核按钮(新课标)2016高考数学一轮复习(课时精讲课时检测单元检测)第十三章推理与证明(3课时)理

第十三章 推理与证明1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．3．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．4．了解反证法的思考过程和特点．5．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．§13.1 合情推理与演绎推理1．两种基本的推理推理一般包括____________和____________两类．2．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为： 大前提：M 是P. 小前提：S 是M. 结论：S 是P.自查自纠：1．合情推理 演绎推理2．(1)部分 个别 (2)特殊 特殊 (3)归纳 类比3．(1)一般 特殊 (2)三段论关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是由一般到一般的推理 B ．归纳推理是由一般到特殊的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论不一定正确解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选D.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的性质；②由等差数列的性质类比出等比数列的性质； ③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；④由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和为180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°.A ．仅①②是B ．仅①②③是C ．仅①②④是D ．①②③④都是解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们都属于合情推理．故选D.“任何实数的平方大于0(大前提)，而a 是实数(小前提)，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的解：当a≠0时，a 2>0；当a ＝0时，a 2＝0.所以这个推理的大前提错误．故选A.(2014²课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为____________．解：由题意可判断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .故填A.(2013²陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2³1，(2＋1)(2＋2)＝22³1³3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23³1³3³5， ……照此规律，第n 个等式可为________________． 解：观察到等式左边依次是(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )，等式右边是2n与n 个奇数的乘积，(n＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n³1³3³5³…³(2n －1)．故填(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n³1³3³5³…³(2n －1)．类型一 归纳推理在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n∈N＋)，试猜想这个数列的通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝2a 12＋a 1＝23；当n ＝3时，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝12＝24；当n ＝4时，a 4＝2a 32＋a 3＝12＋12＝25，由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝2n ＋1.点拨：数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n与序号n 之间的对应关系，先根据已知的递推公式，算出数列的前几项，再通过观察，归纳得到关于数列通项公式的一个猜想，这种猜想是否正确还有待严格的证明．(1) 已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ²1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2²x 2²4x2＝3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3²x 3²x 3²27x 3＝4，……在x >0条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式_____________________．解：当x ＞0时，分析所给等式的变形过程可得 x ＋n n x n ＝n n n x n n xn x n x ++⋯++个＝n ＋1.故填x ＋n nxn ≥n ＋1.1 2 3 4 5 63 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112(2)(2014²江苏模拟)给定正整数n (n ≥2)按下图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数，例如n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2 016时最后一行的数是________．解：设最后一行(第n 行)的一个数为a n ，则通过计算易得a 1＝2²2－1，a 2＝3＝3³20，a 3＝8＝4³21，a 4＝20＝5³22，a 5＝48＝6³23，a 6＝112＝7³24，…，由此，可猜测：a n ＝(n ＋1)³2n －2，所以当n＝2 016时最后一行的数a 2016＝2 017³22 014.故填2 017³22 014.类型二 类比推理在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，则1AD 2＝1AB2＋1AC2.在四面体A ­BCD 中，若AB，AC ，AD两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则类似的结论是什么？并说明理由．解：如图，在四面体A ­BCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明如下：连接BH并延长交CD于E，连接AE. ∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD.又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE.在Rt△ABE中，有1AH2＝1AB2＋1AE2.①又易证CD⊥AE，∴在Rt△ACD中，1AE2＝1AC2＋1AD2.②将②式代入①式得1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.点拨：本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…(2014²衡水中学调研)椭圆中有如下结论：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线xa2＋yb2＝0上，类比上述结论：双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线____________上．解：将椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中的x2变为x，y2变为y，右边变为0，得到椭圆x2a2＋y2b2＝1上斜率为1的弦的中点在直线xa2＋yb2＝0上．