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第2-3次课-第1章信号及其描述
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
ⅰ.若x(t)是实偶函数 → X(f)是实偶函数
证明：若 x(t)是实偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)实偶 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是实偶函数
ImX(f)=0
ⅱ.若x(t)是实奇函数 → X(f)是虚奇函数
证明：若 x(t)是实奇函数 则ReX(f)=0 ImX(-f)= -ImX(f)实奇 故X(-f)= -jImX(-f)= jImX(f)=- X(f)是虚奇函数
1 xt T n 0
T0 2 T 0 2
xt e jn0t dt e jn0t
j tt j
xt
tte xx e 2 2 1 1 jt jjt e x t e dt dt j t 2 dt e d xt e 2
xt X
FT
两者称为傅立叶变换对，可记为
2f
IFT
代入式1-25中，则式1-26、式1-27变为
j 2ft
X f xt e
dt
xt X f e
j 2ft
df
关系
X f 2X
f 的复函数，可以写成
正弦分量的幅值
4A A 4 22 2 2 n n 0 0
n 1,3,5,
n 2,4,6, T0 2 T0 ຫໍສະໝຸດ 22 bn T0
xt sin n 0tdt 0
结果：
A 4A 1 1 xt 2 cos 0t 2 cos 3 0t 2 cos 5 0t 2 3 5 A 4A 1 2 2 cos n 0t n 1,3,5 2 n 1 n
第一章信号及其描述
山东理工大学机械学院
为什么要对信号进行频域描述：
信号的时域描述反映了信号瞬时值随时间变化的情况， 频域描述反映了信号的频率组成及其幅值、相角的大 小。 为解决不同问题，需掌握信号不同方面的特征，因而 可采用不同的描述方式。例如：评定机器振动烈度 （时域描述）和寻找振源（频域描述）。 两种描述方法能互相转换，而且包含同样的信息量。
山东理工大学机械学院 三、周期信号的强度表述
• 峰值 x p x(t ) max 信号可能出现的最大瞬时值 x p p 一个周期中最大、最小瞬时值之差 • 峰－峰值
0 x(t )dt , • 均值 • 绝对均值周期信号全波整流后的均值
1 x T0
1 x T0
T0
T0
0
x(t ) dt ,
cn 和n
cnR 和cnI
•实频谱图和虚频谱图
注意：复指数函数形式的频谱为双边谱（幅频 谱为偶函数，相频谱为奇函数），三角函数形式 的频谱为单边谱，二者的量值关系：
1 cn An , c0 a0 2
山东理工大学机械学院 例:画出余弦、正弦的实虚 部频谱图。
1 j0 t j0t cos 0t (e e ) 2 j j0t j0t sin 0t (e e ) 2
x (t )
式中
n
C n e jn 0 t
T0 / 2
1 Cn T0
T0 / 2
x( t )e jn0t dt
将cn代入上式得
1 x( t ) n T0
T0 / 2
T0 / 2
x( t )e
jn0t
jn0t dt e
第一章信号及其特征资料
xt a0 An sinn0t n n1
An an2 bn2
tg n
bn an
或
n
arctg
bn an
2. 傅里叶级数的复指数函数展开式
为了运算方便，常将傅里叶级数写成复指数形式：
x t c0
c e jn0t n
cne jn0t
n1
n1
c0 a0
cn
1 2
an
jbn
cn
xt X f
则
X t x f
3. 奇偶虚实性
利用欧拉公式，将公式改写为：
X f
x t e j2ftdt
XRf
jX I f
式中
实部— X R f
xtcos2ft
虚部—
X
I
f
xt
sin2ft
如果 xt 是实函数，那么，X f 一般为具有实部和虚
部的复函数。
2
X f df
在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量。
二、周期信号的均方值、均方根值、平均 功率和相关函数
均值、绝对均值、均方值和均方根值都是描述信号强度的
量。
所谓均值是周期信号 xt 在一周期内对时间的平均值，均
值就是信号的常量分量，即
x
1 T
T xtdt
0
周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值，即
