§8.6隐函数微分法
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隐函数的微分法
( z x2 F1) F2
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
《隐函数的微分》课件
利用隐函数表示的热传导方程，通过微分可以求解温度分布和热流密度等问题。
隐函数的微分性质
隐函数在其定义域内可能呈现出单调递增或单调递减的性质。通过求导数并判断其符号，可以确定隐函数的单调性。如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。
隐函数的单调性可以通过求导数并判断其符号来确定。
通过求一阶导数可以判断函数的单调性，而通过求二阶导数可以判断函数的凹凸性。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
用d/dx表示一阶导数，d²/dx²表示二阶导数，以此类推。
意义
高阶导数可以揭示函数在某点的局部性质，如曲线的弯曲程度、拐点等。
对于复合函数，高阶导数的计算需要使用链式法则。例如，若y=f(u)，u=g(x)，则y的n阶导数为f(u)的n阶导数乘以g(x)的n阶导数的n次方。
链式法则
对于多项式函数，可以使用乘法法则和加法法则来计算高阶导数。
详细描述
在数学中，极值点是指函数取得局部最大值或最小值的点，而最值点是指函数在整个定义域内的最大值或最小值点。对于隐函数，我们可以通过求二阶导数来判断其在极值点和最值点的性质。如果二阶导数大于零，说明函数在极值点处取得局部最小值；如果二阶导数小于零，说明函数在极值点处取得局部最大值。同时，我们还需要考虑一阶导数的符号变化，以确定最值点是最大值还是最小值。
在科学、工程和经济学等领域中，隐函数的微分也有广泛的应用。
在解决微分问题时，我们经常需要用到隐函数的微分。
隐函数的求导法则
总结词
链式法则是隐函数求导的核心法则，用于处理复合函数的情况。
详细描述
链式法则是隐函数求导的重要法则之一，它指出如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
隐函数的微分性质
隐函数在其定义域内可能呈现出单调递增或单调递减的性质。通过求导数并判断其符号，可以确定隐函数的单调性。如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。
隐函数的单调性可以通过求导数并判断其符号来确定。
通过求一阶导数可以判断函数的单调性，而通过求二阶导数可以判断函数的凹凸性。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
用d/dx表示一阶导数，d²/dx²表示二阶导数，以此类推。
意义
高阶导数可以揭示函数在某点的局部性质，如曲线的弯曲程度、拐点等。
对于复合函数，高阶导数的计算需要使用链式法则。例如，若y=f(u)，u=g(x)，则y的n阶导数为f(u)的n阶导数乘以g(x)的n阶导数的n次方。
链式法则
对于多项式函数，可以使用乘法法则和加法法则来计算高阶导数。
详细描述
在数学中，极值点是指函数取得局部最大值或最小值的点，而最值点是指函数在整个定义域内的最大值或最小值点。对于隐函数，我们可以通过求二阶导数来判断其在极值点和最值点的性质。如果二阶导数大于零，说明函数在极值点处取得局部最小值；如果二阶导数小于零，说明函数在极值点处取得局部最大值。同时，我们还需要考虑一阶导数的符号变化，以确定最值点是最大值还是最小值。
在科学、工程和经济学等领域中，隐函数的微分也有广泛的应用。
在解决微分问题时，我们经常需要用到隐函数的微分。
隐函数的求导法则
总结词
链式法则是隐函数求导的核心法则，用于处理复合函数的情况。
详细描述
链式法则是隐函数求导的重要法则之一，它指出如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
隐函数及其微分法
d
当 r e 时
dy dx
e e
(sin (cos
cos sin) )来自sin cos
cos sin
当 时
2
切线斜率为
dy
k
dx
2
1
而r
e
上点(e 2
,
)所对应的直角坐标为(0,e 2
)
2
故切线的直角坐标方程为
y e 2 ( x 0) 即 x y e 2
现在我要解决如下问题： 对于隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
设F ( x, y) 0确定了一元隐函数 y y( x)
将 y y( x)代入F ( x, y) 0得 u F[x, y( x)] 0
显然
du 0 dx
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例11
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数 的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导 法则;
练习题：
1、设x2 y2 1 0 求 dy , d 2 y dx dx2
隐函数微分法则
dS S dY S di
Y
i
式中dS為兩種變動量之和，稱為儲蓄函數之全微分式。