类比上述结论，将双曲线的方程作上述变换可知：双曲线x2a2－y2b2＝1上斜率为1的弦的中点在直线xa2－yb2＝0上．证明如下：不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1≠x2，则y2－y1x2－x1＝1，弦中点设为(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22，将上述两端点代入双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减得x22－x21a2－y22－y21b2＝0，（x2－x1）（x2＋x1）a2－（y2－y1）（y2＋y1）b2＝0，所以（x2－x1）（x2＋x1）a2－（x2－x1）（y2＋y1）b2＝0，∵x1－x2≠0，∴x2＋x1a2－y2＋y1b2＝0，2x0a2－2y0b2＝0，所以x0a2－y0b2＝0，于是(x0，y0)在直线xa2－yb2＝0上．故填xa2－yb2＝0.类型三演绎推理直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线(大前提)，已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α(小前提)，则直线b∥直线a(结论)”，上面推理错误的原因是( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解：大前提是错误的，某直线平行于平面，平面内还是存在直线与已知直线异面．故选A.点拨：演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．“因为指数函数y＝a x是增函数(大前提)，而y＝⎝⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以y＝⎝⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”．上面推理错误的原因是( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误解：当a＞1时，y＝a x为增函数；当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，所以大前提错误．故选A.1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．2．归纳推理的一般过程：(1)通过观察个别情况发现相同的性质；(2)推出一个明确表述的一般性结论．3．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．4．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．1．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．以上推理形式为( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．以上都不正确解：这是三段论的推理形式，显然是演绎推理．故选C.2．有如下三段论推理：所有偶数都是4的倍数，因为6是偶数，所以6是4的倍数．其中的结论是错误的．导致这一错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．大前提和小前提都错误D ．推理形式错误解：偶数不一定是4的倍数，故大前提错误，但小前提和推理形式都是正确的．故选A.3．下面使用类比推理正确的是( ) A ．由“若a ²3＝b ²3，则a ＝b ”类推出“a ²0＝b ²0，则a ＝b ”B ．由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ²b )c ＝ac ²bc ”C ．由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝ac＋bc(c ≠0)” D ．由“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 解：易知A ，B ，D 错误．故选C.4．将奇数1，3，5，7，9，…进行如下分组：{1}，{3，5}，{7，9，11}，….试观察每组内各数之和，则第n 组内各数的和等于( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1)解：各组内各数的和分别为1，8，27，…，显然B 正确，故选B.5．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解：以上各式不同整数解的个数按顺序构成首项为4，公差为4的等差数列，即当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，因此|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4³20＝80，故选B.6．如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，则FB →＝(c ，b)，AB →＝(－a ，b )．∵FB →⊥AB →，∴FB →²AB →＝－ac ＋b 2＝0.又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0.解得e ＝1±52.又e >1，∴e ＝1＋52.故选A.7．(2014²陕西质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f (128)>__________．解：观察f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，易知不等式右边的数构成首项为2，公差为12的等差数列，而4，8，16，…构成以4为首项，2为公比的等比数列，则f (128)＝f (4²25)>2＋5³12＝92.故填92.8．(2014²江苏模拟)设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1，2，3，4)，P 是该四边形内的任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(ih i )＝2Sk .类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，相应的正确命题是_____________________________．解：类比可得相应命题是：“若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则∑i ＝14(iH i )＝3Vk ”．其正确性可证明如下：根据三棱锥的体积公式得13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4＝3V ，∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k，即∑i ＝14(iH i )＝3Vk.故填若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则∑i ＝14(iH i )＝3V k .9．通过观察下列等式：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32；sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝32.猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．解：猜想sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明：左边＝(sin αcos60°－cos αsin60°)2＋sin 2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin60°)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－3cos α22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋3cos α22＋sin 2α＝sin 2α2＋3cos 2α2＋sin 2α＝32(sin 2α＋cos 2α)＝32＝右边． 