x
1 T
T xtdt
0
周期信号的均方值和均方根值由下式求得：
xt
d 2
x
t
e jt dt e jt
1 x t e jtdt e jtd
2
X 1 xte jtdt
第1章.信号及其描述
能量（有限）信号 信号分类三 功率（有限）信号 图1-3 信号按有限性分类 矿12-1 机12-1
3
（一）确定性信号与随机信号
按信号的规律性对信号分类。规律性强的信号不仅能反映当前状态，并且能预
测其变化趋势。 1、确定性信号——信号可表示为一个确定的时间函数，可确定其任何时刻 的量值。（特点：函数表达，确定性。） （1）周期信号——按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表示 为：
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
0
矩形脉冲函数
t
0
指数衰减函数
t
0
t
单一脉冲函数
0
t
衰减振荡函数
一．傅里叶变换
瞬变非周期信号的频谱，可以用周期T0为无穷大的周期信号来分析求得。 对周期信号有： (1-15)
20
二、付里叶级数的复指数函数展开式
根据殴拉公式 （1-10） （1-11） （1-12） 将（1-11）（1-12）两式代入（1-7）式，得 （1-7）
(113) 令 (1-14)
21
则 简化为
(1-15)
即以复指数为基函数来分解信号（双边）。将式（1-8）代入式（1-14）得
同理
合并为
(116)
设 x (t )为电压信号，加到电阻R上，其瞬时功率为： 即，瞬时功率正比于电压信号平方。 取R=1不影响问题的实质。 依次，人们不考虑信号的量纲，把信号 x (t )的平方 x 2(t )和其对时间的 积分 x2(t)dt 称为信号的功率和能量。 (1—4) 称之为能量有限信号，简称能量信号。 若信号在区间（-∞，+∞）的能量是无限的，即 但它在有限区间（t1, t2）的平均功率是有限的，即 这种信号称为功率有限信号或功率信号。矿12-1
信号与系统第一章
周期信号（periodic signal）是指一个每隔一定时间T，周而 复始且无始无终的信号，它们的表达式可写为 f(t)=f(t+nT) n = 0, 1, 2, …
满足此关系式的最小T 值称为信号的周期。只要给出此信号 在任一周期内的变化过程，便可确知它在任一时刻的数值。非 周期信号（aperiodic signal）在时间上不具有周而复始的特性。 非周期信号也可以看作为一个周期T趋于无穷大时的周期信号。 4． 能量信号与功率信号 信号按时间函数的可积性划分，可以分为能量信号，功率信 号和非功非能信号。 信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f(t) 在1欧姆 的电阻上的瞬时功率为 | f ( t ) | 2 ，在时间区间 ( ∞ , ∞ ) 所消耗的总能量定义为：
按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信 号两类。 确定信号（determinate signal）是指一个可以表示为确定的 时间函数的信号。对于指定的某一时刻，信号有确定的值。 如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。随机信号 （random signal）则与之不同，它不是一个确定的时间函数， 通常只知道它取某一数值的概率，如噪音信号等。 实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性，因而都 是随机信号。如，通信系统中传输的信号带有不确定性， 接收者在收到所传送的消息之前，对信息源所发出的消息 是不知道的，否则，接收者就不可能由它得知任何新的消 息，也就失去通信的意义。另外，信号在传输过程中难免 受各种干扰和噪声的影响，将使信号产生失真。所以，一 般的通信信号都是随机信号。但是，在一定条件下，随机 信号也表现出某些确定性，通常把在较长时间内比较确定 的随机信号，近似地看成确定信号，以使分析简化。