(其中第一項為S因為Y改變而變動的部分, 第二項為S
因為i改變而變動的部分. )
當Y變動時，i若保持固定不變（d i =0）。全微分是就會 縮減為偏微分式。
8.2 全微分式
2. 偏彈性（partial elasticities）儲蓄的所得彈性 與儲蓄的利率彈性
w
8.4 全導式
全導式並不令自變數間相互獨立 1. 求全導式（Байду номын сангаасerivative）
y ＝ f (x, w) 其中 x ＝ g (w) w可透過兩種方式影響 y：（1）間接的，即透過函數 g然後f；（2）直接的，透過函數f。 首先全微分y，得全微分式d y = f x d x + f w d w。 兩邊同除以微分式d w，得
也就是，其均衡解可以縮減式明顯表示出。再 將其解經過偏微分後，便可產生所求，比較靜 態式。偏微分的前提，自變數間不存在任何函 數關係。
若模型內加入一般函數，以致無法得到清楚表 示出之縮減式解，比較靜態分析過程就不能如 此迅速達成。此時，需直接由模型內已知方程 式，求得比較靜態導數。
一般函數模型之比較靜態分析
計算由於x之變動所造成y之變動量為何。然而， 微分式dy與dx只應視為無限小之變量。若將相 當之x變動量（∆x）代入，所得之dy僅可作為 對應之y變動量（∆y）的近似值。 例如，x由5變為5.01，得dy ＝ （6×5+7）× （0.01）＝0.37。而y之實際變量∆y ＝ 105.3703 － 105 ＝0.3703。兩者存在0.0003 之誤差。
平均函數
P
P
例2.若需求函數為Q ＝ 100 － 2P，求需求價格 彈性。
§8.6隐函数微分法
yo = f ( xo ) ，并有
Fx dy 。 =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y = f (x) 代入方程 F ( x, y ) = 0 ，得 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，
dy 两端对 x 求导，得 Fx + F y ⋅ = 0， dx
∵ F y 连续，且 F y ( xo , y o ) ≠ 0 ，
∵在点 P ( xo , yo , uo , vo ) 的某个邻域内 J =
∂u 1 ∂ ( F ,G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) ∴ =− 。 , =− ∂x J ∂ ( x, v) ∂x J ∂ (u , x)
Fu Fv
Gu Gv
≠0，
∂u 1 ∂ ( F , G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) 同理可得 = − 。 , =− ∂y J ∂ ( y, v) ∂y J ∂ (u, y )
定理2 设 (1) n + 1元函数 F ( x1 , x2 , L , xn , u )在点
P ( x1 , L , xn , u0 )的某邻 域内具有连 续的一阶偏导数 ,
( 2) F ( x1 , L xn , u0 ) = 0, Fu ( x1 , L , xn , u0 ) ≠ 0,
0 0 0 0
Fu Fv ∂( F ,G) J |P = |P = | P ≠ 0, ∂ (u, v) Gu G v
F ( x, y , u , v ) = 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G ( x, y, u, v) = 0 一组单值连续且具有一阶连续偏导数的函数
u = u ( x, y ), v = v ( x, y ), 满足 u o = u ( xo , yo ), vo = v ( xo , yo ),
Fx dy 。 =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y = f (x) 代入方程 F ( x, y ) = 0 ，得 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，
dy 两端对 x 求导，得 Fx + F y ⋅ = 0， dx
∵ F y 连续，且 F y ( xo , y o ) ≠ 0 ，
∵在点 P ( xo , yo , uo , vo ) 的某个邻域内 J =
∂u 1 ∂ ( F ,G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) ∴ =− 。 , =− ∂x J ∂ ( x, v) ∂x J ∂ (u , x)
Fu Fv
Gu Gv
≠0，
∂u 1 ∂ ( F , G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) 同理可得 = − 。 , =− ∂y J ∂ ( y, v) ∂y J ∂ (u, y )
定理2 设 (1) n + 1元函数 F ( x1 , x2 , L , xn , u )在点
P ( x1 , L , xn , u0 )的某邻 域内具有连 续的一阶偏导数 ,
( 2) F ( x1 , L xn , u0 ) = 0, Fu ( x1 , L , xn , u0 ) ≠ 0,
0 0 0 0
