24江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)
高三暑假夏令营考试数学试卷
江苏省溧阳中学高三暑假夏令营考试数学试卷.8.24一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
1．如果{}|21,S x x n n Z ==+∈，{}|41,T x x k k Z ==±∈，那么 A ．ST B ．T S C ．S T = D ．S T ≠2．设全集为U ，考察下列条件：① A B A =；②UA B =∅；③UUA B ⊆；④ UAB U =。
其中B A ⊆的充要条件是A ．① ② ③ ④B ．① ② ③C ．② ③D ．③ ④ 3．若函数()y f x =的定义域是 [2,4-]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域是 A ．[]4,2- B ．[]2,2- C ．[]2,4- D ．[]4,2-- 4．如果2101,0a x x <<<<，则以下各式中正确的是A ．211x x aa << B ．121x x a a << C ．211x x a a << D ．121x x a a <<5．函数23(1)y x x x =-<-的反函数为A ．39()24y x =+>- B ．39()24y x =>-C ．3(2)2y x =+>- D ．3(4)2y x => 6．已知2log 13a<，则a 的取值范围是A ．2(0,)3B ．(1,)+∞C ．2(0,)(1,)3+∞ D ．2(0,)[1,)3+∞7．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ①对任意的x ∈R 都有);()4(x f x f =+②对于任意的2021≤<≤x x ，都有12()()f x f x <；③)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称．则下列结论中，正确的是A ．)7()5.6()5.4(f f f <<B ．)5.6()5.4()7(f f f <<C ．)5.6()7()5.4(f f f <<D ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<8．下列命题：①若函数)(x f 对定义域中的x 总有)(),1()1(x f x f x f 则-=+是偶函数；②函数)2()2(x f y x f y -=+=和的图象关于直线x =2对称；③函数)(log 22x y y x-==-与的图象关于直线x y -=对称； ④函数xxx f +-=121)(的反函数的图象关于点（－2，－1）中心对称。
江苏省高中数学竞赛预赛试题
江苏省高中数学竞赛预赛试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共36分）一．选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=f(x) 的图像按a→=(π4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x+π4)+2，那么y=f(x)的解析式为 ( ) A．y=sin x B．y=cos x C．y=sin x+2 D．y=cos x+4解: y=sin[(x+π4)+π4], 即y=cos x.故选B．2．如果二次方程x2－px－q=0 (p，q∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有( ) A．5个B．6个C．7个D．8个解：由∆=p2+4q>0，－q<0，知方程的根一正一负．设f(x)=x2－px－q，则f(3)= 32－3p－q＞0，即3p+q＜9.由p，q∈N*，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意．故选C．3．设a>b>0，那么a2+1b(a－b)的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：由a>b>0，可知0<b(a－b)≤14a2．所以，a2+1b(a－b)≥a2+4a2≥4．故选C．4．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．故选D．5．设数列{a n}：a0=2, a1=16，a n+2=16 a n+1－63 a n (n∈N)，则a2005被64除的余数为( ) A．0 B．2 C．16 D．48解：数列{ a n}模64周期地为2，16，2，－16，又2005被4除余1，故选C．6．一条走廊宽2m、长8m，用6种颜色的1⨯1m2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方案种数有( ) A．308B．30⨯257 C．30⨯207 D．30⨯217解：铺第一列(两块地砖)有30种方法；其次铺第二列，设第一列的两格铺了A、B两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺A色，若铺B色，则有(6－1)种铺法；若不铺B色，则有(6－2)2种方法，于是第二列上共有21种铺法．同理，若前一列铺A B好，则其后一列都有21种铺法. 因此，共有30⨯217种铺法．故选D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2π得→OB ，且2→OA +→OB=（7，9），则向量→OB= ． 解：设→OA=（m ，n ），则→OB=（－n ，m ）， 所以 2→OA +→OB=（2m －n ，2n +m ）=（7，9），即 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －n=7，m +2n=9． 得 ⎩⎨⎧m=235，n=115．因此， →OA=(235，115），→OB=（－115，235)．故填（－115，235)．