三角形的边.ppt
三角形三边关系ppt课件
建筑设计软件 现代建筑设计软件中集成了三角形三边关系的计 算功能，帮助建筑师快速准确地完成设计。
地理测量中距离计算
三角测量法
01
在地理测量中，利用三角形三边关系和已知的两个角度或两条
边长，可以计算出未知的距离或角度。
04
与三角形三边关系相关的数学定理
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理可以判断一 个三角形是否为直角三角 形，以及求解直角三角形 的未知边长。
余弦定理及其推论
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，任意两边之和等 于两倍的第三边，任意两边之差
等于0。
等腰三角形
有两边长度相等，这两边之和大于 第三边，同时这两边之差等于0。
直角三角形
满足勾股定理，即直角边的平方和 等于斜边的平方。同时也满足任意 两边之和大于第三边和任意两边之 差小于第三边的条件。
03
三角形三边关系应用举例
判断三条线段能否构成三角形
定理应用：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。
实例分析：如线段a=3cm, b=4cm, c=5cm，因为a+b>c, a+c>b, b+c>a， 所以能构成三角形。
2. 验证是否满足定理条件。
判断步骤 1. 测量或计算三条线段的长度。
余弦定理
在任意三角形中，任意一 边的平方等于其他两边平 方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
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2.一个三角形有两条边相等，三角形
的那一 么边 该长 三角3㎝形，的另周一长边是长（5㎝D，）
A.8 B.11 C.13 D.11或13
你是最 棒的！
你能用数学知识解释吗
某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边 （如图）。可是，每年冬天麦田弄不好就 会走出一条小路来。你说小学生为什么会 这样走呢？
田
村庄
Gibco胎牛血清 /xueqing/Gibco-xueqing.html Gibco胎牛血清
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有锅灶，作为家里的第二厨房兼餐厅外，其余的房子都是贮存粮食等物品的库房。每年天气最热的时候，耿家就在这两间房里做饭、吃 饭。天不太热时，堂屋就是第一厨房兼餐厅了。院落的南面是几间简易平房，其中，靠近院门的一间是驴圈，最西头的一间是茅房。在 耿家院落里，耳房与东、西房之间的空间很大。在东边的空处，有一盘相当整洁漂亮的石磨。在西边的空处，则挖了一个地窖，是储存 冬菜的地方。夏日里天气太热的时候，把多蒸的窝头、吃剩的饭菜放在竹篮子里用一块儿干净的笼布盖好了，再用一根结实的绳子将竹 篮子吊起来悬挂在窖口上搭的一根粗木棍儿上，地窖就成了一个天然的冷藏室。东房与门道之间，有一棵高大的紫穗槐树。每逢炎热的 夏天，左邻右舍的女人们经常聚集在树下乘凉，一边做着针线活儿，一边拉家常。西房与茅房之间，则长着一棵高大繁茂的白杨树。夏 秋季节里，一阵轻风吹来，哗哗作响；每逢早春杨树开花，就会结出许多茶色的毛穗穗。当毛穗穗掉落下来后，一群娃娃们就拣起来几 个塞进鼻孔里和耳朵里装扮老头儿，互相追逐打闹着玩儿。晚秋时节，宽大的树叶逐渐变黄，秋风吹过，树叶就打着转儿缓缓飘落下来。 这时候，捡起来编一个“老鹰”给孩子们玩，往往也能给娃儿们带来很大的快乐。耿老爹小时候上过几年私塾。在他十几岁时，当地兵 荒马乱。为了躲避兵患，他曾跟着娘舅徒步走几百里，到外地讨生活。耿老爹先在口泉镇一家小饭店里当跑堂的小伙计，后来又到了大 同府（今大同市），在一家日杂铺子里做了两年学徒；再后来，经熟人引见去了省城太原府（今太原市），在一家小粮油店里做伙计。 由于勤快、头脑灵活，而且能写会算，后来被掌柜的看中，做了一年多账房先生。因此，在三六九镇上，耿老爹也算得上是一个见过世 面的文化人儿哩。耿老爹不但有文化，而且还很善于动脑筋，待人也特别真诚热情。因此，乡亲们凡有事时，总愿意跟耿老爹商量，征 求他的意见。耿老爹不但种地在行，而且业余爱好也不少：吹笛子、拉二胡、喊两嗓子都行，尤其二胡拉的更棒。因此，耿老爹家的院 儿里，永远都是街坊邻里们的乐园。此外，耿老爹还无师自通地学会了一些一般性的土木工手艺。当年修建南房时，有不少土木工活计 就是耿老爹自己动手完成的，做得很是像模像样。平日里，谁家要是砌个锅台啦，打个风门啦什么的，有时也会请耿老爹帮忙。耿妻郭 氏也是本镇人，娘家就住在小镇的中心位置上，祖传的饼铺生意很是不错。如今，由弟弟一家经营，而且很是红火。郭氏为耿老爹生了 大儿子耿正以后，又生了大女儿耿英、二儿子耿直和小女儿耿兰。郭氏贤惠勤俭，通情达理，与邻里之间的关系非常融洽，很受大家伙 儿的尊
11.1.1 三角形的边 课件(共24张PPT)
若一个三角形的两边长分别是2和4，第三
边的长可能是( B )
A.2
B.4
C.6
D.8
解析:设第三边的长为x，由三角形的三边关系，得
4-2<ⅹ<4+2，即2<ⅹ<6.观察四个选项，知B项正确.