Fu Fv ∂( F ,G) J |P = |P = | P ≠ 0, ∂ (u, v) Gu G v
F ( x, y , u , v ) = 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G ( x, y, u, v) = 0 一组单值连续且具有一阶连续偏导数的函数
u = u ( x, y ), v = v ( x, y ), 满足 u o = u ( xo , yo ), vo = v ( xo , yo ),
隐式微分法求导
隐式微分法求导
隐式微分法求导是一种用于求解隐函数导数的方法。
隐函数是指其导数方程不显式给出的函数。
隐式微分法求导的关键在于将隐函数转化为显函数，然后应用导数的定义进行求导。
具体步骤如下：
确定隐函数：给定一个隐函数，例如y=f(x)。
构造显函数：通过观察或数学技巧，构造一个新的函数，使得该函数的导数等于原隐函数的导数。
这通常可以通过对隐函数进行求导，然后令导数等于0来找到一个新的函数。
例如，若隐函数y=f(x)，求导后得到y'=g(x)，那么可以构造一个新的函数y=h(x)使得y'=g(x)。
对显函数求导：对构造出的显函数y=h(x)应用导数的定义进行求导，得到y''=k(x)。
验证导数：检查求得的导数是否等于原隐函数的导数。
如果相等，那么说明求导过程是正确的。
需要注意的是，隐式微分法求导可能需要一定的数学技巧和观察能力，对于某些隐函数，可能需要尝试多种方法才能找到合适的显函数。
隐函数及其微分法
02 通过建立隐函数模型，可以描述经济变量之间的 非线性关系，并预测未来的发展趋势。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。
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Fx z x Fz ，
Fy z y Fz
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z ) 0 ，
∵ F [ x , y , f ( x , y )] 0 ，
F
z Fy Fz 0， y
z ∴ Fx Fz 0 ， x
x F y x
∴存在点( x , y ) 的一个邻域，在这个邻域内F y 0 ，
dy Fx ∴ 。 dx F y
例 1．方程 x 2 y 2 1 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一
dy 的隐函数 y y( x ) ？在隐函数存在时， 求 。 dx
解：设 F ( x , y ) x 2 y 2 1 ，则 F x 2 x ，F y 2 y 处处连续，
§8.6 隐函数微分法
8.6．1 由一个方程确定的隐函数
定理 1（隐函数存在定理）
设二元函数 F ( x , y ) 满足下列条件： （1） F x ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域内连续； （2） F ( x , y ) 0 ； （3） F y ( x , y ) 0 ， 则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x , y ) 的某一邻域内恒能唯一 确定一个单值连续且具有连续导数的函数y f ( x ) ， 它满足 y f ( x ) ，并有
∵在点 P ( x , y ,u ,v ) 的某个邻域内J
u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , ∴ 。 x J ( x,v ) x J (u, x )
Fu Fv Gu Gv
0 ，
u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , 同理可得 。 y J ( y ,v ) y J ( u, y )
z y F2 x z F1 ， ， x z aF1 bF2 y z aF1 bF2
z z aF1 bF2 故 a b 1 。 x y aF1 bF2 aFห้องสมุดไป่ตู้ bF2
8．6．2 由方程组确定的隐函数
F ( x, y,u,v )0 以 为例。 G( x, y,u,v )0
dy Fx dx Fy 。
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y f ( x ) 代入方程F ( x , y ) 0 ，得F [ x , f ( x )] 0 ，
dy 两端对x 求导，得 Fx F y 0 ， dx
∵Fy 连续，且F y ( x , y ) 0 ，
y (vdx udy) ( xv yu)dx ( xu yv )dy dv ， 2 2 x y x y y x
v yu xv v xu yv ∴ ， 。 x x 2 y 2 y x 2 y 2
作
业
习 题 六 （P131）
1（1）（4）（8）；
2 2 2
2z ， 。 xy
解法 1：令 F ( x , y , z ) x 2 y 3 z 4 ，
Fx 2 x ， F y 4 y ，Fz 6z ，
Fx z 2x x ∴ ， x Fz 6z 3z
z Fy 4 y 2 y 。 y Fz 6z 3z
