值不等式得：兀= ,令x+y = t f 则 t 2-4t>0,t>4.考点：1.均值不等式求最值;2.还原法解不等式.5. （北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）理9）己知正实数x, y 满足= 3 ,则2x + y 的最小值是 ______ . 【答案】2^6O、\\【解析】3 试题分析：fl!题根据xy 二3可得y = — x小值.考点：均值不等式二. 能力题组1. (北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)理6)若实数满足不等式组x + 3y-3<0,< x-y + 1 >0,贝ijz = 2|兀|+y 的取值范圉是() y >-L (A) [-1,3](B) [1,11] (C) [1,3]【答案】D【解析】试题分析：画出可彳亍坷 ，当兀=6」=一1时，z 取得最大值乙碍=11 ；当时，z 取得最小值z 罰=-1.答案为:D.考点：1.线性规划;2.最优解问题.兀+沖0,2. (北京市海淀区2015届高三下学期期中练习(一模)理6)若兀,y 满足L>1, 则下x-y>(),列不等式恒成立的是()(A) ^>1(B) x>2 (C) x + 2y + 2>0 (D)2x-y + l>0【答案】D 【解析】3然后根据2x+y = 2x + -运用均值不等式可得最x 2亦•当且仅当“半时，等号成立.由题可得y = -,.\ 2x + yXx=l试题分析：作出不等式所表示的平血区域，显然选项A, B 错；由线性规划易得兀+ 2》的収 值范圉为故x+2j + 2>0不成立；2x-y 在B 处取得最小，故 2x-y + l>2xl-l + l = 2>0 考点：线性规划h;+y <4 2 v — x 5 43.（北京市顺义区2015届高三笫一次统一-练习（一模）理7）若x,y 满足彳7~，且x>0 7>0z = 5y-x 的最小值为一8,则k 的值为（）A.—B.—C. — 2D22 2【答案】Bx+y=O故知直线kx+y = 4必过点C ：所以得弘=4,得k = ^ £故选氏 考点：线性规划.4.（北京市西城区2015届高三一模考试理7）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格 的比较结果是（）（A ） 2枝玫瑰的价格高（B ） 3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A 【解析】试题分析:设1枝玫瑰与1枝康乃鑿的价格分别为兀卩元，则6x+3y >24,4x+ <20^>> 8s x+j < 5 ,因此2x-3y = 5（2x+j ）-8（x+j ）>5x8-8x5=0,因此2枝玫瑰的价格高，选A. 考点：不等式比较大小5.（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）理11）已知加,4/是等差数列，【解析】试题分析:作 出不等式组2y-x<4 x>0，所表示的平面区域如團:v>0那么（厨 • （V2）w = ___ ； mn 的最大值为 _________ 【答案】16； 16 【解析】m+n试题分析：由已知得m + « = 8,故（V2）w -（V2r =2—考点：等差数列的性质及基本不等式三. 拔高题组1.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）理7）某生产厂家根据市场调查分析， 决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A, B, C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是（）（A ） 30（B ）40 （C ） 47.5（D ） 52.5【答案】D 【解析】试题分析：由题设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x, y, z 台，则1 1 1 7x +y+z=15/-x + -j + -z = 5，总产值为4x +彳y + 2z.本题可以从三个式子入手，通过消7 元将s=4x + -y + 2z 变成关于z 的函数求z>0时的最大值.设每周生产A 、B 、C 三种产品分别为x, y, Z 吨，则x+y+z=15, -x + -y + -z = 5，总产 2 3 47 7 , 1 1 1值为 4兀+ —y + 2z •令 s= 4x+—y + 2z,联立 x+y+z=15,—x + —y+ —z = 5 可得z3x = — 9y =——z + 15 ,2 25z所以S=- —+ 52.5，所以最高产值为52.5,故选D4考点：简单的线性规划y <1,2.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）理11）设不等式组k+y>0,x-y-2<024 = 16 , mn <、2=16表示的平面区域为D,在区域D 内随机取一点M,则点M 落在圆F + y2= 1内的概率为【答案】-8【解析】IJT —2|=2忑X = -1S J = 1 •计算点(-L1)到直线兀-y-2 = 0的距离得，jF+(-l)2所以可行域面积为17T-x2^/2x2^2=4?而圆J+b =1在可行域内恰为半圆，面积为域为牙，故点M 落在区域D 內的规试题分析：画出可行域及圆工+》2=1 (如图)•可行域恰为等腰直角三角形，由 J = 1x+y = O解得71考点：1•简单线性规划；2•几何概型；3•直线交点及距离公式.。
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专题07 不等式
1. 【2007高考北京理第6题】若不等式组
22
x y
x y
y
x y a
-≥0
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪+≤
⎩
，
，
，
表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是
（）
Ａ．4 3
a≥Ｂ．01
a
<≤Ｃ．
4
1
3
a
≤≤Ｄ．01
a
<≤或
4
3
a≥
2. 【2007高考北京理第7题】如果正数a b c d
，，，满足4
a b cd
+==，那么（）Ａ．ab c d
≤+，且等号成立时a b c d
，，，的取值唯一
Ｂ．ab c d
≥+，且等号成立时a b c d
，，，的取值唯一
Ｃ．ab c d
≤+，且等号成立时a b c d
，，，的取值不唯一
Ｄ．ab c d
≥+，且等号成立时a b c d
，，，的取值不唯一
3. 【2008高考北京理第5题】若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤则23x y
z +=的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
．3
D ．9
【答案】B
考点： 线性规划
4. 【2010高考北京理第7题】设不等式组1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩
表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x
的图象
上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．[3，＋∞) 【答案】A
考点：线性规划.
5. 【2013高考北京理第8题】设关于x，y的不等式组
210,
0,
x y
x m
y m
-+>
⎧
⎪
+<
⎨
⎪->
⎩
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，
满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )．
A．
4
,
3⎛⎫-∞
⎪⎝
⎭
B．
1
,
3
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭C．
2
,
3
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭
D．
5
,
3
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭【答案】C
考点：线性规划.
6. 【2014高考北京理第6题】若x 、y 满足2020
0x y kx y y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，且z y x =-的最小值为4-，则k 的
值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
2
D ．1
2
- 【答案】D
考点：不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值，容易题.
7. 【2006高考北京理第13题】已知点(,)P x y 的坐标满足条件4
1x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，点O 为坐标原点，那么||
PO 的最小值等于 ,最大值等于 . 【答案】
2,
10
8. 【2009高考北京理第10题】若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
则s y x =-的最小值为__________.
【答案】6-
考点：线性规划
9. 【2012高考北京理第14题】已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x
x g ，若同时满足条件： ①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；
②)4,(--∞∈∀x , )(x f 0)(<x g 。
则m 的取值范围是_______。
【答案】)2,4(--∈m （lbylfx ）
考点：不等式;恒成立问题.
10. 【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．
3
2
D ．2
【答案】D
考点定位：本题考点为线性规划的基本方法。