高考数学核按钮新课标版
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十二章算法初步与框图、推理与证明12.2基本算法语句课件文
解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将 a，b 之和的一半赋值给变量 c，
语句“d＝c*c”是将 c 的平方赋值给 d，最后输出 d 的值．故输出
结果为 d＝16. (2)语句“c＝a＋b”是将 a，b 之和赋值给 c，语句“b＝a＋c
－b”是将 a＋c－b 的值赋值给了 b.故输出结果为 a＝1，b＝2，c＝ 3.
UNTIL 型： i＝1 S＝0 DO
S＝S＋i^2 i＝i＋1 LOOP UNTIL PRINT S END
i>100
第二十三页，共24页。
当型循环与直到型循环的区别 (1)WHILE 型是先判断条件，后执行循环体，而 UNTIL 型则是先执行循环体，后判断条件； (2)WHILE 型是当条件满足时执行循环体，不满足时 结束循环，而 UNTIL 型则是条件不满足时执行循环体，条 件满足时结束循环； (3)UNTIL 型至少执行一次循环体，而 WHILE 型执行 循环体的次数可能为 0.
说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对 IF 后的条件进 行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行 END IF
之后的语句．
(2)“IF—THEN—ELSE”语句 格式：
____________________．
说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对 IF 后的 条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体 1，否则(ELSE) 执行语句体 2.
第二十四页，共24页。
i＝i＋5 WEND PRINT i END A．5 B．6 C．10 D．11
解：这是一个当型循环程序，当 i＝(1＋5)＋5＝11>10 时，退出循环，输出的 i＝11.故选 D.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程课件
§2.6 函数(hánshù)与方程
第一页，共19页。
1．函数的零点
(1)定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使
的实数 x 叫做函数 y＝f(x)
的零点．
函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的________，也是函数 y＝f(x)的图象
2．判断函数在给定区间零点的步骤 (1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续； (2)计算 f(a)，f(b)的值并判断 f(a)·f(b)的符号； (3)若 f(a)·f(b)＜0，则有实数解． 除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应 函数的图象来作出判断．
第十八页，共19页。
3．确定函数 f(x)零点个数(方程 f(x)＝0 的实根个数)的方法： (1)判断二次函数 f(x)在 R 上的零点个数，一般由对应的二次
利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
第二页，共19页。
2．函数的零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有
，那么，函数 y＝f(x)在区间
内有零点，即
存在 c∈
，使得
，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见 2.4 节
当 0＜a＜12时满足题意．故填0，12.
第十五页，共19页。
【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的 对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的 零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问 题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离 参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零 点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨 论要注意全面及数形结合．
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、
已知数列1×1 2，2×1 3，3×1 4，…，n（n1＋1），通
过计算得
S1
＝
1 2
，
S2
＝
2 3
，
S3
＝
3 4
，
由
此
可
猜
测
Sn ＝
____________．
解法一：通过变化规律猜测 Sn＝n＋n 1. 解法二：Sn＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋n（n1＋1）
＝ 1－12 ＋ 12－13 ＋ 13－14 ＋ … ＋ 1n－n＋1 1 ＝ 1 －
【点拨】用数学归纳法证明与正整数 n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”， 弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 时等式两边的构成规 律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证 明待证等式．
求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝ －n(2n＋1)(n∈N*)．
证明：①n＝1 时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设 n＝k 时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2 －(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以 n＝k＋1 时，等式也 成立． 由①②得，等式对任何 n∈N*都成立．
类型一 证明等式
证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k， 那么，当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.2函数的单调性与
(2015·衡水模拟)若在区间[0，1]上存在实数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立，则实数 a 的取值范围是________．
解：2x(3x＋a)＜1 可化为 a＜2－x－3x，则在区间[0，1] 上存在实数 x 使 2x(3x＋a)＜1 成立等价于 a＜(2－x－ 3x)max(x∈[0，1])．函数 y＝2－x－3x 在[0，1]上单调递减， ∴y＝2－x－3x 的最大值为 20－0＝1，∴a＜1，故 a 的取值 范围是(－∞，1)．故填(－∞，1)．
第七页，共28页。
(2014·天津)函数 f(x)＝log1(x2－4)的单调
2
递增区间为________．
解：函数 y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2， ＋∞)，因为函数 y＝f(x)由 y＝log1t 与 t＝g(x)＝
2
x2－4 复合而成，又 y＝log1t 在(0，＋∞)上单调
2
递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数 y
第二十三页，共28页。
(2013·南昌模拟)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一
切 x＞0，y＞0 都有 fxy＝f(x)－f(y)，当 x＞1 时，有 f(x)＞0.