定理 3 设 （1） F ( x , y ,u,v ),G ( x , y ,u,v ) 在点 P ( x , y ,u ,v ) 的某个 邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） F ( x , y ,u ,v ) 0, G ( x , y ,u ,v ) 0,
( F ,G ) Fu Fv （3） Jacobi 行列式： J ， J |P 0 ， ( u,v ) Gu Gv
且
u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , x J ( x ,v ) x J ( u, x ) u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , y J ( y ,v ) y J ( u, y )
⑥
定理的证明从略，仅就公式⑥作如下推导：
udx vdy y (vdx udy) x ( xu yv )dx ( xv yu)dy du , x y x2 y2 y x
u xu yv u xv yu ∴ ； 。 x x 2 y 2 y x 2 y 2
x
udx vdy
解法 2： x 2 2 y 2 3z 2 4 ，
2 xdx 4 ydy 6 zdz 0 ，
x 2y dz dx dy ， 3z 3z
z x ∴ ， x 3z z 2y 。 y 3z
2 z z x 1 z x 2y 2 xy ( ) ( ) ( ) 。 2 y 2 3 xy y x 3 z 3z 3z 9z
x y z x y
∵ Fz 连续，且 Fz ( x , y , z ) 0 ，
∴存在点( x , y , z ) 的一个邻域，在这个邻域内Fz 0 ，
Fx z z Fy ∴ ， 。 x Fz y Fz
定理 3 可推广到三个自变量以上的情况。
z z 2 2 2 例 3．设 x 2 y 3 z 4 ，求 ， x y
F ( x, y, u( x, y), v( x, y))0 由于 , 两边对x 求 导 ， G( x, y, u( x, y), v( x, y))0
u v Fx Fu x Fv x 0 u v G x Gu Gv 0 , x x
当 y 0 时， Fy 2 y 0 ，由定理 1 知，只要 ( x , y )(1, 0)
( 时，方程 x 2 y 2 10 在点 x, y ) 的某邻域内能确定唯一
的隐函数 y y ( x ) ，且
dy Fx 2x x 。 dx Fy 2y y
方程 F ( x , y ) x 2 y 2 1 0 表示单位圆。从图中直观地可 见，只要 ( x , y ) ( 1, 0) ，则 在 ( x , y ) 附近的一段圆弧的方 程就可用唯一的 y f ( x ) 表示
2（2）（5）； 4 ； 6 ； 7（1） ；8 。
v
y
x
v
u u x xv yu v y u xu yv ； 。 2 2 2 2 y x y x y y x y x y y x y x
xu yv 0 解法 2：将方程组 两边求全微分得到 yu xv1
udx xduvdy ydv0 xdu ydv udx vdy ，即 ， udy ydu vdx xdv0 ydu xdv (vdx udy)
xu yv 0 例 5．求出方程组 所确定的隐函数的偏导数 yu xv1 u v u v , , , . x x y y
解法 1：将方程组两边对x 求v 为 因 变 量， x , y 为自变量， 分析：所求偏导数表明 u, 导 ，得
,y v 故 u u( xu) ，v v ( x , y ) 。 x u y v u x x u x x y x 0 ， ， 即 u v u v y x v y v x 0 x x x x
例 4．设 z z( x , y ) 是由方程 F ( x az, y bz) 0 所确定 z z 的隐函数，其中a, b 为常数，证明a b 1 。 x y
解：设 ( x , y , z ) F ( x az , y bz ) ，则
x F1 ， y F2 ， z aF bF2 ， 1
y 例2． 求由方程 ln x y arctan 所确定的隐函数 y y( x ) x dy 的导数 。 dx
2 2
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) ln (x y ) arctan ， 2 x
1 y x y x y Fx ( ) ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y x y x y x y 1 1 y x y x Fy ， 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y x y x y x x
u xu yv v yu xv 2 2 ； 。 2 2 x x y x x y
将方程组两边对 y 求导 ，得
v u u v x y v y y 0 x y y y v ，即 ， u v u v u y x 0 y x u y y y y
dy Fx x y 。 dx Fy x y
定理 2
