21.2.4根与系数的关系
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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数关系一、内容和内容解析1．内容一元二次方程根与系数的关系．2．内容解析一元二次方程的根与系数关系反映了一元二次方程的根与它的系数之间的一种确定关系．利用这一关系可以解决许多问题，同时它在高中数学的学习中有着更加广泛的应用．实际上，一元n 次方程的根与系数之间也有确定的数量关系，我们把它称之为韦达定理，一元二次方程的根与系数关系是韦达定理在n =2时的特例．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =，反映了方程的根的值是由系数a 、b 、c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的12b x x a +=-，12c x x a⋅=是从另一方面更简洁地反映了一元二次方程的根与系数之间的联系．本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时的根与系数的关系．本节课为选学内容．基于以上分析，确定本课的教学重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．二、目标和目标解析1．目标（1）了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．（2）在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出一元二次方程的根与系数关系，并能利用根与系数关系求出两根之和、两根之积．达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系．三、教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数关系是在学生已经学习了一元二次方程的解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究．如果让学生思考一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。
因此，先引导学生从特殊的一元二次方程得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，再推广到一般，探索一元二次方程根与系数关系．另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点．本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数关系的过程．四、教学过程设计1．复习一元二次方程一般形式及求根公式问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式．设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，为推导根与系数之间的关系作好准备．2．猜想二次项系数为1时的根与系数关系问题 2 方程()()120x x x x --=（1x ，2x 为已知数）的两根是什么？将方程化为20x px q ++=的形式，你能看出1x ，2x 与p ，q 之间的关系吗？师生活动：学生独立思考，得出方程两根为1x ，2x ，通过将()()120x x x x --=的左边展开，化为一般形式，得到方程()212120x x x x x x -++=．发现这个方程的二次项系数为1，一次项系数()12p x x =-+，常数项12q x x =．学生独立观察并讨论后，发现这两个方程的两根之和是12x x p +=-，两根之积是12x x q =．设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为１的方程中发现一元二次方程根与系数关系．3．猜想、验证一元二次方程根与系数关系问题3 一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？师生活动：学生独立思考后，教师追问：如何探究这两者之间的关系呢？（利用一元二次方程的一般形式和求根公式）学生独立完成证明过程，然后再全班交流。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
问 题： 试 计 算 x1 x2 ,
x1 x2
方程 x 4x 1 0 的两个根分别是 x1 4 ，x2 1 方程 x 4x 1 0 化成一般形式是
计算：x1
x2 3
， x1 x2
4
x 2 3x 4 0
。
关于x的方程 x x1 x x2 0 的两个根分别是
x 13x 3 0 的两根，求斜边长。
2
新知拓展： 5、若方程x2+px+18=0的一根是另一根的2倍， 则p= 。 6、已知x1、x2是方程x2+mx+m-1=0的两个实
2 2 数根，且 x1 x2 17 ，求m的值；
课堂小结：
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0）根的情况由系数a、b、 c决定，有三种情形：
4 x1 1x2 1
新知拓展：
2、已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0
2
当m= 当m=
1 -1
时,此方程的两根互为倒数. 时,此方程的两根互为相反数.
新知拓展：
3、 已知一元二次方程3x2+kx-2=0的一个根是2， 求另一个根及k值。 4、如果直角三角形的两直角边是方程
2 2 2 b b 4 ac b b 4ac b b 4 ac b b 4 ac x1 . x1 , x2 , x2 . 2a 2a 2a 2a 2
计算： x1 x2
？ x1 x2 ？
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
通过刚才研究发现，若方程x2+px+q=0有实数根， 则它的两根x1，x2与p，q之间有如下关系：
第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？
公式进行探究、 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程 交流，尝试发现 的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达定理，也就是任何一个一 结论 元二次方程的根与系数的关系为： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的 比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形 式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次 方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. 学生独立解决，
四、小结归纳 本节课应掌握：
x2 x1 4 x1 x2 2 ；○ 5 ○ x1
x2
1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型：
1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○ 2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○ 3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○ 4 判断两个根的符号；○ 5 不解方程求含有方程的两根的式子的值. ○
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探 索的精神.
