1.3.1圆的极坐标方程
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点． ③列出ρ，θ的关系式． ④化简整理． (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 1 (3)ρcos 2＝1；(4)ρ cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ
2 2θ
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρ标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
[读教材· 填要点]
1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中 至少有一个 满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合f(ρ，θ)＝0的 点 都在曲线C上 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方
程．
2．圆的极坐标方程 圆心为C(a,0)(a>0)半径为a的圆的极坐标方程为 ρ＝2acos θ .
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4) - 副本
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
2 化为直角坐标系为 2＝4 sin
2 2 2 2
即x y 4 y x ( y 2) 4
6、已知圆C1 : 2cos ,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ( y 3 ) 2 1，圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 2所以两圆相外切。
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
1.3.1《-圆的极坐标方程》课件
为a的圆的极坐标方程。
第6页，共24页。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个） 符合方程f(,)=0;
（２）方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。 则称曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
第9页，共24页。
M
O
C
A
（a,0）
ρ=2acosθ
M
ρ θ
Or
x
M
· ρ a
θ
O
x
ρ=2asinθ
ρ=r
第10页，共24页。
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为＝2a cos( )
此圆过极点O
第15页，共24页。
例3.已知一个圆的方程是ρ＝5 3cosθ- 5sinθ 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin两边同乘以得
2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
第13页，共24页。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 2 4 y 2 x 2 8 x 16 3x 8 x 4 y 16
2 2
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C (a, 0)(a 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6
极坐标参数方程知识点总结
极坐标参数方程知识点总结一、介绍1.1 极坐标参数方程极坐标参数方程是用极坐标表示的函数关系，其中角度和半径是参数。
极坐标是一种在平面上描述点位置的坐标系统，通过半径和角度确定点的位置。
极坐标参数方程可以用来描述各种曲线和图形。
1.2 极坐标参数方程的形式极坐标参数方程的一般形式为：r = f(θ)其中，r为半径，θ为角度，f(θ)为关于角度的函数。
1.3 极坐标与直角坐标的转换极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系统，它们可以相互转换。
极坐标到直角坐标的转换公式如下：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = sqrt(x^2 + y^2) θ = atan2(y, x)二、常见的极坐标参数方程2.1 圆的极坐标参数方程圆的极坐标参数方程为：r = a其中，a为圆的半径。
2.2 椭圆的极坐标参数方程椭圆的极坐标参数方程为：r = a * (1 - ε^2) / (1 - ε * cos(θ))其中，a为椭圆的长轴半径，ε为离心率，θ为角度。
2.3 双曲线的极坐标参数方程双曲线的极坐标参数方程为：r = a * (1 + ε * cos(θ))其中，a为双曲线的焦距，ε为离心率，θ为角度。
2.4 阿基米德螺线的极坐标参数方程阿基米德螺线的极坐标参数方程为：r = a + bθ其中，a和b为常数，θ为角度。
三、极坐标参数方程的应用3.1 图形绘制极坐标参数方程可以用来绘制各种曲线和图形，如圆、椭圆、双曲线等。
通过确定参数的取值范围，可以得到不同形状的图形。
3.2 面积计算极坐标参数方程可以用来计算曲线所围成的面积。
可以通过对θ的积分来计算曲线所围成的面积。
3.3 物理问题极坐标参数方程在物理学中有广泛的应用。
例如，可以用极坐标参数方程描述天体运动的轨迹，计算物体在旋转过程中的角度和位置等。
3.4 工程应用极坐标参数方程在工程领域也有一些应用，例如，在航空工程中可以用来描述飞机的飞行路径，计算飞机的位置和速度等。
1.3.1圆的极坐标方程(学生学案)
SCH 南极数学高中同步教学设计人教A 版选修4-4《坐标系与参数方程》1.3.1圆的极坐标方程（学生学案）例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？()()12343,0,,,,,,22 .1C a C a C a C a πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程：例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。
38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。
2123:2cos ,:sin 20,C C ρθρθ=-+=变：已知圆圆 试判断两圆的位置关系。
课堂练习：1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（）()().2cos .2sin .2cos 1.2sin 144A B C D ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭么？化为直角坐标方程是什＝、曲线的极坐标方程θρsin 42少？的两个圆的圆心距是多＝和＝、极坐标方程分别是θρθρsin cos 34cos()4πρθ=-、极坐标方程所表示的曲线是( )（A ）双曲线（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）圆SCH 南极数学高中同步教学设计人教A 版选修4-4《坐标系与参数方程》班级：______ 姓名：______________ 座号：_______ 等级：________510cos()3πρθ-、圆＝的圆心坐标是( )（A ）(5，0) (B)（5，-3π） (C)(5，3π) (D (5，23π)6(2,)2A π、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
课时必记：圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程分层作业：A 组：1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________．2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________．3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是________．4、（课本P15习题1。
1.3.1圆的极坐标方程
3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ( ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
A、 ,0) (5
C、 , ) (5 3
B、 , ) (5 3
2 D、 , ) (5 3
小节： 1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
意一点，那么 OM AM。
在RtAMO中OM OA cosMOA
即
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
＝2a cos .......... 1) .(
所以，等式1)就是圆上任意一点的极 ( 坐标( , )满足的条件，
另一方面，可以验证， 坐标适合等式1)的点都在这个圆上。 (
圆的极坐标方程定义
M
方程
O
＝2a cos
C （a, 0）
A
就是圆心在C(a,0)(a>0)，半径为a的圆 的极坐标方程.
曲线的极坐标方程定义：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中 至少有一个满足方程 f ( , ) 0并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都 f 在曲线C上，那么方程 ( , ) 0叫做曲线C的 f 极坐标方程。
4、以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， A 1为半径的 圆的方程是
(
C
)
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4) - 副本
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意 一点的极坐标中至少有一个满足方程f ( , ) 0 并且坐标适合方程f ( , ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6
圆心为(a, )( a 0)半径为a 圆的极坐标方程为＝2a cos( ) 此圆过极点O
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)( a 0), 半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则OM r , 即
4、圆＝ 10cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
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极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
一问题的提出
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方 程 f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下关系：
（1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；
（2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
那么，在极坐标系中， 平面曲线是否可以用 方程f ( , ) 0表示呢？
三、简单曲线的极坐标方程
学习目标
1掌握在极坐标系中简单方程的求法 2体会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系意义
3了解柱坐标系球坐标系刻画点位置的方法,体会 与直角坐标系刻画点的位置的方法的区别
二 新知探究
1、圆的极坐标方程
探究： 如图，半径为 a的圆的圆心坐标为 C (a,0)(a 0) 你能用一个等式表示圆 上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
M θ O r ρ
x
r
M M
O
rLeabharlann · ρθ O x
C（r,0） A
2r sin
2r cos
M ρ
· r
θ
θ O x
2r cos( ) 2r cos
O
r x
ρ
·
3 2r cos( ) 2r sin 2
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
M
四 练一练
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos圆心的坐标是 ( ,0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 圆＝sin 的圆心坐标是 ( , ) 2 2 2 所以圆心距是 2
五课堂小结：
1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
M
O
C（a,0） A x
解：圆经过极点 O。设圆与极轴的另一个 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式 (1) 2