8．设无穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，则该数列的通项公式为 ．解：由题意知a n +22=2S n ， 即S n =(a n +2)28． ①由①式，a 1+22=2a 1，得a 1=2．又由①式得 S n －1=(a n －1+2)28(n ≥2) ② 则有 a n =S n －S n －1=(a n +2)28－(a n －1+2)28(n ≥2)， 整理得 (a n +a n －1)(a n －a n －1－4)=0．又因为a n >0，a n －1>0，所以a n －a n －1=4(n ≥2)，a 1=2.因此, 数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列，其通项公式为a n =2+4(n －1)， 故填a n =4n －2 (n ∈N*)．9．函数y=|cos x |+|cos2x | (x ∈R ) 的最小值是 ．解：令t=|cos x |∈[0，1]，则y=t +|2t 2－1|． 当22≤t ≤1时，y=2t 2+t －1=2(t +14)2－98，得 22≤y ≤2．当0≤t <22时，y=－2t 2+t +1=－2(t －14)2+98，得22≤y ≤98．又y 可取到22．故填22．10．在长方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2， AA 1=AD=1，点E 、F 、G 分别是棱AA 1、C 1D 1与BC 的中点，那么四面体B 1－EFG 的体积是 ．解：在D 1A 1的延长线上取一点H ，使AH=14，易证，HE ∥B 1G ，HE ∥平面B 1FG ．故 V B 1－EFG =V E －B 1FG =V H －B 1FG =V G －B 1FH ．而S ∆B 1EF =98，G 到平面B 1FH 的距离为1．故填V B 1－EFG =38．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有 个．解：在5位数中，若1只出现1次，有C 51(C 41+C 42+C 43)=70个；若1只出现2次，有C 52(C 31+C 32)=60个；若1只出现3次，有C 53C 21=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平面上两个点集：M={(x ，y )| |x +y +1|≥2(x 2+y 2)，x ，y ∈R }，N={(x ，y )| |x －a |+|y －1|≤1，x ，y ∈R }，若M ∩N ≠∅，则a 的取值范围为 ．解：由题意知M 是以原点为焦点，直线x +y +1=0为准线的抛物线及其凹口内侧的点集，N 是以(a ，1)为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察M ∩N=∅时a 的取值范围： 令y=1, 代入方程 |x +y +1|=2(x 2+y 2) 得x 2－4x －2=0，解得 x=2±6．所以，当a <2－6－1=1－6时M ∩N=∅．令y=2，代入方程|x +y +1|=2(x 2+y 2)得x 2－6x －1=0，解得 x=3±10．所以，当a >3+10时，M ∩M=∅．于是，当1－6≤a ≤3+10，即a ∈[1－6，3+10]时，M ∩N ≠∅．故填[1－6，3+10]．三、解答题：13． 已知点M 是∆ABC 的中线AD 上的一点，直线BM 交边AC 于点N ，且AB 是∆NBC的外接圆的切线，设BC BN =λ，试求 BM MN （用λ表示）．(15分)证明：在∆BCN 中，由Menelaus 定理得BM MN ·NA AC ·CD DB =1．因为 BD=DC ，所以BM MN =AC AN ．………………………6分 由∠ABN=∠ACB ，知∆ABN ∽∆ACB ，则 AB AN =AC AB =CB BN ．所以，AB AN ·AC AB =⎝ ⎛⎭⎪⎫CB BN 2，即AC AN =BC 2BN 2．…………………………………………………12分 因此，BM MN =BC 2BN 2．A B C D N M又 BC BN =λ，故 BM MN=λ2．………………………………………………………………15分14．求所有使得下列命题成立的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)解：当n=2时，由x 1+x 2=0，得x 1x 2+x 2x 1=－2x 12≤0．故n =2时命题成立；……3分当n=3时，由x 1+x 2+x 3=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=(x 1+x 2+x 3)2－(x 21 +x 22+x 23)2=－(x 21+x 22+x 23)2≤0．故n=3时命题成立． ……………………………………………………………………………………6分当n=4时，由x 1+x 2+x 3+x 4=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 4+x 4x 1=(x 1+x 3)(x 2+x 4)=－(x 2+x 4)2≤0．故n=4时，命题成立．………………………………………………………………9分 当n ≥5时，令x 1=x 2=1，x 4=－2，x 3=x 5=…=x n =0，则i=1∑n x i =0，但i=1∑nx i x i +1=1>0，故n ≥5时命题不成立．综上可知，使命题成立的n=2，3，4．……………………………………………15分15．设椭圆的方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR为正三角形，求离心率e 的取值范围，并用e 表示直线PQ 的斜率．(24分)解：如图，设线段PQ 中点M ，过点P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂足分别为点P '，M '，Q '，则|MM '|=12(|PP '|+|QQ '|)=12(|PF |e+|QF |e )=|PQ |2e ．