吴莹莹矩阵论作业
21岁外企副总裁吴莹莹做客搜狐自称普通创业者18页
21岁外企副总裁吴莹莹做客搜狐自称普通创业者21岁外企副总裁吴莹莹做客搜狐称自己很平凡主持人：各位网友大家好，欢迎来到搜狐直播访谈现场，今天来到我们演播室的嘉宾是吴莹莹。
莹莹是北京师范大学心理学院2019级学生，作为一个大四的学生，她已经被聘为美国名企亚洲副总裁。
本次访谈由搜狐博客、教育频道、新闻中心联合推出。
莹莹你好，跟网友们打个招呼吧？吴莹莹：大家好（笑）。
“我真的是一个很平凡的人”主持人：今天21岁的莹莹就已经有百项发明了，有3项是获得国家专利的，还有我们这两天常看到的民族舞九级，还有经常获得国际大奖，被聘为美国的知名企业的亚洲副总裁。
莹莹获得过这么多奖项和荣誉远不止这些了，那么在搜狐博客的留言里还有新闻专题的留言里面网友的讨论非常热烈，说莹莹不仅是一个美女，是一个才女还是一个牛人,是一个近乎神的人物，你怎么认为自己呢？吴莹莹：其实我觉得我真的是一个很平凡的人，而且我选择的都是一些很平凡的道路，无论是发明还是科研，其实我始终认为任何一个人和我做同样的事情，他都会达到同样的一个结果，只是之所以我觉得如果说我有什么和别人不同的地方的话，我觉得那个仅仅是一个选择的原因，像我在斯坦福或者说，我觉得可能大多数人如果跟我同样的经历的话，他们会更倾向于留在斯坦福，然后直接念博士把学位念完，而我在这个时候选择了一份非常具有冒险性的工作，直接出来，然后开始担任了一个公司的职位。
所以我觉得这仅仅是一种选择的不同。
主持人：但是像你刚才说的仅仅是选择的不同，如果做同样的事情，同样的努力也会有同样的结果。
但是事实上我们看到的，可能也有很多很努力，很辛苦这样的同学、大学生，他们在为自己的前途努力，但是他们可能得不到太好的或者是出色的结果，那么你怎么看呢？吴莹莹：其实我觉得每一个人都是英雄，都是他自己的英雄，因为毕竟每个人有不同的突出的地方，有可能每个人他所特别擅长的并不是所有人都知道的，或者所有人特别追捧的，我觉得那种比如我妈妈饭做的特别好，可以把我喂的胖胖的，还有我的同学他每次考的特别好，我也特别崇拜，每次期末考试一来的时候都有很多需要准备的东西，我觉得压力很大，但是每次我的朋友都是应对自如，我觉得那是学业上的英雄。
北京理工大学出版社矩阵分析习题解答
2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。
（1）证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2）写出nC 中的Canchy －Schwarz 不等式。
(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵 解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。
选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。
当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝0021，于是，α1 ＝（ --52，51）T是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152 -，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。
矩阵论真题讲解题(含解答)
2011年《矩阵论》习题解答 一、 掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。
二、 在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-===求 （1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。
解：(1)因为()()()12341234123420561336,,,,,,,,,1121113C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ 所以由基123,,,αααα到基123,,,ββββ的过渡矩阵20561********13C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或解 非齐次线性方程组的解11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由 （2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1Tk -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x xx x ++-，k 非零常数。
