最小的余数是1还是0
人教版二年级数学下册：期末1-8单元知识要点汇总
第一单元：数据收集与整理1用调查法收集数据：（1）确定调查对象（2）确定调查内容（3）确定调查方式（4）呈现调查数据（5）分析调查数据，解决问题在收集数据时，可以用分班、分组、举手或在表格打“√”，来进行调查。
调查时，要清楚，不重复、填准确、不遗漏。
2学会用“正”字记录数据。
采用“正”字方法更简便易数。
一个“正”字代表数量5。
3把统计出来的数据填在一定的表格内，这种表格叫统计表。
用统(2) 从上表中可以看出：这个月中( )的天数最多，( )的天数最少。
(3) 这个月中阴天有( )天。
(4) 这个月中晴天比雨天多( )天。
(5) 这个月中阴天比雨天多( )天。
(6) 你还能提出什么问题?第二单元：表内除法（一）1平均分的含义：每份分得同样的多，叫做平均分。
除法就是用来解决平均分问题的。
2平均分里有两种情况：（1）把一些东西平均分成几份，求每份是多少。
公式为：总数÷份数=每份数例：24本练习本，平均分给6人，每人分多少本？列式： 24÷6=4（本）答：每人分4本。
（2）包含除（求一个数里面有几个几）把一个数量按每份是多少分成一份，求能平均分成几份；用除法计算，总数÷每份数=份数例：24本练习本，每人4本，能分给多少人？列式：24÷4=6（本）答：能分给6个人。
3除法算式的读法：从左到右的顺序读，“÷”读作以，“=”读作等于，其他数字不变。
4除法算式各部分名称：被除数÷除数=商。
例：42÷7=6 42是（被除数），7是（），6是（）；这个算式读作（）。
5一句口诀可以写四个算式。
（乘数相同的除外）。
例：用“三八二十四”这句口诀解决的算式是（）A、24÷6=B、4×6=C、24÷3=D、24÷4=6用乘法口诀求商，想：除数×商=被除数。
第三单元：图形的运动1轴对称图形：沿一条直线对折，两边完全重合。
第7讲-除数与余数
两个整数：b a （除数不等于0），如果商是整数，没有余数，就称“a 能被b 整除”，a 就是b 的倍数。
数的整除一般有两个性质：1.如果甲、乙两个整数都能被丙整除，那么甲、乙的和与差也能被丙整除；2.几个整数相乘，如果其中一个数能被某个整数整除，那么他们的积也能被这个整数整除。
在做除法与余数这类题目时，要注意被除数、除数、商和余数的关系，即被除数=除数×商+余数，除数=（被除数-余数）÷商，还要注意除数不等于0，余数要比除数小。
此外除法有商不变性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（“0”除外），商不变。
但余数有变化，余数将扩大或缩小相同的倍数。
【习题1】根据要求填空（1）（）÷4=3 (2)（2）（ ）÷5=3 (4)【难度】★【答案】（1）被除数=4×3+2=14；（2）被除数=3×5+4=19.【习题2】根据要求填空。
（1）23÷（ ）=3 (2)（2）21÷（ ）=2 (3)（3）22÷（ ）=3 (4)【难度】★【答案】（1）7；（2）9；（3）6.【习题3】小海带领7个小朋友一起去擦27块玻璃，先平均分，每个小朋友擦若干块，剩下的不够分，就由小海再擦剩下的玻璃，那么小海一共需要擦多少块玻璃才能完成任务？【难度】★★【答案】6块。
27÷（7+1）=3……3,课前热身除数与余数 内容分析例题解析、随堂检测【例1】根据要求在（）里填上合适的数。
（1）下面（）里最小能填几。
（）÷（）=5......4 （）÷（）=4 (9)（2）下面（）里最大能填几。
（）÷4=5……（）（）÷9=4……（）【难度】★★【答案】（1）29,5；,49,10；（2）23,3；44,8.【解析】解：（1）余数一定比除数小，所以除数最小为5，被除数=5×5+4=29；余数一定比除数小，所以除数最小为10，被除数=4×10+9=49；（2）余数一定比除数小，所以余数最大为3，被除数=4×5+3=23；余数一定比除数小，所以余数最大为8，被除数=4×9+8=44；【总结】注意除数不等于0，余数要比除数小。
找余数的方法
找余数的方法在数学中，我们经常需要求出一个数除以另一个数的余数。
例如，我们想要确定一个数是奇数还是偶数，就需要知道它除以2的余数。
在一些数学问题中，求余数也是必要的。
本文将介绍数学中常见的找余数方法。
1.取模运算取模运算是一种常见的方法，用于计算两个整数相除的余数。
记a、b为两个整数，a÷b = c……r（0≤r<b）即表示a除以b，商为c，余数为r。
则称r为a对b取模运算的结果，并且用符号“a mod b”表示。
例如，7÷3=2……1，7 mod 3 = 1，其中2为商，1为余数。
在C语言中，%（取模）是一个运算符，它返回两个操作数相除的余数，如4%3=1。
它可以用在if语句、循环中，还可以用来判断一个数的奇偶性。