…………………………6分假设存在点R ，则|RM |=32|PQ |，且|MM '|＜|RM | ，即|PQ |2e ＜32|PQ |，所以， e ＞33．………………………………12分于是，cos ∠RMM '=|MM '||RM |=12e ⨯13e ，cot∠RMM'=13e2－1．在图中，|PF| < |QF|，且有k PQ= tan∠QFx= tan∠FMM'=cot∠RMM'=13e2－1．………………………………………………18分当e>33时，过点F作斜率为13e2－1的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过程知，|RM|=32|PQ|．故∆PQR为正三角形．……………………………………………21分根据对称性，当|FP| > |FQ|时，有k PQ=－13e2－1．所以，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e的范围是(33，1)，且直线PQ的斜率为±13e2－1．…………………………………………………………………………………………24分16．⑴若n(n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n的最小值，并说明理由；( 12分)⑵若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005，求n的最小值，并说明理由．( 24分)解：⑴因为2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，故n=4存在，n min≤4．………6分103=1000，113=1331，123=1728，133=2169，123<2005<133，则n≠1．若n=2，因103+103<2005，则最大立方体的棱长只能为11或12，2005－113=674，2005－123=277，674与277均不是完全立方数，故n=2不可能；若n=3，设此三个立方体中最大一个的棱长为x，由3x3≥2005＞3×83，知最大立方体的棱长只能为9、10、11或12，而2005<3⨯93，2005－93－93=547，2005－93－83－83>0，故x≠9．2005－103－103=5，2005－103－93=276，2005－103－83=493，2005－103－73－73>0．故x≠10；2005－113－93<0，2005－113－83=162，2005－113－73=331，2005－113－63－63>0，故x ≠11；2005－123－73<0，2005－123－63=61，2005－123－53－53>0，故x≠12．所以n=3不可能．综上所述，n min=4．…………………………………………………………………………12分⑵设n个立方体的棱长分别是x1，x2，…，x n，则x31+x32+…+x3n=20022005．①由2002≡4(mod 9)，43≡1(mod 9)，得20022005≡42005≡4668⨯3+1≡(43)668⨯4≡4(mod 9)．②又当x∈N*时，x3≡0，±1(mod 9)，所以x31≡∕4(mod 9)，x31+x32≡∕4(mod 9)，x31+x32+x33≡∕4(mod 9)．③①式模9，并由②、③式可知n≥4．…………………………………………………18分而2002=103+103+13+13，则20022005=20022004⨯(103+103+13+13)=(2002668)3⨯(103+103+13+13)=(2002668⨯10)3+(2002668⨯10)3+(2002668)3+(2002668)3．故n=4为所求的最小值．………………………………………………………………24分。
江苏省数学竞赛试题
江苏省数学竞赛试题江苏省的数学竞赛是中国地区性数学竞赛之一，旨在激发学生对数学的兴趣，提高数学素养和解决问题的能力。
竞赛通常包括多个难度级别，适合不同年级的学生参加。
试题内容可能涵盖基础数学知识、逻辑推理、几何学、代数学、概率论和统计学等领域。
试题一：基础数学问题题目：计算下列表达式的值：\[ (x+y)^2 - 3xy \]解答：首先，我们可以使用完全平方公式展开 \( (x+y)^2 \)，得到\( x^2 + 2xy + y^2 \)。
然后，将 \( 3xy \) 从展开式中减去，得到：\[ x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = x^2 - xy + y^2 \]试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，如果一个锐角的正弦值为\( \frac{3}{5} \)，求这个角的余弦值。
解答：在直角三角形中，如果一个角的正弦值为 \( \frac{3}{5} \)，我们可以使用勾股定理来找到余弦值。
设这个角为 \( \theta \)，那么有：\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]\[ \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{\frac{16}{25}} \]\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]试题三：代数问题题目：解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。
解答：这是一个标准的二次方程。
我们可以使用求根公式来解这个方程：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中，\( \sqrt{b^2 - 4ac} \) 是判别式，如果判别式大于0，则方程有两个实数解；如果判别式等于0，则方程有一个实数解；如果判别式小于0，则方程没有实数解。
江苏数学竞赛试题及答案