；
②存在 x0∈I，使得Fra bibliotek．那么我们称 N 是函数 y＝f(x)的最小值．
第三页，共28页。
自查自纠
1．(1)①任意两个 增函数 (2)单调性 单调区间
2．(1)①f(x)≤M ②f(x0)＝M (2)①f(x)≥N ②f(x0)＝N
②任意两个 减函数
第四页，共28页。
(2014·北京)下列函数中，定义域是 R 且为增函数
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核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用课件文
点拨： 建立关于 x 的函数关系式是解决本题的关键，在运 用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等” 以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少， 最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次， 就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛 盾，有矛盾则应调整解法．
第十六页，共24页。
已知函数 f(x)＝ex＋e－x，其中 e 是自然对数的底数．若关于 x 的不等式 mf(x)≤e－x＋m－1 在(0，＋∞)上恒成立，则实数 m 的取值范围为 ________．
解：由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1 在(0，＋∞)上恒成立． 令 t＝ex(x＞0)，则 t＞1， 且 m≤－t2－t－t＋1 1＝－t－1＋1t－1 1＋1对任意 t＞1 成立． ∵t－1＋t－1 1＋1≥2 （t－1）·t－1 1＋1＝3， ∴－t－1＋1t－1 1＋1≥－13， 当且仅当 t＝2，即 x＝ln2 时等号成立．
(Ⅱ)解法一：由 2x＋8y－xy＝0，得 x＝y－8y2，∵x＞0，∴y＞2，
则 x＋y＝y＋y－8y2＝(y－2)＋y－162＋10≥18，
当且仅当 y－2＝y－162，即 y＝6，x＝12 时等号成立． 解法二：由 2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，
则 x＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2yx＋8xy≥10＋2
第十二页，共24页。
(2)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x＋y 的最小值．
解：(Ⅰ)由 2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又 x＞0，y＞0，
则 1＝8x＋2y≥2
8x·2y＝
8 ，得 xy≥64， xy
当且仅当 x＝4y，即 x＝16，y＝4 时等号成立．
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.1弧制及任意角的三角函数课件
(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad， 1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来 1rad＝____≈57.30°＝57°18′.
(3)若圆心角 α 用弧度制表示，则弧长公式 l＝__________；扇形面
22
3 2
135°
3π 4
2 2
150° 180° 270° 360°
5π 6
π
3π 2
2π
1 2
0 －1 0
cosα
1
3 2
2 2
1 2
0
－21
tanα 0 3 1
3
不
3存 在
－3
－
2 2
－1
－
3 2
－1
0
1
－
3 3
不 0存 0
在
第十二页，共33页。
如果 sinα＞0，且 cosα＜0，那么 α 是( )
如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB＝120°，半径 R ＝6，求：
︵ (1)AB的长；
(2)弓形 ACB 的面积．
第二十二页，共33页。
解：(1)∵∠AOB＝120°＝23π，R＝6， ∴lA︵B＝23π×6＝4π. (2)S 弓形 ACB＝S 扇形 OAB－S△OAB ＝12lA︵BR－12R2sin∠AOB ＝12×4π×6－12×62× 23＝12π－9 3.