10．(1)已知等差数列{a n }，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn(n ∈N ＋)，求证：{b n }仍为等差数列；(2)已知等比数列{c n }，c n >0(n ∈N ＋)，类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．解：(1)证明：∵{a n }是等差数列，∴b n ＝n （a 1＋a n ）2n ＝a 1＋a n 2，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n2＝d2为常数．故数列{b n }仍为等差数列．(2)类比命题：若{c n }为等比数列，c n >0(n ∈N ＋)，d n ＝nc 1²c 2²…²c n ，则{d n }为等比数列．证明如下：d n ＝nc 1²c 2²…²c n ＝n（c 1²c n ）n2＝c 1²c n ，d n ＋1d n＝c n ＋1cn＝q 为常数，∴{d n }为等比数列．11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的表达式．解：(1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴f (5)＝25＋4³4＝41. (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4³1. f (3)－f (2)＝8＝4³2， f (4)－f (3)＝12＝4³3， f (5)－f (4)＝16＝4³4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∵f (2)－f (1)＝4³1， f (3)－f (2)＝4³2， f (4)－f (3)＝4³3， ……f (n －1)－f (n －2)＝4(n －2)， f (n )－f(n －1)＝4(n －1)． 各式相加得f (n)－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)]＝2(n －1)n ，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(2014²北京模拟)祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切；刀刀切出等面积，可必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．试用祖暅原理推导球的体积公式．(提示：利用等底等高的圆柱、圆锥与半球体积的关系构造参照体)．解：我们先推导半球的体积．如图1，为了计算半径为R 的半球的体积，我们先观察V 圆锥、V 半球、V 圆柱这三个量(等底等高)之间的不等关系，可以发现V 圆锥<V 半球<V 圆柱，即13πR 3<V 半球<πR 3，根据这一不等关系，我们可以猜测V 半球＝23πR 3，并且由猜测可发现V 半球＝V 圆柱－V 圆锥．下面进一步验证猜想的可靠性．关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．下面利用祖暅原理证明猜想．证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面．如果截面与底平面α的距离为l，那么圆面半径r＝R2－l2，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为截面截圆锥面所得圆的半径，设为r0，如图2，O2A＝lR³R2＋R2＝2l，知OA2＝r20＝(2l)2－l2＝l2，因此S圆＝πr2＝π(R2－l2)，S环＝πR2－πr20＝π(R2－l2)，∴S圆＝S环．根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V半球＝πR2³R－13πR2³R＝23πR3，所以V球＝43πR3.§13．2 直接证明与间接证明1．直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________，因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．自查自纠：1．(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因 2．不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．归纳法解：从要证明的结论(比较两个无理数的大小)出发，转化为比较有理数的大小，这正是用分析的方法证明问题．故选B ．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <ab解：∵a ，b 为非零常数，∴a 2b 2>0．又由a <b两边同除以a 2b 2得1ab 2<1a 2b．故选C ．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b应满足的条件是( )A ．a >b >0B ．a <b <0C ．a >bD ．a ≥0，b ≥0，且a ≠b 解：∵(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝(a －b )(a －b )>0，∴a ≥0，b ≥0，且a ≠b ．故选D ．在用反证法证明“∀实数x ，x 2＋x ＋1>0”时，其假设是____________________．解：假设所要证明的结论不成立，即∃实数x 0，x 20＋x 0＋1≤0．故填∃实数x 0，x 20＋x 0＋1≤0．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1，其中能推出：“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．解：对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2与③矛盾，故③能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”，故填③．类型一 直接证明设a ，b ，c >0，求证：3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a2＋b 2＋c 2)²(a ＋b ＋c )．证明：∵a ，b ，c >0，a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )， ∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2a 2b ＋2ab 2， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2，①同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2，② a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，③①＋②＋③得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2，∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋ab 2＋b 2c )＋(c 3＋ac 2＋bc 2) ＝a 2(a ＋b ＋c )＋b 2(b ＋a ＋c )＋c 2(c ＋a ＋b ) ＝(a 2＋b 2＋c 2)²(a ＋b ＋c )． ∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 2＋b 2＋c 2)²(a ＋b ＋c )． 点拨： 在证明本题的过程中，若直接将结论展开证明，虽然可能成功，但相比从已知公式定理出发进行证明，有一定的复杂性，所以在使用分析法出现困难时，应及时回顾相关的知识背景，分析通过怎样的配凑或变形可以使已知公式定理接近结论，才是明智之举．已知a ＞0，求证：a 2＋1a2－2≥a＋1a－2．证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2．