设（1）函数 F ( x , y ,z ) 在点 P ( x , y ,z ) 的某一邻域内 具有连续的偏导数F x ,F y ,Fz ； （2） F ( x , y ,z ) 0 ； （3） Fz ( x , y , z ) 0 ； 则方程 F ( x , y ,z ) 0 在点 P ( x , y ,z ) 的某一邻域内恒能唯 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z f ( x , y ) ， 它满足条件 z f ( x , y ) ，并有
y 1 x 2 或 y 1 x 2 ） （ 。
y
(1,0) (1,0)
y 1 x 2
(1,0)
o
x
y 1 x 2
但在点 (1, 0) 的任一邻域内的圆弧，总是由 y 1 x 2 与 y 1 x 2 的一小段组成,说明在点(1, 0) 的任一
x 2 y 2 1 0 都不能确定唯一的隐函数。 邻域内，方程
F ( x , y ,u,v ) 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G ( x , y ,u,v ) 0
Fy z y Fz
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z ) 0 ，
∵ F [ x , y , f ( x , y )] 0 ，
F
z Fy Fz 0， y
z ∴ Fx Fz 0 ， x
x F y x
∴存在点( x , y ) 的一个邻域，在这个邻域内F y 0 ，
dy Fx ∴ 。 dx F y
例 1．方程 x 2 y 2 1 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一
dy 的隐函数 y y( x ) ？在隐函数存在时， 求 。 dx
解：设 F ( x , y ) x 2 y 2 1 ，则 F x 2 x ，F y 2 y 处处连续，
§8.6 隐函数微分法
8.6．1 由一个方程确定的隐函数
定理 1（隐函数存在定理）
设二元函数 F ( x , y ) 满足下列条件： （1） F x ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域内连续； （2） F ( x , y ) 0 ； （3） F y ( x , y ) 0 ， 则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x , y ) 的某一邻域内恒能唯一 确定一个单值连续且具有连续导数的函数y f ( x ) ， 它满足 y f ( x ) ，并有
∵在点 P ( x , y ,u ,v ) 的某个邻域内J
u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , ∴ 。 x J ( x,v ) x J (u, x )
Fu Fv Gu Gv
0 ，
u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , 同理可得 。 y J ( y ,v ) y J ( u, y )
z y F2 x z F1 ， ， x z aF1 bF2 y z aF1 bF2
z z aF1 bF2 故 a b 1 。 x y aF1 bF2 aFห้องสมุดไป่ตู้ bF2
8．6．2 由方程组确定的隐函数
F ( x, y,u,v )0 以 为例。 G( x, y,u,v )0
dy Fx dx Fy 。
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y f ( x ) 代入方程F ( x , y ) 0 ，得F [ x , f ( x )] 0 ，
dy 两端对x 求导，得 Fx F y 0 ， dx
∵Fy 连续，且F y ( x , y ) 0 ，
y (vdx udy) ( xv yu)dx ( xu yv )dy dv ， 2 2 x y x y y x
v yu xv v xu yv ∴ ， 。 x x 2 y 2 y x 2 y 2
作
业
习 题 六 （P131）
1（1）（4）（8）；
2 2 2
2z ， 。 xy
解法 1：令 F ( x , y , z ) x 2 y 3 z 4 ，
Fx 2 x ， F y 4 y ，Fz 6z ，
Fx z 2x x ∴ ， x Fz 6z 3z
z Fy 4 y 2 y 。 y Fz 6z 3z
定理 3 设 （1） F ( x , y ,u,v ),G ( x , y ,u,v ) 在点 P ( x , y ,u ,v ) 的某个 邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） F ( x , y ,u ,v ) 0, G ( x , y ,u ,v ) 0,
( F ,G ) Fu Fv （3） Jacobi 行列式： J ， J |P 0 ， ( u,v ) Gu Gv
且
u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , x J ( x ,v ) x J ( u, x ) u 1 ( F ,G ) v 1 ( F ,G ) , y J ( y ,v ) y J ( u, y )
⑥
定理的证明从略，仅就公式⑥作如下推导：