运用．
第二十四页，共33页。
扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的
面积为 3 cm2，求圆心角的大小．
解：设扇形半径为 r，则弧长为 8－2r， ∴S＝12·(8－2r)·r＝3，解得 r＝1 或 3. ∴圆心角 θ＝弧 半长 径＝8－r 2r＝6 或23.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第二章 函数的概念、基本初等函数Ⅰ及
第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象． (4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．§2.1 函数及其表示1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有________f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个________，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中，x 叫做________，x 的取值范围A 叫做函数的________；与x 的值相对应的y 值叫做________，其集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的________．2．函数的表示方法 (1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且________完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5．映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的________元素x ，在集合B 中都有________元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．6．映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_______________．(2)区别：函数是从非空数集．．A 到非空数集．．B 的映射；对于映射而言，A 和B 不一定是数集．．． 7．复合函数 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．自查自纠： 1．唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域2．(1)数学表达式 (2)图象 (3)列出表格 3．(1)定义域 对应关系 值域 (2)定义域 对应关系5．任意一个 唯一确定的 6．(1)映射(2014·山东)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解：(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C .(2014·江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x ＜0，(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解：f (－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，∴a ＝14.故选A .下列各图表示两个变量x ，y 的对应关系，则下列判断正确的是( )A ．都表示映射，都表示y 是x 的函数B ．仅③表示y 是x 的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数解：根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.(2014·南京模拟)函数y ＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域为________．解：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1>0，解得12<x <1.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2014·新课标Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：由题设知f (x )≤2可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2，解得x ≤8.故填(－∞，8]．类型一 函数和映射的定义下列对应是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．解：由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，而③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．故填②.点拨：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y 与之对应；③集合P ，Q 是否为非空数集．(2013·南昌模拟)给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1；②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为________．解：对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B中两个元素±1；④是从A 到B 的映射． 故填②④.类型二 判断两个函数是否相等已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，1－x ，x ≤0 D ．g (x )＝x －1解：∵g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1， 与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B .点拨：两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x （x ＋1） 解：对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0， ＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.类型三 求函数的定义域(1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x－4)0的定义域．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1)，求y ＝ f (x 2－3)的定义域．解：(1)要使函数有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0.解得x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2}，用区间表示为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，4)∪(4，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3≥－1，x 2－3＜1，解得⎩⎨⎧x ≤－2或x ≥2，－2＜x ＜2.∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)．点拨：求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y ＝f (x )用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．若已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数y ＝f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(1)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (x )的定义域．(2)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (2x)的定义域．解：(1)∵函数f (2x －1)的定义域为[1，4]， ∴1≤x ≤4，1≤2x －1≤7，故函数f (x )的定义域是[1，7]．(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为[1，7]，令1≤2x≤7，得0≤x ≤log 27，故所求函数的定义域为[0，log 27]．类型四 求函数的值域求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x2； (2)y ＝2x ＋1－x ； (3)y ＝2x ＋1－x 2； (4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(6)f (x )＝||2x ＋1－||x －4. 解：(1)解法一：(反解)由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y， ∵x 2≥0，∴1－y 1＋y≥0，解得－1＜y ≤1，∴函数值域为(－1，1]． 解法二：(分离常数法)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又∵1＋x 2≥1，∴0＜21＋x2≤2，∴－1＜－1＋2x 2＋1≤1， ∴函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法)令t ＝1－x (t ≥0)，∴x ＝1－t 2，∴y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋178. ∵t ≥0，∴y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178. (3)(三角换元法)令x ＝cos t (0≤t ≤π)，∴y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝15，sin φ＝25.∵0≤t ≤π，∴φ≤t ＋φ≤π＋φ， ∴sin (π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，5]． (4)解法一：(不等式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1， 又∵x ＞1时，x －1＞0，x ＜1时，x －1＜0，∴当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 解法二：(判别式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1，∴x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0，又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∴方程x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0有不等于1的实根．