例如：if (num % 2 == 0) { printf("num iseven\n"); } else { printf("num is odd\n"); }2.二进制运算二进制运算也可以用来求一个数对另一个数的余数。
假设a、b都是正整数，则a除以b的余数等于将a转换为二进制表示后，从高位开始先取b比特，然后计算剩余的比特表示的二进制数所对应的十进制数的余数。
例如，以十进制数7除以3的余数为例：7的二进制表示为111，取出前两位得到11，转换为十进制数3。
3除以3的余数为0，因此7除以3的余数为1。
3.循环相减法循环相减法也被称为“短除法”，它是小学时学到的一种方法。
假设要求a除以b的余数，则可以先让a减去b，再让a减去b，直到a小于b时，此时的a就是余数。
例如，11除以3的余数为：11 - 3 = 8 8 - 3 = 5 5 - 3 = 2 2 < 3，所以11除以3的余数为2但是循环相减法效率不高，当a和b较大时，计算量也会变得非常大。
4.同余定理同余定理是一种重要的求余数方法，它常常用于密码和信息论中。
0和正整数的一些性质
整数：这里只涉及0和正整数。
1.是否能被2整除分为奇数和偶数。
能被2整除的数称之为偶数，除以2后余数为1称之为奇数。
奇数和偶数的运算定律有以下13条。
（1）奇数±奇数＝偶数（2）偶数±偶数＝偶数（3）奇数±偶数＝奇数（4）偶数±奇数＝奇数（5）奇数×奇数∑奇数（6）奇数×偶数＝偶数（7）偶数×偶数＝偶数（8）奇数÷奇数＝奇数（若可以除尽的话）（9）奇数的连乘积永远是奇数，若干个整数相乘，如果其中有一个是偶数，那么乘积一定是偶数（10）相邻两个自然数之和必然为奇数，相邻两个自然数之积必然为偶数（11）两个整数的和与两个整数的差具有相同的奇偶性（12）奇数的平方被4除余1，整数的平方是4的倍数（13）奇数用（2k－1）或（2k＋1）来表示，偶数用2k表示（其中k为整数）2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能够被b整除，或者说b能整除a。
记作：b |a整除的几个性质：（1）两个数a和c都能够被b整除，那么（a+c）也能够被b整除（2）a能够被b整除，那么用任意不为零的整除c乘以a得到ca也能被b整除。
（3）对任意不为零的数a，有a能够被1和本身整除（4）若a能够被b整除，b也能够被a整除，那么a与b的绝对值相等。
常用的几个数字整除的判断方法（1）能被2整除的特征：个位数字为0，2，4，6，8的整数（2）能被3整除的特征：各个数位数字和能被3整除（3）能被4整除的特征：末两位数能够被4整除（4）能被5整除的特征：个位数字为0，5的整数（5）能被8整除的特征：末三位数能够被8整除（6）能被9整除的特征：各个数位数字和能够被9整除（7）能被7整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除（8）能被11整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除②奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之差能被11整除③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除（9）能被13整除的特征：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除3.如果a能够被b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。
从最小的余数是几说起
从最小的余数是几说起余数是数学中重要的概念之一。
在进行除法运算时，余数指的是被除数不足除数时剩余的数值。
例如，70除以7，商为10，余数为0，因为7乘以10等于70。
而71除以7，商为10，余数为1，因为70乘以7等于69，剩余1。
余数有很多的应用，可以用来解决许多实际问题。
下面我们将从最小的余数是几开始，探讨余数的各种用途。
最小的余数是指在某个除数范围内，能够得到除数余数的最小被除数。
例如，当除数为7时，最小的余数是1，因为除以7时，最小的结果是商为0余1。
最小的余数是个十分有用的概念，可以用它来解决很多问题。
例如，在解决同余方程时，通常需要找到最小的余数是几。
2. 同余方程同余方程是指在同余式中，未知数与模数之间的关系式。
例如，对于方程7x≡1 mod 11，其中11是模数，x是未知数，我们需要找到一个x，使得7x除以11余1。
同余方程有很多的应用，例如在密码学中，需要对信息进行加密和解密，在进行加密和解密时通常都需要用到同余方程。
3. 素数素数是指只能被1和本身整除的自然数，例如2、3、5、7、11等。