udx vdy y (vdx udy) x ( xu yv )dx ( xv yu)dy du , x y x2 y2 y x
u xu yv u xv yu ∴ ； 。 x x 2 y 2 y x 2 y 2
x
udx vdy
解法 2： x 2 2 y 2 3z 2 4 ，
2 xdx 4 ydy 6 zdz 0 ，
x 2y dz dx dy ， 3z 3z
z x ∴ ， x 3z z 2y 。 y 3z
2 z z x 1 z x 2y 2 xy ( ) ( ) ( ) 。 2 y 2 3 xy y x 3 z 3z 3z 9z
x y z x y
∵ Fz 连续，且 Fz ( x , y , z ) 0 ，
∴存在点( x , y , z ) 的一个邻域，在这个邻域内Fz 0 ，
Fx z z Fy ∴ ， 。 x Fz y Fz
定理 3 可推广到三个自变量以上的情况。
z z 2 2 2 例 3．设 x 2 y 3 z 4 ，求 ， x y
F ( x, y, u( x, y), v( x, y))0 由于 , 两边对x 求 导 ， G( x, y, u( x, y), v( x, y))0
u v Fx Fu x Fv x 0 u v G x Gu Gv 0 , x x
当 y 0 时， Fy 2 y 0 ，由定理 1 知，只要 ( x , y )(1, 0)
( 时，方程 x 2 y 2 10 在点 x, y ) 的某邻域内能确定唯一
的隐函数 y y ( x ) ，且
dy Fx 2x x 。 dx Fy 2y y
方程 F ( x , y ) x 2 y 2 1 0 表示单位圆。从图中直观地可 见，只要 ( x , y ) ( 1, 0) ，则 在 ( x , y ) 附近的一段圆弧的方 程就可用唯一的 y f ( x ) 表示
2（2）（5）； 4 ； 6 ； 7（1） ；8 。
v
y
x
v
u u x xv yu v y u xu yv ； 。 2 2 2 2 y x y x y y x y x y y x y x
xu yv 0 解法 2：将方程组 两边求全微分得到 yu xv1
udx xduvdy ydv0 xdu ydv udx vdy ，即 ， udy ydu vdx xdv0 ydu xdv (vdx udy)
xu yv 0 例 5．求出方程组 所确定的隐函数的偏导数 yu xv1 u v u v , , , . x x y y
解法 1：将方程组两边对x 求v 为 因 变 量， x , y 为自变量， 分析：所求偏导数表明 u, 导 ，得
,y v 故 u u( xu) ，v v ( x , y ) 。 x u y v u x x u x x y x 0 ， ， 即 u v u v y x v y v x 0 x x x x
例 4．设 z z( x , y ) 是由方程 F ( x az, y bz) 0 所确定 z z 的隐函数，其中a, b 为常数，证明a b 1 。 x y
解：设 ( x , y , z ) F ( x az , y bz ) ，则
x F1 ， y F2 ， z aF bF2 ， 1
y 例2． 求由方程 ln x y arctan 所确定的隐函数 y y( x ) x dy 的导数 。 dx
2 2
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) ln (x y ) arctan ， 2 x
1 y x y x y Fx ( ) ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y x y x y x y 1 1 y x y x Fy ， 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y x y x y x x
u xu yv v yu xv 2 2 ； 。 2 2 x x y x x y
将方程组两边对 y 求导 ，得
v u u v x y v y y 0 x y y y v ，即 ， u v u v u y x 0 y x u y y y y
dy Fx x y 。 dx Fy x y
定理 2
设（1）函数 F ( x , y ,z ) 在点 P ( x , y ,z ) 的某一邻域内 具有连续的偏导数F x ,F y ,Fz ； （2） F ( x , y ,z ) 0 ； （3） Fz ( x , y , z ) 0 ； 则方程 F ( x , y ,z ) 0 在点 P ( x , y ,z ) 的某一邻域内恒能唯 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z f ( x , y ) ， 它满足条件 z f ( x , y ) ，并有
y 1 x 2 或 y 1 x 2 ） （ 。
y
(1,0) (1,0)
y 1 x 2
(1,0)
o
x
y 1 x 2
但在点 (1, 0) 的任一邻域内的圆弧，总是由 y 1 x 2 与 y 1 x 2 的一小段组成,说明在点(1, 0) 的任一
x 2 y 2 1 0 都不能确定唯一的隐函数。 邻域内，方程
F ( x , y ,u,v ) 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G ( x , y ,u,v ) 0