∴Δ＝(y ＋2)2－4(y ＋5)＝y 2－16≥0，解得y ≤－4或y ≥4.当y ＝－4时，x ＝－1；y ＝4时，x ＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (5)(单调性法)∵3x 2＋2y 2＝6x ，∴2y 2＝6x －3x 2≥0，解得0≤x ≤2.z ＝x 2＋y 2＝x 2＋3x －32x 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵对称轴为x ＝3＞2，即z 在x ∈[0，2]上单调递增．∴当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值4，故所求函数的值域为[0，4]． (6)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.点拨：求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋x －1；(2)y ＝1＋4x ＋x 21＋x 2； (3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4.解：(1)函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y ＝x 和y ＝x －1都是增函数， ∴y ＝x ＋x －1也是增函数，∴当x ＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．(2)解法一：变形得：y ＋yx 2＝1＋4x ＋x 2，∴(1－y )x 2＋4x ＋1－y ＝0，y ＝1时，x ＝0； y ≠1时，∵x ∈R ，∴Δ＝16－4(1－y )2≥0⇒－1≤y ≤3且y ≠1. ∴函数值域为[－1，3]．解法二：y ＝1＋4x1＋x 2，而－1－x 2≤2x ≤1＋x 2，1＋x 2＞0.∴－1－x 21＋x 2≤2x 1＋x 2≤1＋x 21＋x 2，∴－1≤2x 1＋x2≤1. ∴1＋2×(－1)≤1＋2×2x1＋x2≤1＋2×1， 即－1≤y ≤3，∴函数的值域为[－1，3]．(3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.令f (x )＝t ＋1t ，而t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数．∴t ＋1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. ∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. (说明：此题易错写成f (x )＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．请想一想，错在哪里？)类型五 求函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )；(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2－3，求f (x )；(4)已知f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ＋2，求f (x )． 解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3. 故所求的函数为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设2x ＋1＝t ，则x ＝12(t －1)，∴f (2x ＋1)＝f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）2＋8⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）＋3＝t 2＋2t ， 所以f (x )＝x 2＋2x .(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－5，而x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )＝x 2－5(x ≥2或x ≤－2)．(4)令t ＝1x ，则x ＝1t，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －2f (t )＝3t＋2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ＋2，与原式联立得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f （x ）＝3x ＋2， 解得f (x )＝－x －2x－2，故所求函数的解析式为f (x )＝－x －2x－2(x ≠0)．点拨：由y ＝f (g (x ))的解析式求函数y ＝f (x )的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g (x )的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，如(4)，将f (x )作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f (x )的解析式，含f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的类型常用此法．(2013·武汉模拟)(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．解：(1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①把x 换成1x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，所以f (x )＝2x －1x(x ≠0)．类型六 分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），x ≤2，3－x ，x >2，则f (log 32)的值为________．解：∵log 32<2，log 36<2，log 318>2，∴f (log 32)＝f (log 32＋1)＝f (log 36)＝f (log 36＋1)＝f (log 318)＝3－log 318＝118.故填118.点拨：求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．(2014·天津十二区联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0， 若af (－a )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，1)解：根据分段函数解析式知af (－a )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a log 12a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a log 2（－a ）＞0， 解得0＜a ＜1或－1＜a ＜0.故选A .1．对应、映射和函数三者之间的关系对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的．对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数．也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．2．判断两个函数是否相等判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．3．函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性．4．函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集；(2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数的情况进行分类讨论；(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)．5．求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f (g (x ))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法．6．函数的值域求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有：(1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合．(2)当函数y ＝f (x )用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合．(3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解：对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x2x －2无意义；对于C ，当x ＝0时，y ＝3∉M ； D 符合映射定义，故选D . 2．给出下面四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0的图象是抛物线． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①，函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②，定义域是空集，错误；命题③，y ＝2x (x ∈N )的图象是一些孤立的点，故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．只有①正确，故选A .3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解：∵f (x )的定义域为[0，2]，∴令⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解此不等式组得0≤x <1.故选B.4．