1.3 系统的数学模型及其分类 1.3.1 系统的概念 什么是系统（system）？广义地说，系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如， 通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电力系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 1.3.2 系统的数学模型 分析一个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数 学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用 数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理 解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。
第一章 信号及其描述2-3
相互关系：σx2=
ψx2–μx2
对于集合平均有：
式中： M — 样本记录总数
i — 样本记录序号
t1 — 观测时刻
（二）概率密度函数 ——信号幅值落在制定区域内的概率
X(t)落在（x，x+Δx)区间内的时间为：
信号落在（x，x+Δx)区间内的概率为：
概率密度函数为:
Pr x xt x x p x lim x 0 x
三角函数展开式：
幅频图
相频图
复指数函数展开式：
其中：
1 jn0t x(t ) j ne n
CnR 0 2A CnI n
2A
n
2A C n n 2A 2 当n 0 n arctan n 0 当n 0 2
{xi（t)}= {x1（t) ，x2（t)，· xi（t) · } · · · ·
集合平均：集合中所有样本函数对同一时刻 ti 的观测值取 平均 时间平均：按单个样本的时间历程进行平均
平稳随机过程：统计特征参数不随时间而变化
各态历经：任一单个样本函数的时间平均统计等于 该过程的集合平均统计特征。
实际工作中，常用一个或几个有限长度的样本记录来推断整 个随机过程，以其时间平均来估计集合平均
二、随机过程的主要特征参数 （一）均值μx、方差σx2、均方值ψx2
信号x(t)的方差定义为：
x(t)
2 x
lim
1 T T
T
0
( x(t ) x ) 2 dt
t
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
1 jn0t cos(n0t ) (e e jn0t ) 2 j jn0t sin(n0t ) (e e jn0t ) 2 代入傅里叶级数的三角函数展开式
第一章 信号及其描述3
2）非各态历经的平稳随机过程
1 x lim x ( t ) N N k 1
1 R x ( ) lim x k (t )x k (t ) N N k 1
N
N
3）各态历经与非各态历经随机过程的主要区
别： 各态历经： x , R x ( )用积分计算
非各态历经： x , R x ( )用求和计算
T lim x 0 x T
Tx
性质：
1）分布函数P x P x dx
x
2) P
P x dx 1
x2
3) 落在x1和x2之间的概率 P x x(t ) x x P x dx
x
7）均值、均方值与P(x) 的关系 P( x) p ( x)dx ●概率分布
2 2
其幅度谱、相位谱分别为
x（t）
X ()
2 ( ) arctg ( )
/2
X ( )
1
2 2
0 0 t 0
单边指数信号与频谱
/ 2
将单边指数信号的频谱分解为实频 与虚频两部分 1 1 1 1 X j A jB j 2 2 2 2 2 2 2 设当 0 ，实频 A 和虚频 的极限分别为 A 和 B ，有
数学上或有些工程应用 上随机信号还可分为：
服从正态分布的随机信 号，非正态分布的随机 信号
二、随机信号的描述方法
• 幅值域 • 时差域 • 频域 幅值域 1 T lim 1）均值： x T 0 x ( t )dt (直流分量或静态分量 )
第1章 信号及其描述
4
信号的分类（一）
信号
5
确定性信号 随机信号
周期信号 非周期信号 平稳随机信号
简谐信号 周期信号 准周期信号
瞬变非周期信号 窄频带随机信号
宽频带随机信号 非平稳随机信号
第一节、信号的分类与描述
一、信号的分类 1、确定性信号与随机信号
– 若信号可表示为一个确定的时间函数，因而可确定 其任何时刻的量值，信号成为确定信号。
15 平稳随机信号
非平稳信号是指分布参数或者分布律随时间 发生变化的信号(统计特征是时间的函数)
确定性信号与随机信号
确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信号。 随机信号不能用精确的数学关系式来表达，也无法确切 地预测未来任何瞬间的精确值。
提醒注意：