二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯,(1)证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
矩阵论结课作业
基于设计结构矩阵的业务流程重组学院：数学与统计学院学号：07127006姓名：冯欣指导老师：尹小艳二〇一四年十月本文主要对设计结构矩阵（DSM）和业务流程重组（BPM）进行概述并将设计结构矩阵应用于业务流程优化问题中，提出了实值设计结构矩阵，并将其应用于最短路径问题，最后引例对仓储物流系统流程问题进行仿真，说明实值DSM 算法的性能大大提高，对于不同网络和不同的参数都能取得较好的运行结果。
设计结构矩阵是表示设计过程中复杂任务关系的信息交换模型，为了将它有效地应用于各领域的设计过程管理，本文对DSM的优化算法进行了分类，并阐述了各类算法的基本原理和步骤，对各领域基于DSM的设计过程模型优化算法的研究提供思路。
针对业务流程的特点，在设计结构矩阵的基础上提出了基于实值设计结构矩阵算法，该算法在设计结构矩阵中引入解析结构模型的思想，并将DSM中的模糊值转变为具有实际意义的具体的值。
文中以路径值为例，设计了其详细的算法和规则及实现过程，并将算法应用于仓储物流管理系统问题中。
通过工程实例表明了算法的有效性。
[关键词] : 设计结构矩阵业务流程重组系统建模实值DSM一、绪论 (1)1.1 问题的提出及研究意义 (1)1.2 选题原因 (1)二、理论基础 (2)2.1 设计结构矩阵（DSM）理论概述 (2)2.2 业务流程重组（BPR）介绍 (4)三、设计结构矩阵优化算法 (5)3.1 基于图论的优化算法 (5)3.2 智能优化算法 (6)3.1.2 模拟退火算法 (6)四、实值设计结构矩阵的业务流程重构 (7)4.1 实值设计结构矩阵 (7)4.2 最短路径DSM的实现 (9)五、结束语 (12)六、参考文献 (13)一、绪论1.1 问题的提出及研究意义20世纪60、70年代以来，信息技术革命使企业的经营环境和运作方式发生了很大的变化，而西方国家经济的长期低增长又使得市场竞争日益激烈，企业面临着严峻挑战：(1) 顾客（Customer）——买卖双方关系中的主导权转到了顾客一方。
国家形象的维度及其互向异构性
作者： 文春英;吴莹莹
作者机构： 中国传媒大学广告学院
出版物刊名： 现代传播：中国传媒大学学报
页码： 74-80页
年卷期： 2021年 第1期
主题词： 国家形象;国家实力;互向异构性
摘要：与本质主义不同,从建构主义出发,国家形象不再是先于传播而存在的客观实在.相反,国家形象存在于主客体双方的互动关系之中,国家形象是一个结构化的、多维度的存在而非个体化的、单一维度的存在.因此,国家形象的认知差异不仅存在于国家之间,也存在于同一个国家内部,互向异构是其主要特征,国家形象的认知维度存在优先次序.在国家形象的众多维度中,文化维度在异构性上的表现最为突出.优质的产品、被人喜爱的文化和被尊敬的国民在通向正面国家形象的路径上优于政治、经济、外交等国家话语.这说明国家实力并不必然转化为国家形象,国家形象本质上是一种文化现象,而不是媒体现象或国家实力的外显.。
南航双语矩阵论第五章习题答案2016年版.pdf
Proof The determinant of I A is
( a)n . The determinant
of I B is ( a)n .
A and B have distinct characteristic polynomials. Hence, they are not similar.
A must divide x p 1 . Since the polynomial x p 1 has only single roots(单根)， m( x) has only single roots. Therefore, by Theorem 5.2.7 (see lecture notes p124), matrix A is diagonalizable.