只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a ＞0，故只要证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只要证4⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立(a ＝1时取等号)，故原不等式成立．类型二 间接证明在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 三边的倒数成等差数列．求证：∠B <π2．证明：若a ，b ，c 的倒数成等差数列，则1a ＋1c＝2b ．假设B ≥π2，从而∠B 是△ABC 的最大角，根据“大角对大边”得b >a ，b >c ．所以1a >1b ，1c >1b，相加得1a ＋1c >2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，所以假设不成立．因此∠B <π2．点拨： 一般地，对于结论是“都是”，“都不是”，“至多”、“至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想，用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾，与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f(x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )．而f (0)，f (1)为奇数，即c 为奇数，a ＋b ＋c 为奇数．则a ，b ，c 同时为奇数，或a ，b同时为偶数，c 为奇数．当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c 为奇数，与an 2＋bn ＋c ＝0矛盾．∴f (x )＝0无整数根．1．综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P (已知)⇒Q 1⇒Q 2⇒Q 3⇒ …⇒Q n ⇒Q (结论)．2．分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符号表示是：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知)．3．分析法与综合法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的推理证明方法，二者各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述．4．用反证法证明命题的一般步骤： (1)分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾的结果；(4)断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．5．可用反证法证明的数学命题类型 (1)结论是否定形式的命题；(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题；(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题； (4)用直接法较难证明或需要分成多种情形进行分类讨论的命题．1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ．这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B ．2．(2013²银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的实数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：①②正确，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，所以③不对．故选C ．3．(2014²山东)用反证法证明命题“设a ，b为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A ．4．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解：∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6，∴a ，b ，c 三数中至少有一个不小于2．故选C ．5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，若∠A 为钝角，则cos A <0，b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2．故选C ． 6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C解：∵sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2＝1－cos （B ＋C ）2，∴cos(B ＋C )＝1－2sin B sinC ．∴cos B cos C －sin B sin C ＝1－2sin B sinC ． ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1．∴cos(B －C )＝1．又0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴B ＝C ．故选C ．7．命题“a ，b 是实数，若||a ＋1＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明时应假设____________．解：a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1，或b ≠－1．故填a ≠－1，或b ≠－1．8．(原创)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x |≤1，，用分析法证明|x ＋y |≤|1＋xy |”．估计污损部分的文字内容为________．解：要证|x ＋y |≤|1＋xy |，需证(x ＋y )2≤(1＋xy )2，化简得x 2＋y 2≤1＋x 2y 2，(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，又要证的不等式成立，所以估计污损部分的文字内容为“|y |≤1”．故填|y |≤1．9．设数列{}a n 是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．(1)求证：数列{}S n 不是等比数列； (2)数列{}S n 是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：假设数列{}S n 是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1²a 1(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1 时，{}S n 是等差数列；当q ≠1时，{}S n 不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)得q ＝0，这与q ≠0矛盾，所以当q ≠1时，{}S n 不是等差数列．10．如图示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1，试用综合法和分析法证明：A 1C 1⊥A B ．证法一(综合法)：在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∵AB ＝CC 1＝BB 1，∴四边形ABB 1A 1为正方形．∴AB 1⊥A 1B ．又AB 1⊥BC 1，A 1B ∩BC 1＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，故AB 1⊥A 1C 1．又BB 1⊥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，故A 1C 1⊥A B ．