特别提醒
“两边的和”“两边的差”中的“两边”是指三角形的任
意两边。
总结
根据三角形的三边关系可得三角 形的任意一边总是大于另两边之 差，小于另两边之和，据此通过 列不等式(组)求出三角形的待求 边长的取值范围.
( D)
A.2，2，4
B.5，6，12
C.5，7，2
D.6，8，10
思路分析:根据“三角形两边之和大于第三
边”可以判断长度为各个选项中数值的三
条线段是否能组成三角形。
3.若一个等腰三角形中的两边长分别是 4cm和8cm，则此三角形的周长为( B)
A.16cm B.20cm C.16cm或20cm
解析:当腰长是4cm时，则三角形的三边长分别 是4cm，4cm，8cm,4+4=8，不满足三角形的三 边关系，舍去；当腰长是8cm时，三角形的三 边长分别是8cm,8cm,4cm,8+4>8，符合三角形 的三边关系，此时三角形的周长是20cm.
α
A
b
C
如图:△ABC有三条边，三个内角，三个顶点。
顶点:相邻两边的 公共端点是 三角形的顶 点。
3.三角形的表示
顶点A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读 作“三角形ABC”。
注意:在△ABC中，∠A的对边可以用BC表 示，也可以用a表示；∠B对边可以用AC 表示，也可以用b表示；∠C的对边可以用 AB表示，也可以用c表示。
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知识点2 三角形的分类 4．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆 圈里的A表示( D ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
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5．有下列说法：①三角形按边分类可分为三边都不相等的三角
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(2)∵AC－BC＝5， ∴AC，BC中一个奇数、一个偶数． 又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数， ∴AB＞AC－BC＝5，得AB的最小值为6.
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(2)改变点P的位置，上述结论还成立．
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(3)连接AP，延长BP交AC于点E， 在△ABE中有，AB＋AE＞BE＝BP＋PE.① 在△CEP中有，PE＋CE＞PC.② ①＋②，得AB＋AE＋PE＋CE＞BP＋PE＋PC， 即AB＋AC＋PE＞BP＋PE＋PC， ∴AB＋AC＞BP＋PC.
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(2)∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0. ∴原式＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b ＝a＋b＋c.
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03 综合题
18．【探究题】如图，点P是△ABC内部的一点． (1)度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB＋ AC与PB＋PC的大小； (2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？ (3)你能说明上述结论为什么成立吗？ 解：(1)AB＋AC＞PB＋PC.