1 1 1 P 2 1 2 1 0 2
3
Exercise 8
Show that if A p I for some positive integer p, then A is similar to a diagonal matrix over the complex number field. Proof Since A p I , x p 1 is an annihilating polynomial. The minimal polynomial m( x) of
1 3 4 (b) 4 7 8 6 7 7
Solution (a)
4 0 I A 1 4 0 1 2 2
Determinant divisors are D3 ( ) det( I A) ( 2)3 , D2 ( ) det( I A) ( 2) , D1 ( ) 1 Invariant divisors are d3 ( ) ( 2)2 , d2 ( ) ( 2) , d1 ( ) 1 Elementary divisors are ( 2)2 , ( 2)
研究生 矩阵论 课后答案
|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知
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本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。
最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。
本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。
关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。
特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。
因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。
但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。
一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。
况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。
所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。
复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。
因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。
在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。
两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。
因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。
圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。
目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。
本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。
而且，从本文中也不难看出，将圆盘定理应用到判断矩阵是否对角化、正定、可逆以及估计谱半径等问题中是十分恰当的，其方便性与快捷性是通常判别法所无法比拟的。
2 Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理2.1 Gerschgorin 圆盘定理及其推论Gerschgorin 圆盘定理从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算给出矩阵特征值的包含区域，具有很强的实用性。
定义2.1[10]设nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(，称由不等式)(A R a z i ii ≤-， (2.1) 在复平面上所确定的区域为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆盘，并用记号i D 来表示。
其中的半径。
称为盖尔圆i ij 1j ii i D ||a (A)R ∑≠== 定理2.1[10]（Gerschgorin 定理1）矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)( 的一切特征值都在它的n 个盖尔圆的并集之内。
定理2.2[10]（Gerschgorin 定理2）由矩阵A 的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A 的k 个特征值。
推论2.2[8]若将式(2.1)中的(A)R i 改作jiij 1j ii i αα||a (A)R ∑≠== 则定理2.1与定理2.2的结论仍然成立。
2.2 Ostrowski 圆盘定理定理2.3[10]（Ostrowski 定理1）设矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(，，1α0≤≤是A 的任一特征值。
则存在i 使得α1T i αi ii ](A)[R (A)][R ||λλ--≤. 定理2.4[9,10]（Ostrowski 定理2）设矩阵n n nn ij C a A ⨯⨯∈=)(()2≥n ，则对于矩阵A 的任意一个特征值λ，存在i ，j ()j i ≠，使{})()()(A R A R a z a z C z A W jijj iiij≤-⋅-∈=∈λ3 Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的应用以下给出了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理在矩阵论以及微分方程稳定性理论中一些较为简单的应用。
3.1 圆盘定理在矩阵谱半径问题中的应用矩阵幂级数是一类特殊的矩阵级数，其是定义矩阵函数的基础，也是研究矩阵函数的重要工具。
考虑到数学分析中幂级数∑∞=1n n n z a 收敛问题的研究中，所涉及的收敛半径概念，所以，矩阵幂级数∑∞=1k k k A a 收敛问题中需要涉及谱半径这一概念。
