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第一部分 系统复习知能提升第二单元 方程与不等式第8课时 一元二次方程1．已知一元二次方程x 2－8x ＋15＝0的两个解恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为( )A ．13B ．11或13C ．11D ．12解析：∵x 2－8x ＋15＝0，∴(x －3)(x －5)＝0.∴x －3＝0或x －5＝0.∴x 1＝3，x 2＝5.当腰长为3时，3＋3＞5，∴△ABC 的周长为3＋3＋5＝11；当腰长为5时，3＋5＞5，∴△ABC 的周长为3＋5＋5＝13.∴△ABC 的周长为11或13.答案：B2.(2013·四川宜宾)若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ＝1D ．k ≥0解析：∵关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，a ＝1，b ＝2，c ＝k ，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×k ＞0.∴k ＜1.答案：A3．如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋a ＝0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2－2x 1－2x 2－5＝0，那么a 的值为( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13解析：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋a ＝0的两个不相等实数根，∴x 1x 2＝a ，x 1＋x 2＝－4.∴x 1x 2－2x 1－2x 2－5＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)－5＝a －2×(－4)－5＝0，即a ＋3＝0.解得a ＝－3.答案：B4．已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根2，则m ＝__________，另一个根为__________．解析：设方程的另一根为x 2.∵关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，∴x ＝2满足该方程．∴2×22－2m －6＝0.解得m ＝1.由根与系数的关系，知2x 2＝－3.解得x 2＝－32.答案：1 －325.(2013·贵州黔东南)若两个不等实数m ，n 满足条件：m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，则m 2＋n 2的值是__________．解析：由题意知，m ，n 是关于x 的方程x 2－2x －1＝0的两个根，则m ＋n ＝2，mn ＝－1.∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝22－2×(－1)＝6.答案：66.(2013·甘肃白银)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x ★2＝6，则实数x 的值是________．解析：根据题中的新定义将x ★2＝6变形，得x 2－3x ＋2＝6，即x 2－3x －4＝0.因式分解，得(x －4)(x ＋1)＝0.解得x 1＝4，x 2＝－1.∴实数x 的值是－1或4.答案：－1或47．关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求m 的值．解：(1)∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.∴9－4×1×(m －1)≥0.解得m ≤134； (2)∵x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝m －1，又∵2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，∴2×(－3)＋m －1＋10＝0.∴m ＝－3.8．已知关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋(2m －1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．解：(1)证明：∵Δ＝(m ＋2)2－4(2m －1)＝(m －2)2＋4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m －2)2＋4＞0，即Δ＞0.∴关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋(2m －1)＝0恒有两个不相等的实数根；(2)根据题意，得12－1×(m ＋2)＋(2m －1)＝0.解得m ＝2.则方程的另一根为m ＋2－1＝2＋1＝3；①当该直角三角形的两直角边是1,3时，由勾股定理得斜边的长度为10；则该直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1,3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2.则该直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋2 2.9.(2013·山东泰安)某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．解：由题意，得200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－200－(200＋50x)]＝1250，即800＋(4－x)(200＋50x)－2(200－50x)＝1250.整理，得x2－2x＋1＝0.解得x1＝x2＝1.∴10－1＝9.∴第二周的销售价格为9元．10.(2013·浙江衢州)如图所示，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．分析：(1)边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可；(2)依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．解：(1)ab－4x2；(2)依题意，得ab－4x2＝4x2.将a＝6，b＝4，代入上式，得x2＝3.解得x1＝3，x2＝－3(舍去)．∴正方形的边长为 3.11．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？分析：(1)设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×(1－每次下调的百分率)2＝经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；(2)求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率是x，根据题意，得7000(1－x)2＝5670，解得x1＝10%，x2＝190%(不合题意，舍去)．∴平均每次下调的百分率为10%；(2)房产销售经理的方案对购房者更优惠．理由如下：(1－5%)×(1－15%)＝95%×85%＝80.75%，(1－x)2＝(1－10%)2＝81%.∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．12．据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？分析：(1)设年平均增长率为x.根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1＋x)万人次，2011年公民出境旅游总人数5000(1＋x)2 万人次．根据题意得方程求解；(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7200(1＋x)万人次．解：(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.根据题意，得5000(1＋x)2 ＝7200.解得x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝－2.2 (不合题意，舍去)．∴这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为7200(1＋x)＝7200×(1＋20%)＝8640(万人次)．∴预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．一元二次方程配方法口诀二次项系数化为1，常数项移右边，一次项系数取一半，平方后加两边．方程间的转化口诀：高次方程低次化，分式方程整式化，无理方程有理化．动物中的数学“天才”蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成，组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料．蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小．丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形．“人”字形的角度是110度．更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案．冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少．真正的数学“天才”是珊瑚虫．珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹．奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”．天文学家告诉我们，当时地球一年不是365天．而是400天．。