11.1.1三角形的边课件(共24张PPT)人教数学八年级上册
11.1.1三角形的边课件（共24张PPT）人教数学八年级上册(共24张PPT)第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边教学目标1．认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；理解三角形的分类．2．掌握三角形三边关系，会判断已知的三条线段能否组成三角形，会求三角形第三边的取值范围．下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特点埃及金字塔02水分子结构示意图飞机机翼在我们的生活中几乎随处可见三角形．它简单，有趣，也十分有用．三角形可以帮助我们更好认识周围世界，解决很多的实际问题．那什么样的图形是三角形呢？想一想探索新知三角形如何定义呢？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
探索新知下面的三角形如何用符号表示呢？边、顶点与内角吗？边：AB，BC，CA或c，a，b．顶点：点A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．表示方法：ΔABC探索新知我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？三边都不相等的三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形探索新知腰腰底边顶角底角底角探索新知图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．图中有5个三角形．用符号表示为：∠ABE，∠ABC，∠BEC，∠EDC，∠BDC．探索新知AB + AC ＞BC，①AC + BC ＞AB，②AB + BC ＞AC．③即三角形两边的和大于第三边．任意画一个∠ABC，从点B 出发，沿三角形的边到点C它有几条路线可以选择？各条线路的长有怎样的关系？怎么证明你的结论呢？BCA探索新知AC + BC ＞AB，②AB + BC ＞AC．③任意画一个∠ABC，从点B 出发，沿三角形的边到点C它有几条路线可以选择？各条线路的长有怎样的关系？怎么证明你的结论呢？BCA由不等式②③移项可得BC ＞AB -AC，BC ＞AC -AB．由此你能得出什么结论？三角形两边的差小于第三边．探索新知解：（1）能．因为3 + 4＜8，3 + 8＞5，4 + 8＜3，不符合三角形两边的和大于第三边.（2）不能．因为5 + 6 =11，不符合三角形两边的和大于第三边.（3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6，符合三角形两边的和大于第三边.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8;（2）5，6，11;（3）5，6，10．探索新知用较小两条线段的和与第三条线段做比较；若较小两条线段的和大于第三条线段，就能保证任意两条线段的和大于第三条线段.解决这类问题我们通常用哪两条线段的和与第三条线段做比较？为什么？例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm.典例精析判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.解：（1）不能，因为3cm+4cm10cm.归纳例2. 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有4+2x=18..解得x=7.②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有2×4+x=18.解得x=10.因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.4米3米别踩我,我怕疼!5米ABC学校草坪经常被学生走出一条小路来，你能用今天所学的知识解释这一现象吗？其实我们离文明很近4（1米=2步）它只少走步两点之间，线段最短，三角形的两边的和大于第三边.1、等腰三角形是等边三角形（）2、等边三角形是等腰三角形（）3、三角形按边分，可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（）4、三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．（）提升练习（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形（）（2）等腰三角形的腰和底一定不相等（）（3）等边三角形是锐角三角形（）（4）直角三角形一定不是等腰三角形（）5、将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形提升练习三角形定义分类系定理按边分类按角分类a -b <c < a + b 表示方法课堂小结再见。
《三角形的边》PPT课件
- .
生活中的三角形！
三角形：由不在同一条直线上的三条线 段首尾顺次相连组成的图形.
顶点
内角
边
三个顶点是：A、B、C
注：三条边也可以用小写字母a,b,c表示
三角形有三条边、三个顶点、三个内角
外角
外角
外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
思考：三角形有几个外角？
结论：三角形有6个外角
探究：准备一组长度分别为3cm、4cm、6cm、8cm的小棒，从中取出3根，依次首尾相连来构造三角形
1.任取3根有几种取法？把他们列举出来
2.试一试，哪组首尾相连可以构成三角形
3.能构成三角形的一组小木棒中，每两根的长度和第三根的长度有什么关系？不能组成三角形的呢？
以Байду номын сангаас为2，4，6的三条线段能否构成三角形？
解：因为 6+4>2,6+2>4, 所以符合“三角形任意两边之和 大于第三边”.所以以长为2，4，6的三条线段能否构成三角形.
找错
已知:三角形的两条边分别为6和9，求第三边的取值范围？
等腰三角形：两条边相等的三角形 等边三角形：三条边相等的三角形，（又叫正三角形）
4.请你再用其他长度的小木棒试一试，检验你的结论是否正确？
结论：
三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之差小于第三边
例.以长为6，8，10的三条线段能否构成三角形？
解：因为 6+8>10,6+10>8,8+10>6. 所以符合“三角形任意两边之和大于第三边”.所以以长为6，8，10的三条线段能构成三角形.