江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。
1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。
2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。
3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。
4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。
5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。
6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。
【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。
【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。
1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。
2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。
2024-2025学年苏教版高三数学下册暑假练习试卷及答案
2024-2025学年苏教版高三数学下册暑假练习试卷一、单选题（每题3分）题目1（3分）：如果函数(f(x)=x3−3x+2)的导数在点(x=a)处等于零，那么(a)的值是多少？答案：1)，且(α)在第一象限，则(cos(α))的值是多少？题目2（3分）：若(sin(α)=35)答案：(45题目3（3分）：已知抛物线(y=ax2+bx+c)过点 (1, 2), (-1, 0), (2, 5)，求该抛物线的方程。
答案：(y=x2+x)题目4（3分）：如果(log2x+log2y=3)且(log2x−log2y=1)，则(x)和(y)的值分别是多少？答案：(x=4,y=2)题目5（3分）：在正四面体 ABCD 中，边长为 2，求点 D 到平面 ABC 的距离。
)答案：(√23二、多选题（每题4分）题目1: 下列哪些函数在其定义域内是单调递增的？(A)f(x) = x^3 - 3x(B)f(x) = e^x(C)f(x) = sin(x)(D)f(x) = ln(x)(E)f(x) = x^2答案: (B), (D)题目2: 下列哪几项是无穷等比数列{a_n} = 1/2^n 的性质？(A)数列收敛于0(B)数列发散(C)数列各项的和为2(D)数列各项的和为1(E)数列单调递减答案: (A), (C), (E)题目3: 对于函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，下列哪些陈述是正确的？(A)f(x)在x=1处未定义(B)lim{x->1} f(x)存在(C)lim{x->1} f(x) = 2(D)f(x)有一个可去间断点(E)f(x)在x=1处连续答案: (A), (B), (C), (D)题目4: 下列哪些函数在其定义域内有反函数？(A) f(x) = x^2(B) f(x) = |x|(C) f(x) = 2x + 3(D) f (x) = x^3(E) f(x) = cos(x), 限制在[-π/2, π/2]上答案: (C), (D), (E)题目5: 设直线l 通过点P(1, 2)且平行于向量v = [3, 4]，则下列哪些是直线l 的方程？(A) y = (4/3)x + (2/3)(B) y = (3/4)x + (5/4)(C) 3x - 4y + 5 = 0(D) 4x - 3y + 2 = 0(E) 3x + 4y - 11 = 0答案: (A), (D)每个题目的分值为4分，学生需要选出所有正确的选项才能得到该题的全部分数。
江苏省南京市中华中学2023-2024学年高三暑期小练数学试题(含解析)
中华中学2023-2024学年度暑期小练（1）试卷高三数学本卷考试时间：90分钟总分：100分一､选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）．比较，，的大小（．．．．【分析】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可求出，，进而可判断三者的大小关系【详解】解：因为，所以，，，则，则1(9AG BG AC AB ⋅=+ 所以CA CB AC AB ⋅=⋅+ 222cos b c a A +-二､多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>，根据函数周期性的定)如上图，3a=时，设()h x=则1()e xh xx'=-，由于(1)h'=所以存在01(,1) 2x∈，使得h'1a =时，曲线e x y =的一条切线为两切线间的距离为最小值22二､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填写在题中的横线上.）14.已知sin πα43⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【解析】【分析】“给值求值”问题，找角与角之间的关系【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2sin 43πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭所以2225sin 2cos 2cos 212sin 1224439πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭故答案为：59已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则【详解】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影为，∴，∴，∴，∴.A19．