确定性信号和随机信号之间并不是截然分开的，通常确定性 信号也包含着一定的随机成分，而在一定的时间内，随机信 号也会以某种确定的方式表现出来。判断一个信号是确定性 的还是随机的，通常是以通过实验能否重复产生该信号为依 据。如果一个实验重复多次，得到的信号相同(在实验误差
3
关于信号(实质)
为了传送信息（数据或图像等），需要用适当的设备 将消息转换成电信号，或者直接用测试仪器的输出电 信号作为实验数据的描述。
(-3,-2,-1,0,2,2,0,-1,0,1,2,3,……)
电信号的基本形式是随时间变化的电流或电压，通常 可表示为时间的函数（或序列），该函数的图像成为 信号的波形。
非周期信号
– 确定性信号中不具有周期重复性的信号 – 准周期信号 – 瞬变非周期信号
– 随机信号：不能准确预测其未来瞬时值，无法用数 学关系式描述的信号。
10
准周期信号
准周期信号是由有限个简 5 谐信号合成的一种非周期 4 信号，但其组成分量间无 3
信号的分类（一）
信号
5
确定性信号 随机信号
周期信号 非周期信号 平稳随机信号
简谐信号 周期信号 准周期信号
瞬变非周期信号 窄频带随机信号
宽频带随机信号 非平稳随机信号
第一节、信号的分类与描述
一、信号的分类 1、确定性信号与随机信号
– 若信号可表示为一个确定的时间函数，因而可确定 其任何时刻的量值，信号成为确定信号。
15 平稳随机信号
非平稳信号是指分布参数或者分布律随时间 发生变化的信号(统计特征是时间的函数)
确定性信号与随机信号
确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信号。 随机信号不能用精确的数学关系式来表达，也无法确切 地预测未来任何瞬间的精确值。
提醒注意：
确定性信号和随机信号之间并不是截然分开的，通常确定性 信号也包含着一定的随机成分，而在一定的时间内，随机信 号也会以某种确定的方式表现出来。判断一个信号是确定性 的还是随机的，通常是以通过实验能否重复产生该信号为依 据。如果一个实验重复多次，得到的信号相同(在实验误差
3
关于信号(实质)
为了传送信息（数据或图像等），需要用适当的设备 将消息转换成电信号，或者直接用测试仪器的输出电 信号作为实验数据的描述。
(-3,-2,-1,0,2,2,0,-1,0,1,2,3,……)
电信号的基本形式是随时间变化的电流或电压，通常 可表示为时间的函数（或序列），该函数的图像成为 信号的波形。
非周期信号
– 确定性信号中不具有周期重复性的信号 – 准周期信号 – 瞬变非周期信号
– 随机信号：不能准确预测其未来瞬时值，无法用数 学关系式描述的信号。
10
准周期信号
准周期信号是由有限个简 5 谐信号合成的一种非周期 4 信号，但其组成分量间无 3
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x(t)
x(t)
离散信号
0
a)
t
0 12 34567 t
b)
连续信号和离散信号
1.2 信号的表述
1.2.1 周期信号的表述
谐波信号是最简单的信号，只有一种频率成分。
一般周期信号可以利用傅立叶级数展开成多个乃至
无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。 1）三角函数展开式 Dirichlet条件（在一个周期内满足）
1.1 信号的分类
为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究 是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 从信号描述上分
--确定性信号与非确定性信号； 2 从信号的幅值和能量上
--能量信号与功率信号； 3 从连续性
--连续时间信号与离散时间信号；
1.1.1 确定性信号和非确定性信号
确定性信号的典型例子，单自由度无阻尼质量－弹簧振动 系统，如图1-1所示。其位移信号 x(t ) 可以写为
=
4A nω 0T0
[1 -co s(n ω 0T0 /2 )]
4A
=
nπ
0
n=1,3,5, L n=2, 4,6, L
因此
x ( t) 4 A (s0 i t n 1 3 s3 in 0 t 1 5 s5 in 0 t )
根据上式，幅频谱和相频谱分别如图 1.3b 和 c 所示。幅频谱值包含基波和奇次谱波的频率分量，且 谐波幅值以 1 / n 的规律收敛，相频谱中各次谐波的初
ReX(f)
(1.23)
例1.3 求矩形窗函数 R ( t ) 的频谱，并作频谱图。
ωR(t)
1
-T/2 O
T/2 t
WR(f) T
-1/T 1/T
-2/T
2/T
f