素数在数学中占有十分重要的地位，它们的性质被广泛地运用于密码学、人工智能等领域。
在素数的研究中，余数的概念十分重要。
例如，一个素数除以2时的余数只有可能是0或1。
当一个素数除以3时的余数只有可能是0、1或2。
4. 模运算模运算是指在给定的模数下进行的运算。
对于两个整数a和b，它们在模数n下的和、差和积分别为：a+b≡(a mod n)+(b mod n) (mod n)模运算在密码学中应用广泛，因为模运算可以模仿加法、减法和乘法，但在模数下运算结果却具备不可逆的特性。
5. 模反元素模反元素是指在给定的模数下，某个整数的倒数。
例如，在模数7下，2的模反元素为4，因为2×4≡1 mod 7。
模反元素在密码学中应用广泛，因为它们用于加密和解密信息。
例如，在RSA算法中，数据加密时需要一个公钥和一个私钥。
小学数论知识点
小学数论知识点数论是数学的一个重要分支，对于小学生来说，接触到的数论知识是数学学习中的基础和关键部分。
下面我们就来一起了解一下小学数论的一些主要知识点。
一、整数的认识1、自然数自然数是用来表示物体个数的数，如 0、1、2、3、4……最小的自然数是 0，没有最大的自然数。
2、整数整数包括正整数、0 和负整数。
正整数和 0 统称为自然数。
3、数位和计数单位不同的数位表示不同的计数单位。
例如，个位的计数单位是“一”，十位的计数单位是“十”，百位的计数单位是“百”。
二、整除1、整除的概念如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，b 能整除 a。
2、常见的整除特征（1）能被 2 整除的数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数。
（2）能被 3 整除的数的特征：各位上数字的和能被 3 整除。
（3）能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的数。
3、因数和倍数如果 a×b=c（a、b、c 都是非 0 整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
三、质数与合数1、质数一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
最小的质数是 2。
2、合数一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
最小的合数是 4。
3、 1 既不是质数也不是合数。
四、公因数与公倍数1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2、公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3、求最大公因数和最小公倍数的方法（1）列举法分别列出两个数的因数（或倍数），从中找出最大公因数（或最小公倍数）。
（2）分解质因数法把两个数分别分解质因数，公有质因数的乘积就是最大公因数，公有质因数和各自独有的质因数的乘积就是最小公倍数。
二年级数学余数讲解
二年级数学余数讲解余数是指一个数除以另一个数所得的余数，简单来说就是取模运算后剩下的数。
例如，5除以3的余数是2，因为5÷3=1余2。
在数学中，余数是一个很重要的概念，它应用非常广泛，特别是在计算机科学和密码学中。
在二年级数学学习中，我们也需要掌握余数的概念和应用。
一、余数的定义我们知道，当一个数x被另一个数y除尽时，余数为0。
如果x不能被y除尽，那么x 除以y的余数就是剩下的数。
例如，10除以3的余数为1，因为10÷3=3余1。
余数常常表示未分配的、未归属的或多余的部分。
例如，一个班级有23个学生，如果把他们分成4个小组，那么必然会有几个人没有分到组。
这几个人的数量就是23÷4的余数，即3。
在数学运算中，余数的符号通常与被除数的符号相同。
例如，-5除以3的余数为1，因为-5÷3=-1余-2，但它更常见的形式是-5÷3= -2余1。
二、余数的性质在计算余数时有一些特殊的性质：1. 对于任何正整数n，它除以n的余数一定小于n。
2. 如果一个数可以被另一个数整除，那么它们的余数相同。
3. 两个整数的和除以一个正整数的余数等于它们各自除以这个数的余数之和的余数。
以上性质可以帮助我们更方便地计算余数。
三、如何计算余数1. 用手算余数用手算除法是最基本的计算余数方法。
例如，如果我们要求139除以4的余数，我们可以先算出139÷4=34余3，于是139除以4的余数就是3。
2. 利用科技设备计算余数利用计算器可以很方便地计算余数。
例如，我们输入139÷4，得到的结果是34.75，但我们只需要看小数点后面的数字，即0.75，即139除以4的余数为3。