教学 重点 难点 教学 方法 学习 方法 教学 工具
重点：一元二次方程的根与系数关系 难点：对根与系数关系的理解和推导 例题讲解法 讲练结合法 多媒体 教师活来自 学生活动教 学 过 程
教师出示问题， 引出课题学生初 步了解本课所要 、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪法国的杰出 研究的问题 数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 学生通过去括 二、探究新知 号、 合并得到一 1.课本思考 般形式的一元 2 2 分析： 将 （x- x1） （x-x2） =0 化为一般形式 x -( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x +px+ q=0 教师 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有 二次方程， 适时点拨， 分析 实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 总结得到结论 . 2.跟踪练习 学生独自完成 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. 巩固上诉知识 x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 教师出示探究问 2 3. 方程 2x -3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 题，学生通过特 分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求出方程两根， 殊例子入手，再 再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论 通过一般形式推 是什么？ 导证明，教师引 2 4.一般的一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，它的 导学生根据求根
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
（1） x1 2x2 ＋x1 x2 2 （2）x1 2＋x2 2
太和县苗集中心学校
例2：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解 方程求下列各式的值. （1） x12x2＋x1x22
解：由根与系数的关系得：
x1+x2=3, x1· x2=-1 ∴ x12x2＋x1x22＝x1x2(x1+x2) ＝ -1×3 ＝-3
2 －3 5 －p
x1· x2
0
－4 6 q
2 2 －p＋ P - 4q －p－ P - 4q 2 2
2＋px＋p=0有两个实数根 如果方程 x 思考：你发现这些一元二次方程的两根之 x x2=q. 1、x2，那么x1+x2＝－p, x1· 和、两根之积与系数有什么关系？
太和县苗集中心学校
不解方程，直接说出下列各方程两根之和与 两根之积.
2b b 2a a
（—b＋ b2 - 4ac ） （—b — x1· x2= 2a·2a b2—(b2—4ac) = 4a2
b2 - 4ac ） (—b)2—( b2 - 4ac ) 2 = 4a2
=
=
4ac
4a2 c a
太和县苗集中心学校
一元二次方程根与系数的关系，常常也称作韦达 定理，是由十六世纪法国数学家韦达发现的，为了纪 念韦达对数学界所作出的贡献，因此以他的名字来命 名。其实，很多真理都是从我们日常生活中发现的。 例如牛顿从一颗下落的苹果中领悟到行星运转的道理， 从而发现了万有引力；德国天文学家魏格纳，躺在病 床上看到挂在墙上的世界地图，发现了“大陆漂移说” 等等。同学们，今天你们认真观察身边中的每件小事、 多动脑、多思考，也许明天你也会成为伟人，被载入 史册，流芳百世。
当b2-4ac≥0时它的两根分别是
太和县苗集中心学校
例2：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解 方程求下列各式的值. （1） x12x2＋x1x22
解：由根与系数的关系得：
x1+x2=3, x1· x2=-1 ∴ x12x2＋x1x22＝x1x2(x1+x2) ＝ -1×3 ＝-3
2 －3 5 －p
x1· x2
0
－4 6 q
2 2 －p＋ P - 4q －p－ P - 4q 2 2
2＋px＋p=0有两个实数根 如果方程 x 思考：你发现这些一元二次方程的两根之 x x2=q. 1、x2，那么x1+x2＝－p, x1· 和、两根之积与系数有什么关系？
太和县苗集中心学校
不解方程，直接说出下列各方程两根之和与 两根之积.