(12分)已知函数()22sin cos 222x x xf x =+(1)若不等式()3f x m -≤对任意,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()2g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4(2)⎡⎢⎣⎦(1)由题意得，()22sin cos 222x x x f x =+2sin 2cos 12x x ⎫=+-⎪⎭sin x x =+π2sin3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π633x ≤+≤，所以1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当π6x =-时，()f x 的最小值为1；当π6x =时，()f x 的最大值为2，所以()12f x ≤≤.由题意得，()33f x m -≤-≤，所以()33m f x m -≤≤+对一切ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，所以3132m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得14m -≤≤，所以整数m 的最大值为4.(2)由题意知，()ππππ2sin 2sin 2236g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移π12个单位得()ππ2sin 22sin 2126h x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，整理得：()sin 2sin cos 0x k x x -+=，即()2sin cos sin cos 0x x k x x -+=（*）在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，πsin cos4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2π,436x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令π42t x ⎛⎫=+∈⎢⎪⎝⎭⎣，（*）式可转化为：210t kt --=在t ∈⎣内有解，所以1k t t =-，t ∈⎣，又因为y t =和1y t =-在t ∈⎣为增函数，所以1y t t =-在⎣为增函数，所以当2t =时，1k t t =-取得最小值2；当t 时，1k t t =-取得最大值2，所以,22k ⎡∈-⎢⎣⎦，综上所述：k的取值范围为22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
江苏省常州市华罗庚中学2023-2024学年高三夏令营学习能力测试数学试题
江苏省常州市华罗庚中学2023-2024学年高三夏令营学习能力测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．如图，在平面四边形ABCD 中，2,AD BCD == 为等边三角形，在对角线AC 上运动时，MC MD ⋅ ）A ．32--1A ．1050种B ．1260种C ．7．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（A ．2次传球后球在丙手上的概率是12B ．C ．3次传球后球在甲手上的概率是14D ．11132n⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦8．函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则实数（）A ．[222,0)--B ．2,1⎡⎫二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．数据1,2,3,4,5,6,7,8的第25百分位数是2三、填空题四、解答题(1)求证：PD ⊥平面PEF ；(2)若6AB =，且K 为PD 的中点，求三棱锥K -19．已知偶函数()f x 定义域为()1,1-，当0x ≤<(1)求函数()f x 的表达式；(2)用函数单调性的定义证明：函数()f x 在区间(3)解不等式()()211f x f x -≤-.20．区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记且()2|5P A B =，()5|8P B A =，()34P B =．(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001了解安全知识的程度与性别有关？(1)求证：直线//PO 平面BDE ；(2)求证：平面BED ⊥平面ABD (3)若点M 为线段PO 上的动点．当直线时点M 到平面ABE 的距离.22．若函数()y f x =满足在定义域内的某个集合是一个常数，则称()f x 在A 上具有(1)设()y f x =是R 上具有M 性质的奇函数，求(2)设()y g x =是在区间[]1,1-上具有M 性质的偶函数，若关于x 的不等式()()22e 0g x g x n -+>在[]1,1-上恒成立，求实数n 的取值范围.。
2024年江苏省重点高中高一上学期暑期成果验收卷数学试卷含答案