3. 利用余数的性质计算余数利用余数的性质可以更快地计算余数。
例如，如果我们要求1234除以7的余数，我们可以重复利用第三个性质，把它分成四部分计算：1除以7的余数是1，10除以7的余数是3，30除以7的余数是2，40除以7的余数是5。
除数是一位数的除法
三年级数学知识：除数是一位数的除法1、有关除法的3条公式：（没有余数）被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数2、有关除法的3条公式：（有余数）被除数÷除数=商------余数（被除数一余数）÷商=余数商×除数+余数=被除数。
3、关于余数（1）、余数与除数的关系很大，余数不能大于除数。
余数不能是0, 0不是余数。
整除就没有余数。
（2）、在一位数除法中，最大的余数是8，最小的余数是1。
4、关于商有几多位的问题一定要看被除数有几多位，被除数是两位数的时候，商就有可能是1位或者2位数。
被除数是三位数的时候，商就有可能是2位或者3位数。
决定商到底有几多位数的时候，一定要看被除数的最高位与除数的大小关系，就可以算出来了。
4、被除数是两个数的时候，当被除数的最高位（十位数）大于或等于除数时，商就是2位数。
当被除数的最高位（十位数）小于除数时，商就是1位数。
如：51÷3商就是2位数。
13÷3商就是1位数。
5、被除数是三位数的时候，当被除数的最高位（百位数）大于或等于除数时，商就是3位数。
当被除数的最高位（百位数）小于除数时，商就是2位数。
如：456÷4商就是有3位数。
324÷6商就是有2位数。
6、最大余数和最小余数的算法在一位数除法当中，最大的除数是9，最大的余数是8，最小的余数是1。
在每一道除法中，最小的余数是1是没有改变的。
最大的余数就具体看除数了。
要看规则：余数不能大于除数就可以了。
例如:除数是5的时候，最大的余数就是4、最小就是1，其中4、3、2、1 都是可能是余数。
按照这样的方法类推，其中除数是9的时候，余数是最多的，最大余数是8，最小是1，其中8、7、6、5、4、3、2、1都是可能是余数。
7、特殊情况，除数是整数和整百的时候，（超出了一位数）可以与被除数后面相互去掉一个零或两个零就可以了。
例如：100÷10=10 20000÷100=200 相互在后面去掉相应的零就可以了。
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最小的余数是1还是0？最小的余数是1还是0？这个问题你选择哪个答案？当除数是6，余数可以是几？你是填0-5，还是1-5？这都涉及余数可不可以是0的问题。
九义教材中余数是0被认为是没有余数，1被认为是最小的余数。
但实验教材有不同的理解。
下面的文章我觉得在所有的参考资料中说得是比较清楚明白的，推荐给同仁们参考。
【转】浅谈在整数除法中余数可以为零一、困扰教师的问题不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。
”不料对于这一答案,他们并不同意,其理由如下:第一,人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》,从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可以为0”的表述。
第二,《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。
如27÷6=4…3。
即不完全商是4,余数是3。
”这就表明余数不能为0。
在数学课本中找不到“余数可以为0”的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让他们对我的答案持怀疑态度。
面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题,该怎样来正本清源呢?我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,确实没找到“余数可以为0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。
我知道,这样的表述既不是出现在正文中,又没有说明道理,不足以成为论据。
课本中没有,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。
二、解惑所需的思辨1.要用对立统一的观点看待0众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。
从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。
然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。