(2014·南充模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则“f (x )≤0”是“x ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解：若f (x )≤0，则当x ≤0时，f (x )＝x 2－x ＝x (x －1)≤0，解得x ＝0；当x >0时，f (x )＝log 2x ≤0，解得0<x ≤1，∴0≤x ≤1，∴“f (x )≤0”是“x ≥0”的充分不必要条件．故选A.5．函数y ＝x ＋2－x 的最大值为 ( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解：函数的定义域为[0，2]，y 2＝(x ＋2－x )2＝2＋2x （2－x ）≤2＋x ＋(2－x )＝4，当且仅当x ＝1时取等号，∴y ≤2.故选D.6．(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2] 解：当a ＜0时，f (a )＝0＜f (0)，f (0)不是f (x )的最小值．当a ≥0时，f (0)＝a 2，而x ＋1x＋a ≥2＋a (x ＝1时取等号)．∴由题意得a 2≤2＋a .解不等式a 2－a －2≤0，得－1≤a ≤2， ∴0≤a ≤2.故选D .7．(2013·安徽)函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为____________．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1]．故填(0，1]．8．(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解：作出y ＝f (x )的图象如图，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2， 可得a ≤ 2.故填(－∞，2]． 9．函数f (x )满足f (x －3)＝xx 2＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的值域．解：(1)令x －3＝t ⇒x ＝t ＋3.∴f (t )＝t ＋3（t ＋3）2＋1＝t ＋3t 2＋6t ＋10. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x ＋3x 2＋6x ＋10.(2)令y ＝x ＋3x 2＋6x ＋10⇒yx 2＋6yx ＋10y ＝x ＋3，∴yx 2＋(6y －1)x ＋10y －3＝0. 当y ＝0时，x ＝－3；当y ≠0时，Δ＝(6y －1)2－4y (10y －3)≥0，∴－12≤y ≤12且y ≠0.综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 10．已知f (x )＝bx ＋12x ＋a(a ，b 为常数，ab ≠2)，且f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝k 为定值，求k 的值．解：∵f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx ＋12x ＋a ·bx ＋12x＋a＝（bx ＋1）（b ＋x ）（2x ＋a ）（2＋ax ） ＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a. 又由条件知当x ≠0时，恒有：f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a＝k (常数)．则f (1)·f (1)＝f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝k . 即b 2＋2b ＋1a 2＋4a ＋4＝2b 2＋5b ＋22a 2＋10a ＋8， 亦即2ab 2＋2a ＝a 2b ＋4b ， ∴(ab －2)(a －2b )＝0.∵ab ≠2，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，∴k ＝f 2(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋12（b ＋1）2＝14.11．已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(i )当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求；(ii )当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≤0⇒－511≤a ＜1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≥0⇒－1＜a ≤－511.当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0， 则f (2 015)的值为________．解：∵x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，因此，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，∴f(2015)＝1，故填1.§2.2函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．②如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ________，区间D叫做y＝f(x)的________．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2014·北京)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|解：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是( )A．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.(2014·天津)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为________．解：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x )由y＝log12t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故填(－∞，－2)．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f()x＋a在[)0，＋∞上是增函数，则a的取值范围是________．解：∵f(x)＝x2－4x＋3＝()x－22－1，∴f()x＋a＝()x＋a－22－1，且当x∈[)2－a，＋∞时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.故填[2，＋∞)．类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－x2＋2|x|＋3；②y＝1－x2－3x＋2；③y＝x3－3x.解：①依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x 2－3x ＋2≥0，得x ≥2或x ≤1，设u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝1－u ， 当x ∈(－∞，1]时，u 为减函数， 当x ∈[2，＋∞)时，u 为增函数， 而u ≥0时，y ＝1－u 为减函数．∴y ＝1－x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)．③y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令y ′＞0，得x ＞1或x ＜－1， 由y ′＜0，得－1＜x ＜1，∴y ＝x 3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)．(2)证明f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上为单调增函数．证法一：(定义法)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22－1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f (x )＝x 2＋1x(x ＞1)，所以f ′(x )＝2x －1x 2＝2x 3－1x2.又x ＞1，所以2x 3－1＞0且x 2＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．点拨：求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f (g (x ))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号即可)①f (x )＝sin x; ②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝log 12(x ＋3); ④f (x )＝|x ＋1|.解：结合函数性质及图象分析可知：①，④不满足题意．对于②，f ′(x )＝1－1x2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1)上递减；对于③，令u ＝x ＋3，在(0，1)上递增，而y ＝log 12u 为减函数，由复合函数单调性知，f (x )＝log 12(x ＋3)在(0，1)上单调递减． 综上可知，②③在(0，1)上为减函数．故填②③.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法一：(定义法)任取x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 22＋34x 22＋1＜0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数． 证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二 函数单调性的应用若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：设u ＝x 2－ax ＋3a >0，且函数u 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上是单调增函数．又y ＝log 2u 是单调增函数，根据复合函数的单调性，要使函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧[2，＋∞）⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞，u ＝x 2－ax ＋3a >0（x ∈[2，＋∞））恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u min ＝u （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(－4，4]． 