2014年高考全程复习构想高三第十章统计概率1.10.7
高考数学总复习 第十章 概率与统计 101课后巩固提升(
【创优导学案】2014届高考数学总复习第十章概率与统计10-1课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P253解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．从3名女同学和2名男同学中选1人做学习委员，则不同的选法种数为( ) A．6 B．5C．3 D．2解析 B “完成这件事”即选出一人作学习委员，可分选女学习委员和男学习委员两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．2．(2013·安庆模拟)将3封信投入4个信箱，投法共有( ) A．A34种B．C34种C．43种D．34种解析 C 投3封信分三步，每投1封信为一步，每步均有4种方法，由分步乘法计数原理知，共有43种方法．3．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为A．15 B．16C ．17D ．18解析 B 只需A 处给D 处10件，B 处给C 处5件，C 处给D 处1件，共16件次．4．某晚会演出，原准备的节目表有6个节目，如果保持节目的顺序不变，在它们之间再插入2个节目，并且插入的节目不在排头和排尾，那么不同的插入方法有A ．20种B ．30种C ．42种D ．56种 解析 B 分两步进行，第一步，插入第一个节目，有5种不同的插法；第二步，插入第二个节目，有6种不同的插法，所以，总共有5×6＝30种不同的插法．5．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 解析 D 当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为32时，等比数列可为4、6、9. 同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．6．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A ．24个B ．30个C ．40个D ．60个解析 A 分2种情况，当末位数为2时，有4×3＝12(个)，当末位数为4时，有4×3＝12(个)，共24个．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．在正方体中，由一条棱和一条平面对角线可以组成异面直线的对数为________． 解析 正方体共12条棱，每条棱可以与6条对角线组成异面直线，由分步乘法计数原理，共有6×12＝72对．【答案】 728．(2013·太原模拟)三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，那么称这个数为凹数，如635,729,868等，所有的三位凹数的个数是________．解析 按十位上的数字分九类，有12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋92＝285个．【答案】 2859．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 型(每次旋转90°仍为L 型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 型图案的个数是________．解析每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48个．【答案】48三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解析分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众，有30×29×20＝17 400种；(2)幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11 400种，共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．11．(12分)高二年级四个班中有34人自愿组成数学课外小组，其中一班有7人，二班有8人，三班有9人，四班有10人．推荐两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班级，则有多少种不同的选法？解析分六类，每类都分两步，①从一、二班各选一人，共有7×8＝56种；②从一、三班各选一人，共有7×9＝63种；③从一、四班各选一人，共有7×10＝70种；④从二、三班各选一人，共有8×9＝72种；⑤从二、四班各选一人，共有8×10＝80种；⑥从三、四班各选一人，共有9×10＝90种．所以共有不同的选法为：N＝56＋63＋70＋72＋80＋90＝431种．12．(16分)某校高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班来自不同年级，有多少种不同的选法？解析(1)分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．(2)分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．(3)分三类，每类又分两步．第一类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法；第二类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类，从高二、高三年级各选1个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．。
高考数学一轮复习 第十章《统计与概率》精编配套试题(含解析)理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第十章统计与概率一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1、（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 2、（2013年高考安徽数学（理）试题）某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3、（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 4、【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =>C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =<5、【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：A ．25.57.0+=x yB ．25.56.0+-=x yC ．25.67.0+-=x yD ．25.57.0+-=x y 6、（上海市奉贤区2013年高考二模）设事件A ,B ,已知()P A =51,()P B =31,()P A B =815,则A ,B 之间的关系一定为（ ）A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件7、（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模））为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右),那么在这100株树木中,底部周长小于110cm 的株数是（ ）A ．30B ．60C ．70D ．808、【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）】记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 9、【2012武昌区高三年级元月调研】通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，算得附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”90 110 周长(cm)100 120第4题图B ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 10、（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π- B ．12π- C ．22π-D ．4π11、（2013年高考广东省数学（理））已知离散型随机变量X 的分布列为X2 3 P35310 110则X 的数学期望EX =（ ）A ．32B ．2C ．52D ．312、（2013年高考湖北卷（理））如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X =（ ）A ．126125B ．65C ．168125D ．75二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13 ．（2013浙江金华十校4月模拟）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料师说第十章统计概率10.5
•失误与防范 应用两种原理解题： (1)分清要完成的事情是什么？ (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成？“类”间 互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏.