解：矩形窗函数 R ( t ) 的定义为
1
R(t)0
t T/2 t T/2
其频谱为:
WR ( f )
R
(t
)e
j
2ft
d
t
T / 2 e j 2ft dt T / 2
n 1
傅里叶级数的复指数函数表达形式：
n 0t
例1.1 求周期方波（见图1-3）的频谱，并作出频谱图 图1－3 （a）
解： 在一个周期内可表示成
x(t)AA
0tT0 /2 T0 /2t0
因 x(t)是奇函数，而函数在对称区间积分值为0，
所以
a0 0 an 0
b n =
2 T0
T0 -T 0
函数或者为连续的，或者具有有限个第一类间断点； 函数的极值点有限； 函数是绝对可积的；
工程测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
x(t)a0 (ancosn0tbnsinn0t) n1 A0 Ansinn0tn n1
傅立叶级数的三角函数表达式表明：
—周期信号可以用一个常值分量a0和无限多个 谐波分量之和表示；
lim
T0
x(t)
lim
T0
Cne
n
j n0 t
1 lim T T0 0
n
T0 / T0
2 /2
x
(t
)e
j
n
0
t
dt
e
j n0 t
d 2
x(t
)e
j
t
dt
e
j
t
(1.16)
1
2
x(t)e j t dte
j t d
在数学上，此式称为傅立叶积分。
严格地说，非周期信号x ( t ) 傅立叶积分存在的条件是：
1
e jfT e jfT
j2f
利用欧拉公式，带入上式后:
W R(f)Tsifn fTT )(Tsicn (fT )
W R(f)Tsicn(fT)
(f)arctan0 sinc(fT)
森克函数以 2 为周期，并随 x增加而衰减的振荡。
sicn (x)six n)/(x
2．傅立叶变换的主要
X ( f ) 一般是频率的复变函数，可以用实、虚频谱形式 和幅、相频谱形式写为：
X ( f) R X ( f) e jIX m ( f) X ( f) e j ( f)（1.21）
两种形式之间的关系为：
X (f)R X ( e f)2 Im X (f)2 （1.22）
(f)arctaIm nX(f)
/2 /2
x
(t)s
in
a
n
ω
0
t
d
t
= 2
T0
0
2
(-A
-T0 /2
)sin n ω
0t dt+
T0
T0 0
/2
A
sin
n
ω
0
t
d
t
=
2A T0
c
os n
n ω
ω
0
0
t
0 +
-T0 /2
-co sn ω 0t nω 0
T
0/ 0
2
=
2A nω 0T0
1 -c o s(-n ω 0T 0 /2 )-c o s(n ω 0T 0 /2 )+ 1
相位 n 均为零。
相频谱 幅频谱
1.2.2 非周期信号的表述
1．傅立叶变换
非周期信号可以看成是周期趋于无穷大的周期 信号。当周期延拓时，区间从( T0 /2,T0 /2 ）趋于
（ ,），频谱的频率间隔 02 /T 0 d，
离散的 n 0 变成连续的 ，展开式的叠加关系变成积 分关系，则（1.11）可以写成下列形式：
sin n0t2 jej n0tej n0t
傅立叶变换式可改写为
x (t) a 0 n 1 1 2a n jn b e j n 0 t 1 2a n jn b e j n 0 t
若令
C0 a0
Cn 12an jbn
Cn 12an jbn
则上式可写成
x(t)C 0 C nej n0tC nej n0t
k
X(t)
图1-1.单自由度振动系统
x(t)
Acos(k t m
0)
1.1.2 能量信号和功率信号
1.1.3 连续信号和离散信号
连续信号 信号
离散信号
模拟信号（信号的幅值与独立变量均连续） 一般连续信号（独立变量连续） 一般离散信号（独立变量离散） 数字信号(信号的幅值与独立变量均离散)
连续信号
x (t)A 0 A nsin( 0 tn)
n 1
常值分量
A0 a0
各谐波分 量的幅值
An an2 bn2
各谐波分量
的初始角
n
arctan
an bn
2）复指数展开式
由欧拉公式： e j n 0 t co n0 tsjsinn 0 t
co ns 0t1 2ej n0tej n0t
1）x (t ) 在有限区间上满足狄里赫利条件；
2）积分
x(t) dt收敛，即 x (t )绝对可积。
以上傅立叶变换的4个重要公式可用符号简记为：
x(t)F1X() x(t)F1X(f)
X()Fx(t)
X(f
)Fx(t)
数学表达式和时、频域图中常用“ ”表示傅
立叶变换的对应关系：
x(t)X() x(t)X(f)