在研究矩阵幂级数的收敛性问题时，矩阵的谱半径是一个极其重要的参数，其取值大小直接关系到矩阵幂级数是否收敛。
因此，许多问题中都要求对谱半径进行估计。
下述定理给出了一种有效且简便的谱半径估计方法。
定理3.1 设矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(，则矩阵A 的谱半径(){}∞≤A A A ,min 1ρ，其中，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n j ij i a A 11max ()n i ≤≤1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=∞n i ij ja A 1max ()n j ≤≤1 证明 设λ为矩阵A 的任意一个特征值， 由推论，可知⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⋂⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃∈==)()(11A D A D T i n i i n i λ 从而有)(1A D i ni =⋃∈λ （3.1）)(1AD Ti ni =⋃∈λ （3.2）由（3.1）、（3.2）式可推得，≤λ∑=nj ij a 1ni 3,2,1= ≤λ∑=ni ij a 1nj 3,2,1= 又 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n j ij i a A 11max ()n i ≤≤1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=∞n i ij ja A 1max ()n j ≤≤1 ∴(){}∞≤A A A ,min 1ρ例3.1 估计矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4112563020711265A 的谱半径。
解 易计算出14411=∑=j ja8411=∑=i i a10412=∑=j ja17412=∑=i i a14413=∑=j ja9413=∑=i i a8414=∑=j ja12414=∑=i i a所以，17,141==∞A A 故由定理3.1可得(){}14,min 1=≤∞A A A ρ.定理3.1所给出的估计方法，仅从矩阵元素出发，通过简单的运算，给出了谱半径的一个上界。
其优势在于方法极其简便，容易掌握，但其弊病在于精确性不足，该估计法仅仅给出了谱半径的一个上界。
因此，在实际问题中，要灵活运用这种估计法。
3.2 圆盘定理在判断矩阵可逆中的应用可逆矩阵，作为矩阵论中最基本的一个概念，不论是在矩阵理论中，还是在矩阵应用中，其都扮演着十分重要的角色。
一个可逆矩阵，具有很好的性质．诸如线性变换等一些理论部分都要涉及这一知识，此外，许多实际问题也都需要用到它来解决。
然而，并非任意一个矩阵都是可逆的，以下定理提供了一种判定一些矩阵是否可逆的简便方法。
定理3.2 设矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(， 如果对于任意一个i ,j 且j i ≠，恒有)()(A R A R a a j i jj ii ⋅>⋅，则A 可逆。
证明 （反证法）假设矩阵A 是不可逆，则0=λ为其一特征值。
由定理2.2 知，∃0i ，0j 且00j i ≠，使得{})()(000000000A R A R a z a z C z W j i j j i i j i ⋅≤-⋅-∈=∈=λ即)()(000000A R A R a a j i j j i i ⋅≤⋅ 这与已知中条件相矛盾，故假设不成立。
从而，矩阵A 是可逆的。
例3.2 试判定矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=7132163232710326A 是否可逆。
解 易知611=a 722-=a 633-=a 744=a由∑≠=ij ij i a A R )(可得5)(1=A R 6)(2=AR 6)(3=A R 6)(4=AR 从而有以下不等式恒成立)()(212211A R A R a a ⋅>⋅ )()(313311A R A R a a ⋅>⋅ )()(414411A R A R a a ⋅>⋅ )()(323322A R A R a a ⋅>⋅ )()(424422A R A R a a ⋅>⋅ )()(434433A R A R a a ⋅>⋅ 由定理3.2可以知，矩阵A 是可逆的。
例3.2充分显现了定理3.2在矩阵可逆判定中的简便性与有效性。
然而，应当注意，该定理的逆命题不成立，即该方法并不能判定任意一个矩阵是否可逆，而只能判定一类矩阵，这也是该方法的局限性。
此外，应当指出，相比于利用矩阵秩、行列式值等来判别矩阵是否可逆的常用方法，定理3.2所提供的判别方法并无十分明显的优势，在此将Ostrowski 定理引入到判别矩阵是否可逆问题当中，只为丰富矩阵可逆的判别方法。
3.3 圆盘定理在二次型中的应用正定矩阵是一类非常重要的矩阵，具有许多性质和比较广泛的应用领域。
例如，在欧式空间中，最基本的概念“内积”的定义中所涉及的“度量矩阵”就是正定矩阵；在物理学中，一切合理的系统都要求具有正定的质量矩阵等等。
为了更好的判定一个矩阵是不是正定矩阵我们提供了以下的判定定理。
定理3.3 设实对称矩阵n n nn ij R a A ⨯⨯∈=)(，即A A T=，若其n 个Gerschorin 圆盘皆位于复平面的右半平面上，则A 是正定的。
证明 A A R a A Tn n nn ij =∈=⨯⨯,)( ∴矩阵A 的n 个特征值皆为实数 又 矩阵A 的n 个Gerschorin 圆盘皆位于复平面的右半平面上∴矩阵A 的n 个特征值皆大于0 ∴矩阵A 是正定的。
例3.3 试判定矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16432412213282104A 是否是正定的。
解 显然A A T=411=a 822=a 1233=a 1644=a由∑≠=ij ij i a A R )(可得3)(1=A R 5)(2=A R 7)(3=A R 9)(4=AR 从而由(){})(A R a z A D iii i ≤-=易得 (){}341≤-=z A D , (){}582≤-=z A D (){}7123≤-=z A D , (){}9164≤-=z A D图3.3Gerschorin 圆盘示图所以，从图3.3中可以看出，矩阵A 的n 个Gerschorin 圆盘皆位于复平面的右半平面上，从而由定理3.3可知，矩阵A 是正定的。