新题速递 1.(2012· 大纲全国卷)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两 列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不 同的排列方法共有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
解析：当 b＝1 时，c＝4；当 b＝2 时，c＝4,5；当 b＝3 时， c＝4,5,6；当 b＝4 时，c＝4,5,6,7.故共有 10 个这样的三角形． 答案：A
题型二 分步乘法计数原理的应用 例 2 已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平 面上的点(a，b∈M)，问： (1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线 y＝x 上的点？
解析：当 A、B、C、D 四个区域的观众服装颜色全不相同 时，有 4×3×2×1＝24(种)不同的方法；当 A 区与 C 区同色， B 区和 D 区不同色且不与 A、C 同色时，或 B 区、D 区同色， A 区、 区不同色且不与 B、 同色时， 2×4×3×2＝48(种) C D 有 不同的方法； A 区与 C 区同色， 区与 D 区也同色且不与 A、 当 B C 同色时，有 4×3＝12(种)不同的方法．由分类计数原理知共 有 24＋48＋12＝84(种)不同的着装方法．
3．当然，在解决实际问题时，并不一定是单一的应用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理， 有时可能同时用到两个 计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步 后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数．对于同一 事件，我们可以做不同的处理，从而得到不同的解法(但方法 数相同)，这也是检验排列组合问题的很好方法.
雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料师说第十章统计概率10.6
解析：由等差数列性质，得 x＋y＝2z(x，y，z 为所取卡片 标号)，x，y 必同奇同偶，不同取法有 2C2C2＝18(种)． 3 3 答案：C
5．电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广 告和两个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共 有__________种不同的播放方式(结果用数值表示)．
方法二：采用插空法，先排甲、乙、丙 3 人，只有一种排 法，然后插入 1 人到甲、乙、丙中，有 4 种插法，再插入 1 人， 有 5 种插法，故共有 4×5＝20(种)排法． (4)方法一：(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一，甲 1 3 有 A2种，乙有 A1种，其余 3 人有 A3种，所以共有 A1· 3· 3种； A1 A3 3 2 若甲排在了第 2 和第 4 两个位置中的一个， A2种， 有 1 这时乙有 1 1 A2种，其余 3 人有 A3种，所以一共有 A2· 1· 3种，因此符合要 A2 A3 3 1 1 求的一共有 A2· 1· 3＋A1· 2· 3＝60(种)排法． A3 A3 2 A A3 方法二：(间接法)5 个人全排列有 A5种，其中甲站在中间 5 4 时有 A4种，乙站在两端时有 2A4种，且甲站中间同时乙在两端 4 3 时有 2A3种， 5 4 所以一共有 A5－A4－2A4＋2A3＝60(种)排法． 4 3
n！ 答案：①不同 ②顺序 ③所有不同排列 ④ n－m！ Am n ⑤ n ！ ⑥ 不 同 ⑦ 不 同 ⑧ 所 有 不 同 组 合 ⑨ Am ⑩ m nn－1n－2„n－m＋1 n！ － － ⑪ ⑫Cn m ⑬Cm 1 n n m！ m！n－m！ ＋Cm n
考点自测 1.设直线的方程是 Ax＋By＝0，从 1,2,3,4,5 这五个数中每 次取两个不同的数作为 A、B 的值，则所得不同直线的条数是 ( ) A．20 B．19 C．18 D．16
2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第十章统计概率9.5
(2)连接 CG 与 DE 相交于 H 点， 在△PGC 中作 HF∥PG，交 PC 于 F 点， ∴FH⊥平面 ABCD， ∴平面 DHF⊥平面 ABCD， ∵H 是 CG 的中点，∴F 是 PC 的中点， ∴在 PC 上存在一点 F，即为 PC 的中点，使得平面 DEF ⊥平面 ABCD.
点评： 探索性问题的求解策略是化探索为求解， 如果有解， 且解符合题意，则存在，否则不存在．
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点 到平面距离的依据，要过平面外一点 P 作平面的垂线，通常是 先作(找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β，设 β∩α＝l，在 β 内作直线 a⊥l，则 a⊥α.
4．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的④ ______叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平 面，也就说它们所成的角是⑤______；一条直线和平面平行或 在平面内，就说它们所成的角是⑥______的角，可见，直线和 平面所成的角的范围是⑦__________.