2b b 2a a
（—b＋ b2 - 4ac ） （—b — x1· x2= 2a·2a b2—(b2—4ac) = 4a2
b2 - 4ac ） (—b)2—( b2 - 4ac ) 2 = 4a2
=
=
4ac
4a2 c a
太和县苗集中心学校
一元二次方程根与系数的关系，常常也称作韦达 定理，是由十六世纪法国数学家韦达发现的，为了纪 念韦达对数学界所作出的贡献，因此以他的名字来命 名。其实，很多真理都是从我们日常生活中发现的。 例如牛顿从一颗下落的苹果中领悟到行星运转的道理， 从而发现了万有引力；德国天文学家魏格纳，躺在病 床上看到挂在墙上的世界地图，发现了“大陆漂移说” 等等。同学们，今天你们认真观察身边中的每件小事、 多动脑、多思考，也许明天你也会成为伟人，被载入 史册，流芳百世。
当b2-4ac≥0时它的两根分别是
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
21.2.4 根与系数的关系教案
课题
21.2.4一元二次方程的根与系数关系
课时
1
授课时间
年月日
教学目标
知识技能：1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程方法：学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
课堂练习
方程5x2+kx－6=0的一个根为2，求它的另
一根及k的值。（两种方法）
巩固练习
•设x1、x2是方程2x2－7x+5=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1）x12x2+x1x22; (2)(x1－x2)2
作业
P43第7题
学生独立解决，并交流
学生尝试归纳，师生总结
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
观察前两个方程x1&于一次项系数与二次项系数比的相反数
x1x2等于常数项与二次项系数的比
猜想
你能证明上述关系吗？
获取新知
思考：这个根与系数的关系成立的条件是什么？
（1）是一元二次方程；（2）有两个实根（△≧0）
例题赏析1
解：原方程可化为x2+3x+4=0
其中，a=1,b=3,c=4
△=b2－4ac=32－4×1×4=－7
有△<0,所以没有实根
即x1、x2不存在
注：在使用韦达定理时应注意
（1）先化为一般形式；（2）方程必有实根
例题赏析2
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列
方程两根x1,x2的和与积。
（1）x2－6x－15=0
(2) 3x2+7x－9=0
21.2.4一元二次方程的根与系数关系
课时
1
授课时间
年月日
教学目标
知识技能：1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程方法：学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
课堂练习
方程5x2+kx－6=0的一个根为2，求它的另
一根及k的值。（两种方法）
巩固练习
•设x1、x2是方程2x2－7x+5=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1）x12x2+x1x22; (2)(x1－x2)2
作业
P43第7题
学生独立解决，并交流
学生尝试归纳，师生总结
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
观察前两个方程x1&于一次项系数与二次项系数比的相反数
x1x2等于常数项与二次项系数的比
猜想
你能证明上述关系吗？
获取新知
思考：这个根与系数的关系成立的条件是什么？
（1）是一元二次方程；（2）有两个实根（△≧0）
例题赏析1
解：原方程可化为x2+3x+4=0
其中，a=1,b=3,c=4
△=b2－4ac=32－4×1×4=－7
有△<0,所以没有实根
即x1、x2不存在
注：在使用韦达定理时应注意
（1）先化为一般形式；（2）方程必有实根
例题赏析2
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列
方程两根x1,x2的和与积。
（1）x2－6x－15=0
(2) 3x2+7x－9=0
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-1-
283562064.doc
先学后教
师生合作
训练拓展
例 1、求下列方程的两根之和与两根之积. 展 示 竞 学 发言人， 展示 成果。 1 、先独立试 做。 2 、有疑问的 题目组内交 流。 3、各组选定 （1） x 2 -6x-15=0 （3）3x2+7x-9=0 （2）5x-1= 4 x 2
学习难点 ：根与系数定理的发现及运用。
教 学 流 程：
过 程
【问题】 解下列方程， 将得到的解填入下面的表格中， 观察表中 x1+x2， x1·x2 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关 系？从中你能发现什么规律？ 一元二次方 程
学法指导
问
题
导
学
独 立 自 学
x1
x2
x1+x2
x1·x2
独立练习思 考下列问 题：
x 2 +6x-16=0
x 2 -2x-5=0
2 x 2 -3x+1=0 5 x 2 +4x-1=0 1、规律： 2、 对于一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根 x1、 x2 ， 有 x1+x2 ，x1·x2
.
3、你能证明你的结论吗？
合 作 互 学
小组长 引导大家， 采 取“中心发 言”式交流。 自己归纳、 总 结出根与系 数的关系
例 2、 x1 、 x2 是方程 2 x 2 3x 5 0 的两个根，不解方程，求下 列代数式的值： （1） x1 x2
2 2
（2） x1 x2
（3） x 1
1
1
x2
教师书写一 精 讲 导 学 个完整的解 题过程， 给学 生以示范作 用,体会“整 体代入” 思想 小 结 评 学 检 测 固 学 比一比哪个 组学习效果 好 与大家一起 分享你的收 获 1、若一元二次方程 x2+10x+16=0 的两根是 x1、x2，则 x1 + x2 =____；x1 • x2 =_______. 2、已知方程 5x2＋kx-6＝0 的一个根为 2，求它的另一个根及 k 的值； 3、关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m-1=0 的两个实数根分别是 x1，x2。 （1）求 m 的取值范围； （2）若 2（x1+x2）+x1x2+10=0，求 m 的值。
2835620九
年级 下
学期
（ 1 课时）
数学
教学案
课题：21.2.4 根与系数的关系 班级：九（2） 设计人：蔡学前 审核人： 学习目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求一元二次方程的
两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。 2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力， 在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想。 学习重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用。
4、甲乙同时解方程 x +px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根 为 2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为 3﹑-10。则 p= q= 。 ，
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