三角形按边分类：
《三角形的边》课件
• 直角三角形的特点是？
计算题
• 已知直角三角形的两条 直角边分别为3cm和 4cm，求斜边的长度。
• 已知等腰三角形的底边 长度为5cm，底角为60 度，求等腰边的长度。
应用题
• 设计一个平面图形，其 中包含一个直角三角形。
• 解释一个现实生活中的 等边三角形的例子。
等边三角形的性质
等边三角形的三个角都是60 度。
三角形的定理
• 直角三角形定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 • 等腰三角形定理：等腰三角形的两个底角相等。 • 三边定理：三角形的任意两边之和大于第三边。 • 两角一边定理：两个三角形的两个角度相等，且一条边的比例相等。
练习题
选择题
总结
• 三角形边具有基本概念和分类。 • 三角形的性质和定理对于解决几何问题非常重要。 • 练习题有助于巩固所学知识和提高解决问题的能力。
《三角形的边》PPT课件
# 三角形的边
三角形简介
• 三角形是由三条线段组成的形状。 • 三角形可以根据边长和角度进行分类。
三角形的边
1 边的概念
条边
三角形有三条边，分别称为AB、BC和CA。
3 边的长度
边的长度可以通过测量或计算来确定。
三角形的分类
按边长分类
• 等边三角形：三条边的长度相等。 • 等腰三角形：两条边的长度相等。 • 普通三角形：三条边的长度都不相等。
按角度分类
• 直角三角形：一个角是90度。 • 锐角三角形：三个角都小于90度。 • 钝角三角形：一个角大于90度。
三角形的性质
内角和
三角形的内角和总是180度。
外角和
三角形的外角和总是360度。
直角三角形的三边关系课件
直角三角形的直角所对的边称为直角边。
勾股定理
勾股定理是指直角三角形两个较短边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
三边关系
1
正弦定理
正弦定理指的是直角三角形中，任意一角的正弦值与其对边之比等于斜边长与其 一定点（垂足上方）到该角对边的距离之比。
2
余弦定理
余弦定理指的是任意一三角形中，任意边平方等于另外两边平方和的2倍减去这 两边夹角的余弦倍积。
直角三角形的三边关系
本PPT将为大家介绍直角三角形的三边关系。通过了解其定义、性质以及各种 定理，我们将掌握如何求解直角三角形的边长，以及它在实际应用中的作用。
引言
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。它有许多独特的性质，我们将从定义和性质入手，理解直角三角形的 基本概念和性质。
定义
斜边直角三角形的斜边是三角中最长的一条边。充分理解直角三角形三边关系定理和应用，并经常练 习，这是掌握数学和几何学的必要条件。
3
正切定理
正切定理是指直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边长度除以邻边 长度。
例题演练
应用题 I
已知一个直角三角形的直角边和斜边，求另一个直角边 的长度。
应用题 II
已知一个角的度数和相对边的长度，求直角边的长度。
总结
1 斜边是直角三角形中最长的一条边。 2 勾股定理是直角三角形的基本定理之一。 3 三边定理包括正弦定理、余弦定理、正切定理。
直角三角形的应用
直角三角形的三边关系在几何学及相关学科中有广泛的应用。在实际生活中，我们也可以通过直角三角形的三条边 关系，来计算各种日常问题，如测量家具的尺寸，计算建筑物高度，甚至测量星体距离。
结语
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c
b
读作：三角形ABC 三角形的边有时也用
B
C
a、b、c来表示。
小试牛刀
D
A
E 1.图中有几个三角 形？用符号表示这 B C 些三角形。 2.以AB为边的三角形有哪些？ 3.以E为顶点的三角形有哪些？
4.以∠D为角的三角形有哪些？
5.说出其中ΔBCD的三个角和三个顶点所对的边
三角形的分类
按角分
锐角三角形 直角三角形
思 考
判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验 三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你 刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） （2） （3） （4） 3，4，8 2，5，6 5，6，10 3，5，8 （ 不能 （ 能 （ 能 （不能 ） ） ） ）
由“两点之间，线段最短” 可以得到AB+AC>BC 同理可得：AC+BC>AB,AB+BC>AC
结 三角形的三边有这样的关系： 论 三角形两边的和大于第三边
试一试
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3 , 4, 8
(2)5 , 6 , 11
(3)5 , 6, 10
解：(1)不能组成三角形，因为3+4<8,即两条线段的和 小于不第三条线段，所以不能组成三角形 （2）不能组成三角形，因为5+6=11即两条线段的和 等于第三条直线，所以不能组成三角形 （3）能组成三角形，因为任意两条线段的和都大 于第三条线段。
钝角三角形
按边分
不等边三角形（不规则三角形） 等腰三角形
只有两条边相等 的等腰三角形
虫要从点B出
发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以 选择？各条路线的长一样吗？
A
路线1:由点B到点C 路线2:由点B到点A，再由点A到点C。
C
B
两条路线长分别是BC,AB+AC.
7.1.1 三角形的边
初一数学
备课组
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾
顺次相接所组成的图形叫做三角形
A
1.AB、BC、CA叫做三角形的边
B
2.点A、B、C叫做三角形的顶点 3.∠ A、 ∠ B、 ∠ C叫做三角 形的内角，简称三角形的角。 C
表示方法
A
三角形用“△” 符号表示 顶点是A 、B、C的三角形 记作：△ABC