2024届新高一暑期成果验收卷满分150分，考试用时120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列写法中正确的是（ ）A ．{}{}00,1∈B ．0∈∅C ．{}0∅⊆D ．{}0,1∅∈2．命题“任意x ∈R ，2240x x −+≤”的否定为（ ）A ．任意x ∈R ，2240x x −+≥ B ．存在0x ∈R ，20240x x −+> C ．任意x ∉R ，2240x x −+≥D ．存在0x ∉R ，20240x x −+> 3．已知集合{}|04Mx x =<<，{}1,1,2,3N =−，则M N ∩=（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}4．设集合{|3,Z}U x x x =<∈，{}{}1,2,2,1,2A B ==−−，则U A B = （ ）A ．{}1 B ．{}1,2C ．{}2D ．{}0,1,25．不等式252(1)x x +≥−的解集是（ ）A ．13,2 −B ．1,32 −C ．1,12D ．(]1,11,32−6．已知,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b<B ．22a b >C ．a c b c >D ．2211a bc c >++7．函数()f x = ）A ．14B ．12C D ．18．若关于x 的不等式()21,x bx c b c ++≤∈R 的解集为3,22 −，则b c +的值是（ ）A ．12−B ．32−C ．2D ．52−二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合{}{}|03,|11A x x B x x =<≤=−≤<，则（ ）A ．[]1,3AB ∩=−B ．()0,1A B =C ．()0,1A B ∪=D ．[]1,3A B ∪=−10．设{}2540A x xx =−+=，{}10Bx ax =−=，若A B A ∪=，则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．14C ．4D ．111．已知函数()2f x ax bx c ++的图象如图所示，则（ ）A ．0b >B ．0c >C ．3322f x f x +=−D ．不等式()()()0ax b bx c cx a +++<的解集是1(2−，()2)33∞∪+，三､填空题：本题共35分，共15分.12．已知函数2(2)2(2)4y a x a x =−+−−，若对任意实数x ，函数值恒小于0，则a 的取值范围是 13．已知R m ∈，则2231m m +−与242m m +−的大小关系为 ． 14．若关于x 的不等式2240tx tx −+>的解集为R ，求实数t 的取值范围 .四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知{}3A xa x a =≤≤−+∣，{1B x x =<−∣或5}x >．(1)若A B ∩=∅，求a 的取值范围； (2)若A B =R ，求a 的取值范围．16.（本小题15分） （1）求函数21(0)x x y x x++<的最大值；（2）求函数()()52(1)1x x y x x ++>−+的最小值．（3）若(),0,x y ∈+∞，且41x y +=，求11x y+的最小值.17.（本小题15分）（1）已知一元二次不等式2120ax bx ++>的解集为()3,2−，求实数a 、b 的值及不等式250bx x a ++≤的解集．（2）．已知0a >，解不等式：()10x a x a−−< ．18.（本小题17分）(1)设集合{10A x x =+≤∣或40}x −≥，{}22B xa x a =≤≤+∣． ①若A B ∩≠∅，求实数a 的取值范围； ②若A B A ∪=，求实数a 的取值范围．（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求证：1119a b c++≥．19.（本小题17分）已知函数()()()2212R f x mx m x m =−++∈．(1)若0m >，解关于x 的不等式()0f x <；(2)若不等式()4f x x ≤−在{}|3x x x ∈>上有解，求实数m 的取值范围．。
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最新高中数学奥数竞赛练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA=1． 三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA =1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。
证明：设AL 交BC 于L ，BM 交CA 于M ，CN 交AB 于N ，则由正弦定理得：CAL AC BAL AB LC BL ∠∠=sin sin PABAC PACAB ∠∠=sin sinPBC AB PBA BC MA CM ∠∠=sin sin ，PCABC PCBAC NB AN ∠∠=sin sin HKQ PD CB AA CB Y XZ M N L EDF G H将上述三式相乘得：1sin sin sin sin sin sin =⋅⋅=∠⋅∠⋅∠∠⋅∠⋅∠=⋅⋅PC PB PB PA PA PC PCA PBC PAB PCB PBA PAC NB AN MA CM LC BL 由塞瓦定理逆定理知：AL 、BM 、CN 三线共点。
4.圆心为O 的一个圆经过△ABC 的顶点A 和C ，并与AB ，BC 分别交于不同的两点K 、N ，△ABC 的外接圆和△KBN 的外接圆相交于两个不同的点B 、M ，求证：∠OMB 是直角。
（26届IMO 试题）证明：如图，设AC 与KN 相交于点P ，连结PB 与弧BNK 相交于点M ’， 则由圆幂定理知：PA PC ⋅=PK PN ⋅=PB PM ⋅'又PA PC ⋅=PB PM ⋅ 所以PB PM ⋅'=PB PM ⋅ 从而知点M 与M ’重合。
因为A ，K ，N ，C 四点共圆，所以∠BNK =∠A 又∠BNK =∠BMK ， 所以∠BMK =∠A又由外心的性质可知：∠A+∠KCO=090 下证：∠KCO=∠KMO 又∠BMN =∠AKN =∠NCP 所以M ，N ，C ，P 四点公圆又∠CMK =∠KMN+∠NMC=∠KBN+∠NPC=0360-2∠A-∠ACB-∠AKN=0180-2∠A=0180-∠KOC所以K ，O ，C ，M 四点共圆，从而结论成立。