从这个意义上讲,0又表示“有”。
这一点不难理解。
比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表示“无”,又可表示“有”。
用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。
2.要用发展变化的观点看待概念间的关系人们对数学概念的认识并非一成不变的,而是处于不断发展变化之中的。
例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们相互排斥,泾渭分明,不容混淆。
然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为1,分子为该整数的假分数,如3= 3/1,65=65/1。
这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。
“整数”成了“分数”的特例,整数集成了分数集的真子集。
原先,整数集与分数集之并集才是有理数集,后来,这种广义的分数集实际上就是有理数集了。
与此类似,人们研究整数除法时,先研究被除数能被除数整除的情形,如15÷5,正好得到整数商3,记作15÷5=3。
后来才研究有余数的情形,如16÷5,得到不完全商3后还余1,记作16÷5=3…1。
起初,“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念,前者没有余数,后者有余数,互不相容。
后来,为了研究的方便,人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大,让它把原先的两个概念一并囊括。
因为这很容易办到:只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”即可。
这样一来,“整除”就成了“有余数的除法”的特例,“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一,二者统一于广义的“有余数的除法”之中。
3.“余数为0”的说法有据可查事实上,“余数为0”的提法早已被数学界认可。
⑴《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述:“判定一个整数能不能被另一个正整数整除,只需进行除法运算即可。
如果所得的余数为0,就是整除的情况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的情况。
例如:①a=91,b=13。
a÷b=91÷13,商7余0。
这表明91=13×7。
即91能被13整除。
②a=97,b=19。
97÷19商5余2。
所以97不能被19整除。
一般地,对于整数a和正整数b,如果进行除法a÷b得商q,余数为r,就有a=bq+r。
其中0≤r⑵《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1057页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述:“每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r, 0≤r上述不等式0≤r值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,我国宋代数学家秦九韶早在公元1247年即在其著作《数书九章》中,对这一算法进行过卓有成效的研究。
⑶《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1066页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以m为模,则可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,…,m-1构成一个完全剩余类。
”由此易知,在以0为代表的这个剩余类中,每个数除以m,所得的余数均为0。
也就是说,此类数中的每一个都是m的倍数。
事实上,我们不仅从剩余类的理论中,看到了对“余数为0”的认可,还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。
载有这类题目并给出解答的数学书籍比比皆是,下面举一例。
求证:在任意四个整数中,必有这样的两个数,它们的差能被3整除。
证明:因为任何整数除以3,所得余数只可能是0,1,2三种。
也就是说,所有整数按其除以3所得余数来分,可分为余数分别为0,1,2的三个剩余类。
把每个剩余类都看做一个抽屉,三个剩余类就是三个抽屉。