点拨： 利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义，如本题中，不能忽视u ＝x 2－ax ＋3a >0； (2)弄清常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的关系，如本题中，⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞ 是单调增区间，[2，＋∞)是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化问题． 是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2，4]上是单调增函数？证明你的结论.解：设u ＝ax 2－x >0.假设符合条件的a 存在．当a >1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调增函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u min ＝u （2）＝4a －2＞0. 解得a >12，于是a >1. 当0<a <1时，由复合函数的单调性知， 只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调减函数， 所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u min ＝u （4）＝16a －4＞0，解得a ∈∅.综上，当a ∈(1，＋∞)时，函数f ()x ＝log a (ax2－x )在区间[]2，4上是单调增函数．类型三 抽象函数的单调性已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值． 解：(1)证法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0， 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0， 而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 证法二：在R 上任取x 1，x 2且x 1>x 2，则x 1－x 2＞0. 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 点拨：对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x . (2013·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＜2. 解：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，1x ＞0，x 2＋5x ＜36，解得0＜x ＜4.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同，那么y ＝f (g (x ))是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相反，那么y ＝f (g (x ))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g (x )的值域必须是y ＝f (u )的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f (x )在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则f (x )≥m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )min ≥m ；(2)设f (x )在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则f (x )≤m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )max ≤m .4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若f (x )是增(减)函数，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f ”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行．1．函数y ＝x －1的单调递增区间是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0] 解：y ＝x －1的图象由y ＝x 的图象向右平移1个单位得到，故y ＝x －1的单调递增区间是[1，＋∞)．故选A .2．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x解：选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．故选D .3．(2013·西安调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为正值B ．恒等于零C ．恒为负值D ．无法确定正负解：∵f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，∴f (x )在R 上单调递减．又x 1＋x 2＞0，则x 1＞－x 2， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 从而有f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选C.4．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）.则f (x )的值域是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解：令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)， 即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．故选D.5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定 解：由y ＝f (x )的图象及已知可得0<a <1，所以1<a ＋1<2，由于函数f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．故选A .6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0， 又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0， 从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .7．若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝____________．解法一：函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知－a2＝3，∴a ＝－6.解法二：由f (3)＝0⇒a ＝－6.故填－6.8. (2012·山东)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解：若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝4，f （2）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝4，a 2＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，m ＝116.∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×116x ＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，满足题意．若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝4，f （－1）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，1a＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12. ∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×12x ＝－x 在[0，＋∞)上是减函数，不合题意．综上知，a ＝14.故填14.9．已知a >b >0，m >0.(1)判断函数f (x )＝b ＋xa ＋x在区间(0，＋∞)内的单调性；(2)证明不等式b a <b ＋ma ＋m.解：(1)∵f (x )＝b ＋x a ＋x ＝a ＋x ＋（b －a ）a ＋x＝1－a －ba ＋x， 又y ＝－a －ba ＋x在(－a ，＋∞)内为增函数，∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数．(2)证明：∵由(1)知f (x )在(－a ，＋∞)内为增函数，∴当x 1＝0，x 2＝m 时，x 1＜x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即b a <b ＋ma ＋m.10．用函数单调性的定义证明：f (x )＝a x ＋a －x在(0，＋∞)上是增函数(这里a ＞0且a ≠1)．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(ax 1＋a －x 1)－(ax 2＋a －x 2)＝(ax 1－ax 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 1－1ax 2＝1ax 1＋x 2(ax 1－ax 2)(ax 1＋x 2－1)，∵0＜x 1＜x 2，∴x 1＋x 2＞0，ax 1＋x 2＞0. (1)当a ＞1时，ax 1＋x 2＞1，ax 1＜ax 2， ∴ax 1＋x 2－1＞0，ax 1－ax 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.(2)当0＜a ＜1时，ax 1＋x 2＜1，ax 1＞ax 2，。
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解：当 0<x<π4时，0<tanx<1，f(x)＝cosxscinoxs－2x sin2x＝tanx－1 tan2x， 设 t＝tanx，则 0<t<1，y＝t－1t2＝t（11－t）≥4，当且仅当 t＝1－t， 即 t＝12时等号成立．故选 D.