5．锐角△ABC ，H 为自A 向边BC 所引高的垂足，以AH 为直径的圆分别交边AB ，AC 于M ，N （不同于A ），过点A 作直线L A 垂直于MN ，类似地作出L B ，L C ，求证：L A ，L B ，L C 三线共点。
证明：连结HN ，则HN ⊥AC ，过点B 作BG ⊥AB ，交L A 于G 由AG ⊥MN ，因为∠AMN=∠AHN=∠C 所以∠BAG=090-∠AMN=090-∠C=∠HAC 又∠ABG=090=∠AHC所以ABG ∆∽AHC ∆⇒∠AGB=∠ACB ⇒A ，B ，G ，C 四点共圆， 即点G 在△ABC 的外接圆上。
A因为∠ABG=090，故AG 是△ABC 外接圆的直径，就是说L A 经过△ABC 的外心同理可证：L B ，L C 经过△ABC 的外心。
故结论成立。
6．如图，△ABC 为锐角三角形，且BC>AC ，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作OF 的垂线交边CA 于P ，证明：∠FHP=∠BAC证明：延长CF 交圆O 于D ，连结BD ，BH ，由垂心性质可知F 为HD 的中点。
设FP 所在直线交圆O 于M ，N ，交BD 于点T ，由OF ⊥MN ，知F 为MN 中点，由蝴蝶定理知：F 为PT 中点；又F 为HD 中点，故HP//TD ，于是∠FHP=∠BDC=∠BAC 7．如图，在⊿ABC 中，AB≠AC ，I 是它的内心，过I 作一圆与边AB 切于B ，与直线AC 交于D 、E ，求证：IC 平分∠DIE.【分析】I 是⊿ABC 的内心→∠ICD=∠ICB ，要证∠CID=∠CIE ，只需证∠IDC=∠IFC ，即证∠IDA=∠B 、I 、D 、E 共圆→∠IDA=∠IBE ， AB 是圆的切线→∠IBA=∠IEB ， I 是⊿ABC 的内心→∠IBA=∠IBF ，∴∠IEB=∠IBF ，∴∠IFB=∠IBE=∠IDA ，得证.8．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr.(IMO -12) 分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A A ...'B 'C 'OO 'ED=A ′B ′·2''sin2'sin 2'sinB A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A + ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠=22B tg A tg =qr . 9.如图，从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为D ，作⊙O 1切︿BC ，CD ，DB 分别于点E ，F ，G ，求证：AC=AGB证明：设半圆的圆心为O ，则O ，O 1，E 共线，连O 1F ，知O 1F ⊥CD ，得O 1F//AB ，连结EF ，AE ，由∠FEO 1=21∠FO 1O=21∠EOB=∠OEA ，知E ，F ，A 三点共线。
又因为∠ACB=090，CD ⊥AB ，有∠ACF=∠ABC=∠AEC ，从而AC 是⊙CEF 的切线，故点A 对⊙CEF 的幂AC 2等于点A 对⊙O 1的幂AG 2，即有AC=AGB10.如图，PAB 、PCD 为圆O 割线，AD 交BC 于E ，AC 交BD 于F ，则EF 为P 的极线。
（1997年CMO 试题等价表述）证法一：作AEB 外接圆交PE 于M ，则PE*PM=PA*PB=PC*PD ，故CDME 共圆（其实P 为三圆根心且M 为PAECBD 密克点），从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD ， BOMD 共圆。
∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M 为ST 中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM ，由定理2（3）知E 在P 极线上，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
证法二：如图，设PS 、PT 为圆O 切线。
在△ABT 中，可以得到**AU BV TWUB VT WA =sin sin sin sin sin sin AS AST BD BDA TC TCB BS BST DT TDA AC ACB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠1AS BD TC PS PB PC BS AC DT PB PC PT⋅⋅=⋅⋅=由塞瓦定理逆定理知ST 、AD 、BC 三线共点于E ，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
至此，点P 在圆O 外时，我们得到了P 点极线的四种常见的等价定义： 1、过P 反演点做的OP 的垂线。
2、过P 任意作割线PAB ，AB 上与PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线。
3、P 对圆O 的切点弦。
4、过P 任意做两条割线PAB 、PCD ，AD 、BC 交点与AC 、BD 交点的连线。
(注：切线为割线特殊情形，故 3、4是统一的)11. △ABC 内切圆I 分别切BC 、AB 于D 、F ，AD 、CF 分别交I 于G 、H 。
求证：3DF GHFG DH⨯=⨯(2010年东南数学奥林匹克)证明：如图，由定理13知GFDE 为调和四边形，据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE ，同理HF*DE=2DH*EF 相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*GH ，代入即得 3DF GHFG DH⨯=⨯12.已知：如图，△ABC 内切圆切BC 于D ，AD 交圆于E ，作CF=CD ，CF 交BE 于G 。