证法二(分析法)：A 1C 1⊥AB ⇐A 1C 1⊥平面A 1ABB 1， ⇐⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1⊥BB 1⇐BB 1⊥平面A 1B 1C 1⇐直棱柱定义A 1C 1⊥AB 1⇐AB 1⊥平面A 1BC 1 ⇐⎩⎪⎨⎪⎧AB 1⊥BC 1（已知）AB 1⊥A 1B ⇐A 1ABB 1是正方形⇐AB ＝CC 1＝BB 1． 由此，命题得证． 11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ．求证：(1)a >0且－3<b a <－34；(2)函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b＋2c ＝0．①又3a >2c >2b ，∴a >0，b <0．由①变形得c ＝－32a －b ．②将②式代入3a >2c >2b 得⎩⎪⎨⎪⎧b >－3a ，4b <－3a ．∴－3<b a <－34．(2)假设函数f (x )在区间(0，2)内没有零点． ∵f (1)＝－a2<0，∴f (0)＝c ≤0，f (2)＝4a ＋2b＋c ＝a －c ≤0．∴a ≤c ≤0．这与已知a >0矛盾，∴函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．是否存在常数C ，使不等式x 2x ＋y＋y x ＋2y ≤C ≤xx ＋2y ＋y2x ＋y 对任意正数x ，y 恒成立？试证明你的结论．解：令x ＝y ＝1，得23≤C ≤23，∴存在满足题意的常数C ，且C ＝23．证明如下：∵x >0，y >0，∴要证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，只需证3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )，即证x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．∴x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23． 再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23．同理，只需证3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )，即证x 2＋y 2≥2xy ，这显然成立．∴x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23． 综上所述，存在常数C ＝23，使得不等式x2x ＋y＋yx ＋2y≤C ≤x x ＋2y ＋y2x ＋y对任意正数x ，y 恒成立．§13．3 数学归纳法1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设____________(k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当____________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有__________都成立．2．数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．自查自纠：1．(2)n ＝k n ＝k ＋1 正整数n 2．正整数在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n ＝________时命题成立．( )A ．1B ．2C ．3D ．0解：凸多边形至少有三条边．故选C ．使不等式2n ＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：21＝12＋1，22＜22＋1，23＜32＋1，24＜42＋1，25＞52＋1，…，则使不等式成立的最小k 值为5，故选D ．(2013²黑龙江模拟)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k ＋1成立时，总可推出f (k ＋1)≥k ＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立 B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立解：根据题意，若f (4)≥5成立，则f (n 0＋1)≥n 0＋2(n 0≥4)，即f (k )≥k ＋1(k ≥5)．综合f (4)≥5，所以当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立．故选D ．用数学归纳法证明：设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，则n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ∈N＋，n ≥2)，第一步要证的式子是________________． 解：∵n ≥2，∴n 0＝2．观察等式左边最后一项，将n 0＝2代入即可得2＋f (1)＝2f (2)．故填2＋f (1)＝2f (2)．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)²…²(n ＋n )＝2n ²1²3²…²(2n －1)(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是____________．解：当n ＝k 时，等式左边＝(k ＋1)(k ＋2)²…²(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左边＝(k ＋2)(k ＋3)²…²(k ＋1＋k ＋1)＝错误!＝2(2k ＋1)(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)²…²(k ＋k )．观察、比较可知，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是2(2k ＋1)．故填2(2k ＋1)．类型一 证明等式证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，那么，当n ＝k ＋1时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．点拨：用数学归纳法证明与正整数n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1²n＋2²(n －1)＋3²(n －2)＋…＋(n －1)²2＋n ²1＝16n (n ＋1)(n ＋2)． 证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝16³1³2³3＝1，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 1²k ＋2²(k －1)＋3²(k －2)＋…＋(k －1)²2＋k ²1＝16k (k ＋1)(k ＋2)，那么，当n ＝k ＋1时，1²(k ＋1)＋2²k ＋3²(k －1)＋…＋k ²2＋(k ＋1)²1＝1²k ＋2²(k －1)＋3²(k －2)＋…＋(k －1)²2＋k ²1＋1＋2＋…＋(k ＋1)＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋（k ＋1）（k ＋2）2 ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．类型二 证明不等式用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324(n ≥2 ，n ∈N )． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝12＋1＋12＋2＝712＞1324成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N )时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＞1324成立， 则当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＞1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，而12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2＝1（2k ＋1）（2k ＋2）＞0． 综合(1)(2)知，原不等式成立．点拨： 从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，证明时应注意左边代数式的变化规律，弄清增加的项后再恰当使用放缩法证明．(1)用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)． 证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝3³12³1＋1＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1．当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2≥3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2． 令f (k )＝3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2－3（k ＋1）2（k ＋1）＋1， 则f (k )＝1（k ＋1）2－3（2k ＋1）（2k ＋3）＝（2k ＋1）（2k ＋3）－3（k ＋1）2（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k （k ＋2）（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）． ∵k ≥1，∴f (k )>0，即3k2k ＋1＋1（k ＋1）2>3（k ＋1）2（k ＋1）＋1． 由①②知，不等式对任何n ∈N *都成立．(2)已知函数f (x )＝x －x ln x ，数列{a n }满足0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *．证明：对任意n ∈N *，不等式0<a n <1都成立．解：由f (x )＝x －x ln x ，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故f (x )在x ∈(0，1)时为单调递增函数．下面用数学归纳法证明：对任意n ∈N *，不等式0<a n <1都成立．①当n ＝1时，已知0<a 1<1，不等式成立；又当n ＝2时，由a 1ln a 1<0，得a 2＝f (a 1)＝a 1－a 1ln a 1>a 1>0，且有a 2＝f (a 1)＝a 1－a 1ln a 1<f (1)＝1，即0<a 2<1，不等式也成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，有0<a k<a k＋1<1成立，则当n＝k＋1时，由f(x)在x∈(0，1)时为单调递增函数，且0<a1≤a k<a k＋1<1，得f(a k)<f(a k＋1)<f(1)，即a k＋1<a k＋2<1，又a k＋1>0，所以有0<a k＋1<a k＋2<1，不等式也成立．综合①、②知，对任意n∈N*，不等式0<a n<1都成立．1．用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可．2．证第二步的关键是合理运用归纳假设，以“n ＝k时命题成立”为条件，证明“当n＝k＋1时命题成立”．这里，易出现的错误是：不使用“n＝k 时命题成立”这一条件，而直接将n＝k＋1代入命题，便断言此时命题成立．注意：没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．3．在n＝k到n＝k＋1的证明过程中寻找由n ＝k到n＝k＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)．4．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用．1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，左端计算所得的结果是( )A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解：当n＝1时，左边＝1＋a＋a2．故选C．2．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2＜k2＋3k＋2＋k＋2＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1，故当n＝k＋1时，不等式成立．根据(1)和(2)，可知不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)成立．上述证法中( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1的推理不正确解：证明过程没有用到归纳假设的结论，所以证明方法不正确．故选D．3．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22(n∈N*)，则从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，左边应增加的项为( )A．(k＋1)2B．(k2＋1)＋(k＋1)2C．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k2＋2k)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解：当n＝k(k∈N*)时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2．比较上述两个式子，当n＝k＋1时，等式左边是在假设n＝k时等式成立的基础上，加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2．故选D．4．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”中，第二步归纳假设应写成( )A．假设n＝2k＋1(k∈N*)成立，再推出n＝2k ＋3成立B．假设n＝2k－1(k∈N*)成立，再推出n＝2k ＋1成立C．假设n＝k(k∈N*)成立，再推出n＝k＋1成立D．假设n＝k(k≥1)成立，再推出n＝k＋2成立解：第二步归纳假设n＝2k－1(k∈N*)成立，再推出n＝2k－1＋2＝2k＋1成立．故选B．5．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N)，若n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1000＋1时也成立，下列判断中正确的是( )A．p(k)对k＝2004成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立解：由题意知，p(k)仅对k＝2，4，6，…，2002成立．故选D．6．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )A．n＋1 B．2nC．n2＋n＋22D．n2＋n＋1解：平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多．设前k条直线把平面分成了f(k)部分，第k＋1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k＋1条直线分为k＋1段，这k＋1段将平面上有关的f(k)部分的每一部分分成了2个部分，共2(k＋1)部分，相当于增加了k＋1个部分，∴第k＋1条直线将平面分成了f(k＋1)部分，f(k＋1)－f(k)＝k＋1，令k＝1，2，3，…，n，得f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(n)－f(n－1)＝n，把这n－1个等式累加，得f(n)－f(1)＝2＋3＋…＋n＝。