证明：如图，取 PD 的中点 E，连结 AE，NE. ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点， 1 ∴EN 綊2CD. 1 又∵M 为 AB 的中点，∴AM 綊2CD. ∴EN 綊 AM，
∴四边形 AMNE 为平行四边形． ∴MN∥AE. ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA＝45° ， ∴△PAD 为等腰直角三角形． ∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD，CD⊥PA， ∴CD⊥平面 PAD，而 AE⊂平面 PAD，∴CD⊥AE. 又 CD∩PD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ∴MN⊥平面 PCD.
5．三棱锥 P－ABC 的顶点 P 在底面的射影为 O，若 PA＝ PB＝PC，则点 O 为△ABC 的__________心，若 PA、PB、PC 两两垂直，则 O 为△ABC 的__________心．
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习第十章统计概率1.10.2
2．样本方差，标准差 1 标准差 s＝ n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋„＋xn－ x 2]，其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量， x 是⑮__________.标 准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平 方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯______总体 容量时，样本方差越接近总体方差．
点评：解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义， 识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布指的是一个样 本数据在各个小范围内所占的比例的大小，一般用频率分布直 方图反映样本的频率分布．频率分布直方图中各长方形高的比 也就是其频率之比．
变式探究 1 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地 抽查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图 如下图， 由于不慎将部分数据丢失， 但知道后 5 组频数和为 62， 设视力在 4.6 到 4.8 之间的学生数为 a，最大频率为 0.32，则 a 的值为( ) A．64 B．54 C．48 D．27
解析：把样本中的数据按从小到大排列为： 0．12,0.13,0.13,0.14,0.14,0.15,0.15,0.15,0.16,0.17， ∴该样本的众数是 0.15， 0.14＋0.15 中位数字 ＝0.145. 2 答案：D
2． 已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5， 那么该样本的标准 差为( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2
解析： (1)如图所示.
(2)电脑杂志上每个句子的字数集在 10～30 之间，中位 数为 22.5；而报纸上每个句子的字数集中在 20～40 之间，中 位数为 27.5.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报 纸上每个句子的平均字数少，说明电脑杂志作为科普读物通俗 易懂、简明.
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习第十章统计概率1.10.3
解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直 线上升，下面来配回归直线方程．为此对数据预处理如下： 年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算得 x ＝0， y ＝3.2， －4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29 b＝ 42＋22＋22＋42 260 ＝ 40 ＝6.5，a＝ y －b x ＝3.2. ^ 由上述计算结果，知所求回归直线方程为y －257＝b(x－ ^ 2006)＋a＝6.5(x－2006)＋3.2，即y＝6.5(x－2006)＋260.2.①
解析：以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相 应的散点图如图所示：
由散点图可见，两者之间具有相关关系． 点评：判断变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行 的方法就是绘制散点图．
变式探究 1 对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…， 10)，得散点图(1)；对变量 u，v 有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…， 10)，得散点图(2)．
i 1 n n
的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小，这一方法叫做最小二乘法．
答案： ①相关关系 ②非确定性 ③正相关 ④负相关 ⑤线性相关关系 ^ ^ ^ ^ ⑥回归直线 ⑦y＝bx＋a ⑧ y －b x
考点自测 1.下列选项中，两个变量具有相关关系的是( ) A． 参加 60 年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕 式的人数 B．正方体的体积与棱长 C．人体内的脂肪含量与年龄 D．汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失
新题速递 1.(2012· 湖南卷)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝ ^ 1,2， …， 用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71， n)， 则下列结论中不正确的是( ) ．．． A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心( x ， y ) C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg
雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第十章统计概率9.6
(3)连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH＝2BD，同理FG＝2BD， → → 所以EH＝FG，即 EH 綊 FG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分． 1→ 1 → → 1 → → 故OM＝ (OE＋OG)＝ OE＋ OG 2 2 2 11 → → 11 → → ＝22OA＋OB＋22OC＋OD 1 → → → → ＝ (OA＋OB＋OC＋OD)． 4
证明：(1)连接 BG，则 → → → EG＝EB＋BG → 1 → → ＝EB＋2(BC＋BD) → → → ＝EB＋BF＋EH → → ＝EF＋EH， 由共面向量定理的推论知： E、F、G、H 四点共面．
→ → → 1 → 1→ (2)因为EH＝AH－AE＝2AD－2AB 1 → → 1→ ＝2(AD－AB)＝2BD， 所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
2．向量 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)， 下列结论正确的是( ) A．a∥c，a⊥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，∴a∥c. 又 a· b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b. 答案：C
2．空间点的坐标 过点 P 作一个平面平行于平面 yOz(这样构造的平面垂直 于 x 轴)，这个平面与 x 轴的交点记为 Px，它在 x 轴上的坐标 为 x，这个数 x 就叫做点 P 的⑤________；过点 P 作一个平面 平行于平面 xOz(垂直于 y 轴)，这个平面与 y 轴的交点记为 Py， 它在 y 轴上的坐标为 y，这个数 y 就叫做点 P 的⑥________； 过点 P 作一个平面平行于平面 xOy(垂直于 z 轴)， 这个平面与 z 轴的交点记为 Pz， 它在 z 轴上的坐标为 z， 这个数 z 就叫做点 P 的⑦________.
