W华中师大一附中届高三课外基础训练题九答案

最 新 课 外 训 练 题 (九)
1．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，3cos 4
B =． （Ⅰ）求cot cot A
C +的值； （Ⅱ）设c a BC BA +=
⋅求,2
3
的值． 解：（Ⅰ）由3cos 4
B =
，得237sin 1()4B =-=， 由2
b a
c =及正弦定理得
2sin sin sin B A C =.
11cos cos cot cot tan tan sin sin A C
A C A C A C
+=
+=+
2sin cos cos sin sin()
sin sin sin C A C A A C A C B
++=
=
2
sin 14
7sin sin 7
B B B =
==， 即cot cot A C +=
4
77. （Ⅱ）由32BA BC ⋅=u u u r u u u r ，得3cos 2ca B ⋅=,∵3
cos 4
B =，∴2ca =，22b =即.
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22
5a c +=，2
2
2
()2549a c a c ac +=++=+=，
∴3a c +=．
2．如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F 为CD 中点. （1）求证：EF ⊥面BCD ；
（2）求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的正弦值.
解：（1）取BC 中点G ，连结FG ，AG ，∵AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ， ∴BD ⊥面ABC ，又AG ⊂面ABC ，∴BD ⊥AG ，又AC=AB ，G 是BC 中点， ∴BC ⊥AG ，∴AG ⊥面BCD ，∵F 是CD 的中点且BD=2，∴FG ∥BD 且FG=
2
1
BD=1， ∴FG ∥AE ，又AE=1，∴AE=FG ，故四边形AEFG 是平行四边形，从而EF ∥AG ， ∴EF ⊥面BCD 。

（2）取AB 的中点H ，则H 为C 在面ABDE 上的射影，过C 作CK ⊥DE 于E ， 连接KH ，由三垂线定理的逆定理得KH ⊥DE ，∴∠HKC 为二面C —DE —B 的平面角。

易知EC=5，DE=5，CD=22，EF=3， 由CK S DCE ⨯⨯=⨯⨯=
∆52132221，可得305
2=CK 。

Rt △CHK 中，sin ∠HKC=410=CK CH ，∴面CDE 与面ABDE 所成的二面角的正弦值为4
10
. 3．设()()(),0,f x x g x x a a a R =
=-+>∈
（1）若()()()F x f x g x =+，试求()F x 的单调递减区间；
（2）设()()()()()
()()
f x f x
g x G x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，试求a 的值，使()G x 到直线10x y +-=距离的最
； （3）若不等式
()()()
21f x a g x a f x +-⎡⎤⎣⎦
≤对[]1,4x ∈恒成立,求a 的取值范围.
解：(1) ()(
)2
11()24F x f x g x x a a ⎫=+=-=-++
⎪⎭Q 12≥,
即1
[,)4
x ∈+∞时，()F x 单调递减；
（2）易得所求即为P 点到直线l 的距离，也就是两条平行直线10x y +-=与0x y a +-=
之
=1a >得3a =；
(3)
()()(
)
2111f x a g x a a f x +-⎡⎤⎣⎦
≤⇒
=-≤
11102a a ⇒-≤-≤⇒≤≤，将1x =与4x =
分别代入得
()2220212010
a a a a a a a ⎧⎛⎫
+≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎧<≤⎪⎪
+≤⇒⇒⎨⎨
<≤⎪⎩
⎪>⎪⎪⎩
02a <≤. 4．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
解：（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好
有两家煤矿必须整改的概率是31.016
5
5.0)5.01(32251==
⨯-⨯=C P . （Ⅱ）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5,0.5).从而ξ的数学期望是E ξ＝
50.5 2.5⨯=，
即平均有2.50家煤矿必须整改.
(Ⅲ) 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是1.0)8.01()5.01(2=-⨯-=P ，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被
关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153=-=P 。

5．已知1(2,0)F -，2(2,0)F 两点，曲线C 上的动点P 满足12123
||||||2
PF PF F F +=. （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 经过点(0,3)M ，交曲线C 于A ，B 两点，且12
MA MB =u u u r u u u r
，求直线l 的方程.
解：（Ⅰ）由已知可得12123
||||||62PF PF F F +==12
4FF >=，故曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为22
195
x y +=．
（Ⅱ）设(A ),(),,2211y x B y x ，由条件可知A 为MB 的中点，则有22
112
22
21212
1,(1)
951,(2)9
52,(3)2 3.(4)
x y x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨
⎪=⎪⎪=+⎩ 将（3）、（4）代入（2）得15)32(94212
1=-+y x ，整理为05
4
512549412
12
1=+-+y y x ． 将（1）代入上式得21=y ，再代入椭圆方程解得5
31±
=x ，故所求的直线方程为33
5
+±
=x y ． 方法二：依题意，直线l 的斜率存在，设其方程为3+=kx y ．由223,1,95y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得 03654)95(2
2
=+++kx x k ． 令0>∆，解得9
42
>
k ． 设(A ),(),,2211y x B y x ， 则 1225459k x x k -+=
+， ① 122
36
59x x k
=+． ② 因为12MA MB =u u u r u u u r ，所以A 为MB 的中点，从而122x x =．将122x x =代入 ①、② ，得12
1859k x k -=+
2121859x k =
+，消去1
x 得 2
229518)9518(k k k +=+-，解得952
=k
，3k =±．所以直线l 的方程 为33
5
+±
=x y ． 6. 已知函数()f x 在()1,1-上有定义，1()12
f =-，且满足(),1,1x y ∈-时，有
()()()1x y f x f y f xy ++=+，数列{}n x 中，11
2
x =，1221n n n x x x +=+。

⑴ 证明：()f x 在()1,1-上为奇函数； ⑵ 求数列{}()n f x 的通项公式； ⑶ 求证：
2
5
2)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n Λ 证：(1)令0,2(0)(0)(0)0x y f f f ==∴=∴=L L 令y x =-， 则()()(0)0()()()f x f x f f x f x f x +-==∴-=-∴为奇函数.
(2) 11()()12f x f ==-，12
2()()()2()11n n n
n n n n n
x x x f x f f f x x x x ++===++⋅L L ∴)()
(1n n x f x f +＝2，
即{}()n f x 是以1-为首项，2为公比的等比数列∴1
()2n n f x -=-L L
(3)
2112111111
(1)()()()222n n f x f x f x -+++=-++++L L 1111112(2)2212212n n n ---
=-=--=-+>--L L 而2511(2)22222n n n n +-=-+=--<-+++L L ∴
1211125
()()()2
n n f x f x f x n ++++>-+L L L .。