2019SUCCESS
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＝－tanπ6－α＝－
33.故填－
3 3.
解：由已知得 tanα＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaannαα－＋31＝－53. (2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sinsi2nα2＋α＋sincoαsc2oαsα＋2
＝tatna2nα2＋α＋ta1nα＋2＝121222＋＋121＋2＝153.
α
1－452＝35，∴tanα2＝ sin2α＝43；
cos2
②当α2是第三象限角时，与 sinα2＝45矛盾，舍去．
综上，tanα2＝43.故填43.
解法一：由ssiinnα2α－＋ccoossα2＝α＝12，， 得 2cos2α＋2 2cosα＋1＝
0，即( 2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－ 22.又 α∈(0，π)，∴α＝34π， tanα＝tan34π＝－1.
解：由题意知 sinθ＋cosθ＝－m2 ，sinθcosθ＝m4 ，又(sinθ＋cosθ)2
＝
1
＋
2sinθcosθ
，
∴
m2 4
＝
1
＋
m 2
，
解
得
m ＝ 1±
5.又
Δ ＝ 4m2 －
16m≥0，∴m≤0 或 m≥4，∴m＝1－ 5.故选 B.
解：∵π4＜α＜π2，∴sinα＞cosα.∵1－2sinαcosα＝
解法二：∵sinα－cosα＝ 2，∴(sinα－cosα)2＝2，得 sin2α ＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0，2π)，2α＝32π，∴α＝34π，tanα
＝－1.故填－1.
解：∵π3－α＋6π＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α ＝sinπ3－α＝12.故填12.
三角函数(基本初等函数(Ⅱ))
§4.2 同角三角函数的基本关 系及诱导公式
解：∵α 为第二象限角，∴cosα＝－ ∴tan(π＋α)＝tanα＝csoinsαα＝－34.故选 D.
1－352＝－45，
解：∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°，∴c ＞b＞a.故选 C.
(cosα－sinα)2＝34，∴cosα－sinα＝－
23.故填－
3 2.
解：在△ABC 中，由 tanA＝－152<0 知∠A 为钝角， ∴cosA<0，1＋tan2A＝sin2Aco＋s2cAos2A＝co1s2A＝116494，得
cosA＝－1132.故填－1123.
(1)已知 sinα＝13，且 α 为第二象限角，
解：原式＝（－sinα）（（－－cocsoαs）α）·s（inα－·sisninαα·c）os（α －sinα） ＝－tanα.
解：原式＝sin2α－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
பைடு நூலகம்
解：∵π6－α＋56π＋α＝π，∴tan56π＋α＝－tanπ－56π＋α
求 tanα； (2)已知 sinα＝13，求 tanα；
(3)已知 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα.
【点拨】解题时要注意角的取值范围，分类讨论， 正确判断函数值的符号．
解：∵α 是第二象限角，∴α2是第一或第三象限角．
①当α2是第一象限角时，
有 cosα2＝
1－sin2α2＝
2019/6/11
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2019/6/11