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变式探究 1 在半径为 1 的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，则弦 长超过此圆内接正三角形边长的概率为__________．
解析：记 A＝{弦长超过圆内接正三角形边长}． 如图，取圆内接正三角形的顶点 B 作为弦的一个端点，当 另一个端点 E 在劣弧 CＤ上时，|BE|＞|BC|，而 CＤ劣弧长恰为圆 1 周长的3. 1 由几何概型公式有 P(A)＝3. 1 答案：3
点评：本题是一个与面积有关的几何概型问题，当事件 A 可以用面积来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对应的面 积的比值来计算事件 A 发生的概率．
变式探究 2 如图所示，墙上挂有一边长为 a 的正方形木 板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径 a 为2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击 中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 __________．
1 解析：要使 VP－ABC＜2VS－ABC，需使三棱锥 P－ABC 的高小 于三棱锥 S－ABC 的高的一半，过点 P 作底面的平行平面，将 棱锥分成上下两部分，所求概率即为下面棱台的体积与三棱锥 1 1 S － ABC 的 体 积 之 比 ， 三 棱 锥 S － ABC 的 体 积 为 3 ×( 2 3 1 1 2 ×4 × 2 )×3 ＝ 4 3 ， 上 面 截 得 小 三 棱 锥 的 体 积 是 3 ×( 2 3 4 3－ 2 3 3 3 7 2 ×2 × 2 )×2＝ 2 ，故所求概率为 ＝8. 4 3 答案：A
3．在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M，并且以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率为( ) 1 1 4 12 A.4 B.3 C.27 D.45
解析：正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间即 AM 的长 9－6 1 度介于 6 到 9 之间，则其概率为 12 ＝4.选 A. 答案：A
题型探究 题型一 与长度有关的几何概型 例 1 如图，A、B 两盏路灯之间长度是 30 米，由于光线较 暗，想在其间再随意安装两盏路灯 C、D，问 A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少？
解析：记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 1 米”，把 AB 三等分，由于中间长度为 30×3＝10 米， 10 1 ∴P(E)＝30＝3. 点评：我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随 机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随 机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
点评：解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概 型，然后求出事件 A 和基本事件的几何度量，借助几何概型的 概率计算公式求出．
变式探究 3 在 2 L 高产优质小麦种子中混入了一粒带白 粉病的种子，从中随机取出 10 mL，求含有白粉病种子的概率 是多少？
解析：取出 10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记 取出种子的体积 10 1 为 A，则 P(A)＝ ＝ ＝ . 所有种子的体积 2000 200 1 答案：200
4．在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 G，以 AG 为半径 作圆，则圆的面积介于 36π～64π cm2 的概率是( ) 9 16 3 1 A.25 B.25 C.10 D.5
解析： 如图， AG 为半径作圆， 以 圆面积介于 36π～64π cm2， 则 AG 的长度应介于 6～8cm 之间． 2 1 ∴所求概率 P(A)＝10＝5. 答案：D
归纳总结 •方法与技巧 1．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是 试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果在一个区域 内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的 形状位置无关，只与该区域的大小有关． 2．几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技巧， 必须熟练掌握．
•失误与防范 1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问 题等)转化为相应类型的几何概型问题． 2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事 件之内不影响所求结果.