根据“抽屉原理”,把四个整数放进三个抽屉,至少有一个抽屉里会有两个整数。
这两个整数既属同一个剩余类,它们除以3所得的余数必然相同,故其差除以3所得的余数必为0,也就是说,这个差必能被3整除。
三、教材修改的建议综上所述,在整数除法中,余数的确是可以为0的。
但在现行的人教版小学数学教材中,对此却完全不予涉及,遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解,实在没有道理。
由此观之,教材必须修改。
1.教材修改的重要意义⑴有利于学生认识0的双重意义,知道0既可表示“无”,又可表示“有”。
使用修改后的教材教学,能让学生初步感知对立统一的辩证思想。
⑵有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系,知道当学习了“有余数的除法”后,原来的“整除”(包括“表内除法”)可以看做是“有余数的除法”的特例,由此理解“特殊”与“一般”的关系。
⑶有利于学生后续的数学学习。
2.教材修改的具体意见⑴要明确指出“没有余数”就是“余数为0”。
人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页例题1为:“搬15盆花布置会场,每组摆5盆,可以摆几组?”解答此题的横式为 15÷5=3(组)。
接着,课本上还列出了竖式。
这道例题显然起着承上启下的作用:既承接二年级下册的“表内除法”,又由此介绍除法竖式,为“有余数的除法”的教学作铺垫。
第51页例题2是:“一共有23盆花,每组摆5盆,最多可以摆4组,还多3盆。
”这是“有余数的除法”的首个例题。
解答时,课本上先列出横式:23÷5=4(组)……3(盆)。
再在横式下方列出竖式,并用虚线将两个式子中的3连接,标上“余数”二字。
课本上述编排颇具匠心,但还应作点补充。
建议在这两道例题后面,不失时机地编排一段对“0”的辩证认识的文字,让学生懂得:“0”虽然表示“没有”,但它同时又是一个确定的数,从这个意义上讲,“0”也表示“有”。
紧接着,还要引导学生对这两道例题的竖式进行观察和比较,发现例题1竖式中最下面的“0”与例题2竖式最下面的“3”处于相同的位置,“3”既表示余数,“0”也可看成是余数。
过去我们说15÷5恰好等于3,“没有余数”,现在我们也可说15÷5,商为3,“余数为0”。
相信这样处理,学生能在轻松愉快中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育。
⑵要明确指出除数为a时,共有a种不同的余数:0,1,2,…,a-1。
三年级上册第52页例题3为:“如果上例中一共有16盆花,可以摆几组?多几盆?如果是17盆,18盆,…,24盆,25盆呢?”课本上列出了一组式子:15÷5=3(组)16÷5=3(组)……1(盆)17÷5=3(组)……2(盆)18÷5=3(组)……3(盆)19÷5=3(组)……4(盆)20÷5=□(组)21÷5= □(组)……□(盆)22÷5= □(组)……□(盆)23÷5=24÷5=25÷5=在这组式子的右边,提了一个问题:“观察余数和除数,你发现了什么?”旨在引导学生发现“余数小于除数”的结论。
此题编得不错,无须大改。
关键是要增加一段文字,要告诉学生:“15÷5=3(组)”也可写作“15÷5=3(组)……0(盆)”。
这样,展现在学生面前的余数就有0,1,2,3,4五种,就不会由于余数0的隐匿,而使学生误认为“一个整数除以5,只有1,2,3,4四种余数”了。
到四年级学习了“用字母表示数”后,课本还应当用更具概括性的语言告诉学生:在整数除法中,如果除数是a,则余数只能是0,1,2,…,a-1,一共有a种。
当今时代,数学不仅作为工具,发挥着越来越重要的作用,而且,数学作为一种文化,也日益深入人心。
近年来,人们对0的双重意义的认识越来越到位了。
这不,没有距离被称作“零距离”;不收关税被称作“零关税”。
把没有误差称作“零误差”;把没有风险称为“零风险”。
而像“零增长”“零收益”“零亏损”“零排放”“零损耗”“零学费”“零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之类的提法早已见诸各媒体。
随着时间的推移,像这类以“零××”为模式的词汇还在不断地诞生。
前些时候,美国国务卿希拉里·克林顿由于不满下属的荒唐行为,还首创了“零忍耐”一词,令人颇感新鲜。
“0”本是数学中的元素,在数学的整数除法中,又实实在在地存在着余数为0的现象,而为什么在我们的小学数学教科书上,反倒连一个“零余数”都不敢提呢?这真是:墙外百花齐放,墙内掖掖藏藏。
令人不解其意,空自扼腕嗟伤!教科书是师生进行教学活动的重要资源和主要依据,该说清的一定要说清,该指明的一定要指明。
一切都要为学生的发展着想。