题型二 与面积有关的几何概型 例 2. ABCD 为长方形， AB＝2， BC＝1， 为 AB 的中点． O 在 长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的 概率为( ) π π π π A.4 B．1－4 C.8 D．1－8
解析： 如图所示， 长方形 ABCD 的面积为 2， O 为圆心， 以 π 1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)的面积为2， π π 故因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为2÷ 4， 2＝ π 故取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1－4，选 B. 答案：B
10．7 几何概型
考纲点击 1.了解几何概型的意义和几何概型概率的计算方法. 2.会用几何概率解决实际问题.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的① ______(②______或③______)成比例，则称这样的概率模型为 几何概率模型，简称为④__________. 2．在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝⑤__________________________.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的 共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有 限的， 一个是无限的， 基本事件可以抽象为点． 对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等 可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比， 而与该区域的位置和形状无关． 2．解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”．几 何概型问题易错的根本原因是找不准“测度”.
a 2 2 πa2 解析：阴影部分的面积 S＝a2－π×(2) ＝a － 4 ，正方形 πa2 a2－ 4 π 2 木板的面积为 a ，故击中阴影部分的概率是 a2 ＝1－4. π 答案：1－4
题型三 与体积有关的几何概型 例 3 已知正三棱锥 S－ABC 的底面边长为 4，高为 3，在 1 正三棱锥内任取一点 P，使得 VP－ABC＜2VS－ABC 的概率是( ) 7 3 1 1 A.8 B.4 C.2 D.4
2．(2012· 辽宁卷)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面 积大于 20 cm2 概率为( ) 1 1 2 4 A.6 B.3 C.3 D.5
解析：由于在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C， 因此总的几何度量为 12 cm，满足矩形面积大于 20 cm2 的 点在 C1 与 C2 之间的部分，如图，
题型四 生活中的几何概型 例 4 两人约定在 20：00 到 21：00 之间相见，并且先到者 必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的， 在 20：00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在 约定时间内相见的概率．
解析：不失一般性，设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地 2 点，要使两人能在约定时间内相见，当且仅当|x－y|≤3. 两人到达约见地点的所有时刻(x，y)的可能结果可用图中 的单位正方形内(包括边界)的点表示，即阴影部分与单位正方 形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的 12 1－3 S阴影 8 大小，即 P＝ ＝ 12 ＝9. S单位正方形
5．在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△PBC S 的面积大于4的概率是( ) 1 1 3 2 A.4 B.2 C.4 D.3
解析：如图所示，设△ABC 的 BC 边上的高为 AD，在 AB 边上任取一点 P，由点 P 作 PE⊥BC，垂足为 E，则易知当 PE 1 S BP 1 ＞4AD 时，△PBC 的面积大于4，即当BA＞4时，△PBC 的面 S S 积大于4. 记 A＝{△PBC 面积大于4}． 由几何概型的概率公式， 3 4 3 得 P(A)＝1＝4. 答案：C
解析：点 E 为边 CD 的中点，故所求的概率 △ABE的面积 1 P＝ ＝2，故选 C. 矩形ABCD的面积 答案：C
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正 方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( ) 1 1 A.4 B.8 π π C.4 D.8
解析：设正方形的边长为 2，则豆子落在正方形内切圆的 1 π×12 2 π 上半圆中的概率为 4 ＝8. 答案：D
新题速递
0≤x≤2 1.(2012· 北京卷)设不等式组 0≤y≤2
表示的平面区域为
D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) π－2 4－π π π A.4 B. 2 C.6 D. 4
解析：设所求事件为 A，则由题意画出图形，边长为 2 的正 方形区域面积为 2×2＝4， 而阴影部分面 1 积为 4－4×π×22＝4－π.由几何概型概 4－π 率公式得 P(A)＝ 4 . 答案：D
答案： ①长度
②面积 ③体积 ④几何概型 构成事件A的区域长度面积或体积 ⑤ 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
考点自测 1．如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩 形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概 率等于( ) 1 1 A.4 B.3 1 2 C.2 D.3
点评：解决此题的关键是将已知两个条件转化为线性约束 条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题．
变式探究 4 甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们 可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分 别为 4 小时与 2 小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时 间的概率．
解析：甲比乙早到 4 小时内乙须等待，甲 比乙晚到 2 小时内甲须等待． 以 x 和 y 分别表示甲、乙两船到达泊位的 时间， 则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间 的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平 面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边 长为 24 的正方形，而事件 A“有一艘船停靠 泊位时须等待一段时间”的可能结果由阴影 1 1 2 2 24 －2×22 －2×202 67 部分表示．由几何概型公式得：P(A)＝ ＝288. 242 67 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是288.